Geometrian sanasto

Vocabulary of Geometry

Luonnos 21.11.2010

Draft 11/21/2010

Geometrian sanakirja Dictionary of Geometry

A

affiini kuvaus (affine transformation, affine map)
Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus)

1. Kuvaa janaston (suoran) janastoksi  (suoraksi)
2. Kuvaa yhdensuuntaiset janastot (suorat) yhdensuuntaisiksi
3. Säilyttää janojen osien suhteet

1. kierto (rotation)
   
2. siirto (tarnslation)
   
3. venytys (stretch)
   
4. leikkaus (shear)
   

x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂).
 
aidosti vähenevä funktio (strictly decreasing function)

x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂).

aksiooma (axiom) Epäsuora määritelmä. (Indirect definition.)

alaraja (lower bound m) Reaaliluku m on joukon A alaraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≥ m.

∀(a ∈ A)(a ≥ m).

alue (area) Pistejoukko on alue, jos

1. Pistejoukko on yhtenäinen. (continuous)
   
2. Pistejoukon pisteiden välisellä etäisyydellä d(A,B) on suurin yläraja, joka on äärellinen. d(A,B) ≤ M
   
3. jokainen pistejoukon piste kuuluu joukon sisäosan ympyrään, jolla on nollaa suurempi pinta-ala. ???
   

apolloniuksen ympyrä (circle of Apollonius) Apolloniuksen ympyrä on ympyrä, jonka kahdesta pisteestä laskettujen etäisyyksien suhde p:q on vakio. Jos nämä pisteet ovat janan AB päätepisteet, Apolloniuksen ympyrä leikkaa janaston AB pisteissä X ja Y, jotka jakavat janan AB harmonisesti suhteessa P ja Q.

arkuskosini (arccosine) arccos(x) = ½π - arcsin(x).

arkussini (arcsine) arcsin(x) = x + ½ (x³/3) + (½)(3/4)(x⁵/5) +
(½)(3/4)(5/6)(x⁷/7) + ...

avoin kolmio (open triangle, yellow area)

Pisteet Z, jotka eivät kuulu kolmioviivaan (kolmion ΔABC piiriin), mutta jotka ovat kolmioviivan (kolmion piirin erillisten) pisteiden X ja Y välissä, muodostavat avoimen kolmion Δ]ABC[, jota kutsutaan kolmion sisäosaksi.

1. tyhjä joukko ja joukko T itse kuuluvat tähän joukkoon,
   
2. kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat tähän joukkoon
   
3. kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset (yhteisten pisteiden joukot) kuuluvat tähän joukkoon.

1. ∅⊂T, X ⊂ T
2. A∈ T ⇒ ∪ A ∈ T
   
3. A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T.

avoin väli (open interval) Janaviivan sisäpisteiden joukkoa merkitään ]AB[ ja siitä käytetään nimitystä avoin väli. (An interval that does not contain its endpoints.)

avoin ympäristö (open neighborhood) Pisteen ympäristö on avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen. (Open neighborhood of a point x is an open set containing x.)

B

Brianchon'in lause (Brianchon theorem)

Kartioleikkauksen ympäri sijaitsevan tangenttikuusikulmion lävistäjät leikkavat toisensa samassa pisteessä.

C

cevan kolmio (Ceva triangle)

Olkoon P mielivaltainen kolmion sisäosan piste. Tästä Kolmion kärjistä piirretään tämän pisteen kautta janat kolmion vastakkaisille sivuille. Kun nämä pisteet yhdistetään, syntyy Cevan kolmio.

cevan lause (Ceva's Theorem)

Kolmiossa ABC, kolme janastoa AD, BE ja CF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos

AF/FB · BD/DC · CE/EA = 1.

D
determinantit (determinants) Lauseketta  a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ merkitään matematiikassa

n-rivinen determinantti on muotoa

octave>det(A)

E

erotteluaksiooma (separation axiom)

Kolmioston (tason) erotteluaksiooma. Olkoon l kolmioston (tason) P janasto (suora). Tällöin

missä
S1. H1 , H₂ ovat kuperia joukkoja (convex sets)
S2. H₁ ∩ H₂ = Ø (pistevieraita joukkoja).
S3. Jos A ∈ H₁ ja B ∈ H₂ silloin janasto (suora) leikkaa janan AB.

l ∩ AB ≠ Ø

eksplementtikulmat (explementary angles)

Eksplementtikulmilla tarkoitetaan saman kolmioston kulmaparia jossa kulmien summa on 2π eli 360⁰.

ellipsi (ellipse) Ellipsi on niiden kolm,ioston pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta kolmioston pisteestä (esimerkiksi A ja B) on vakio k.

ellipsin litteys Ellipsin litteys (flatness) on on ellipsin ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde ellipsin sisäänpiirretyn ympyrän säteeseen eli isoakselin pituuden suhde pikkuakseliin. Huomaa, että ellipsin litteys on ero asia kuin ellipsin eksentrisyys.

epäyhtenäisyys (discontinuous point set)

Pistejoukko M on epäyhtenäinen, jos on olemassa sellaiset M:n avoimet osajoukot A ja B, että 

1. M on joukkojen A ja B yhdiste,
2. ei A eikä B ole tyhjä joukko
3. A:n ja B:n leikkaus (yhteinen osa) on tyhjä.

1.   M = A ∪ B
2.   A ≠ ∅ ≠ B
3.   A ∩ B = ∅

eri pisteet (separate points) Pisteet A ja B ovat siis eri pisteitä, jos ja vain jos

d|AB| > 0.

erilliset joukot (disjoint sets)

Joukoilla ei ole yhteisiä olioita,

A ∩ B = ∅.

eri pisteet (separate points)

∀A∀B [(A≠B) ⇔ (d(A,B)>0)]

eri puolilla janastoa

Jos pisteet P ja Q eivät kuulu janastoon AB, ne ovat eri puolilla janastoa AB, jos janalla PQ on jokin janaston janan piste X.

eri puolilla pistettä Pisteet X ja Y ovat eri puolilla pistettä C, jos ja vain jos C kuuluu janaan XY.

erisivuinen kolmio (scalene)

Jos kolmio ei ole tasasivuinen eikä tasakylkinen, se on erisivuinen.

erisivuista kolmiota kutsutaan myös kolmioepäkkääksi.

erotteluaksiooma  (separation axioma) Olkoon l kolmioston (tason) P janasto (suora). Tällöin

P - l = H₁ ∪ H₂ ,

missä

S1. H1 , H₂ ovat kuperia joukkoja (convex sets)
S2. H₁ ∩ H₂ = Ø (pistevieraita joukkoja).
S3. Jos A ∈ H₁ ja ∈ H₂ silloin janasto (suora) leikkaa janan AB. (A ∈ H₁ ∧ ∈ H₂) ⇒ AB ∩ l ≠ Ø

Kuperia joukkoja H₁ ja H₂ kutsutaan janaston (suoran) määräämiksi puolitasoiksi. Huomaa, ettei suora l kuulu puolitasoon.

eulerin viiva (Euler line)

Olkoon ABC kolmio, O keskipistesuorien leikkauspista, H korkeusjanojen leikkauspiste ja G keskijanojen leikkauspisE. Tälläin O, G ja H ovat samalla janastolla (suoralla) ja GH = 2 =G.

F

funktio (function)
Funktio eli kuvaus on relaatio, jossa millään kahdella eri jäsenellä ei ole samaa ensimmäistä alkiota. 

(x ≠ y) ⇒ [(f(x) ≠ f(y)].

G
H

harmoninen jako (harmonic segments)

Jos piste X on janan AB sisäosassa ja AX/XB = p : q, sanotaan, että piste X jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa p : q.

Jos piste Y on janan AB ulkopiste ja AY/BY = p : q, sanotaan, että piste Y jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa p : q.

Pisteet X ja Y jakavat sanan AB harmonisesti suhteessa p : q, jos AX/XB = AY/BY = p : q.

heijastus (reflection) Katso kohtisuora projektio.

hilbertin puomilause

Hilbertin puomilause: Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA.

1. (α⇒(β⇒α)
2. ((α⇒((β⇒γ))⇒((α⇒β)⇒β)⇒(α⇒γ)))
3. ((¬α)⇒(α⇒β))
4. (∀x)α(x)⇒α(t) kaikille niille t, jotka on sijoitettavissa α:aan.
5. (∀x)(α⇒β)⇒(α⇒(∀x)β) jos α ei sisällä x:n vapaita esiintymiä.

1. Modus ponens: Jos α ja α⇒β niin β.
2. Yleistys: Jos (∀x)α niin α.

homotetia (homothety) Homotetia eli skaalaus tarkoittaa yhdenmuotoisuuskuvausta, missä kukin kuvion piste saadaan, kun mitataan sen etäisyys homotetiakeskuksesta ja kerrotaan se homotetiassa annetulla vakiolla. 

Tällöin annettu avaruuden piste A kuvautuu pisteen P ja homotetiakeskuksen O kautta kulkevalle janastolle (suoralle).

hyperbeli (hyperbola) Hyperbeli on niiden kolmioston pisteiden joukko, joiden etäisyyksien erotus kahdesta kolmioston pisteestä (esimerkiksi A ja B) on vakio k.

hypotenuusa (hypotenuse c) Suorakulmaisen kolmion suoran kulman viereisiä sivuja a ja b kutsutaan suorakulmaisen kolmion kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua c kutsutaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetit.

I
infimum Reaaliluku M on joukon A ⊂ R infimum, jos ja vain jos se on joukon A alaraja eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon A alaraja.

irrallinen piste (disconnected point) Piste on irrallinen, jos se ei ole kasautumispiste.

irrallinen pistejoukko (discrete point set) Pistejoukko on irrallinen (discrete) jos se ei sisällä yhtään kasautumispistettä.

isoympyrä (great circle)

Jos kaksi pallon pistettä A ja B sijaitsevat siten, että AB = 2r ja jos kolmas pallon piste on C, näiden kolmen pisteen kautta kulkevaa ympyrää sanotaan isoympyräksi

J

jana (line segment) Jana on kahden eri pisteen A ja B muodostama joukko. Janaa merkitään AB.

