Geometria
Tätä kirjoitusta on viimeksi päivitetty
15.11.2010

Geometrian oppikirja eläkkeellä oleville matemaatikoille

Geometrian sanasto eli geometrian sanakirja

Tekstin alkuun

Sisällysluettelo

Geometria
1. Motto
2. Alkusanat
3. Eräitä kirjallisuusviitteitä
4. Kieliongelmat
5. Miksi tässä kirjassa ei ole esitelty saksan kielisiä käsitteitä?
6. Ratkaisu kreikkalaisten kirjainten ongelmaan
7. Olemassaolon olemassaolo
8. Kvanttoriharha eli olemattomuusoppi
9. Viiva ja alue
10. Keskikoulun algebran perustelut saapuivat Suomeen
11. Ihmettelyn aihetta
12. Yliopistomatematiikan tarkoitus
13. Matematiikan peruskäsitteistö on sekaisin
14. Tarskin aksioomat reaaliluvuille ja geometrialle
Päivitykset
Johdanto
1. Matematiikan ja tieteen välinen ero
2. Tieteen määrittelemisestä
3. Geometerian käsitteiden havainnollistaminen kuvilla
4. Kuvituksen uusiminen
5. Mitä matematiikan alaa tämä kirjoitus edustaa?
6. Mitä tämän artikkelin laajuus on?
7. Ulottuvuudet (dimension)
8. Keitä varten tämä artikkeli on kirjoitettu?
9. Kuvien lähteitä
Merkintöjä ja nimityksiä
1. Perusoliot
2. Muut oliot
3. Ennestään tunnetuksi oletetaan
4. Yhdiste ja leikkaus (union and intersection)
5. Komplementtijoukot (ulkkojoukot, complement of the set)
  1. Ulkojoukko (ehdoton ulkojoukko)
  2. Suhteellinen (ehdollinen) komplementti
6. Oliovieraat (erilliset, ei-leikkaavat, disjoint) joukot
7. Yhden olion joukko (singleton)
8. Tulojoukko
9. Relaatio
10. Käänteisrelaatio
11. Yhdistetty relaatio
12. Lävistäjärelaatioo (identtinen relaatio)
13. Symmetrinen relaatio
14. Antisymmetrinen relaatio
15. Refleksiivinen relaatio
16. Transitiivinen relaatio
17. Ekvivalenssirelaatio
18. Ekvivalessiluokka
19. Funktio (function) eli kuvaus (mapping) ensimmäisen kerran
20. Muunnos (transformation)
21. Logiikan merkkejä
22. Joukko-opin merkkejä
23. Joukko-opin aksioomat
24. Sup ja inf
25. Reaalilukujen standardi- aksioomat
  1. Kunta-aksioomat
  2. Järjestysaksioomat
  3. Vaihtoehtoiset järjestysaksioomat
  4. Täydellisyysaksiooma
  5. Huomautus
  6. Reaalilukujen kunta-aksioomien seurauspäätelmiä
  7. Suoraan laskemalla saatavia reaalilukujen kaavoja
26. Tarskin aksioomat reaaliluvuille
27. Janojen yhtenevyys
28. Yhtäsuurten reaalilukujen ominaisuuksia
29. Päätelmä ja käänteispäätelmä (lause ja käänteislause)
30. Reaalilukujen yhtälöt
31. Reaalilukujen epäyhtälöt
  1. Yleistä
  2. Ensimmäisen asteen epäyhtälöt
  3. Toisen asteen epäyhtälöt
32. Aksioomat
33. Mitä aksioomat eivät ole
34. Aksioomat vai algoritmit?
35. Yksijärjestelmän luvut
36. Järjestetyt ja järjestämättämät joukot
37. Eräiden merkkien selityksiä
Pisteiden (points) geometriaa
1. Ymmärrettävä ja tehokas geometria
2. Onko määrittelemättömiä käsitteitä
3. Montako aksioomajärjestelmää geometrialle on olemassa?
Geometrian aksioomat
1. Hilbertin aksioomat
2. Oswald Veblenin aksioomat
3. Alfred Tarskin aksioomat
4. Kalifornian osavaltion aksioomat
5. Muita USA:n aksioomia
6. Gerard A. Veneman aksioomat 2006
7. Aksiomaattisille järjestelmille esitettyjä vaatimuksia
Kalkyylit
1. UI - kalkyyli
2. Millainen kalkyyli tulisi alkeisgeometriasta
  1. Surkastumien kielto
  2. Aksioomakaaviot
3. Kuuluisia kalkyylejä
Aksioomat ja suorat määritelmät
1. Ovatko aksioomat "perussääntöjä"
2. Suorat määritelmät
3. Aksiooman ja suoran määritelmän välinen ero on liukuva
4. Millä tavalla tämä oppikirja eroaa Eukleideen - Hilbertin geometriasta?
5. Tämän oppikirjan käsitteistön rakenteesta
6. Virheetöntä geometriaa ei ole
7. Geometrian osa-alueita
  1. Projektiivinen geometria
8. Neliöjuuren merkitseminen
9. Kreikkalaiset aakkoset ja matemaattiset merkit
  1. html ja Inkscape
  2. Vihje
10. Yleiskäsite mitta (measure)
Geometrian mittoja
1. Yksiulotteisia mittoja
2. Kaksiulotteisia mittoja
3. Kolmeulotteisia mittoja
Pisteen määritelmä
Muoto (form)
Suure (magnitude)
Paikka (place, kr. topos)
Kuvio (figure)
Välimatka (distance)
1. Mitallinen avaruus
2. Pisteiden lukumäärä
3. Ulottuvuusoletukset
Todellisuus (reality)
Eri pisteet (separate points)
Topologiaa
1. Mistä sitä löytyy?
2. Varoitus
3. Avoin joukko
  1. Topologian avoin joukko
  2. Euklidisen geometrian avoimet joukot
4. Suljettu joukko
5. Muut joukot
6. Ympäristö
7. Äärellinen ja ääretön joukko
8. Yhtenäisyys
9. Epäyhtenäisyys
10. Kasautumispiste
11. Irrallinen (erakkopiste, discrete) piste
12. Irrallinen (discrete) pistejoukko
13. Sisäpiste
14. Ulkopiste
15. Reunapiste
16. Kosketuspiste
Raja-arvo
1. Lukujoukon raja-arvo
2. Lausekkeen raja-arvo
Piirtämisohjeita
1. Alkuhuomautus
2. Pisteen piirtäminen
3. Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille
4. Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste ja yksi piste
5. Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen
6. Janaviivan piirtäminen annetulle säteelle (puolisuoralle)
7. Janaviivan kahtia jakaminen ja kohtisuora (perpendicular) janaviva
8. Kohtisuora annetun janaviivan keskipisteen kautta
9. Kohtisuora annetusta pisteestä
10. Kulman puolittaminen
11. Kulman kanssa yhtenevän kulman piirtäminen
12. Janaviivan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 1
13. Janan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 2
14. Janaviivan jakaminen yhtäsuuriin osiin
15. Kolmion ABC piirtäminen, kun on annettu sivut a, b ja c
16. Tasasivuisen ja tasakylkisen kolmion piirtäminen
17. Kolmion piirtäminen, kun tunnetaan kulma ja sen viereiset sivut
18. Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne
19. Samansuuruisten kaarien piirtäminen
Välissä (between)
1. Määritelmä
Reaalilukujen verrannot
1. Määritelmä
2. Verrannon muunnokset
3. Verrantoyhtälöt
4. Verrantoepäyhtälöt
Jana ja janaviiva (duo, line segment)
1. Määritelmä
2. Janaviiva on esimerkki viivasta
3. Kielenkäyttö
4. Janan päätelmiä
5. Janan pituus
6. Janojen yhteenlasku ja vähennyslasku
7. Janaston määritelmä
8. Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikköjanaa
9. Janojen yhtenevyys
10. Janan keskipiste (midpoint)
11. Janan päätepisteet (endpoint)
12. Janaviivan sisäpisteet (interior point)
13. Janaympäristö
14. Janan sisäjana
15. Järjestetty jana
16. Järjestetyn janan pituus
17. Janaviivan pisteiden järjestys
18. Janan sisäpiste jakaa janaviivan pisteet kahteen joukkoon
19. Samalla puolella ja eri puolilla
20. Symmetria
21. Pisteen peilikuva eli peilaus (reflection) pisteen suhteen
22. Pistejoukon peilikuva pisteen suhteen eli puolikierto (half turn) eli pistepeilaus
23. Kiintopiste
24. Janan ulkojana
25. Osajanat
26. Jatkettu jana
27. Peräkkäiset janat
28. Janojen kertominen ja jakaminen reaaliluvuilla
29. Janojen suuruusjärjestys
30. Janojen pituuksien suhteet
Yksikäsitteisyyden meemi
Raja-arvo
1. Lukujoukon raja-arvo
2. Lausekkeen raja-arvo
Funktio ja käänteisfunktio (function and inverse function)
1. Funktio eli kuvaus (mapping)
2. Käänteisfunktio
3. Funktion jatkuvuus
4. Kasvava ja vähenevä funktio
Kolmiosto (trinity)
1. Kolmen pisteen määräämä kolmiosto (taso)
2. Kolmioston (tason) oliot
3. Kolmiosto on esimerkki pinnasta
Tavallinen kolmioston kulma (angle)
1. Kolmioston tavallinen kulma
2. Kulmien merkitsemisestä
3. Kulman suuruus
4. Suoraviivainen kulma
Vektorit (vectors)
1. Määritelmä
2. Vektorin kertominen reaaliluvulla
3. Vektorin pituus
4. Vektorien yhteenlasku
5. Summavektorin pituus (kosinilause)
6. Kosinin määritelmä
7. Kosini on parillinen
8. Vektorin vastavektori
9. Nollavektori
10. Vektorien pistetulo
11. Vektorien ristitulo
Säde (ray, puolisuora)
Kulman suuruuden laskeminen (magnitude of the angle)
1. Funktiot
2. Sinin määritelmä
3. Sini on pariton
4. Arcusfunktiot
5. Radiaani (radian) ja aste (degree)
6. Säteiden välissäolo
7. Saman kolmioston (tason) peräkkäiset eli vierekkäiset kulmat
8. Saman kolmioston (tason) kulmien yhteenlasku ja vähennyslasku
9. Kulmien yhtenevyys
10. Järjestetty kulma
11. Kulman kertominen ja jakaminen reaaliluvulla
12. Kulmien kertominen keskenään
13. Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikkökulmaa
Kolmioston kulmien luokittelu (angles of the trinity)
1. Välinen (included)
2. Terävä kulma (acute angle)
3. Tylppä kulma(obtuse angle)
4. Suora kulma (right angle)
5. Kohtisuoruus (perpendicular)
6. Oikokulma (straight angle)
7. Oikokulma ja välissä oleminen
8. Kovera (concave) kulma
9. Täysi kulma (full agnle)
10. Kupera (convex) kulma
11. Komplementtikulmat (complementary angles)
12. Täydennyskulmat (suplement angle)
13. Eksplementtikulmat
Kolmioston murtoviiva (broken line)
1. Määritelmä
2. Kolmioston murtoviivan pituus
3. Kolmioston murtoviivan oikaiseminen (rectifying)
Kolmiostomonikulmio (polygon)
1. Määritelmä
2. Sisäkulma (interior angle)
3. Kupera
4. Kolmioston (tason) erotteluaksiooma
5. Kupera tavallinen monikulmio
6. Kovera
7. Kovera tavallinen monikulmio
8. Tasasivuinen (equilateral) monikulmio
9. Tasakulmainen (equiangular) monikulmio
10. Säännöllinen (regular) monikulmio
11. Monikulmion lävistäjät (diagonal)
12. Kolmioviiva ja kolmioalue (triangle)
13. Nelikulmio (tetragon = quadrilateral)
14. Viisikulmio (pentagon)
15. Kuusikulmio (hexagon)
16. Seitsenkulmio (heptagon)
17. Kahdeksankulmio (octagon)
18. Yhdeksänkulmio (nonagon)
19. Kymmenkulmio (decagon)
Janastot (set of line segments)
1. Janaston pisteet
2. Samalla puolella ja eri puolilla
3. Puolikolmiosto
4. Janasta riippumaton piste
5. Riippumattomat janastot
6. Toisiaan leikkaavat (intersecting) janastot
7. Yhteensattuvat (concurrent) janastot
8. Janaston osajoukkoja
9. Kohtisuorat (perpendicular) janastot
10. Keskipistekohtisuora eli janan keskinormaali (perpendicular bisector of the line segment)
Etäisyyksiä ja välimatkoja
1. Pisteen etäisyys pistejoukosta
2. Pisteen etäisyys janastosta
3. Kahden pistejoukon välinen etäisyys
4. Kahden janaston välimatka
Janan ulkopiste
1. Ulkopiste
2. Laajennettu kulma
3. Sisäosalause
4. Kolmioston koveran tavallisen kulman puolittaja (angle bisector)
Kolmio (triangle)
1. Määritelmä
  1. Kolmio, kolmioviiva ja kolmioalue
2. Nimityksiä
Yhdensuuntaisuus
1. Vieruskulmat (linear pair)
2. Vieruskulmalause (linear pair theorem)
3. Käänteinen vieruskulmalause
4. Paschin päätelmä: Janasto ja kolmio
5. Puomi (crossbar)
6. Hilbertin puomilause
7. Janojen välijanat
8. Janan viereiset kulmat (adjacent angles)
9. Janojen yhdensuuntaisuus (parallel line segments)
10. Janastojen yhdensuuntaisuus
11. Janastojen väliset sisäkulmat (interior angles)
12. Yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
13. Vuorokulmalause
14. Yhdensuuntaisuuden siirtyvyys (transitiivisuus)
15. Samankohtaiset kulmat
16. Yhdensuuntaisuuden määrittelemisestä ja ominaisuuksista
Kolmion pinta-ala (area)
1. Pinta-alakäsite
2. Kolmion pinta-alan määritelmä
Kulmien sitominen kolmion sivujen suuruuksiin
1. Kosini
2. Sini
3. Sinilause
4. Kolmion alan merkitseminen
5. Kahden toisiaan leikkaavan janaston välisen kulman laskeminen
Teräväkulmainen kolmio
Tylppäkulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio
1. Määritelmä
2. Kateetit (legs) ja hypotenuusa (hypotenuse)
3. Pythagoraan lause
4. Sini ja kosini suorakulmaisessa kolmiossa
5. Kolmion ala sinin avulla
6. Suorakulmaisen kolmion ala
7. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetti
8. |sin A| ≤ 1 ja |cos A| ≤ 1
9. Tangentti
10. Vanhan ajan trigonometrisia funktioita
Kolmiot (jatkoa)
1. Kolmioepäkäs (scalene triangle)
2. Uusi kaava kolmion alalle
3. Miksi h:ta kutsutaan korkeusjanaksi
4. Kolmion sivut ja korkeusjanat
5. Kolmion korkeusjana
  1. Kolmion korkeusjana Heronin kaavalla
  2. Kolmion korkeusjana ilman Heronin kaavaa
6. Kolmion keskijana (median)
7. Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon
8. Eri kolmiot, joilla on sama pinta-ala
  1. Samankantaiset kolmiot
  2. Carpet'in lause
9. Pinta-alan yhteenlaskettavuus
10. Kolmion sivut ja korkeudet
11. Kuperan pistejoukon litteys
12. Kolmion litteys
13. Säännöllisen monikulmion ala
14. Vivianin päätelmä
Pistejoukkojen yhdenmuotoisuus (similarity)
1. Miten yhdenmuotoisuus pitäisi määritellä?
2. Yleinen yhdenmuotoisuus (similarity)
3. Janojen yhdenmuotoisuus
4. Kulmien yhdenmuotoisuus
5. Yleinen venytys (litistys)
6. Pisteen venytys pisteen suhteen ilman kiertoa (homotetia)
7. Pistejoukon venytys pisteen suhteen (homotetia)
8. Kiintopiste venytyksessä pisteen suhteen
9. Kolmioiden yhdenmuotoisuus
10. Yhdenmuotoisten kolmioiden kulmat
11. Yhdenmuotoisten alueiden pinta-alojen suhde
12. Vastinosat (corresponding parts)
13. Kolmioiden yhdenmuotoisuuspäätelmiä
14. Yhdenmuotoisten kolmioiden korkeusjanat
15. lman kiertoa pistevenytetty kolmio
16. Yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä (homotetiassa)
17. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeusjana
18. Kulmat määräävät yhdenmuotoisten kolmioiden joukon
Janan harmoninen (sopusointuinen) jako
Pistejoukkojen yhtenevyys (congruence)
1. Yleinen yhtenevyys
2. Janojen yhtenevyys (congruence)
3. Pistejoukon siirto
4. Pisteen kolmiostokierto (rotation) pisteen suhteen
5. Pistejoukon kolmiostokierto (rattation) pisteen suhteen
6. Kiertosymmetria
7. Kolmioiden yhtenevyys
8. Keskipistekolmio