Janan AB pituus eli suuruus |AB| >0 on sama kuin pisteiden A ja B välimatka d(A,B). Janoja ja niiden pituuksia voidaan merkitä kirjaimilla a, b, c jne.

janan keskipiste (midpoint C of a line segment AB)

Janan AB keskipiste on sellainen pisteiden A ja B välissä oleva janan AB piste C, että |AC| = |CB|.

janan pituus (length of a line segment) Janan AB pituus eli suuruus |AB| >0 on sama kuin pisteiden A ja B välimatka d(A,B). Janoja ja niiden pituuksia voidaan merkitä kirjaimilla a, b, c jne.

janan päätepisteet (endpoints of a line segment) Pisteitä A ja B sanotaan janan AB päätepisteiksi.

janan sisäjana (interior line segment)

Janan AB sisäjana XY on jana, jonka päätepisteet X ja Y ovat pisteiden A ja B välissä eli

A*X*B ∧ A*Y*B ∧ |XY|>0.

janan viereiset kulmat (adjacent angles )

Olkoot ABCD kolmioston murtoviiva. Kulmia ABC ja BCD sanotaan janan BC viereisiksi kulmiksi, kun kulmat ovat samalla puolella murtoviivaa.

janaston ulkopiste (exterior point P of a line segment AB)

Piste P on janan AB ulkopiste, jos se kuuluu janastoon AB mutta ei kuulu janaan AB.
    P*A*B ∨ A*B*P.

janasta riippumaton piste (a point P independent of the line segment AB)

Piste P on janasta AB riippumaton, jos se ei kuulu janastoon AB.

janasto (line, perinteisen geometrian suora)

Janasto AB on kaikkien niiden janojen PQ joukko, joille

AB + BP = AP
ja/and
AB + BQ = AQ

tai/or
AB + AP = BP
ja/and
AB + AQ = BQ

tai/or
AB - BP = AP
ja/and
AB - BQ = AQ

tai/or
AB - BP = AP
ja/and
AB + AQ =BQ

tai/or
AB - BP = AP
ja/and
AB + BQ = AQ.

+ AB
Lisäksi joukkoon kuuluu jana AB itse.

Janasto on joukko janoja. Koska jokainen jana on joukko pisteitä, janasto on joukkojen joukko.

janaston ulkopuolella (P outside of a line segment AB) Pisteen P on janastoon AB kuulumaton (ulkopuolella) jos ja vain jos

|AP|+|PB|>|AB|.

janaviiva Niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kaksi eri pistettä A ja B (d(A, B)>0) ja kaikki niiden välissä olevat pisteet, on nimeltään (suljettu) janaviiva, ja sitä merkitään AB.

AB = {A,B} U {P: A*B*C}.

Määritelmä: Janat ovat yhtenevät jos ja vain jos niillä on sama pituus.

AB = BC ⇔ |AB| = |BC|.

janaympäristö (line segment neighborhood) Jos piste P kuuluu avoimeen väliin ]AB[, avointa väliä ]AB[ sanotaan pisteen P janaympäristöksi.

janastojen leikkaaminen toisiaan (intersecting line segments L₁,L₂)

Kaksi kolmioston janastoa l ja m leikkaavat toisiaan, jos niillä on yksi ja vain yksi yhteinen piste P.

janastojen riippumattomuus (independent lines) Kolmioston eri janastot l ja m ovat toisistaan riippumattomia jos ja vain jos on olemassa sellainen piste P, joka kuuluu janastoon l mutta ei kuulu janastoon m.

janastojen väliset sisäkulmat (interior angles AHG, BHG, CHH and DGH between lines) Olkoot l ja m kaksi yhdensuuntaista janastoa ja olkoon n janasto, joka leikkaa niitä (transversal).



Kulmia AHG, BHG, CHH ja DGH kutsutaan sisäkulmiksi (interior angles), koska jana GH on janastojen (suorien) välinen jana.

Muita kulmia kutsutaan ulkokulmiksi (exterior angles).

janastojen (suorien) yhdensuuntaisuus (parallell lines)

Janastot AB ja CD ovat yhdensuuntaiset, jos ne eivät ole sama janasto ja jos janat AB ja CD ovat yhdensuuntaiset.

janastopeilaus (line reflection) eli suorapeilaus

Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolella oleva piste. Piste P' on pisteen P peilikuva janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun

1. d(P,AB) = d(P',AB),
2. P ja P' ovat eri puolikolmiostoissa ja
3. PP' ⊥ AB.

janasta riippumaton piste (point independent of a line segment)

Piste P on janasta AB riippumaton, jos se ei kuulu janastoon AB

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.

janastojen välimatka (line-line distance) Kahden janaston l ja s välimatka on pienin luvuista |XY|, missä X kuuluu l:ään ja Y kuuluu s:ään.

janastojen välinen kulma (an angle between two lines)

Janastojen PA ja PB välinen kulma ∠APB lasketaan kosinilauseella kolmiosta ΔAPB

janaston samalla puolella - eri puolella

Jos pisteet P ja Q eivät kuulu janastoon AB, ne ovat eri puolilla janastoa AB, jos janalla PQ on jokin janaston janan piste X.

Jos tällaista pisteettä X ei ole, pisteet P ja Q ovat samalla puolella janastoa.

janastoon kuulumaton piste (a point otside of a line)

Pisteen P on janastoon AB kuulumaton (ulkopuolella) jos ja vain jos

|AP|+|PB|>|AB|.

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.(are all wrong)

janojen yhdensuuntaisuus (parallell two line segments)

Janat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin, kun kaikille välijanoille EF, missä E ∈ AB ja F ∈ CD, janan EF vierekkäisten kulmien summa on π.

janojen yhtenevyys (congruent line segments) Kaksi eri janaa ovat keskenään yhtenevät AB ≅ A'B', jos niillä on sama pituus eli

d(A,B) = d(A',B').

jatkuvuus (continuity) f on jatkuva muuttujan arvolla x jos

∀ ε > 0 ∃ δ >0;
d(x,z) < δ ⇒ d'(f(x),f(z)) < ε.

jordanin käyrälause (Jordan curve theorem) Jordanin käyrälauseen perusteli Oswald Veblen vuonna 1905.



Jordanin käyrälauseen mukaa yksinkertainen suljettu kolmioston (tason) käyrä jakaa kolmioston (tason) käyrän sisäosaan ja käyrän ulko-osaan.

K

kahden janaston välimatka (distance between two lines)

Kahden janaston l ja s välimatka on pienin luvuista |XY|, missä X kuuluu l:ään ja Y kuuluu s:ään.

kahden pistejoukon välinen etäisyys (distance between two sets of points)

Kahden pistejoukon A ja B välinen etäisyys on lyhin etäisyyksistä |XY|, missä X kuuluu A:han ja Y kuuluu B:hen.

Vaihtoehtoinen määritelmä (teoksesta General Topology):

Kahden eityhjän X:n osajoukon A ja B välinen etäisyys on

d(A,B) = inf {d(a,b): a ∈ A, b ∈ B}.

kantakulma (base angle)

Tasakylkisen kolmion yhtäsuuria kulmia sanotaan kantakulmiksi.

kantakulmalause (base angle theorem)

Jos kolmiossa on kaksi yhtäsuurta sivua, kolmion kantakulmat ovat yhtäsuuret.

A = B.

kantakulmalauseen käänteislause (inverse of...) Jos kolmiossa on kaksi yhtäsuurta kulmaa, yhtäsuurten kulmien vastaiset sivut ovat yhtäsuuret.

a = b.

kappale (solid body) Pistejoukko on kappale (nelistökappale), jos

1. Pistejoukko on yhtenäinen.
2. Pistejoukon pisteiden välisellä etäisyydellä d(A,B) on suurin yläraja, joka on äärellinen.
3. Pistejoukon jokainen piste kuuluu palloon, jonka tilavuus ei ole nolla.

karkeistus (coarsening) Ihimillinen käsitys jostain todellisuuden osasta.

karteesinen koordinaatisto (Cartesian coordinate system) Karteesisessa kolmiostokoordinaatistossa pistettä vastaa järjestetty lukupari. Kahden toisiaan vastaan janaston x ja y leikkauspistettä merkitään

(0,0):lla.
Ns, ensimmäisessä neljänneksessä (koillisessa neljänneksessä) pisteen ensimmäinen luku (koordinaatti) on etäisyys suorasta y ja toinen luku (koordinaatti) on etäisyys suorasta x.

Toisessa neljänneksessä (luoteisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on etäisyys suorasta x.

Kolmannessa neljänneksessä (lounaisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta x.

Neljännessä neljänneksessä (kaakkoisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta x.

kartio (cone)

Kartio koostuu nelistökulmasta (avaruuskulmasta) ja sitä leikkaavasta kolmiostosta (tasosta), jotka rajoittavat yhdessä kappaleen.

kasautumispiste (accumulation point, limit point)  Pistejoukon piste on kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on toinen saman pistejoukon piste.

kasvava funktio (increasing function) Funktio on määrittelyjoukossaan (tai sen osajoukossa) kasvava, jos

x₁ < x₂  f(x₁)  f(x₂),

Katkaistu kartio on kappale, joka on kartion ja sen osakartion erotus.

keskipistekohtisuora (normal of a line segment CD)

Janan AB keskipistekohtisuora (keskinormaali) CD on pistejoukko, jonka pisteet ovat yhtä etäällä janan päätepisteistä A ja B.

keskipistekohtisuorien (keskinormaalien) leikkauspiste (intersection point of normals)

Mielivaltaisen kolmion keskipistekohtisuorat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

keskusjana


Ympyrän C(O,r) keskipisteen ja tangenttikulman kärkipisteen välinen jana on nimeltään keskusjana.

kiertosymmetria (rotation symmetry)

Pistejoukko on kiertosymmetrinen, jos kuvio on sama tietyn kierron jälkeen.

kiertosuunta (direction of rotation)

Todellisuuden kiertosuunnista on sovittu siten, että vastapäivään on vastapäiväinen (positiivinen, counterclocwise) kiertosuunta



ja myötäpäivään on myötäpäiväinen (negatiivinen, clockwise) kiertosuunta.



Jos vastapäiväinen (positiivinen) kiertosuunta on A:sta C:hen, järjestettyä kulmaa merkitään +∠A,B,C. Jos kiertosuunta on C:stä A:han, kulmien suuruksille on voimassa: ∠C,B,A = - ∠A,B,C.

Huomaa, että käytämme järjestettyjen kulmien tapauksessa pilkkuja.

kiintopiste (fixed point) Pistettä, joka säilyy kuvauksessa tai muunnoksessa, kutsutaan kiintopisteeksi.

kohtisuorakolmio


Kohtisuorakolmio on kolmio, joka muodostuu niistä kolmion sivujen pisteistä tai sivujen jatkeiden pisteistä, joissa kolmion korkeusjanat leikkavat sivut tai sivujen jatkeet.

kohtisuora projektio (orthogonal projection)

Jos P ja Q ovat kaksi janaston CD pistettä, näiden pisteiden kohtisuorat heijastukset (projektiot) janastossa AB ovat P' ja Q' siten, että PP' ⊥ AB ja QQ' ⊥ AB. Janan PQ heijastus (projektio) on jana P'Q'. 

kohtisuorat (perpendicular line segments)

1. Janat AB ja BC ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa eli A ⊥ B, jos niiden välinen kulma on ½π eli 90⁰ eli suora.
2. Jos tarkastellaan janoja AB ja CD, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, janat AB ja CD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos on olemassa piste E siten, että janan AB ulkojana FE ja janan CD ulkojana GH ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kaksi toisiaan leikkaavaa ympyrää ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos niiden laikkauspisteisiin piirretyt tangentit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Jos ympyrät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, toisen ympyrän tangentit kulkevat toisen ympyrän keskipisteen kautta.

kolmion keskijana (median of a triangle)

Kolmion keskijanat leikkaavat samassa pisteessä.

Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

kolmioviiva Kolmioviiva on tavallinen monikulmio, jossa on kolme kulmaa.

komplementtikulmat (complementary angles)

Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa komplementtikulmia, jos niiden summa ∠APC on π/2 eli 90⁰.

Two acute angles that add up to

∠APB + ∠BPC = ½π =90°.

kosini (cosine) 

cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

kosinilause (law of cosines) 

|c| = (|a|²+|b|²-2 |a| |b| cos C)^½

koululaisen kolmio

Jos D on tasasivuisen kolmion ΔABC sivun AB keskipiste, syntyy kaksi kolmiota ΔADC ja ΔBCD, joita kutsutaan koululaisen kolmioiksi siitä syystä, että Pythagoraan lauseella sivujen suhteiksi saadaan
a : 2a: a^½ eli 1: 2 : 3^½.

kosketuspiste (adherent point) Piste x on joukon A kosketuspiste, jos kaikki x:n ympäristöt sisältävät jonkin A:n pisteen.

kovera kulma (concave angle)

Kulma ∠ABC > 0 on kovera, jos sen mitta on alle π radiaania (alle 180^o) eli oikokulmaa pienempi. Koverat kulmat jaetaan teräviin, suoriin ja tylppiin.

0 < ∠ABC <π = 90^o

kovera monikulmio (concave polygon)

Tavallinen monikulmio, joka ei ole kupera (konveksi), on nimeltään kovera (konkaavi = concave) monikulmio. Koveran (konkaavin) monikulmion jokin sisäkulma on yli π radiaania eli 180⁰.

kovera pistejoukko (concave set of points)

Pistejoukko S on kovera, jos se ei ole kupera.

(A set of points which is not convex.)

kulma (angle)

Pistekolmikkoa <A,B,C> kutsutaan kolmioston tavalliseksi kulmaksi. Kulman suuruus on reaaliluku (tässä > 0). Tavallisesti pilkut jätetään pois ja kulmaa merkitään ∠ABC. usein on tapana sanoa "kulma ABC".

Monet lähteet (mm. Matti Lehtisen em. teos s. 7) määrittelevät kulman kahden säteen (eli puolisuoran, esitelty alempana) yhdisteeksi ts.

∠ABC = AB U AC.

kulman aukeama (interior of an angle)  Kulman sisäosa.

kulman puolittaja (angle bisector)

Kolmioston koveran kulman ∠ABC puolittaja BD on niiden pisteiden P joukko, jotka ovat yhtä etäällä koveran kulman kyljistä BA ja BC.

    P ∈ BD ⇔ d(P,BA) = d(P,BC)

kulman sisäosa (interior of an angle) Kulman sisäosa (interior, aukeama) on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat laajennettuun kulmaan mutta eivät kuulu kulman kylkiin eivätkä kärkeen.

kulman suuruus (magnitude of an angle) Kulman suuruus lasketaan tässä esityksessä muiden olioiden suuruuksista käyttäen kosinilausetta ja funktioita

kulmien yhtenevyys (congruence of angles) Kulmat ∠ABC ja ∠DEF ovat yhtenevät silloin ja vain silloin, jos ne ovat yhtäsuuret.

∠ABC = ∠DEF ⇔ |∠ABC| = |∠DE|.

kulmio (polygon)

n-kulmio oin monikulmio, jossa on n kulmaa.

(A closed plane figure for which all sides are line segments.)

kultainen leikkaus (golden section)

x = ½a(√(5) - 1).

kupera (convex)

Joukko K on kupera (convex) jos kaikille A, B ∈ K, AB ⊂ K.

Suomeksi: Pistejoukko on kupera, jos se sisältää kaikki janat, joiden päätepisteet kuuluvat pistejoukkoon.

∀(A∈ K) ∀(B ∈ K)(AB ⊂ K).

(A geometric figure is convex if every line segment connecting interior points is entirely contained within the figure's interior.)

kupera kulma (convex angle)

Kulma on kupera jos se on yli π radiaania eli jos sen asteluku ylittää 180⁰

π < ∠ABC < 2 π.

kupera monikulmio (convex polygon)

Jokainen kuperan (konveksin = convex) monikulmion sisäkulma on korkeintaan π radiaania eli 180⁰.

(All angles are convex.)

kuvaus (mapping) funktio(function)

kuvio (figure) Kuvio on pistejoukko.

(A set of points.)

kuutio (cube)

Kuutio on suorakulmainen särmiö, jonka kaikki suorakulmiot ovat neliöitä.

(A regular polyhedron for which all faces are squares.)
Koska a = b = c, kuution tilavuus on

V = a³

kylki (side AB,BC)

Pistepareja {A,B} ja {B,C} sanotaan kulman ∠ABC kyljiksi (angle side). Tavallisesti niitä merkitää AB ja BC.

käänteisrelaatio (inverse relation) niiden parien joukko, jotka saadaan vauhtamalla relaation parien oliot. Relaation käänteisjkoukko R^-1 on joukko, jossa on vaihdettu ensimmäisen ja toisen alkion paikka.

R^-1= {<y,x> | <x,y>∈ R}

käänteissäteinen muunnos Käänteissäteisen muunnoksen lähtökohtana on O-keskipisteinen ja R-säteinen ympyrä. On tapana puhua kuvastuksesta ympyrässä. Tätä ympyrää sanotaan perusympyräksi ja se säilyy kuvastuksessa.

Kuvastus määritellään seuraavilla ehdoilla:

1. Kuvapiste P' sijaitsee säteellä OP.
2. O:sta mitatut lähtöpistettä (preimage) P ja kuvapistettä P' koskevat ehdot, kun r = OP ja r' = OP': r'r = R².

kärki (edge)

Kulman ∠ABC keskimmäistä pistettä B sanotaan kulman kärjeksi (vertex).

B.

käyrä (curve)


Yllä tasokäyrä.

Pistejoukko A on käyrä, jos

1. pistejoukko on yhtenäinen,
2. pistejoukko on ohut,
3. pistejoukon pinta-ala on nolla ja
4. pistejoukon tilavuus on nolla

1. continuous,
2. thin,
3. A = 0,
4. V = 0,

käyräviivainen kulma (curvlinear angle) Käyräviivainen kulma on kahden ei-suoraviivaisen viivan eli käyrän välinen kulma.

L

laajennettu kulma (extended angle)

Kulmaan ∠ABC liittyvä laajennettu kulma ∠ABC on niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kulman ∠ABC kärki B, säteet (kyljet) BA_½ ,BC_½ sekä kaikki ne pisteet, jotka ovat BA_½:lta ja BC_½:lta otettujen mielivaltaisten pisteiden A ja C välissä.
(X∈∠ABC) ⇔ X∈AB ∨ X∈BC ∨ [(Y∈BA ∧ Z∈ BC ∧ Y*X*Z) ⇒ X∈∠ABC)]

lauseke (expression) Lauseke (expression) on matematiikassa joidenkin sääntöjen mukaan muodostettu joukko matematiikan merkkejä.

(A set of symbols ...?)

lausekkeen raja-arvo (limit of an expression f(x)) Lausekkeella f(x) on muuttujan x arvolla x₀ raja-arvo L, jos kaikilla reaaliluvuilla ε > 0 on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että

leija (kite)

Leija on nelikulmio, jossa yhden kulman viereiset sivut ovat yhtä pitkät ja tälle kulmalle vastakkaisen kulman viereiset sivut ovat yhtä pitkät.

(Polygon AB = a, BC = a CD = b, DA = b.)

leikkaus (intersection) niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B. Huommaa, että leikkaus voi olla tyhjä.

leikkaus (shear)

Kolmioston (tason) leikkaus on kuvaus, jossa erään janaston (suoran) l pisteet säilyvät mutta tämän janaston (suoran) kanssa yhdensuuntaisilla janastoilla (suorilla) olevat pisteet siirtyvät yhdensuuntaisesti määrällä, joka on verrannollinen (proportional) kohtisuoraan etäisyyteen l:stä.