9. Kolmion kulmain summa on oikokulma π
10. Janasto leikkaa yhdensuuntaisia
11. Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π
12. Kolmion sivujen pituudet määräävät kolmiojoukon
13. Ulkokulma (exterior angle)
14. Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma (exterior angle theorem)
15. Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat (The exterior angle theorem)
16. Kolmion kulmista voi vain yksi olla suora tai tylppä
17. Vieruskulmien summa on π
18. Ristikulmat (vertical angles)
19. Ristikulmalause
20. Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman
21. Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
22. Kohtisuorat kulmien kyljet
23. Yhdensuuntaiset kulmien kyljet
24. Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret
Suorakulmaisen kolmion ratkaiseminen
1. Suorakulmaisen kolmion kulmat
2. Suorakulmaisen kolmion puuttuva osa
Mielivaltaisen kolmion ratkaiseminen
1. Kolmion kulmien laskeminen
2. Kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma
3. Kolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu
  1. Puuttuvat osat
  2. Pinta-ala
4. Kolmion kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu
  1. Puuttuvat osat
  2. Pinta-ala
5. Kolmion kaksi sivua ja toisen vastainen kulma
Erikoiskolmioita
1. Tasakylkinen (isosceles) kolmio
  1. Pons asinorum (aasinsilta)
2. Tasasivuinen kolmio
3. Tasakulmainen kolmio
4. Erisivuinen kolmio
5. Koululaisen kolmio
Kolmion sivut ja kulmat
1. Suuremman sivun vastainen kulma...
2. Yhtäsuurien sivujen vastaiset kulmat
3. Suuremman kulman vastainen sivu...
4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetit
5. Tylppäkulmaisen kolmion tylpän kulman vastainen sivu on suurin
6. Kohtisuoran janaston olemassaolo
7. Pisteen lyhin etäisyys janastosta
8. Kolmion kahden sivun summa ja erotus
Trigonometrian kaavoja
1. Tavalliset matemaatikot
2. Pythagoraan lauseesta johtuu
3. Kaksinkertaisen kulman kosini
4. Kahden kulman summan ja erotuksen sini ja kosini
  1. Helppo tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)
  2. Perinteinen tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)
5. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion trigonometriaa
6. Trigonometriset yhtälöt
7. Trigonometriset epäyhtälöt
  1. Esimerkkejä
8. Kertausharjoituksia
Kolmioston ja nelistön sisäiset koordinaatistot
1. Sisäiset koordinaatistot yleensä
2. Kolmioston sisäiset koordinaatistot
3. Miksi suorakulmaisia koordinaatistoja käytetään
4. Karteesinen koordinaatisto
5. Vektorit karteesisessa koordinaatistossa
  1. Kohtisuorat kantavektorit
  2. Paikkavektorin pituus
6. Kartioleikkaukset sisäisissä jana -koordinaatistoissa
7. Kolmio ja koordinaatistot
8. Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)
9. Nelistön sisäiset koordinaatistot
10. Koodinaatistojen sisältämä ylimäärä (redundanssi)
11. Viisistö
Nelistön (kolmiulotteisen avaruuden) kolmiostot
1. Oletuksia
2. Nelitahokas (generalized tetrahedron)
3. Nelistö
4. Perusmääritelmiä
Kappale (spacebody, solid)
1. Määritelmä
2. Kappaleen tilavuus (volume)
3. Kappaleen pinta-ala
4. Monitahokas
5. Kappaleiden käsittely tietokoneen näytöllä
6. Soppi (polyhedral angle)
  1. Kolmisoppi (trihedron)
7. Diedrikulma (dihedral angle)
8. Diedrikulman mittaaminen ja laskeminen
9. Kosinilauseen yleistys
10. Sinilauseen yleistys
11. Tilavuus (volume)
12. Nelitahokkaan tilavuus
13. Nelitahokas, jossa yksi särmistä on korkeus
14. Mielivaltaisen nelitahokkaan tilavuus pohjan ja korkeuden avulla
15. Eri tavat laskea nelitahokkaan tilavuus
16. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio
17. Nelitahokkaat, joilla on sama pohjan pinta-ala ja korkeus
18. Säännöllisen nelitahokkaan tilavuus
19. Kuperan kappaleen litteys
20. Kappaleen pyöreys
21. Kappaleen pituus
22. Nelitahokkaan litteys
23. Kolmion ja nelitahokkaan yleistys: n-kärki (n-1 -simpleksi)
  1. Käsitteen määrittelemisestä
  2. Tilavuus
  3. Lineaarinen riippumattomuus ja determinantti
  4. Käytännön laskelmat
  5. n-kärjen (n-1) -simpleksin ominaisuuksia
Alue
1. Määritelmä (region)
2. Alueen pituus
3. Alueen kuperuus (covexity)
4. Alueen koveruus (concavity)
5. Nelikulmio (quadrilateral)
6. Neljä pistettä ja nelikulmio
7. Ristinelikulmio (crossel)
8. Kuperan nelikulmion pinta-ala
9. Muun kuin ristinelikulmion ala
10. Ristinelikulmion ala
11. Kupera nelikulmio osana kolmiota
  1. Uusi kaava kuperan nelikulmion alalle
  2. Verrannollisuustapaus ja kupera nelikulmio
12. Kuvion muuntaminen toiseksi, jolla on sama pinta-ala
  1. Nelikulmio kolmioksi
  2. Viisikulmio kolmioksi
13. Bretschneiderin kaava
14. Brahmaguptan kaava
15. Epäkäs ja kaiteet
  1. Epäkäs yleensä
  2. Kupera ja kovera epäkäs
  3. Ristiepäkäs
  4. Täydellinen epäkäs (complete quadrangle)
  5. Epäkkään litteys
16. Nelikulmioiden yhdenmuotoisuus
17. Nelikulmioden yhtenevyys
18. Puolisuunnikas (trapezoid)
19. Suunnikas (parallelogram)
20. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret
21. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovet yhdensuuntaiset
22. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret
23. Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret, nelikulmio on suunnikas
24. Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahteen yhtenevään kolmioon
25. Suunnikkaan viereisten kulmien summa on π
26. Toinen pari nelikulmion vastakkaisia sivuja yhtäsuuuret ja yhdensuuntaiset
27. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa
28. Suunnikkaan sivut ja lävistäjät
29. Keskipistekolmion suunnikkaat
30. Varignonin suunnikas
31. Suunnikkaiden yhtenevyys
32. Suunnikkaiden yhdenmuotoisuus
33. Suunnikas ja ulkojanat
34. Suunnikas määrää kolmioston (tason)
35. Suunnikkaan pinta-ala
36. Suunnikkaan litteys
37. Leija (kite)
38. Melkeinleija (kvasikite)
39. Neljäkäs (rhombus)
40. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
41. Suorakulmio (rectangle)
42. Neliö (square)
43. Puolisuorakulmio
44. Suunnikkaan erikoistapausten ominaisuuksia
45. Puolisuunnikkaan pinta-ala
  1. Pinta-ala kolmioiden summana
  2. Pinta-ala kolmioiden erotuksena
46. Kolme pistettä ja neljäs
Murtoviiva
1. Murtoviiva kolmiostossa (tasossa)
2. Nelistön murtoviiva
3. Nelitahokkaat ja nelistö (avaruus)
  1. Harjoitus
Peilaus (reflection) ja venytys janaston suhteen
1. Pisteen peilaus janaston suhteen
2. Pistejoukon peilaus janaston suhteen
3. Pisteen venytys janaston suhteen
4. Pistejoukon venytys janaston suhteen
Liukupeilaus (glide reflection) kolmiostossa
1. Yhdistetty venytys ja kierto
Hjelmslevin päätelmä
Kohtisuora projektio eli heijastus kolmiostossa (tasossa)
1. Määritelmä
2. Pisteen etäisyys janastosta
3. Projektiopäätelmä
Vino yhdensuuntaisprojektio kolmiostosssa
Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus)
1. Määritelmä
2. Leikkaus (shear)
Kultainen leikkaus
Janasto ja kolmiosto (suora ja taso)
1. Janaston ja kolmioston välinen kulma
Kartio (cone)
1. Yleistetty kartio
2. Yleinen kartio
3. Katkaistu kartio (frustum of the cone)
Viisitahokas (pentaedri)
1. Erilaisia viisitahokkaita
Särmiö (prism)
1. Kolmiosärmiö
2. Kolmiosärmiön tilavuus
3. Suora suorakulmainen (rectangular)kolmiosärmiö
4. Suora kolmiosärmiö
Kuusitahokas (heksaedri)
1. Nelikulmioista koostuva kuusitahokas
2. Viisikulmiosärmäkartio
3. Nelikulmainen vastakiila
4. Viisikulmainen vastakiila
5. Kolmiokaksoissärmäkartio (kaksoistetraedri)
6. Jatketun nelikulmiosärmäkartion puolikas
7. Nelikulmiopuolisärmiö
8. Nelitahokkaan koko särmästä poistettu nelitahokas
9. Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmää on kummankin kärjen vieressä jäljellä
10. Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmän toista päätä on jäljellä
11. Suuntaissärmiö (parallelpiped)
12. Suorakulmainen särmiö
13. Kuutio
Suora särmiö
1. Suoran särmiön käsite
2. Suora säännöllinen särmiö
3. Suoran särmiön vaippa
4. Suoran säännöllisen särmiön vaippa
Särmäkartio (pyramid)
1. Särmäkartion määritelmä
2. Särmäkartion tilavuus
Neliöpohjainen särmäkartio
1. Tilavuus
2. Pyramidi
Pallo (sphere)
Ympyrä C(O,r) (circle)
1. Määritelmiä
2. Ympyrä C(O,r) pisteen kiertona (rotation) pisteen suhteen
3. Ympyrän C(O,r) kaari (arc)
4. Ympyrän C(O,r) säde (ray)
5. Ympyrän C(O,r) jänne (chord)
6. Ympyrän C(O,r) halkaisija (diameter)
7. Pisteen asema ympyrään C(O,r) nähden
8. Ympyrän C(O,r) tangentti (tangent)
9. Ympyrän C(O,r) sekantti (secant)
10. Janasto, jolla ei ole yhteisiä pisteitä C(O,r) ympyrän kanssa
11. Ympyrän C(O,r) kehäkulma (inscribed angle)
12. Ympyrän C(O,r) keskuskulma (central angle)
13. Kehäkulma on puolet keskuskulmasta (central angle theorem)
14. Samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret
15. Puoliympyrän (semicircle) sisältämä kehäkulma (Thaleen puoliympyrälause)
  1. Puoliympyrä
  2. Thaleen lause
  3. Thaleen lauseen käänteislause
16. Sekanttien välinen kulma
17. Toisiaan leikkaavat ympyrän C(O,r) jänteet
18. Kolmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä
19. Keskipistekohtisuorien (normaalien) leikkauspiste
20. Nelikulmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä
21. Ympyrän C(O,r) tangenttikulma
22. Pisteen potenssi (power) ympyrän C(O,r) suhteen
23. Nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää C(O,r)
24. Ympyrä C(O,r), jonka sivuja sivuavat tangentit ovat kolmion sivuja
25. Kolmion kulman puolittajan pituus
26. Kolmion kahtiajakolause
27. Cevan päätelmä ja seurauspäätelmiä
  1. Cevan päätelmä
  2. Kolmion keskijanojen leikkauspiste
  3. Sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta, tapa 1
  4. Vanhojen oppikirjojen esitys: sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta.
  5. Keskijanat jakavat kolmion kuuteen yhtenevään kolmioon
  6. Kolmion kulman puolittajat
  7. Vanhojen kirjojen esitys: kolmionkulman puolittajien leikkauspiste
  8. Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste
  9. Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste ilman Cevan lausetta
28. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän C(O,r) säde
29. Kolmion sisään piirretty ympyrä
30. Apolloniuksen ympyrä
31. Ulkoympyrä (excircle)
32. Kohtisuorakolmio (orthic triangle)
33. Cevan kolmio
34. Menelauksen lause (n. 100 eaa)
35. Miguelin lause
36. Käänteissäteinen muunnos
  1. Muunnos (trasformation)
  2. Ympyräominaisuuden säilyminen
  3. Kulman säilyminen (konformisuus)
  4. Seurauksia
37. Kohtisuorat ympyrät (ortogonaaliympyrät)
38. Pallon isoympyrä (great circle)
39. Ympyrän C(O,r) ala ja kehä
  1. Ylärajajana
  2. Alarajajana
40. Säännöllisten monikulmioiden yhdenmuotoisuus
41. Ympyröiden yhdenmuotoisuus
42. Ympyrän kaaren pituus
43. Ympyränsektori (sector)
44. Ypyränsegmentti eli lohko (segment)
45. Ympyrän sisällä ja ympäri sijaitsevat säännölliset monikulmiot
  1. Vanhojen kirjojen kaavoja
  2. Yksinkertaisempi kaava
46. Ptolemaioksen päätelmä
47. Morleyn päätelmä
Viisitähti
1. Entisen esityksen yhä tarpeellinen osa
2. Uusi esitys
3. Säännöllinen kymmenkulmio
Eulerin viiva
Kartioleikkaukset
1. Ellipsi
  1. Tavanomainen ellipsin määritelmä
  2. Kolmioston (tason) ellipsi venytyksenä ympyrän suhteen
2. Paraabeli
3. Hyperbeli
Käyrä (curve)
1. Määritelmä
2. Yksinkertainen käyrä
3. Yksinkertaisen käyrän päätepiste
4. Yksinkertainen suljettu käyrä
5. Jordanin käyrälause
6. Yksinkertaisen suljetun kolmioston (tason) käyrän rajoittama pinta-ala
7. Kahden toisensa leikkaavan yksinkertaisen käyrän välinen kulma
Yksinkertaisen käyrän kaarevuus
1. Ympyrän C(O,r) kaarevuus
2. Yleinen tapaus
3. Ernst Lindelöfin kaava kaarevuudelle
4. Numeeriset menetelmät
Yksinkertaisen käyrän kaarenpituus
Yksinkertaisen käyrän kuperuus
Pinta (surface)
1. Pinnan määritelmä
2. Pinnan kaarevuus
3. Pyöreä kappale
Nelistön (avaruuden) kulma
Onko kierevyys olemassa?
Säännöllisiä kappaleita
1. Särmäkartio, jonka pohja on säännöllinen monikulmio
2. Ypyräkartio särmäkartion raja-arvona
3. Suora ympyräkartio
4. Suoran ympyräkartion vaippa
5. Katkaistun suoran ympyräkartion vaippa
Putki (tube)
1. Yleinen putki
2. Yleistetty lieriö (generalized cylinder)
3. Lieriö (cylinder)
4. Ympyrälieriö
Pallon pinta-ala
1. Pallo
2. Pallokalotti ja pallon vyöhyke
Pallon ja sen osat
1. Pallo
2. Pallosektorin tilavuus
3. Pallosegmentin tilavuus
Yhdensuuntaisprojektio
Janasto ja kolmiosto
Perspektiivi (syvyysvaikutelma, perspective)
1. Yhden pakopisteen (vanishing point) perspektiivi
2. Kahden pakopisteen perspektiivi
3. Kolmen pakopisteen perspektiivi
Nelistön sisäisiä koordinaatistoja
1. Kolmiokoordinaatisto (three points coodinates)
2. Lineaarialgebran koordinaatisto
3. Karteesinen koordinaatisto
4. Vektorit karteesisessa koordinaatistossa
5. Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)
Joitain johtopäätöksiä
1. Looginen empirismi
2. Einstein sotkee kuvioita
3. Mistä aloitan virhepäätelmien etsimisen?
4. Uranuurtajat
5. Tutkimattomat ovat matematiikan tiet
6. Mutkaiset suorat
7. Sitten tuli Albert Einstein
8. Onko avaruus olemassa?
9. Miksi valo taipuu painovoimakentässä
10. Karteesinen meemi
11. Erilaiset kielet matematiikan sisällä
12. Kellojen synkronointi
Poistettuja