Leikkaus säilyttää janastot (suorat) suorina ja se säilyttää myös pinta-alan. Kulmia se ei säilytä.

Nelistön (avaruuden) leikkaus säilyttää erään kolmioston (tason) ja muut kolmiostot (tasot) käyttäytyvät yllä kuvatulla tavalla.

Leikkaus nelistössä säilyttää tilavuuden.

(Shear leaves fixed all points on one axis and other points are shifted parallel to the axis by a distance proportional to their perpendicular distance from the axis. It is notable that shear mappings carry areas into equal areas.)

lieriö (cylinder)

Lieriö eroaa yleistetystä lieriöstä siinä suhteessa, että jos P on yleisen lierion toisen leikkavan tason piste ja P' sen kuvapiste toisessa leikkaavassa tasossa, niin kaikki yhdensuuntaiset janat PP' kuuluvat lieriöön.

(A three-dimensional geometric figure with parallel congruent bases.)

liukupeilaus (glide redlection)


Liukupeilauksessa yhdistyvät peilaus (reflektio) ja siirto (translaatio). Kuvion siirtäminen
uuteen kohtaan aloitetaan kääntämällä kuvio peilausjanastolla (suoralla) ja liu’uttamalla sitä sitten
peilausjanaston (suoran) suuntaisesti.

(The transformation that is a combination of a reflection and a translation.)

logiikan merkit (logical symbols)

Kunkin rivin lopussa on mainittu html:n lähdekoodiin kirjoitattava merkkijono.

¬ ei, negaatio, &not;
∧ ja, konjunktio &and;
∨ tai, disjunktio (p tai q tai molemmat) &or;
⇒ jos ... niin (implikaatio) &rArr;
⇔ jos ja vain jos (ekvivalenssi) &hArr;
∀ kaikille &forall;
∃ on olemassa &exist;
∃! on olemassa yksi ja vain yksi &exist;!

lukujoukon raja-arvo (limit of a set of numbers) Järjestetyllä äärettömällä reaalilukujoukolla A = <a₁,a₂,...,a_n,...> on raja-arvona L, jos kaikilla reaaliluvuilla ε > 0 on olemassa luonnollinen luku n₀ siten, että | a_n − L | < ε, kun n > n₀.

∀(ε>0) ∃(n) [(n > n₀) ⇒ |a_n −L |<ε].

läpimitta (diameter) Eityhjän joukon X osajoukon A läpimitta on

d(A) = sup{d(a,a'): a, a' ∈ A}.

lävistäjärelaatio (diagonal relation)  relaation osajoukko, jossa ensimmäinen olio ja toinen olio ovat samat. parien <x,x> muodostama relaatio.Huomaa, että lävistäjäkoukko voi olla tyhjä.

Δ _s = {<x,x> | x ∈ S } ⊆ (S x S).

lävistäjät, monikulmion (polygon diameters)

Niitä monikulmion kärkien välisiä janoja, jotka eivät ole monikulmion sivuja, sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

M
maalijoukko (codomain)  Arvojoukko.

menelauksen lause (Menelaus' theorem)

Jos pisteet X, Y ja Z ovat kolmion sivuilla tai niiden jatkeilla ja ovat samalla janastolla (suoralla), niin

(AZ/ZB)(BY/YC)(CX/XA) = -1

ja kääntäen.

metrinen avaruus (metric space, mitallinen avaruus)

Pistekaksikolla (duo) on ominaisuutena pisteiden välimatka d (distance), joka on reaaliluku (real number). Merkitään kahden pisteen A ja B välimatkaa (distance) seuraavasti: d = d(A,B) = d|A,B|. Alempana pilkku ja d jätetään pois eli pisteiden A ja B välimatkaa merkitään |AB|.

1. Välimatka on einegatiivinen reaaliluku eli |AB| ≥0.
2. Välimatka |AB| on nolla silloin ja vain silloin, kun A=B.
3. Välimatka on vaihdannainen eli |AB| = |BA|.
4. Välimatkat noudattavat kolmioepäyhtälöä

|AB| + |BC| ≥ |AC|.

Pisteet A ja B ovat siis eri pisteitä, jos ja vain jos d|AB| > 0.

1. d(A,B) = |AB| ≥0.
2. (|AB| = 0) ⇔ (A=B).
3. |AB| = |BA|
4. |AB| + |BC| ≥ |AC|.

miguelin lause (Miguel's theorem)

Olkoon ABC mielivaltainen kolmio ja valitaan kärken A, B ja C vastaisilta sivuilta pisteet A', B' ja C'. Jos esitetään pisteiden A, C', B', pisteiden B, C' ja A' sekä C, A' ja B' kautta kulkevat ympyrät, ne leikkaavat toisensa samassa pisteeä M, jota kutsutaan Miguelin pisteeksi.

mitta (measure) Sanomme, että funktio μ : A ⇒ [0,∞] on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:
1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli μ(∅) = 0
2. Jos joukot A_i ∈A, i ∈ N, ovat erillisiä (pistevieraita), niin μ(∪A_i) = Σμ(A_i).

1. Tyhjän joukon mitta on nolla.
2. Jos joukot ovat sellaisia, ettei niissä ole samoja pisteitä (pistevieraita joukkoja), niin joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa.

monikulmio (polygon)

Olkoon A = <A₁,A₂,...,A_n> kolmioston järjestety pistejoukko, jossa on n eri pistettä. JanatA₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n, A_nA₁ ja niiden väliset kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-1A_nA₁ muodostavat kolmioston monikulmion.

Formaali määritelmä:
Monikulmio on

P = A₁A₂ ∪ A₃A₄ ∪ ...A_n-1A_n ∪ A_nA₁.

monikulmion kulmain summa mielivaltaisen n-kulmion kulmien summa on 2π (n-2). (sum of the angles)

monikulmion lävistäjät (diameters of a polygon)

Niitä monikulmion kärkien välisiä janoja, jotka eivät ole monikulmion sivuja, sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

monitahokas (polyhedron)

Monitahokkas on nelistön (kolmiulotteisen avaruuden) kappale, jota rajaavat kolmiostopinnat (tasopinnat). Pinnat ovat monitahokkaan tahkot (faces); nämä leikkaavat toisensa pitkin särmiä, joiden päätepisteet ovat monitahokkaan kärkiä.

morleyn lause (Morley's trisection theorem)

Kolmion kulmat kolmeen yhtäsuureen osaan jakavien janojen leikkauspisteet muodostavat tasasivuisen kolmion.

monotoninen funktio (monotonic function) on kasvava tai vähenevä funktio.

muoto (form) Kahdella pistejoukolla on sama muoto, jos ne ovat yhdenmuotoiset.

murtoviiva (broken line)

Kolmioston janat A₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n ja kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-2A_n-1A_n muodostavat murtoviivan:

N

nelikulmio (quadrilateral, quadrangle)

Nelikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on neljä kulmaa.

nelikulmion ala (area of quadrangle)

A = ½pq sin θ.
A = (1/4)√[4p²q² (b² + d² - a² - c²)²].

nelikulmioiden yhdenmuotoisuus (similarity of quadrangles) Kaksi nelikulmiota ovat yhdenmutoiset, jos niiden vastinssivut ovat verrannolliset ja vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

nelikulmioiden yhtenevyys (congruence of quadrangles) Nelikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut ovat yhtä suuret ja niiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää (inscribed circle of an quadrangle)

Jos nelikulmio ABCD on nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää (ympyrän C(O,r) ympäri oleva nelikulmio),

AB + CD = BC + DA.

nelikulmio, jonka kärjet ovat ympyrän kehällä (outscribed circle of an quadrangle)

Jos nelikulmion kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä, niin vastakkaisten kulmien summa on oikokulma π.

Jos nelikulmion kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä, nelikulmion ala voidaan laskea kaavalla:

A=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},

missä s = ½(a + b + c + d).

nelikulmion kulmain summa Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π eli 180⁰.

Nelikulmion sivut ovat vastakkaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä.

nelikulmion vastakkaiset kulmat (opposite angles) Nelikulmion sivut ovat vastakkaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä.

nelikulmion viereiset kulmat (adjacent angles of a quadrangle) Kaksi nelikulmion kulmaa ovat viereiset, jos niillä on yhteinen kylki.

nelitahokas (tetrahedron)

Nelitahokas on monitahokas, jossa on neljä tahkoa.

nelitahokkaan tilavuus (volume of a tetrahedron)

V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 .
V = (Ah)/3.
D =

neljäkäs (rhombus)

Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät (vinoneliö).

neljäkkään pinta-ala (area of a rhombus)

Neljäkkään pinta-ala 

A = (d₁ d₂)/2, 

missä d₁ ja d₂ ovat neljäkkään lävistäjät.

Neljäkkään lävistäjät jakavat neljäkkään neljään keskenään yhtenevään kulmioon (Luettele kolmiot.

neliö (square)

Neliö on neljäkäs, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuria.

neliön ala A = a². (area of a square)

neliöpohjainen särmäkartio (square based pyramid) Neliöpohjaisen särmäkartion pohjan pinta-ala on A = a², missä a on neliön sivu.

Neliöpohjaisen särmäkartion tilavuus on

V = (a²h)/3.

nollavektori (null vector) Nollavektori on vektori <AA>, ja sitä merkitään 0 

O

ohut pistejoukko (thin set of points) Pistejoukko on ohut (thin), jos kaikissa joukon pisteen palloympäristöissä on piste, joka ei kuulu pistejoukkoon.

olemassaolo (existence) Viite siihen, että jotain löytyy.

oikokulma (stright angle)

Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat oikokulman, jos niiden välinen kulma on π.

osajana (part of line segment)

Jos
    |AX| = b.
tai
    |XB| = b
tai
    XY on AB:n sisäjana
janaa kutsutaan janan osajanaksi.