Geometria

Motto

Yleensä molemmat reunat kokouksessa kulma on muodostettava kulma ei ole suora (180 °), muuten rataosuuksilla pidetään osia yksi reuna.

Wikipedian erään lauseen automaattinen käännös suomeksi

Alkusanat

9.10.2010

Ulottuvuuksien lisääminen suoritettiin perinteisissä geometrioissa olemassaoloaksioomilla, joita tässä geometriassa kutsutaan perusoletuksiksi. Olemassaoloaksiooma, joka sanoo, että jonkin niminen olio on olemassa, on mielestäni tyhjä.

Periaatteessa koko asia voidaan hoitaa metrisessä euklidisessa avaruudessa Cayley-Menger -determinanteilla seuraavasti:

Joukko Λ (jossa on vähintään kolme eri pistettä) on janasto (suora) jos ja vain jos kaikille kolmelle Λ:n pisteille A, B, ja C :

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

Joukko Π (jossa on vähintään neljä eri pistettä, on kolmiosto (taso) jos ja vain jos kaikille Π:n pisteille A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Π:n kolmikot eivät ole samalla janastolla (suoralla).

Joukko Φ (jossa on ainakin viisi eri pistettä) is nelistö (avaruus>) jos ja vain jos kaikille Φ:n pisteille, A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & d(DE)^2 & 1 \\ d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Φ:n nelikot eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa).

Ylemmät ulottuvuudet voidaan muotoilla samoin. Aloittelijoille mainittakoon, että esimerkiksi ilmaisohjelma Octave laskee determinantteja kuin tyhjää vaan. d(A,B) tarjoittaa pisteiden A ja B välimatkaa.

Ns. lävistäjä on pelkkiä nollia siitä syystä, että pisteen etäisyys itsestään, esim. d(A,A) = 0.

Jos determinanttia merkitään C_M_n:llä, n -ulotteisen simpleksin tilavuuden ja determinantin välillä on seuraava yhteys:

C_M_n = (-1)ⁿ⁺¹ 2ⁿ (n!)² V² ,

missä V on tilavuus (volume) ja n! on n-kertoma, esim. 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Tämän puutteen korjaaminen on osoittautunut vaikeammaksi kuin luulin, ja tämän oppikirjan valmistuminen voi viivästyä arvioni mukaan noin vuodella.

Itse kirjoittamista haittaa se, että selkäni kestää istumista vain rajoitetun määrän päivässä ja harmaakaihi lisäälikinäköisyyttä. Ajattelutyö tehdään kokonaan muualla kuin pöydän ääressä, mutta minkä tahansa asian viimeistely edellyttää istumistyötä.

7.8.2010

Jotta tämän oppikirjan määritelmät saataisiin kunnollisiksi, tähän oppikirjaan joudutaan lisäämään joukko topologiaa eli ympäristöoppia. Tästä ympäristöopista on muodostunut jonkinlainen matematiikan ylitiede, niin että ei auta muuta kuin että on lisättävä tähän oppikirjaan ympäristöoppia. Onneksi ympäristö-opin merkinnät eivät ole html:n kannalta ollenkaan hankalia.