P

pallokalotin pinta-ala (area of a segment of a sphere)

A = 2 π a h.

pallon pinta (surface of a sphere) Pallon pinta on niiden pisteiden P joukko, joiden etäisyys pisteesta O (keskipiste) on r (säde).

|PO| = r.

pallon pinta-ala (area of a sphere)

 A = 4 π r²

eli pallon pinta-ala on neljä kertaa isomympyrän pinta-ala.

pallosegmentin tilavuus (volume of a sphere segment)

V = πh²(r - (1/3)h)

pallosektorin tilavuus (volume of a spherical sector)

 V = (2/3)(πr³h).

pallon sisäosa (interior of a sphere) Pallon sisäosa (interior) on niiden pisteiden joukkko, joiden etäisyys pisteesä O (keskipiste) on pienempi kuin r (säde, radius).

|PO| < r.

pallon tilavuus (volume of a sphere)

V = (4/3) π r³.

palloympäristö (spherical neighborhood) Pisteen P palloympäristö on P - keskipisteisen pallon sisäosa (avoin joukko, johon ei kuulu pallon pinta).

paschin lause (Pasch's theorem) (joisakin geometrioissa aksiooma)

(Pascin aksiooma) Olkoon l janasto (suora), joka leikkaa yhden kolmion sivun sen sisäpisteen kautta eikä kulje vastakkaisen kärjen kautta. Tällöin janasto (suora) leikkaa toista sivua sen sisäpisteessä.

paraabeli (parabel) Paraabeli on niiden kolmioston pisteiden joukko joiden etäisyys kolmioston kahden pisteen A:n ja B:n määräämästä janastosta ja kolmioston pisteestä C on sama.

peräkkäiset janat (sequential line segments)

Kahta (>0) janaa AB ja BC, joilla on yksi ja vain yksi yhteinen piste, joka on päätepiste B sanotaan peräkkäisiksi janoiksi.
    AB ∩ BC = {B}.

peräkkäiset kulmat (adjacent angles)

Vierekkäiset kulmat.

pisteen etäisyys janastosta (distance between a point and a plane)


Pisteen P lyhin etäisyys janastosta AB on sen janan pituus, joka on lyhin janoista PX, missä X on janaston piste.

pisteen etäisyys pistejoukosta (distance between a point and a point set)

Pisteen P etäisyys pistejoukosta A on lyhin etäisyyksitä |PX|, missä X kuuluu A:han. Jos P kuuluu A:han, tämä etäisyys on nolla.

Vaihtoehtoinen määritelmä (teoksesta General Topology):

Olkoon d metriikka joukossa X. Joukon X pisteen p etäisyys eityhjästä X:n osajoukosta A on

d(p,A) = inf {d(p,a): a ∈ A}.

pisteen peilikuva pisteen suhteen (reflection of a point in a line)

C on janan AB keskipiste, sanotaan, että B on A:n peilikuva pisteen C suhteen ja että A on B:n peilikuva pisteen C suhteen.

pistejoukkojen välinen etäisyys (distance between two point sets) Kahden pistejoukon A ja B välinen etäisyys on lyhin etäisyyksistä |XY|, missä X kuuluu A:han ja Y kuuluu B:hen.

pistejoukon peilikuva pisteen suhteen (reflection of a point set in a line) Pistejoukon A peilikuva A' pisteen P suhteen on pistejoukko A', johon kuuluu jokaisen A:n pisteen peilikuva pisteen P suhteen.

perusmääritelmä (primary axiom) (Perusmääritelmä on aksiooma, joka ei sisällä olemassaololetuksia.

perusoletus (existence axiom) Perusoletus on aksiooma joka tekee olemassaolo-oletuksia, ontologinen sitoumus

pii π (pi) (lue: pii) on vakio, jonka mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan laskea sarjakehitelmillä.Piin likiarvo löytyy laskimestasi.

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...

piiri (perimeter)

Piiri (perimeter) eli ympärysmitta (circumference) tarkoittaa kolmioston (tason) suljetun viivan pituutta. Monikulmion tapauksessa piiri on sivujen pituuksien summa. Ympyrän piiriä kutsutaan kehäksi.

In a triangle: p = a + b + c

pinta (surface)


Nelistön (avaruuden) pistejoukko on pinta, jos

1. pistejoukko on yhtenäinen,
2. pistejoukko on ohut ja
3. pistejoukon tilavuus on nolla.

piste (point) Pisteellä on mm. seuraavat ominaisuudet:

pisteen etäisyys janastosta (distance between a point and a line)


Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolinen piste. Janastossa on esimerkiksi piste O. Jos jos janan OP ja janaston välinen kulma on α, niin Pisteen P etäisyys janastosta AB on

|PQ| = |OP| sin α.

pisteen etäisyys pistejoukosta (distance between a point and a point set)

Pisteen P etäisyys pistejoukosta A on lyhin etäisyyksitä |PX|, missä X kuuluu A:han. Jos P kuuluu A:han, tämä etäisyys on nolla.

pisteen peilikuva pisteen suhteen (point reflection of a point)

Jos C on janan AB keskipiste, sanotaan, että B on A:n peilikuva pisteen C suhteen ja että A on B:n peilikuva pisteen C suhteen.

pisteen kolmiostokierto (P' is arotation of a point P)  Pisteen X kolmiostokiertokierto pisteen P suhteen kulman K verran on piste X' siten, että |PX| = |PX'| ja ∠PXP' = ∠K.

1. |PX| = |PX'|
2. ∠PXP' = ∠K.

pisteen potenssi ympyrän suhteen (power of a point)

Olkoon P ympyrän C(O,r) ulkopuolinen piste. Pisteen P kautta kulkeva ympyrän sekantti leikkaa ympyrää C(O,r) pisteissä A ja B. Pisteen P kautta kulkeva ympyrän C(O,r) tangentti sivuaa ympyrää C(O,r) pisteessä C.

Pisteen P potenssiksi ympyrän C(O,r) suhteen sanotaan janojen pituuksien tuloa |PA||PB|, mikä on riippumaton sekantin asemasta ja yhtä suuri kuin tangentilla olevan janan pituuden neliö |PC|².

|PA||PB| = |PC|²

pisteen venytys pisteen suhteen (stretch)

Piste X' on pisteen X venytys pisteen P suhteen, jos

1. |PX'| = k |PX| ja
2. X on pisteiden P ja X' välissä, jos k > 1,
3. X' on pisteiden P ja X välissä, jos k> 0 ja k<1,
4. P on pisteiden X ja X' välissä, jos k < 0.

1. |PX'| = k |PX| and
2. P*X*X' if k > 1,
3. P*X'*X if k> 0 and k<1,
4. X*P*X' if k < 0.

1. d(P,AB) = k(P',AB),
2. P ja P' ovat eri puolikolmiostoissa ja
3. PP' ⊥ AB.

pistetulo (scalar product, dot product of two vectors a and b) a ja b pistetulo a⋅b määritellään yhtälöllä:   

a⋅b = ab cos (a,b).

projektiivisen geometrian aksioomat

1. Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, on ainakin yksi suora l, joka sisältää molemmat.
2. Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, vain yksi suora l sisältää molemmat pisteet.
3. Kaikilla tason suorilla on ainakin yksi yhteinen piste (mikä saattaa olla äärettömyyspiste)
4. Tasossa on ainakin yksi suora.
5. Jokainen suora sisältää tasossa ainakin kolme pistettä.
6. Kaikki tason pisteet eivät kuulu samaan suoraan.

projektiolause (projektiopäätelmä)

Mielivaltaisessa kolmiossa, jonka sivut ovat a, b ja c ja kulmat α, β ja γ kahden sivun projektioiden summa on kolmas sivu eli

c = a cos β + b cos α.

presburgerin aritmetiikka (Presburger arithmetic)

Presburgerin aritmetiikka sisältää seuraavat aksioomat:

1. ¬(0 = x + 1)
2. x + 1 = y + 1 ⇒ x = y
3. x + 0 = x
4. (x + y) + 1 = x + (y + 1)
5. Olkoon P(x) ensimmäisen kertaluvun kaava jossa x on vapaa muuttuja (ja mahdollisesti muita vapaita muuttujia). Tällöin seuraava kaava on aksiooma:

(P(0) ∧ ∀x(P(x) ⇒ P(x + 1))) ⇒ P(y).

ptolemaioksen lause (Ptolemy's theorem)

Ympyrän C(O,r) sisään piirretyn nelikulmion ABCD sivuille ja lävistäjille on voimassa kaava:

|AC||BD| = |AD||BC| + |AB||DC|.

puoliavoimet välit (half-open intervals) Välit ]AB], jossa A ei kuulu ja B kuuluu väliin, ja [AB[, jossa A kuuluu ja B ei kuulu väliin, ovat puoliavoimia välejä.

puolisuunnikas Nelikulmio on puolisuunnikas, jos yksi pari sen viereisiä kulmia ovat toistensa täydennyskulmia (suplementtikulmia).

puolikolmiosto (half-plane) (puolitaso)

Puolikolmiosto (puolitaso) on niiden kolmioston pisteiden joukko, jotka ovat samalla puolella janastoa

puolisuora (ray)

Katso säde.

puolisuorakulmio (half-rectangle)

Puolisuorakulmio on nelikulmio, jossa on tasan kaksi suoraa kulmaa.

puolisuorakulmion ala

A = (abcd)/2.

puolisuunnikas (trapezoid)

on nelikulmio, jonka yksi pari vastakkaisia sivuja ovat yhdensuuntaiset.

puolisuunnikkaan ala (volume of a trapezoid) 

A = ½h(a+b).

puoliympyrä (half-circle) Puoliympyrä on ympyrän C(O,r) kaari, jonka ympyrän keskipisteen kautta kulkeva janasto erottaa ympyrästä.

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma (Thaleen puoliympyrälause).

Jos kolmio on suorakulmainen, sen ympäri piirretyn ympyrän C(O,r) halkaisja on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. (edellisen käänteislause)

puomi (crossbar) Koveran kulman BAC kyljillä olevien pisteiden B ja C välistä janaa sanotaan puomiksi (crossbar).

puomilause (Hilbert's crossbar theorem)

Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA

pyramidi (pyramid) Pyramidi on sellainen neliöpohjainen särmäkartio, jonka särmät ovat yhtä pitkät.

pythagoraan lause (Pythagorean theorem)

a²+ b²= c²

Q

R

radiaani (radian t) Radiaani on se kulman yksikkö, joka antaa kulman suuruuden suoraan sarjakehitelmän likiarvona.
    e^it = cos t + i sin t

rajallinen (bounded) (Joukko A on rajallinen, jos ja vain jos se on sekä ylärajallinen että alarajallinen.

(A set S is bounded if it has both upper and lower bounds.

rajoitettu pistejoukko (bounded point set) Jos läpimitta ei ole ääretön, joukko on rajoitettu.

(A subset S of a metric space (M, d) is bounded if it is contained in a ball of finite radius, i.e. if there exists x in M and r > 0 such that for all s in S, we have d(x, s) < r.)

ratkeavuus (decidability) On olemassa menetelmä, jolla voidaan päätellä, onko jokin päätelmä johdettavaissa aksioomista.

reaalilukujen aksioomat (axioms of real numbers) (standardiaksioomat)

refleksiivinen relaatio (reflexive reklation) Jokainen relaation olio on relaatiossa itsensä kanssa kaikille x, x on relaatiossa itsensä kanssa eli <x,x> pätee kaikille x.

∀(x∈ R)(<x,x>) ∈ R).

relaatio (relation) Tulojoukon osajoukko.

reunapiste (borderpoint) Piste x on joukon A reunapiste, jos se ei ole A:n sisäpiste eikä ulkopiste.

riippumattomat janastot (independent lines) Kolmioston eri janastot l ja m ovat toisistaan riippumattomia jos ja vain jos on olemassa sellainen piste P, joka kuuluu janastoon l mutta ei kuulu janastoon m.

riippumattomuus (independence) Aksioomaa ei voida päätellä muista aksioomista.

ristiin kertominen (cross-multiplication) Yhtälö saäilyy, kun sen molemmat puolet kerrotaan samalla einollalla luvulla. Verranto

a/b = c/d

sisältää saman tiedon kuin yhtälö

ad = bc.

ristinelikulmio (crossed quadrilateral)

Ristinelikulmio on nelikulmio, jonka kaksi sivua leikkaavat toisensa.

ristikulmalause (vertical angle theorem)

Ristikulmat ovat yhtäsuuret.

ACD = BCF

BCD = ACE.

ristikulmat (vertical angles) Olkoon C janan AB sisäpiste ja olkoon C myös janan DE sisäpiste. Kulmia ∠ACD ja ∠BCE sanotaan toistensa ristikulmiksi.

ACD = BCF

BCD = ACE.

ristikulmien puolittajat (bisectors of vertical angles) Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman π eli 180⁰.

ristiriidattomuus (consistence) (Mitä tahansa kieliopillisesti pätevää kaavaa ei voida johtaa.

ristitulo (cross product, vector product) Vektorien a ja b ristitulo axb määritellään yhtälöllä:

S

samalla puolella pistettä

Pisteet X ja Y ovat samalla puolella pistettä A jos ja vain jos A ei kuulu janaan XY = YX.

samankohtaiset kulmat (corresponding angles)

Samankohtaisiksi kulmiksi sanotaan kulmaa α ja sen vuorokulman ristikulmaa.

sigma-algebra (sigma-algebra)

siirto (translation) Pistejoukon J siirto janan k verran on pistejoukko J', jossa, kun A' on A:n kuvapiste ja B' on B:n kuvapiste ja

1. A'B' || AB,
2. AA' || BB'
   
3. d(A,A') = k > 0.

sini sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

sinilause (law of sines)  (sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c = 1/k.

sisäkulma (interior angle)

Sisäkulma (interior angle) on monikulmion kärkikulma (kärjen viereisten sivujen välinen kulma).

sisäpiste (interior point) Piste x on joukon A sisäpiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:ssa.

sisäjana (interiot line segment)

Janan AB sisäjana XY on jana, jonka päätepisteet X ja Y ovat pisteiden A ja B välissä eli
    A*X*B ∧ A*Y*B ∧ |XY|>0.

sisäosalause

Piste P kuuluu kulman BAC sisäosaan, jos

1. P on samalla puolella sivua AB kuin C ja
2. P on samalla puolella sivua AC kuin B.

soppi (polyhedral angle) Kolme nelitahokkaan särmää muodostavat yhdessä niiden yhteisen kärjen kanssa sopen (polyhedral angle, tässä tapauksessa kolmisopen (trihedral angle)

suhteellinen ulkojoukko (relative complement) (komplementti) on niiden B:n olioiden joukko, jotka eivöt kuulu A:han.

suljettu joukko (closed set) Joukko on suljettu, jos sen komplementtijoukko (pisteet, jotka eivät kuulu tähän joukkoon) on avoin.

suljettu kolmioviiva Suljettu kolmioviiva on suljettu käyrä, joka koostuu kolmesta janasta AB, BC ja CD, joilla on kaksittain yhteiset päätepisteet eli kärjet A, B ja C.

suljettu yksinkertainen käyrä (simple closed curve)

Yksinkertainen käyrä on suljettu,

1. jos sillä ei ole yhtään päätepistettä. Tällaista käyrää sanotaan Jordanin käyräksi ja
2. käyrän kahden pisteen välimatkalla |PQ| on yläraja m, joka on äärellinen reaaliluku.

suljettu kolmio (closed triangle) Suljettuun kolmioon Δ[ABC] kuuluvat kolmioviiva (kolmion piiri) ja kolmion sisäosa.

suljettu väli (closed intervel) Janaa, joka sisältää päätepisteensä, kutsutaan suljetuksi väliksi ja sitä merkitään [AB].

suora kulma (right angle)

Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat suoran kulman, jos niiden välinen kulma on +π/2 tai -π/2. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

suorakulmainen kolmio (rectangular triangle)

Kolmio ΔABCon suorakulmainen, jos yksi sen sisäkulmista on suora eli π/2 radiaania eli 90⁰.

suorakulmio (rectangle)

Suorakulmio nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret.

suorakulmion ala (area of a rectanle)

A = ab

suora määritelmä (direct definition) Käsite määritellään entisten käsitteiden avulla.

suoran säilyttävä kuvaus Katso kollineaarinen kuvaus.

suoran ympyräkation vaippa

A = ½ 2 π r s = π r s.

suorakulmainen särmiö (rectangular prism)

Suorakulmainen särmiö on sellainen nelitahokkaista koostuva särmiö, jossa kaikki nelikulmiot ovat suorakulmioita.

suorakulmaisen särmiön tilavuus (volume of a rectangular prism) Suorakulmaisen särmiön tilavuus on siis pohjan pinta-ala kertaa korkeus tai toisella tavalla sanottuna

V = abc = Ah.

suorapeilaus (reflection in a line) eli janastopeilaus

Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolella oleva piste. Piste P' on pisteen P peilikuva janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun

1. d(P,AB) = d(P',AB),
2. P ja P' ovat eri puolikolmiostoissa ja
3. PP' ⊥ AB.

Suora särmiö koostuu suorista kolmiosärmiöistä siten, että pohjakolmiot muodostavat monikulmion.

Suoran särmiön tilavuudeksi saadaan kolmiosärmiöiden tilavuudet yhteenlaskemalla

V = Ah,

suora ympyrälieriö (right circular cylinder)



Suoran ympyrälieriön vaipan ala on

A = 2 π r h. (area)

Vastaavasti suoran ympyrälieriön tilavuus on

V = π r² h,

suplementtikulmat (suplementary angles)

Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa täydennyskulmia, jos niiden summa ∠APC on π eli 180⁰.

supremum Reaaliluku M on joukon A ⊂ R supremum, jos ja vain jos se on joukon A yläraja eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon A yläraja.

suunnikas (parallelogram)

Jos puolisuunnikkaassa kolme paria vierekkäisiä kulmia ovat täydennyskulmia, puolisuunnikasta sanotaan suunnikkaaksi.

Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahteen kolmioon, jotka ovat yhtenevät.

Suunnikkaan viereisten kulmien summa on π.

Jos toinen pari nelikulmion vastakkaisista sivuista on yhtäsuuret ja yhdensuuntaiset, nelikulmio on suunnikas.

Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa.

suunnikkaan pinta-ala (area of a parallelogram) 

A = ah.

suunnikkaiden yhdenmuotoisuus (similarity between two parallelograms) Kaksi suunnikasta ovat yhdenmuotoiset, jos niillä on yksi sama kulma ja jos tämän kulman viereiset sivut ovat verrannolliset (sks).

suunnikkaiden yhtenevyys (congruence between two parallelograms) Kaksi suunnikasta ovat yhtenevät, jos niistä tunnetaan yksi kulma ja sen viereiset sivut (sks).

suuntaissärmiö (parallelpiped) Suuntaissärmiö (suunnikassärmiö eli parallelepipedi) on kuusitahkoinen monitahokas, jonka tahkot ovat suunnikkaita.

suuremman sivun vastainen kulma Kolmiossa on suuremman sivun vastainen kulma suurempi kuin pienemmän sivun vastainen kulma.

suuruus (magnitude) Kulmaan liittyy reaaliluku, jota sanotaan kulman suuruudeksi. Kulman suuruus lasketaan kosinilauseella (alempana esiteltävä aksiooma eli perusoletus).

Kulman suuruus on mitta.

säde (radius)

Säde (ray, half-line, puolisuora) AB_½ on niiden janaston AB (A≠B) pisteiden P joukko, jotka ovat janalla AB tai joille B on janalla AP. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

särmäkartio (pyramid)

Särmäkartio on monitahokas, joka koostuu yhdestä monikulmiosta ja monikulmion kolmioston (tason) ulkopuolella olevasta pisteestä (huippu).

Tämän pisteen ja monikulmion kärkien välisisiä yhdysjanoja kutsutaan särmiksi.

Särmät kohtaavat siis huipussa.

Monikulmiota kutsutaan särmäkartion pohjaksi.