10.10.2010

Olen lisäämässä tähän kirjaan viittaavien linkkien määrää. Näin entistä useammat havaitsevat sen. Opiskelijoita kehotan lukemaan ulkoa oman kurssimonisteensa.

Tässä kirjassa asioita on käsitelty sellaisessa järjestyksessä, joka on usein päinvastainen kuin se järjestys, mikä opiskelijan on opittava.

Lisäksi tämä oppikirja on keskeneräinen ja valmistunee joskus. Siinä on monenlaisia virheitä.

10.10.2010

Tämän oppikirjan kirjoittaminen on osoittautunut vaikeammaksi kuin etukäteen arvelin. Vaikka käytössä on paljon tietotekniikkaa ja Internet, sekä aineiston löytäminenen että sen jäsentäminen ovat osoittautuneet vaikeiksi puhumattakaan siitä, että asioita joutuu keksimään itse.

Kun kirjoittaa suoraan julkisuuteen menevään tiedostoon ja yrittää samalla yhdenmukaistaa käsitteistöä abstraktin matematiikan kanssa, huomaa määritelleensä käsitteitä eilen eri tavoin kuin tänään. Joku voisi tuntea itsensä tällaisessa tilanteessa idiootiksi, mutta onneksi minulla ei ole tapana syyttää itseäni aivojen puutteellisesta toiminnasta.

Toisaalta minulla ei ole pakkoa kirjoittaa ollenkaan, ja vielä vähemmän pakko on tehdä kunnollista työtä.

Tästä eteenpäin vastuu siirtyy lukijalle.

Erkki Hartikainen
Eläkeläismatemaatikko

Eräitä kirjallisuusviitteitä

28.4.2010

Käytettynä Internetistä hankkimani Gerard A. Veneman Foundations of Geometry, Pearson-Prentice-Hall, 206, ISBN 0-13-143700-3 muistuttaa löytämistäni lähteistä eniten geometrian oppikirjaa. Oppikirjan tekijällä on omat aksioomat, jotka on esitelty tässä oppikirjassa alempana.

Olen löytänut uuden, tosin englanninkielisen, maksuttoman oppikirjan Internetistä: Plane Geometry, An Illustrated Guide, Matthew Harvey.

Se on yli 400 sivua, mutta laajuutta selittää osittain se, että mukana on analyyttistä geometriaa, trigonometriaa ja hieman myös kompleksiluvuista.

Esitys on aksiomaattinen, mutta myös eläkeläisen luettavissa. Opetustehtävissä toimivien iloksi kirjassa on paljon kuvasivuja, joista voi väritulostimilla tehdä piirtoheitinkalvoja.

Valitettavasti Matt Harveyn erinomaista kirjaa on vaikea löytää. Laita Googleen hakusanat "Plane Geometry An Illustrated Guide Matthew Harvey" ja löytänet kirjan heti ensimmäiseltä sivulta.

Yllättäen huomasin, että Jyväskylän yliopiston ahkerat työntekijät Lassi Kurittu ja kumppanit, ovat laittaneet Internetiin 180 -sivuisen oppikirjan Geometria pdf - tiedostona.

Kirja on kaikin puolin hienoa työtä, tehty AmsTeX:illä joka on American Mathematical Society:n vastine LaTeX:ille.

Internetistä. Sieltä löytyi myös turkulaisen Tero Harjun kirja Geometria, lyhyt painos. Se löytyi hakusanoilla Birkhoff ja postulaatit.

Myös vaikuttaa alla olevan oppikirjan sisältöön. Harju sanoo, että hänen lähestymistapansa on koulugeometrinen. Myös alla olevan kirjan lähestymistapa on toivottavasti koulugeometrinen, eiväthän eläkeläismatemaatikot ymmärrä siitä muuten mitään.

Löysin työhuoneeni kaapista professori Olli Tammen geometrian luennot 1960 - luvulta. Olen merkinnyt kahteen kierrelehtiöön, että kyseessä on ns. cum laude -kurssi, mutta valitettavasti en ole merkinnyt päivämäärää.

Tieto löytyisi vanhasta opintokirjasta, mutta minulle on epäselvää, missä säilytän sitä.

Olli Tammen luennot alkavat täsmälleen siitä, mihin tämä oppikirja päättyy, ja tämä on luonnollista, sillä siihen aikaan koulussa luettiin suuri määrä lähinnä Eukleideen Alkeista koottua geometriaa.

Trakoitukseni oli käydä läpi Helsingin yliopiston kevään 2010 geometrian kurssin aineisto, mutta pdf - kuvista, jotka oli tehty lyijykynällä kirjoitetusta tekstistä, en saanut mitään selvää. Luennoija on unohtanut ylioppilastutkintolautakunnan ohjeen, jonka mukaan liian kovaa lyijykynää ei saa käyttää.

Sen sijaan Jouni Luukkaisen luennoista vuonna 2007 sai hyvin selvää. Olen huomioinut tekstin muilta osin paitsi että en ole ottanut mukaan analyyttistä geometriaa. Analyyttisestä geometriasta sain tarpeekseni 1960-luvun alussa.

Löysin paikallisesta kirjakaupasta Robin Harthornen teoksen Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0-387-98650-2 (hc).

Luulin myös nähneeni kirjakaupassa opetusneuvos Reino Seppälän, mutta hän onkin kuollut huhtikuussa 2010.

Internetistä löysin myös perusteellisen geometrian perusteiden oppikirjan, joka on vain vuoden vanha:

www.bruce-shapiro.com/math370/notes/370-April-29.pdf

Olen tulostanut itselleni paperille Eukleideen - Aschanin - Kahaanpään teoksen Eukleiden alkesta kuusi ensimmäistä kirjaa.

Saatavilla olevat uudemmat kirjat puhuvat usein Eukleideen alkeista ikään kuin lukija osaisi ne ennestään ulkoa.

Toisaalta Eukleideen lähestymistapa, jossa toisin kuin tässä oppikirjassa ei käytetä sellaisia mittoja, joita esimerkiksi Heronin kaava antaa, on lähellä nykyisen professorimatematiikan tapaa esittää asiat hyvin yleisellä tasolla, ja Eukleideen järjestelmää tutkimalla voi löytää viitteitä siitä, miten geometriaa voidaan ehkä tuntuvasti yksinkertaistaa vaihtamalla vanhat esitykset vahvemmalla aksioomajärjestelmällä varustettuun geometriaan.

Kieliongelmat

10.10.2010

Apukäsitteinä käytetyt sanat "janasto", "kolmiosto" ja "nelistö" ovat suomen kielen uudissanoja ja eivät tästä syystä aiheuta mitään sekaannusta.

Koska janan englanninkielinen nimitys on "line segment", sanan "janasto" kääntäminen englanniksi voi olla vaikeaa. Paremman puutteessa käytetään nimitystä "duo".

Kolmiostoa voidaan kutsua vaikka nimellä "trinity" ja nelistöä nimellä "quartet".

Ongelma ratkaistaan lopullisesti, jos elän niin vanhaksi, että saan tämän valmiiksi ja käännän sen englanniksi.

Miksi tässä kirjassa ei ole esitelty saksan kielisiä käsitteitä?

22.3.2010

Saksan kieliset geometrian oppikirjat maksavat liikaa.

Ratkaisu kreikkalaisten kirjainten ongelmaan

12.6.2010

Ubuntun Kompozer tai Composer -käyttäjiä silmällä pitäen kreikkalaisten aakkosten ongelmaan on yksinkertainenb ratkaisu. Valitse

Format/Font/Alpfa-beta

ja teksti on esimerkiksi seuraavaa:

aAbBCcDdEeFf.....

Kun joku keksisi, miten saadaan aikaan kirjoitus l (pieni äl). Sen pitäisi olla nimenomaan sellainen l, joka erottuu.

Olemassaolon olemassaolo

10.10.2010

Olen suhtautunut matematiikan olemassaolo-oletuksiin melko välinpitämättömästi. Koska matematiikka ei käsittele todellisuutta, olen ajatellut, ettei matematiikan olemassaolo-oletuksilla ole kovin suurta väliä.

Sen sijaan todellisuutta käsitteleviin olemassaolo-oletuksiin olen aina suhtautunut vakavasti. Oivalsin varsin nuorena, että virheellisistä todellisuutta koskevista oletuksista on vakavaa vahinkoa.

Ihmeteltyäni aikani sitä, että Eukleides pyrki osoittamaan geometrian oliot todellisiksi piirtämällä ja tarkastelemalla piirrosten ominaisuuksia puhtaan käsitteellisesti, olen tullut siihen tulokseen, että myös matematiikan olemassaolo-oletusten suhteen olisi syytä tehdä pesänselvitys.

En kuitenkaan tee sitä tässä oppikirjassa enkä muutenkaan, sillä olen mihinkään erityiseen pyrkimätön eläkeläinen.

Kuitenkin, jos havaitsen gemetrian olemassaolo-oletuksissa jotain erityisen huvittavaa, aion tuoda sen esiin.

Kvanttoriharha eli olemattomuusoppi

8.6.2010

Asiaa tarkemmin pohdittuani olen tullut siihen tulokseen, että matematiikassa ei pitäisi puhua ollenkaan olemassaolosta.

Sanojen "kaikki" ja "on olemassa" käyttö on mielestäni suuri onnettomuus.

Matematiikan, logiikan ja joukko-opin kieli voidaan nähdäkseni määritellä ilman näitä sanoja.

Koska olen eläkkeellä ja vanha ja vajaatyökykyinen, en kuitenkaan aio ryhtyä kehittelemään näitä ajatuksia.

Kuten jo muinaiset ... sanoivat, itse jumalatkaan eivät pysty taistelemaan tyhmyyttä vastaan.

Viiva ja alue

10.10.2010

Tätä oppikirjaa aiotaan selventää siten, että erotetaan toisistaan esimerkiksi kolmioviiva ja kolmioalue tai ympyräviiva ja ympyräalue. Selkiinnyttäminen on kesken.

Keskikoulun algebran perustelut saapuivat Suomeen

30.5.2010

Olen tänään lisännyt mukaan (viimeistelemättömän) esityksen siitä, miten keskikoulun algebran perussäännöt perustellaan reaalilukujen standardiaksioomilla. Esityksessä on käytetty H. L. Roydenin suosittelemia vaihtoehtoisia aksioomia.

Ihmettelyn aihetta

29.5.2010

Olen viime aikoina etsinyt täydennystä tämän oppikirjan perustietoihin. Olen jo aikaisemmin kirjoittanut osiot reaalilukuyhtälöiden ja -epäyhtälöiden käsittelystä.

Olen käynyt läpi kaikki Suomen yliopistojen algebran monisteet, ja en ole löytänyt niistä jälkeäkään niistä kaavoista, joita käytetään yhtälöiden ratkaisuissa.

Ulkomaisista lähteistä löysin yhden kurssin, jossa kaikki yhtälöiden ratkaisuissa vaadittavat reaalilukujen aksioomista johdettavat kaavat oli mainittu, mutta vain harjoitustehtävinä.

En siis löytänyt mistään valmista algebran aineistoa geometrian oppikirjaan.

Muinaisena matematiikan opettajana en voinut olla ihmettelemättä sitä, keitä varten matematiikkaa opetetaan yliopistoissa.

Yliopistomatematiikan tarkoitus

29.5.2010

Olen tullut siihen tulokseen, että yliopistomatematiikan tarkoitus on sama kuin muiden tieteiden: Esitellä oman alansa kuuluisuuksia.

Matematiikalla on sekä kestokuuluisuuksia että muotikuuluisuuksia. Lisäksi on kuuluisuuksia, joiden huhutaan olevan kuuluisuuksia, mutta joista ei olla tosissaan kiinostuneita.

Viimeksimainittuun ryhmään kuuluu mielestäni Alfred Tarski, joka päin vastoin kuin "maailmanetiikkaa" tarjoileva katolinen Hans Küng, väitti, että sataa on tosi, jos sataa.

Matematiikan peruskäsitteistö on sekaisin

29.5.2010

Koska olen saattuneesta syystä tuntenut matemaatikoita nuoruudestani asti, en ole koskaan pitänyt heitä varsinaisina ruudinkeksijöinä. Kyllä ruuti on kemistien keksintö tai sitten ruudin keksijöitä on pidettävä keksintönsä nojalla kemisteinä.

Tampereen yliopistossa tehdyn tutkimuksen mukaan matematiikassa harjoitetaan ulkolukua enemmän kuin missään muussa oppiaineessa.

Yritän lähiaikoina selkeyttää tämän oppikirjan käsitteistöä seuraavasti.

Osaa ns. aksioomista kutsutaan perusoletuksiksi. Perusoletuksia ovat seuraavassa ne aksioomat, jotka tekevät olemassaololetuksia. Olemassaolooletuksia voi tehdä tietysti aivan vapaasti, mutta vain osasta olemassaolo-oletuksia on selvää hyötyä matematiikan ymmärtämiselle.

Osaa aksioomista kutsutaan perusmääritelmiksi. Perusmääritelmiä ovat ne aksioomat, jotka eivät sisällä olemassolo-oletuksia tai Willard Van Orman Quinen sanoin ontologisia sitoumuksia.

Muita määritelmiä kutsutaan määritelmiksi. Tässä oppikirjassa on siis kolmenlaisia matematiikan määritelmiä:

olemassaolo-oletuksia,
perusmääritelmiä ja
suoria määritelmiä.

Propedeuttisia, ostensiivisia jne. määritelmiä tässä oppikirjassa ei ole. Esimerkiksi sellaisesta Valistuksen mittausopin maalaiskansakouluille käsitteestä kuin pystysuorasta suorasta tässä kirjassa ei puhuta mitään.

Kestää ehkä syksyyn kauan ennen kuin tässä mainittu ohjelma on toteutettu.

Tarskin aksioomat reaaliluvuille ja geometrialle

29.5.2010

Lisäsin tänään kiusallani mukaan Alfred Tarskin aksioomat reaaliluvuille.

10.10.2010

Lisäsin tähän oppikirjaan eilen Alfred Tarskin alkeisgeometrian alsioomajärjestelmän kokonaisuudessaan ja kuvitettuna. Tarskin aksioomajärjestelmä on kaikista yli sadasta aksioomajärjestelmästä mielestäni paras, ja siksi siitä ei ole olemassa juuri muuta kuin aksioomajärjestelmä ristiriidattomuus-, täydellisuus ja ratkaistavuustarkasteluineen.

Voisi tietysti ajatella, että isot isännät antaisivat näin uuden geometriamuodin vallitessa jollekin nuorelle ihmiselle luvan tehdä työn, jota ei ole ennen sallittu, mutta tieteen osakkeenomistajat ...

Päivitykset

Päivityksiä pyritään tekemään silloin, kun kirjoittajan aivot tuntuvat jossain muussa asiassa toimivat kunnolla.

Johdanto

Kuten varmaan olet havainnut, käsitejärjestelmä muuttuu koko ajan. Ainakaan tällaisen eläkeläisen muisti ei riitä kaiken edellä esitetyn muistamiseen ensimmäisellä kirjoittamiskerralla. Myös ulottuvuuksien määrä unohtuu välillä.

Kaikkia syntyviä virheitä ei pyritä korjaamaan heti vaan vasta sitten, kun kokonaisuus on hyvin hahmottunut.

Alla olevaa geometriaa ei kannata opetella ulkoa ennen kuin se on valmis.

Matematiikan ja tieteen välinen ero

Kun kelvollinen tiede on karkeistus todellisuudesta, todellisuus on karkeistus matematiikasta.

Tieteen määrittelemisestä

16.3.2010

Ihmettelin aikaisemmin, miksi David Hilbertin geometriaa on alettu opettaa yliopistoissa matematiikan opettajiksi pyrkiville, vaikka uudempaa ja täsmällisempää aineistoa on saatavilla.

Tähän on hyvin yksinkertainen selitys. Hilbertin Geometrian perusteet on useilla kielillä saatavissa ilmaiseksi Gutenberg -projektista.

Ei opiskelijoilla ja eläkeläisillä ole varaa ostaa kirjoja, jotka eivät ole aivan pakollisia. Hilbertin teoksen olen tulostanut laserkirjoittimellani, ja kun seuraavassa esityksessä viittaan siihen, sivunumerot ovat painoksesta The Foundations of Geometry, Reprint edition, The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1950.

Kun Hilbertkin kirjoitti geometriaansa pari vuotta, ei ole odotettavissa, että tämä geometria valmistuisi ainakaan nopeammin, pikemminkin päin vastoin.

Ehdotan, että tieteen määritelmä aloitetaan seuraavalla aksioomalla:

Tieteen tarkoitus on tuottaa rahaa osakkeenomistajille.
....

Geometerian käsitteiden havainnollistaminen kuvilla

10.10.2010

Kirjoittajan voimavarat eivät riitä tämän esityksen täydelliseen varustamiseen kuvilla, vaikka kirjoittaja on todennäköisesti parempi piirtäjä kuin matemaatikko. Internetistä löytyy hakusanalla "geometria" monia sivustoja, joilla alla esitetyt käsitteet on havainnollistettu kuvilla.

Jos elän vanhaksi ja varustan tämän kokonaan kuvilla, käytän vektorigrafiikkaa (tähän mennessä tehdyt kuvat on tehty Inkscapella).

Tämän esityksen kuvat tallenetaan palvelimen levytilaan png -tiedostoina.

Kuvituksen uusiminen

10.6.2010

Matemaatikon pitäisi kirjoittaa tätä kirjaa LaTeX:illa kuten Simo Kivelä aikoinaan. Olen kirjoittanut tätä html:llä, koska tiedostojen siirto- ja latausajat ovat pieniä.

Pääasiassa on käytetty svg - kuvia ja ne on tallennettu png -muodossa.

Sittemmin kuvitusta on täydennetty Octavella tehdyillä jpg -kuvilla.

Mitä matematiikan alaa tämä kirjoitus edustaa?

Tämä kirjoitus käsittelee ns. euklidista alkeisgeometriaa.

Se sisältää jonkin verran käänteismatematiikkaa.

Käänteismatematiikka on usein melko vaikeaa, ja myös tämä artikkeli edistyy hitaasti.

Kirjoitus sisältää joitain piirteitä noin sata vuotta sitten esitetystä järjestettyjen pisteiden geometriasta (Oswald Veblen).

Mitä tämän artikkelin laajuus on?

Artikkelin on tarkoitus käsitellä euklidista geometriaa samassa laajuudessa kuin keskikoulu ja lukio käsittelivät sitä viime vuosisadan keskivaiheilla.

Vähintään siinä esitetään samat asiat kuin Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille.

Ulottuvuudet (dimension)

10.10.2010

Tässä esityksessä rajoitutaan yleensä yksi-, kaksi- ja kolmiulotteiseen geometriaan. Jokainen lisäulottuvuus toisi mukanaan uusia käsitteitä, joilla ei ole vastinetta tavallisten ihmisten todellisuudessa.

Tilastotiede käyttää usein noin kymmentä ulottuvuutta, mutta siellä käytetyn geometrian ymmärtäminen on harvoin tarpeellista edes tilastotieteilijälle, sillä laskentamenetelmät ovat tietokoneohjelmia.

Taloudellisissa tutkimuksissa on jo lähes puoli vuosisataa käytetty simpleksialgoritmia ja siitä edelleen kehitettyjä menetelmiä, mutta simpleksialgoritmikin on ollut tietokoneohjelmana jo reikäkorttiajasta lähtien (tilasin 1960 - luvulla sellaisen Yhdysvalloista työpaikalleni).

Keitä varten tämä artikkeli on kirjoitettu?

Se on kirjoitettu puhtaasti minua varten.

Kuvien lähteitä

31.5.2010

Itse piirrettyjen kuvien määrä on nyt kasvanut huomattavast ja lähiaikoina muuaalta lainatut kuvat poistuvat kokonaan.

Merkintöjä ja nimityksiä

Perusoliot

9.6.2010

Piste on geometrinen suure, jolla on paikka, mutta ei ulottuvuutta.

Eräs geometrian pro gradu vuodelta 2007

Yllä olevalle on naurettu jo kauan ainakin sata vuotta.

Perusolioita kutsutaan aluksi olioiksi ja niiden joukkoja oliojoukoiksi. Sitä, että olio a kuuluu joukkoon A merkitään a∈A

Muut oliot

6.6.2010

Muita olioita ovat esimerkiksi järjestämättömät joukot ja järjestetyt joukot.

Muita olioita määritellään tarpeen mukaan.

Muut oliot erottuvat ominaisuuksiensa perusteella.

Ennestään tunnetuksi oletetaan

Raaliluvut, joukko-oppi ja logiikka oletetaan tunnetuiksi. Useimmilla ihmisillä on jonkinlainen käsitys näistä asioista, vaikka he eivät olisi matematiikkaa opiskelleet.

Seuraavassa on kuitenkin esitelty joitain piirteitä joukko-opista ja reaaliluvuista sekä logiikan merkinnöistä.

Yhdiste ja leikkaus (union and intersection)

Määritelmä: Kahden joukon A ja B yhdiste on niiden olioiden joukko (set), jotka kuuluvat A:han tai B:hen tai molempiin. A:n ja B:n yhdistettä (U sanasta "unioni") merkitään

A U B

Määritelmä: Kahden joukon A ja B leikkaus on niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat A:han ja B:hen. A:n ja B:n leikkausta merkitään

A ∩ B.

Komplementtijoukot (ulkkojoukot, complement of the set)

Ulkojoukko (ehdoton ulkojoukko)

Määritelmä: Joukon A ulkojoukko (komplementti) on niiden olioiden joukko, jotka eivät kuulu alkuperäiseen joukkoon.

Joukon A ulkojoukkoa (komplementtia) merkitään tässä artikkelissa

A^c.

Komplementti on aina komplementti jonkin perusjoukon suhteen.

Suhteellinen (ehdollinen) komplementti

Määritelmä: Mikäli käsitettä suhteellinen komplementti tarvitaan, joukko A \ B on niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat A:han mutta eivät B:hen.

Oliovieraat (erilliset, ei-leikkaavat, disjoint) joukot

9.8.2010

Määritelmä: Joukot A ja B ovat oliovieraat, os niillä ei ole yhteisiä alkioita.

A ∩ B = ∅.

Yhden olion joukko (singleton)

{a}.

Tulojoukko

13.5.2010

Määritelmä: Kahden joukon A ja B tulojoukko A x B on niiden järjestettyjen parien <a,b> joukko, missä a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen.

Esimerkki: Joukkojen {a, b, c} ja {1, 2} tulojoukko on joukko {<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>, <c,1>, <c,2>}.

Relaatio

Määritelmä: Relaatio on tulojoukon osajoukko.

Esimerkki: Yllä olevan tulojoukon osajoukko on esimerkiksi joukko {<a,1>, <b,2>}.

Määritelmä: Relaation määrittelyjoukko eli lähtöjoukko on relaation ensimmäisten olioiden joukko ja relaation arvojoukko eli maalijoukko on toisten olioiden joukko.

Relaatioita merkitään myös esimerksiksi aRb tai R(a,b).

Käänteisrelaatio

Määritelmä: Relaation käänteisjkoukko R^-1 on joukko, jossa on vaihdettu ensimmäisen ja toisen olion paikka.

Yhdistetty relaatio

Määritelmä: Kahden relaation R ja S yhdistetty relaatio RoS on parien <x,z> joukko, kun <x,y> on relaation R pari ja <y,z> on relaation S pari.

Lävistäjärelaatioo (identtinen relaatio)

Määritelmä: Lävistäjärelaatio eli ldenttinen relaatioI on parien <x,x> muodostama relaatio.

Symmetrinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on symmetrinen, jos kaikille pareilla <x,y> = <y,x>.

Antisymmetrinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on antisymmetrinen jos kaikilla pareilla <x,y> ≠ <y,x>.

Refleksiivinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on refleksiivinen, jos kaikille x, x on relaatiossa itsensä kanssa eli <x,x> pätee kaikille x.

Transitiivinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on transitiinen, jos siitä, että <x,y> ja <y,z> voidaan päätellä, että <x,z>.

Ekvivalenssirelaatio

Määritelmä: Relaatio on ekvivalenssi, jos se on

refleksiivinen
symmetrinen
transitiivinen

Ekvivalessiluokka

Ekvivalenssiluokka on kaikkien niiden X:n alkioiden joukko, jotka ovat a:n kanssa ekvivalentteja.

Funktio (function) eli kuvaus (mapping) ensimmäisen kerran

27.5.2010

Funktiosta eli kuvauksesta puhutaan alempana täsmällisemmin. Funktio on erikoistapaus relaatiosta.

Määritelmä: Tässä riittää todeta, että funktio eli kuvaus on relaatio, jossa millään kahdella eri jäsenellä ei ole samaa ensimmäistä oliota (alkiota) (John L. Kelley, General Topology, D. van Nostrand, 1955, s. 10).

Esimerkki 1: Joukko {<1,2>,<1,3>} ei ole funktio, koska ensimmäisenä oliona (alkiona, jota sanotaan myös koordinaatiksi) esiintyy kahdella eri jäsenellä sama alkio 1.

Esimerkki 2: Joukko {<2,1>,<3,1>} on funktio, koska molemmat ensimmäiset oliot (alkiot, koordinaatit) ovat samat.

Muunnos (transformation)

28.5.2010

Määritelmä: Muunnos eli transformaatio on funktio erl kuvaus joltakin joukolta joukolle itselleen.

Logiikan merkkejä

26.5.2010

Kunkin rivin lopussa on mainittu html:n lähdekoodiin kirjoitattava merkkijono.

¬ ei, negaatio, ¬
∧ ja, konjunktio &and;
∨ tai, disjunktio (p tai q tai molemmat) &or;
⇒ jos ... niin (implikaatio) ⇒
⇔ jos ja vain jos (ekvivalenssi) ⇔
∀ kaikille ∀
∃ on olemassa ∃
∃! on olemassa yksi ja vain yksi ∃!

Joukko-opin merkkejä

∅	∅	∅	tyhjän joukon merkki i ole sama kuin halkaisijan merkki; ei MES-2:ssa
∈	∈	∈	joukkoon kuulumisen merkki esim. a ∈ A
∉	∉	∉	joukkoon kuulumattomuuden merkki
∋	&ni;	∋	käänteinen joukkoon kuulumisen merkki ei MES-2:ssa
&#8834	⊂	⊂	osajoukon merkki
⊃	⊃	⊃	ylijoukon merkki
⊄	&nsub;	⊄	osajoukkosuhteen kiellon merkki ei MES-2:ssa
⊆	&sube;	⊆	osajoukkosuhteen tai yhtäläisyyden merkki ei MES-2:ssa
⊇	&supe;	⊇	ylijoukkosuhteen tai yhtäläisyyden merkki ei MES-2:ssa
∩	∩	∩	leikkauksen merkki joukko-opissa
∪	∪	∪	yhdisteen merkki joukko-opissa (unioni)

Joukko-opin aksioomat

26.5.2010

Joukko-oppia opetetaan tavallisesti ns. "naiivina" joukko-oppina, jossa käytetään pelkkiä suoria määritelmiä.

Olemassaolo-oletusten ystävät harrastavat aksiomaattista joukko-oppia, jossa erilaisten joukko-opin olioiden olemassaolo oletetaan.

Kuuluisin joukko-opin aksioomajärjestelmä on Zermelo-Fraenkelin (ZF) aksioomajärjestelmä täydennettynä valinta-aksioomalla (ZFC).

Seuraavassa on esitetty suurin piirtein tämä aksioomajärjestelmä.

Alkuperäiset Adolf Fraenkelin aksioomat on esitetty hänen kirjansa Einleitung in die Mengenlehre, Spinger, 1928 sivuilla 272-312.

Rudolf Carnap sanoo kirjansa Symbolishe Logik, Springer 1954 sivulla 151, että Fraenkelin mukaan 1) joukot eivät ole luokkia, 2) jokainen joukon olio (alkio) on joukko ja 3) ei ole muita yksilöitä kuin joukkoja.

Carnap luopuu ehdosta 3) selventääkseen Frankelin aksioomia.

Joukko-opin perusmerkki on ∈, joka luetaan "kuuluu" (huomaa kuu ja luu).

Logiikan merkeistä seuraavassa käytetään tavanomaisten merkkien lisäksi merkkiä =, joka luetaan "on sama kuin". Merkkinä "on sama kuin" on eräissä osioissa käytetty merkkiä ≡.

Merkillä = on ominaisuudet:

∀x [x = x];
∀x∀y [(x = y) ⇒ (y = x)];
∀x∀y∀z {[(x = y) ∧ (y = z)] ⇒ (x = z)}

B(x,y) ja B(x) ovat logiikan ns. predikaatteja eli ominaisuuksia.

Merkit x, y, z, p, q, r, a, b, c, ja samat suurilla kirjaimilla tarkoittavat muuttujia.

Määritelmä 1: (Puhetavat)

[(a ∈ A) xor (A = ∅)] ⇒ (A on joukko)

Jos a ∈ A, sanotaan. että a on joukon A alkio. Merkki ∅ luetaan "tyhjä joukko".

Joukko A on joukon B osajoukko, merkitään A ⊂ B tai B ⊃ A, luetaan ”A on B:n osajoukko" tai "B on joukon A”, ylijoukko, jos

∀(a ∈ A)[(a ∈ A) ⇒ (a ∈ B)]

Aksiooma 1: (Samuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat silloin ja vain silloin, kun niillä on samat alkiot.)

∀A∀B [∀a(a ∈ A) ⇔ (a ∈ B)] ⇔ (A=B)

Aksiooma 2: (Vähimmäisjoukkoaksiooma: Jokainen eityhjä joukko A sisältää sellaisen alkion a, että A ja a ovat erillisiä joukkoja. Alkiota a sanotaan A:n vähimmäisalkioksi. Aksioomaa sanotaan myös
säännöllisyysaksioomaksi.)

∃a (a ∈ A) ⇒ [∃a (a ∈ A) ∧ ¬∃b (b ∈ A ∧ b ∈ a)].

Loput aksioomat ovat olemassaoloaksioomia.

Aksiooma 3: (Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko, jota merkitään {} tai ∅.)

∃∅ ∀y ¬(y ∈ ∅)

Tästä aksioomasta Rudolf Carnap (em. teos s. 155)sanoo, ettei se ole tarpeellinen, mutta se on mukava.

Aksiooma 4: (Järjestämättömän parin aksiooma: Jos A ja B ovat joukkoja, niin myös {A,B} on joukko, joka sisältää vain alkiot A ja B.)

∀A∀B ∃C∀D [(D∈C) ⇔ (D=A ∨ D=B)

Aksiooma 5: (Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa A kohti on olemassa joukko B = ∪A, joka on joukon A alkioiden yhdiste.)

∀A∃B∀b(b ∈ B) ⇔ ∃a(b ∈ a ∧ a ∈ A).

Aksiooma 6: (Potenssijoukkoaksiooma: Jokaiselle joukolle A on olemassa joukko B, joka sisältää kaikki A:n osajoukot.)

∀A∃B∀b [(b ∈ B) ⇔ (b ⊆ A)].

Aksiooma 7: (Äärettömyysasiooma: On olemassa sellainen joukko A, että ∅ on An alkio ja aina, kun a on A:n alkio, niin on myös yhdiste a∪ {a}.)

∃A(∅∈A) ∧[∀a (a ∈ A) ⇒ (a ∪{a} ∈ A)]

Aksiooma 8: (Sijoitusaksiooma: Jokaista joukkoa ja jokaista kuvausta B(u,v) missä ehdosta B(u,v) ja B(u,z) seuraa v = z kohti on olemassa joukko , joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.)

B(u,v) ⇔ [ ∀y (y ∈ v ⇔ ∃x [ x ∈ u ∧ A_n(x,y)])]

[∀x ∃!y A_n(x,y)] ⇒ ∀u∃v (B(u,v))

Aksiooma 9: (Valinta-aksiooma: Jokaista keskenään erillisten eityhjien joukkojen joukkoa A kohti on olemassa joukko b, joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta A:n alkiosta.)

∀A∃f∀b [(b∈A ∧ b≠∅) ⇒ f(b) ∈ b]

Aksiooma 10: On mahdollista, että tätä aksioomajärjestelmää muutetaan.

Sup ja inf

9.5.2010

Määritelmä: Olkoon A ⊂ R. Reaaliluku M on joukon A yläraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≤ M .

Määritelmä: Joukko A on ylärajallinen, jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yläraja.

Määritelmä: Reaaliluku m on joukon A alaraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≥ m.

Määritelmä: Joukko A on alarajallinen, jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja.

Määritelmä: Joukko A on rajallinen, jos ja vain jos se on sekä ylärajallinen että alarajallinen.

Määritelmä: Reaaliluku M on joukon A ⊂ R supremum, jos ja vain jos se on joukon A yläraja eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon A yläraja.

Määritelmä: Reaaliluku M on joukon A ⊂ R infimum, jos ja vain jos se on joukon A alaraja eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon A alaraja.

Päätelmä: Olkoon A ⊂ R ja M ∈ R. Tällöin M = sup(A), jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa:

M on joukon A yläraja.
∀ε > 0 : ∃a ∈ A : |M − a| < ε.

Perustelun löydät mistä tahansa ns. analyysin oppikirjasta.

Päätelmä: Olkoon A ⊂ R ja m ∈ R. Tällöin m = inf(A), jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa:

m on joukon A alaraja.
∀ε > 0 : ∃a ∈ A : |m − a| < ε.

Perustelun löydät mistä tahansa ns. analyysin oppikirjasta.

Reaalilukujen standardi- aksioomat

Kunta-aksioomat

(P1) (Yhteenlaskun liitännäisyys):

∀a∀b∀c [a + (b + c) = (a + b) + c].

(P2) (Yhteenlaskun nolla-alkio):

∃0∀a [a + 0 = 0 + a = a].

(P3) (Yhteenlaskun käänteisalkio):

∀a∃(-a) [a + (−a) = (−a) + a = 0].

(P4) (Yhteenlaskun vaihdannaisuus):

∀a∀b [a+b=b+a].

(P5) (Kertolaskun liitännäisyys):

∀a∀b∀c [a · (b · c) = (a · b) · c].

(P6) (Kertolaskun ykkösalkio):

∃1∀(a ≠ 0) [a · 1 = 1 · a = a].

(P7) (Kertolaskun käänteisalkio):

∀(a ≠ 0)∃(a⁻¹) [a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = 1].

(P8) (Kertolaskun vaihdannaisuus):

∀a∀b [a·b=b·a].

(P9) (Osittelulaki):

∀a∀b∀c [a · (b + c) = a · b + a · c].

Järjestysaksioomat

(P10) ∀a∀b∀c [a < b ⇒ a + c < b + c].

(P11) ∀a∀b∀c [(a < b ∧ b < c) ⇒ a < c].

(P12) ∀a∀b∀c [a < b xor b < a xor a = b].

(P13) ∀a∀b∀c [(a < b ∧ c > 0) ⇒ ac < bc].

Vaihtoehtoiset järjestysaksioomat

29.5.2010

On olemassa R++ ⊂ R siten, että

Jos x, y ∈ R++ niin x + y ∈ R++ ja xy ∈ R++.
Jos x ∈ R++ niin −x ∈ R++.
Jos x≠0, niin joko x ∈ R++ tai −x ∈ R++.

Huomautus: R++ on positiivisten reaalilukujen joukko.

Harjoituksia:

H. L. Royden suosittelee vaihtoehtoisia aksioomia (Real Analysism by H. L. Royden, löytyy Internetistä). Johda tavalliset järjestysaksioomat vaihtoehtoisista järjestysaksioomista.
On annettu $piin (3,141592653589$ ...) likiarvo miljardilla desimaalilla. Miten voit päätellä, kumpi on suurempi, pii vai sen likiarvo?