Huipun ja pohjan välistä etäisyyttä kutsutaan särmäkartion korkeudeksi.

särmäkartion tilavuus (volume of a pyramid)

V = Ah/3,

missä A on särmäkartion pohja ja h on sen korkeus.
särmiö Särmiö on kappale, jota rajoittavat kaksi yhtenevää monikulmiota ja monikulmioiden kärkipisteitä yhdistävät suunnikkaat.

säteiden välissä oleminen (between rays)  Säde AD on säteiden AB ja BC välissä silloin ja vain silloin, kun on olemassa pisteet X, Y ja Z siten, että mikään näistä pisteistä ei ole a, X kuuluu AB:hen, Y kuuluu BC:hen ja Z kuuluu AD:hen ja X*Y*Z.

säännöllinen kymmenkulmio (regular decacon)

Säännollisen kymmenkulmion sivun suhde säteeseen on kultainen leikkaus.

säännöllinen monikulmio (regular polygon)

Monikulmio on säännöllinen, jos se on sekä tasasivuinen että tasakulmainen.

säännöllisen monikulmion ala (area of a regular pylygon) Säännöllisen monikulmion pinta-ala on 

A = ½pa,

missä p on piiri.

säännöllisen nelitahokkaan tilavuus (volume of a regular tetrahedron) 

V = 2^½ a³ / 12.

symmetrinen relaatio (symmetric relation) relaatio ja käänteisrelaatio ovat samat jos kaikille pareilla <x,y> = <y,x>.
T

takaisin taipunut kolmiostomonikulmio

Takaisin taipunut monikulmio (reflex polygon) on monikkulmio, joka leikkaa itsensä kahdessa tai useammassa pisteessä.

tangenttifunktio (tangent)

tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + ...

tangenttikulman kyljet (sides of a tangent angle)

Tangenttikulman kyljet luettuina kärkipisteestä sivuamispisteisiin ovat yhtä suuret.

Tangenttikulman kärjen ja ympyrän C(O,r) keskipisteen yhdistysjana (keskusjana) puolittaa tangenttikulman, keskuskulman ja ympyrän kaaren.

Jos kaksi saman ympyrän C(O,r) tangenttikulmaa on yhtäsuuria, niin niiden keskusjanat ovat yhtäsuuret.

Jos kahden saman ympyrän C(O,r) tangenttikulman keskusjanat ovat yhtäsuuret, tangenttikulmat ovat yhtäsuuret.

Niiden pisteiden joukko, joista ympyrä C(O,r) näkyy tunnetun kulman suuruisessa kulmassa, on ympyrän kanssa samankeskinen ympyrä, konka säteenä on keskusjana.

tasakulmainen kolmio (equiangular triangle)

kolmio on tasakulmainen, jos sen kulmat ovat yhtäsuuret.

Tasakulmainen kolmio on tasasivuinen

tasakulmainen monikulmio (equiangular polygon)Monikulmio on tasakulmainen, jos sen kulmat ovat yhtä suuret.

tasakylkinen kolmio (isosceles triangle)

Kolmio ΔABC on tasakylkinen, jos sen kaksi AB ja AC sivua ovat yhtä pitkät.

tasasivuinen kolmio (equilateral triangle)

Kolmio on tasasivuinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

Tasasivuisen kolmion kulmat ovat yhtäsuuria.

tasasivuinen monikulmio (equilateral polygon)

Monikulmio on tasasivuinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

terävä kulma (acute angle)

Jos kulma on >0 ja alle π/2 radiaania (eli 90⁰), kulmaa sanotaan teräväksi. 

teräväkulmainen kolmio (acute-angled triangle)

Kolmio ΔABC on teräväkulmainen, jos sen kaikki kulmat ovat alle π/2 eli 90⁰ .

tilavuuksien suhde (proportion of volumes) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.

V₁ : V₂ = k³.

toisiaan leikkaavat janastot (intersecting lines) (suorat)

Kaksi kolmioston janastoa l ja m leikkaavat toisiaan, jos niillä on yksi ja vain yksi yhteinen piste P.


l ∩ m = {P}.

toisiaan leikkaavat ympyrän jänteet (intersecting chords of a circle)

Jos ympyrän C(O,r) jänteet AB ja CD leikkavat toisensa pisteessä P, AP.DP = BP.CP

topologia (topology) T Pistejoukon T avoimet joukot täyttävät seuraavat ehdot:
1. tyhjä joukko ja joukko T itse kuuluvat tähän joukkoon,
2. kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat tähän joukkoon
3. kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset (yhteisten pisteiden joukot) kuuluvat tähän joukkoon.

topologia (topology) ympäristö-oppi

transformaatio (transformation) muunnos

transitiivinen relaatio (transitive relation) Siitä, että <x,y> ja <y,z> voidaan päätellä, että <x,z>

tulojoukko (product set) Niiden järjestettyjen parien joukko, joissa ensimmäinen parin olio kuuluu joukkoon A ja toinen parin olio kuuluu joukkoon B. Kahden joukon A ja B tulojoukko A x B on niiden järjestettyjen parien <a,b> joukko, missä a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen.

tylppä kulma (obtuse angle)

Jos kulma on yli π/2 radiaania eli 90⁰ mutta alleπ radiaania eli 180⁰, kulmaa sanotaan tylpäksi.

tylppäkulmainen kolmio (obtuse-angled triangle)

Kolmio ΔABC on tylppäkulmainen, jos yksi sen kulmista on tylppä.

Jos yksi kolmion kulmista on tylppä, molempien muiden summa on alle suora kulma.

tylpän kulman vastainen sivu Tylppäkulmaisen kolmion tylpän kulman vastainen sivu on suurin

täydellisyys (completness) (Kaikki lauseet voidaan päätellä aksioomista.

täysi kulma (full rotation 2π, 360⁰)

Jos kulma on 2π eli 360⁰, sitä sanotaan täydeksi kulmaksi.

U

ulkojana

Janan AB ulkojana on on jana CD siten, että janan päätepisteet A ja B ovat pisteiden C ja D välissä ja |CD|>0.

ulkojoukko (absolute complement A^c in U)

Niiden olioiden joukko,komplementti jotka eivät kuulu joukkoon A. Huomaa, että ulkojoukko voi olla tyhjä.

A^c  = U ∖ A.

ulkokulma (exterior angle)

Kolmion kulman vieruskulmaa sanotaan kolmion ulkokulmaksi.

(The Exterior Angle is the angle between any side of a shape, and a line extended from the next side.)

ulkopiste (exterior point)

Piste x on joukon A ulkopiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:n komplementissa.

ulkoympyrä

Kolmion ulkoympyrä on ympyrä, joka sivuaa yhtä kolmion sivuista ja kahden muun sivun jatkeita.

V

varignonin suunnikas (Varignon parallelogram)

Jos mielivaltaisen suunnikkaan ABCD sivujen keskipisteet E, F, G ja H yhdistetään, saadaan ns. Varignonin suunnikas.

vastakkaiset säteet (opposite rays AB and BA) Säteet AB ja BA ovat vastakkaisia (opposite).

vastavektori Vektorin a =<AB> vastavektori

- a = <BA>.

vastinosat (corresponding parts) Kun kuvio kuvataan toiseksi kuvioksi, määrittelyjoukon ja arvojoukon toisilleen kuvautuvia osia sanotaan vastinosiksi.

Esimerkiksi vastinkulma on kulma, joka on toisen kuva ja vastinsivu on sivu, joka on toisen kuva.

vektori (opposite vector) Usein järjestettyjä janoja, joilla on suuruus ja suunta kutsutaan vektoreiksi.

Tässä on huomattava, että kaikki vektorit, joilla on sama suuruus ja sama suunta, ovat saman vektorin eri ilmentymiä.

vektorin kertominen reaaliluvulla (multiplication with a scalar) Vektori k a, missä k on nollasta eroava reaaliluku, on vektorin <AB> suuntainen, kun k>0 ja vektorin <BA> suuntainen, kun k<0. Vektorin k <AB> pituus on |k| |AB|.

k a || a
|k a| = k |a|

vektorin pituus (length of a vector) Vektorin pituus on alkupisteen ja loppupisteen välimatka eli jos a = AB, niin

|a| = |AB|.

vektorien yhteenlasku (addition of two vectors) Vektorien <AB> ja <BC> summa määritellään
vektoriksi <AC>.

<AB> + <BC> = <AC>.

venytys (stretch)

Yleinen venytys on kuvaus, joka säilyttää janastot (suorat) janastoina (suorina).

f(l) = m.

verranto (proportion) Verranto tarkoittaa yhtälöä a/b = c/d, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja.

a/b = c/d.

vierekkäiset kulmat monikulmiossa tai murtoviivassa (adjacent angles in a break line)

Olkoot ∠ADB > 0 ja ∠DCP > 0 saman kolmioston (tason) kulmia, joilla on yhteinen kärki (vertex) C ja yhteinen (eriniminen) kylki DC. Tällöin kulmia ∠ADB ja ∠DCB sanotaan peräkkäisiksi tai perättäisiksi tai vierekkäisiksi kulmiksi.

∠ADC > 0 and ∠DCB > 0.

vieruskulmain puolittajat (bisectors of adjacent angles) Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

vieruskulmien summa (sum of adjacent angles is π=180^o) Vieruskulmien summa on π eli 180^o.

vieruskulmat (adjacent angles)

Jos kolmiossa ΔABC piste D on sivun AB pisteiden A ja B välissä, kulmia ∠ADC ja ∠CDB kutsutaan toistensa vieruskulmiksi. 

∠ADC and ∠CDB

Vaihtoehtoinen määritelmä: Vierekkäiset kulmat ∠ADC ja ∠CDB ovat vieruskulmia silloin ja vain silloin, kun A*D*B.

Jos kulmat ∠CDA ja ∠CDB ovat vieruskulmia, niiden summa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π.