Täydellisyysaksiooma

(P14) (Pienimmän ylärajan olemassaolo):

Jokaisella eityhjällä reaalilukujoukolla A, joka on rajoitettu ylhäältä, on pienin yläraja.

Huomautus

xor on poissulkeva tai (joko ... tai).

Reaalilukujen kunta-aksioomien seurauspäätelmiä

Päätelmä: 0, 1, −x, x⁻¹ ovat yksikäsitteisesti määriteltyjä.

Perustelu:

Jos θ + x = x, niin θ = θ + 0 = θ + (x − x) = (θ + x) − x = x − x = 0.

Jos θ · x = x, niin θ = θ · 1 = θ xx−1 = (θx) x−1 = xx−1 = 1.

Jos y + x = 0, niin y = y + 0 = y + (x − x) = (y + x) − x = 0 − x = −x.

Jos yx = 1, niin y = y · 1 = y(xx^₋₁ ) = (yx) x⁻¹ =
1 · x⁻¹ = x⁻¹ .

Päätelmä: − (−x) = x ja (x⁻¹)^-1 = x.

Perustelu:

− (−x) = − (−x) + 0 = − (−x) + ((−x) + x) =
(− (−x) + (−x)) + x = 0 + x = x.

(x⁻¹)^-1 =(x⁻¹)^-1 ·1= (x⁻¹)^-1x⁻¹· x = ((x⁻¹)^-1x⁻¹)· x

Päätelmä: (a) Jos x + b = y + b niin x = y, ja (b) jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y

Perustelu:

Jos x + b = y + b, niin
x = x + 0 = x + (b − b) = (x + b) − b = (y + b) − b = y + (b − b) = y + 0 = y.

Jos xa = ya ja a ≠ 0, then x = x · 1 = x(aa⁻¹)=
(xa) a⁻¹ = (ya)a^₋₁ = y(aa⁻¹)= y · 1 = y.

Päätelmä: (a) 0x = 0 and (b) Jos xy = 0 ja x ≠ 0 niin y = 0.

Perustelu:

0 + 0x = 0x = (0 + 0) x = 0x + 0x. Päätelmällä "jos x+b=y+b niin x=y" saadaan 0 = 0x.

Jos x0 = 0 niin jos xy = 0 ja x ≠ 0, niin päätelmällä "jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y" saadaan y = 0.

Päätelmä: − (x + y) = −x − y ja (xy)⁻¹ = x⁻¹ y⁻¹.

Perustelu:

− (x + y) + (x + y) = 0
ja
(x + y) + ((−x) + (−y)) = (x − x) + (y − y) = 0.

Päätelmällä "jos x+b=y+b niin x=y" saadaan

((−x) + (−y)) = − (x + y) .

xy · (xy)⁻¹ = 1 ja xy · x⁻¹ y^₋₁ = xx⁻¹ · yy ⁻¹ = 1 · 1 = 1.

Päätelmällä "jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y" saadaan (xy)⁻¹ =x⁻¹ y⁻¹ .

Päätelmä: − (xy) = (−x) y.

Perustelu:
− (xy) = − (xy)+0 = −xy +0y = − (xy)+(x − x) y = − (xy)+(xy + (−x) y) = (−xy + xy)+ (−x) y =
0 + (−x) y = (−x) y.

Päätelmä: (−1) x = −x.

Perustelu: Edellisen päätelmän perusteella −x = −(1x) = (−1) x.

Päätelmä: (−x)(−y) = xy.

Perustelu:
xy = x (− (−y)) = x ((−1) (−y)) = (x (−1)) (−y) = (−x) (−y).

Määritelmä: x > y ⇔ x − y ∈ R++ .

Päätelmä: Jos x > y ja w ≥ z, niin x + y > y + z.

Perustelu:
Nämä seuraavat ehdoista x − y ∈ R++ ja w − z ∈ R++ ∪ {0}

Jos w − z = 0, niin (x + w) − (y + z) = x−y ∈ R++ .

Josd w−z > 0, niin (x + w)−(y + z) ∈ R++ .

Kummassakin tapauksessa x+y > y +z.

Päätelmä: If x > y > 0 and w ≥ z > 0, then xw > yz.

Peruistelu:
Tämä seuraa ehdoista (x − y) w ∈ R++ and
(w − z) y ∈ R++ ∪ {0} .

Tällöin xw − yz = (x − y) w + (w − z) y ∈ R++ , mistä seuraa xy > yz.

Päätelmä: Oletetaan, että x, y > 0. Tällöin

x + y > 0,
(−x) + (−y) < 0,
xy > 0,
x(−y) < 0,
(−x) (−y) > 0.

Perustelu:
Perustellaan 5. Muut perustellaan samalla tavalla.
Ensimmäinen järjestysaksiooma sanoo, että jos
x, y > 0 niin xy > 0.
(−x) (−y) = − (x (−y)) = − (− (xy)) = xy > 0.

Määritelmä: Kaikille x ∈ R, x2 ⇔ x · x.

Päätelmä: x2 > 0 kaikille x ≠ 0.

Perustelu: Tämä seuraa välittämästi edellisen päätelmän kohdista 3 ja 5.

Päätelmä: 1 > 0.

Perustelu:
Jos 1 < 0 niin edellisen kohdan perusteella 1 = 1 · 1 > 0, mikä on ristiriita.

Päätelmä: Jos x > 0 niin x⁻¹ > 0.

Perustelu:
Jos x⁻¹ < 0, aikaisemman tuloksen perusteella
1 = xx⁻¹< 0, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että
1 > 0.

Päätelmä: Jos x > y > 0 niin 0 < x⁻¹ < y ⁻¹ . Erityisesti jos x > 1 niin x⁻¹ < 1.

Perustelu:
Jos (x − y) > 0 ja jos x⁻¹ niin 1 − yx⁻¹ =
(x − y) x⁻¹> 0. Tällöin jos y⁻¹ > 0 niin y⁻¹ − x⁻¹ =
y^-1(1-yx^-1)>0, mistä seuraa y⁻¹ > x⁻¹.

Suoraan laskemalla saatavia reaalilukujen kaavoja

5.6.2010

Kun suoritetaan edellä olevien aksioomien mukaisesti laskutoimitukset, saadaan

(a - b)(a + b) =

a² + ab - ba - b²=

a² - b² eli

(a-b)(a+b) = a² - b².

Tämä kaava on hyödylinen erityisesti silloin, kun jokin lauseke on neliöiden erotus ja lauseke on jaettava tekijöihin eli saatettava tulon muotoon.

Tulon muoto on hyödyllinen erityisesti tutkittaessa lausekkeen nollakohtie (ratkaistaessa yhtälöitä), sillä tulo on nolla, jos tulon tekijä on nolla.

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² - 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² - 4 = 0.

x² - 2² = 0.

(x - 2)(x + 2) = 0.

x - 2 = 0 tai x + 2 = 0.

x = 2 tai x = -2.

Suorittamalla laskutoimitukset saadaan:

(a + b)² = (a + b)(a + b) =
a² + ab + b² + ba =
a² + 2 ab + b².

(a + b)² = a² + 2 ab + b².

Tämä kaava on hyödyllinen erityisesti silloin, kun lausekkeessa esiintyy kahden lausekkeen neliöt ja niiden kaksinkertainen tulo. Tällöin lauseke voidaan saattaa tulon muotoon eli neliöksi.

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² + 4x + 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² + 2.2x + 2² = 0.
(x + 2)² = 0.
x = -2.

Suorittamalla laskutoimitukset saadaan:

(a - b)² = (a - b)(a - b) =
a² - ab + b² ba =
a² - 2 ab + b².

(a - b)² = a² - 2 ab + b².

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² - 4x + 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² - 2.2x + 2² = 0.
(x 2)² = 0.
x = 2.

Tarskin aksioomat reaaliluvuille

Järjestysaksioomat: (R, <):

Aksiooma 1:: "<" on asymmetrinen relaatio.

Aksiooma 2:: Jos x < z, on olemassa y siten, että x < y ja y < z. Toisin sanoen "<" ion tiheä joukossa R.

Aksiooma 3: "<" on Dedekind-täydellinen.; Kaikille X, Y ⊆ R, jos kaikille x ∈ X ja y ∈ Y, x < y, on olemassa z ssiten, että kaikille x ∈ X ja y ∈ Y, x ≤ z ja z ≤ y. u ≤ v on lyhennys merkinnälle "u < v or u = v".

Selvennys, olkoon X ⊆ R ja Y ⊆ R. Määritellään seuraavat yleiset teonsanat:

X edeltää Y:tä jos ja vain jos kaikille x ∈ X ja kaikille y ∈ Y, x < y.

Reaaliluku z erottaa X:n ja Y;n jos va vain jos kaikille x ∈ X kun x ≠ z ja kaikille y ∈ Y kun y ≠ z, x < z ja z < y.

Aksiooma 3 voidaan esittää seuraavasti:

"Jos reaalilukujen joukko edeltää toista reaalilukujen joukkoa, silloin on olemassa ainakin yksi reaaliluku, joka erottaa nämä kaksi joukkoa."

Yhteenlaskuaksioomat: (R, <, +):

Aksiooma 4:
: x + (y + z) = (x + z) + y.

Aksiooma 5:
: Kaikille x, y, on olemassa z siten että x + z = y.

Aksiooma 6:: Jos x + y < z + w, niin x < z tai y < w.

Ykkösaksioomat ( R, <, +, 1):

Aksiooma 7:
: 1 ∈ R.

Aksiooma 8:
: 1 < 1 + 1.

Huomautus:

Näistä aksioomista seuraa, että R on lineaarisesti järjestetty Abelin ryhmä alkion 1 yhteenlaskun suhteen. R on myös Dedekind-täydellinen ja jaollinen.

Nämä aksioomat tarvitsevat vain kolme olemassaolokvanttoria, yhden jokaiselle aksioomista 2, 3, ja 5.

Tarski osoitti, että 8 aksiooma 4 määrittelemätöntä merkkiä ovat toisistaan riippumattomia.

Tarski esitti perustelun sille, että näistä määrittelemättömistä merkeistä ja aksioomista on pääteltävissä kesrtolasku -nimisen binäärisen operaation olemassaolo. Kun tällä operaatiolla on tavanomaiset ominaisuutensa. R on täydellisesti järjestetty kunta kun laskutoimituksina ovat yhteenlasku ja kertolasku.

Janojen yhtenevyys

Ekvivalenssi on puhtaan geometrian ulkopuolinen käsite.

Kertaus: Ekvivalenssirelaatio noudattaa seuraavia ehtoja:

Jos a = b, niin aRb (alkio a on relaatiossa R alkioon b, refleksisyys).
Jos aRb, niin myös bRa (symmetrisyys).
Jos aRb ja bRc, niin aRc (transitiivisyys).

Janojen yhtenevyyden tapauksessa ehdot olisivat seuraavat:

Jos a ja b ovat samat, ne ovat yhtä pitkät.
Jos a on yhtä pitkä kuin b, niin b on yhtä pitkä kuin a.
Jos a on yhtäpitkä kuin b ja b on yhtäpitkä kuin c, niin a on yhtäpitkä kuin c.

Päätelmä: Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

Yhtäsuurten reaalilukujen ominaisuuksia

8.5.2010

Nämä ominaisuudet on edellä johdettu reaalilukujen standardiaksioomista.

Sijoitus:

Jos a = b, a;n saa sijoittaa b:n paikalle ja b:n saa sijoittaa a:n paikalle.

Molempiin puoliin lisääminen:

Jos a = b, niin a+c = b+c.

Molemmista puolista vähentäminen:

Jos a = b, niin a-c = b-c.

Molempien puolten kertominen:

Jos k ei ole 0 ja a = b, niin ka = kb.

Molempien puolten jakaminen:

Jos k ei ole 0 ja a = b, niin a/k = b/k.