Jos kahden saman kolmioston kulmille on voimassa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π niin kulmat ovat vieruskulmia.

viisikulmio (pentagon, polygon with 5 angles)

Viisikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on viisi kulmaa.

viisitähti (pentagram) Säännöllisen viisikulmion ABCDE lävistäjän (esim. EB) suhden viisikulmion sivuun (esim. AB) on viisitähden sakaran ja sisemmän viisikulmion välisen janan (esimerkiksi EJ) suhde sisemmän viiskulmion sivuun (esim JF). Tämä suhde on ½(1 + √(5)).

AFBGCGDIEJA

vinokulmalause (oblique angle theorem) Olkoot janastot DC ja AB yhdensuuntaisia ja olkoon kulma ∠BAD = α. Tällöin kulma ∠ADC = π - α. Olkoon F janaston DC piste siten, että D on F:n ja C:n välissä(F*D*C). Olkoon E janaston AB piste siten, että A on pisteiden E ja B välissä (E*A*B). Tällöin kulmat ∠FDA ja ∠DAB ovat yhtäsuuret ja suuruudeltaan α.

vino yhdensuuntaisuusprojektio (oblique parallel projection)


Olkoot AB || DC || EL ja olkoot OP ja QR kaksi eri janastoa, jotka leikkavat yhdensuuntaisia janastoja.

Olkoot leikkaupisteet OP:n kanssa K, I ja G ja olkoot leikkauspisteet QR:n kanssa L, J ja H.

Janat GI ja IK muodostavat vinot projektiot LJ ja JH janastolle QR.

vivianin lause (Viviani's theorem)

Tasasivuisen kolmion sisällä tai sivulla olevan pisteen etäisyydet kolmion sivuista ovat yhteensä kolmion korkeus.

vuorokulmalause (alternate angles theorem)

Olkoot janastot DC ja AB yhdensuuntaisia ja olkoon kulma ∠BAD = α. Tällöin kulma ∠ADC = π - α. Olkoon F janaston DC piste siten, että D on F:n ja C:n välissä(F*D*C). Olkoon E janaston AB piste siten, että A on pisteiden E ja B välissä (E*A*B). Tällöin kulmat ∠FDA ja ∠DAB ovat yhtäsuuret ja suuruudeltaan α.

vähenevä funktio  (decreasing function)
x₁ < x₂  f(x₁)  f(x₂).

välijana (a line segment between two points)

Olkoot AB ja BC kaksi janaa. Niiden mahdollista leikkauspistettä merkitään E:llä. Jos valitaan janalta AB piste F, joka ei ole E ja janalta CD piste F, joka ei ole E , janaa GF kutsutaan janojen välijanaksi.

FG.

välijanalause Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret

välimatka (distance) Pistekaksikolla (duo) on ominaisuutena pisteiden välimatka d (distance), joka on reaaliluku (real number). Merkitään kahden pisteen A ja B välimatkaa (distance) seuraavasti: d = d(A,B) = d|A,B|. Alempana pilkku ja d jätetään pois eli pisteiden A ja B välimatkaa merkitään |AB|.

X
Y

yhdenmuotoinen (similar)

Pistejoukot A ja B ovat yhdenmuotoiset,

1. jos jokaista pistejoukon A pisteparia {X,Y} ja välimatkaa |XY|vastaa yksi ja vain yksi pistejoukon B pistepari {Z,U} siten, että |XY| = k |ZU| missä k on reaali(luku)vakio ja
2. jokaista pistejoukon A kulmaa ∠XYZ vastaa pistejoukon B kulma ∠X'Y'Z' siten, että ∠XYZ=∠X'Y'Z'.

yhdensuuntaiset janastot (parallel lines)

Janastot AB ja CD ovat yhdensuuntaiset, jos ne eivät ole sama janasto ja jos janat AB ja CD ovat yhdensuuntaiset.

yhdensuuntaiset janat (parallel line segments)

Janat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin, kun kaikille välijanoille EF, missä E ∈ AB ja F ∈ CD, janan EF vierekkäisten kulmien summa on π.

yhdensuuntaiset kulmien kyljet (parallel sides of two angles) Jos kahden koveran kulman samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat yhtäsuuret.

yhdensuuntaisuuden siirtyvyys (transitivity of parrallelism) (transitiivisuus)

Jos AB || CD ja CD || EF, niin AB || EF.

yhdiste (union of two sets) niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B tai molempiin.

yhdistetty relaatio (composition of relations)  Kahden relaation R ja S yhdistetty relaatio RoS on parien <x,z> joukko, kun <x,y> on relaation R pari ja <y,z> on relaation S pari.

yhteensattuvat janastot (intersecting lines) (suorat)

Kolme tai useampia janastoja ovat yhteensattuvia, jos ne ovat eri janastoja mutta niillä on yksi yhteinen piste P.

1. jos pisteparin {A,B} pisteiden A ja B etäisyys |AB| on yhtäsuuri kuin vastinpisteparin {A',B'}pisteiden A ja B etäisyys |A'B'| ja
2. kulmille on ∠ABC = ∠A'B'C'.

yhtenäisyys (connetivity)

Pistejoukko on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen. Kuvassa A on yhtenäinen ja B eoäyhtenäinen.

yhtäläisyyskuvaus (affine mapping) Katso affiini kuvaus.

yhtäsuurien sivujen vastaiset kulmat Kolmiossa ovat yhtä suurien kulmien vastaiset sivut yhtä yhtäsuuret.

yksinkertainen käyrä (simple curve)

Yllä yksinkertainen tasokäyrä.

Monimutkaisuuden pois sulkeminen on vaikeaa, mutta ainakin jonkin verran monimutkaisuutta suljetaan seuraavalla rajoituksella:

5. Jokaista käyrän pistettä P kohti on olemassa luku r₀ siten, että kun r < r₀, niin P -keskipisteisen ja r -säteisen pallon pinnalla käyrällä on enintään kaksi yhteistä pistettä.

Yleistetty lieriö on kappale, josta yhdensuuntaiset tasot leikkaavat yhdenmuotoisia alueita ja jolla on positiivinen tilavuus.

yläraja (upper bound) Olkoon A ⊂ R. Reaaliluku M on joukon A yläraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≤ M .

(A number M that is greater than or equal to any number in a set A.)

ylärajallinen (bounded from above) Joukko A on ylärajallinen, jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yläraja.

(A set S of real numbers is called bounded from above if there is a real number k such that k ≥ s for all s in S.)

ympyräkartion tilavuus (volume V of circular cone)

V = (1/3) π r² h.

ympyrälieriöpinta (surface of circular cylinder)

Niiden nelistön (kolmiulotteisen avaruuden)  S pisteiden X joukko, jotka ovat vakioetäisyydellä k>0 janastosta l, on suora ympyrälieriöpinta.

ympyrän ala (area of a circle)

A = π r².

ympyrän halkaisija (diameter AB of a circle)

Ympyrän C(O,r) halkaisija on ympyrän keskipisteen kautta kulkeva ympyrän jänne. Sen pituus on

p = r + r = 2 r.

ympyrän jänne (chord AB of a circle)

Ympyrän C(O,r) jänne (chord) on kahden ympyrän kehän eri pisteen A ja B yhdistysjana.

ympyrän kaari (arc AB of a circle)

Ympyrä C(O,r) kaari on kahden kehäpisteen A ja B välinen osa ympyrän piiriä.

ympyrän kehä (perimeter of a circle)

ympyrän kehäkulma (insribed angle APB of a circle)

Kehäkulma on yllä olevassa kuvassa kulma ∠APB, missä A, B ja P ovat ympyrän C(O,r) kehän pisteitä.

ympyrän kehäkulma on puolet keskuskulmasta.

ympyrän keskuskulma (central angle AOB of a circle)

Jos A ja B ovat kaksi mielivaltaista ympyrän C(O,r) pistettä ja O on ympyrän keskipiste, kulma ∠AOB on ympyrän keskuskulma (central angle of circle)..

Samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret.

ympyrän segmentti (segment of a circle)

Ympyränsegmentti on alue, jota rajoittavat jänne AB ja pienempi tai suurempi kaari, jonka päätepisteet ovat A ja B.

Yllä olevassa kuvassa suurempi segmentti on merkitty punaisella ja pienempi segmentti on merkitty harmaalla.


Pienemmän segmentin ala saadaan vähentämällä sektorin alasta keskuskolmion ala.

Koska OA = OB = r ja tasakylkisen kolmion yhtäsuurien sivujen välinen kulma on θ, keskuskolmion ala on

A_Δ = ½ r² sin θ

Segmentin alaksi radiaaneissa saadaan

A =½r²(θ - sin θ)

ja segmentin alaksi asteissa saadaan

A =½r²((π/360⁰)θ - sin θ)

Suuremman segmentin ala saadaan lisäämällä sektorin alaan keskuskolmion ala. Kavat ovat

Segmentin alaksi radiaaneissa saadaan

A =½r²(θ + sin θ)

Koska sini on negatiivinen välillä ]π, 2π[, voidaan käyttää kaavaa

A =½r²(θ - sin θ).

ympyrän sekantti (secant s of a circle)

Janasto s, jolla on kaksi yhteistä pistettä P ja B ympyrän C(O,r) kanssa, on ympyrän sekantti.

ympyrän sektori (sector of a circle)

Ympyränsektori on alue, jota rajoittavat kaksi ympyrän C(O,r) sädettä OA ja OB ja pienempi tai suurempi kaari, jonka päätepisteet ovat A ja B.

A = ½ r² θ = ½ b r.

ympyrän sisäosa (interior of a circle) Ympyrän C(O,r) sisäosa on pistejoukko, jolle

C(O,r) = {P | |PO| < r}.

ympyrän säde (radius r  of a circle OP)

Ympyrän C(O,r) säde r on ympyrän keskipisteen O etäisyys ympyrän kehän pisteestä P.

Ympyrän

Kahden saman

ympyräviiva (perimeter of a circle)

ympäristö (neighborhood) Pisteen ympäristö on avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen. (A neighbourhood of a point x is a set containing an open set which in turn contains the point x.)

Zöllnerin harha (zollner illusion)

Å
Ä
Ö