Päätelmä ja käänteispäätelmä (lause ja käänteislause)

8.5.2010

Päätelmät ovat esimerkiksi muotoa

p ⇔ q

eli jos ja vain jos p niin q tai muotoa

p ⇒ q.

eli jos p niin q.

Viimeksimainitussa tapauksessa päätelmän p ⇒ q käänteispäätelmäksi (käämteislauseeksi) kutsutaan päätelmää (lausetta)

q ⇒ p

eli jos q niin p.

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇔ (p ⇔ q)

eli jos p niin g ja jos q niin p on ekvivalenttia sen kanssa, että p jos ja vain jos q.

Reaalilukujen yhtälöt

13.5.2010

Reaalilukujen yhtälö on muotoa

f(x) = g(x),

missä f(x) ja g(x) ovat lausekkeita.

Lausekkeita ovat esimerkiksi

f(x) = 2x² + 3x - 5,

f(x) = (2x + 1)/(x-1),

f(x) = ax + b,

missä x on muuttuja ja a ja b ovat vakioita.

Kirjaimilla merkityt vakiot ovat tietysti myös muuttujia, mutta niitä voidaan käyttää vakioiden merkkeinä, jolloin niitä käsitellään kuten vakioita.

Jos on annettu yhtälö, se voidaan muuttaa yhtäpitävyyden säilyttäen toiseen muotoon seuraavilla säännöillä.

Mikä tahansa lauseke, joka on kaikkialla määritelty, voidaan lisätä molempiin puoliin.
Mikä tahansa lauseke, joka on kaikkialla määritelty, voidaan vähentää molemmista puolista.
Molemmat puolet voidaan kertoa millä tahansa kaikkialla määritellyllä lausekkeella joka ei ole missään nolla.
Molemmat puolet voidaan jakaa millä tahansa kaikkialla määritellyllä lausekkeella, joka ei ole missään nolla.
Yleensä mitä tahansa funktiota voidaan soveltaa molempiin puoliin tai mikä tahansa funktio voidaan poistaa molemmilta puolilta, mutta tällöin on ehdottomasta tarkistettava saadut ratkaisut, sillä ratkaisujoukko voi muuttua.

Esimerkki 1:

2 x + 1 = 0 | -1

Vähennetään molemmista puolista 1. Huomaa yllä oleva merkintä | -1.

2x = -1 | : 2

Jaetaan molemmat puolet 2:lla:

x = -½.

Esimerkki 2:

√(2x + 1) = x - 1. |()²

Neliöjuuren poistamiseksi sovelletaan molempiin puoliin samaa funktiota eli neliöidään molemmat puolet.

2 x + 1 = x² - 2x + 1 | -1

2x = x² - 2x.

Siirretään kaikki samalle puolelle yhtälöä ja muutetaan siirrettyjen lausekkeiden merkit.

2x - x² + 2x = 0.

x² + 4 x = 0.

x ( x + 4) = 0.

x = 0 tai x + 4 = 0.

x = 0 tai x = -4.

Tarkistetaan juuret alkuperäisellä yhtlälöllä.

Nolla ei kelpaa, koska saadaan

1 = -1.

-2 ei kelpaa, koska neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku.

Yhtälöllä ei ole reaalilukuratkaisua.

Esimerkki 3:

a x - a = 2x.

Siirretään muuttujaa x sisältävät lausekkeet vasemmalle puolelle ja samalla vaihdetaan siirrtettyjen lausekkeiden merkit. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ns. ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Vakiot (tässä a) siirretään oikealle puolelle. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä.

a x - 2 x = a.

Otetaan x vasemmalla puolella yhteiseksi tekijäksi. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä.

(a - 2) x = a.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet x=n kertoimella. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä. Supistetaan samalla pois x:n kerroin.

x = a/(a - 2).

Tämä molempien puolten jakaminen a - 2:lla sisälsi nollalla jakamisen mahdollisuuden, koska a - 2 = 0, kun a = 2.

Tästä syystä ratkaisujoukkoon kuuluvat muut x:n arvot, mutta eivät ne, joilla a = 2.

Esimerkki 4:

x/(x - 1) = (2 x - 1)/(x - 1).

Yhtölön molemmat puolet kerritaan x - 1:llä, mutta on huomattava, että koko yhtälöä ei ole määritelty silloin, kun x = 1, koska nimittäjät ovat nollia.

x = 2 x - 1

x - 2x = -1

-x = -1

x = 1.

Saatu ratkaisu ei kelpaa. koska x:n arvolla 1 nimittäjät ovat nollia.

Esimerkki 5:

ax² + bx + c = 0 |:a

x² + (b/a)x + (c/a) = 0 | -(c/a)

x² + (b/a)x = -(c/a) | +(b/(2a))²

x² + (b/a)x +(b/(2a))²= -(c/a) +(b/(2a))²

[x+(b/(2a))][x +(b/(2a))] =-(c/a)(4a/4a)+(b/(2a))²

[x+(b/(2a))]² = (b² - 4ac)/4a²

√[x+(b/(2a))]² = ±√[(b² - 4ac)/4a²] | √()=√().

x+(b/(2a)) =± √(b² - 4ac)/2a

x+(b/(2a))-(b/(2a))=-(b/(2a))± √(b² - 4ac)/2a

x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a.

Harjoitus: Tee html ja php -ohjelma, joka ratkaisee toisen asteen yhtälön.

Pääset ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä napauttamalla tästä.

Lisää yhtälöiden ratkaisemistsesta läydät napauttamalla tästä

Reaalilukujen epäyhtälöt

16.5.2010

Yleistä

Lukujen järjestys

Kaikille reaaliluvuille a ja b vain yksi seuraavista on voimassa:

a < b
a = b
a > b

Toinen luvuista on joko pienempi, yhtäsuuri tai suurempi kuin toinen.

Siirrännäisyys (transitiivisuus)

Kaikille reaalilivuille a, b ja c:

Jos a > b ja b > c niin a> c
Jos a < b ja b < c niin a < c
Jos a > b ja b = c niin a > c
Jos a < b ja b = c niin a < c

Yhteenlasku ja vähennyslasku

Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:

Jos a < b, niin a + c < b + c ja a − c < b − c
Jos a > b, niin a + c > b + c ja a − c > b − c

ts. reaaliluvut muodostavat järjestetyn ryhmän.

Epäyhtälön molempiin puoliin saa lisätä saman luvun.

Epäyhtälän molemmista puolista saa vähentää saman luvun.

Kertolasku ja jakolasku

Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:

Jos c > 0 ja a < b, niin ac < bc
Jos c < 0 ja a < b, niin ac > bc

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan postiivisella luvulla, epäyhtälön suunta säilyy.

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön suunta kääntyy.

Yhteenlaskun käänteisalkio

Kaikille reaaliluvuille a ja b:

Jos a < b niin −a > −b
Jos a > b niin −a < −b

Jos epäyhtälön molempien puolten merkki vaihdetaan, niin epäyhtäläisyysmerkin suunta kääntyy.

Kertolaskun käänteisalkio

Kaikille reaaliluvuille a ja b jotka ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia:

Jos a < b niin 1/a > 1/b
Jos a > b niin 1/a < 1/b

Jos epäyhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkisiä, puolet saa vaihtaa käänteislukuihinsa.

Jos toinen luvuista a ja v on negatiivinen ja toinen positiivinen, niin:

Jos a < b niin 1/a < 1/b
Jos a > b niin 1/a > 1/b

Jos toinen luvuista a ja b on positiivinen ja toinen negatiivinen, epäyhtälön molemmat puolet saa vaihtaa käänteislukuihin, kun samalla kääntää epäyhtälön merkin.

Epäyhtälöiden ratkaisemisessa muistettavaa

Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiään kulkematta nolla kautta.
Funktio voi vaihtee merkkiään epäjatkuvuuskohdissa.

Epäjatkuvuuskohtia ovat nimittäjän nollakohdat.

Tangentin nollakohdat ovat funktion f(x) = cos x nollakohtia ja kotangentin nollakohdat ovat funktion f(x) = sin x nollakohtia.

Jos funktiossa on nimittäjiä, niiden nollakohdat eivät kelpaa yhtälöisden ratkaisuissa.

Ratkaisu aloitetaan siirtämällä ensin kaikki samalle puolelle, esimerkiksi f(x) > 0.
Sitten etsitään nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat, ratkaistaan f(x) = 0..
Sitten funktion arvoista tehdään merkkkikaavio.
Merkkikaaviosta luetaan funktion merkin vaihtelu perusjaksolla.
Merkkikaaviosta luetaan ratkaisujoukkoon kuuluvat välit ja pisteet. Välit voivat olla suljettuja, avoimia tai puoliavoimia.
Lopuksi ratkaisuun liitetään jaksot.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöt

16.5.2010

Esimerkki 1:

ax + b ≥ 0. |-b

ax ≥ -b. |:a

1) a > 0.

x ≥ -(b/a).

2) a = 0.

-b ≥ 0 on tosi kaikille x, jos b ≤ 0.

3) a < 0

Vaihdetaan merkin suunta, kun jaetaan negatiivisella luvulla.

x ≤ -(b/a).

Esimerkki 2:

-3(x - 5) ≤ ½x + 4. | x 2

-6(x - 5) ≤x + 8.

-6x + 30 ≤ x + 8.

-6 x - x ≤ 8 - 30.

-7 x ≤ -22 | :(-7), merkki kääntyy, kun : (-7)

x ≥ 22/7.

Esimerkki 3:

5 - 2x ≤ x ≤ 5 - x.

Tämä on ns. kaksoisepäyhtälö, joka on auku kirjoitettuna

5 - 2x ≤ x ja x ≤ 5 - x.

Molemmat epäyhtälöt ratkaistaan ensin erikseen.

5 - 2x ≤ x

-3 x ≤ 5

x ≥ 12/3
--------------
x ≤ 5 - x

2 x ≤ 5

x ≤ 2½,
--------------

Ratkaisujoukko on näiden kahden joukon leikkaus eli

12/3 ≤ x ≤ 2½.

Toisen asteen epäyhtälöt

16.5.2010

Esimerkki:

2 x² + 4 x - 4 ≤ 0.

Ensin ratkaistaan yhtälö

2 x² + 4 x - 4 = 0.

Ylempänä tässä oppikirjassa oleva php -ohjelma antaa yhtälön ratkaisuiksi

x = 0,7321 tai x = -2,7321.

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja osaa tavallinen matemaatikko järkeillä suoraan, mutta tehdään nyt merkkikaavio, jotta saadaan luotettava ratkaisumenetelmä.

+++++++-2,7321-------------0,7321+++++++

eli -2,7321 ≤ x ≤ 0,7321.

Lisää epäyhtälöiden ratkaisemisesta llöydät napauttamalla tästä.

Aksioomat

Matti Lehtisen teoksen "Geometrian alkeet" aksioomia kutsutaan tässä esityksessä perusoletuksiksi tai perusmääritelmiksi.

Aksioomat ovat peruskäsitteiden epäsuoria määritelmiä, ts. käsitteet määritellään epäsuorasti joukolla lauseita, joissa peruskäsitteet esiintyvät (tämä käsitys on selkeimmin esitetty Arthur Papin teoksessa Semantics and necessary truth: An inquiry into the foundations of analytic philosophy. New Haven: Yale University Press, 1958, s. 425).

Epäsuoria määritelmiä saatetaan korvata suorilla määritelmillä.

Mitä aksioomat eivät ole

7.3.2010

Aksioomat eivät ole, kuten tietosanakirjoissa väitetään, minkäänlaisia "itsestäänselvyyksiä". Itse asiassa matematiikan lauseet eivät ole ollenkaan tosia. Totuuskäsite pitäisi varata kokemustiedolle.

Tästä syystä ns. olemassaolo-oletuksilla ei ole matematiikassa yhtä suurta merkitystä kuin kokeellisessa tutkimuksessa.

Oleellista on, että käsitteistö on ristiriidaton. Liiat oletukset ovat tietysti kauneusvirheitä.

"Itsestäänselvyysajattelun" kannattajat ovat usein rakentaneet matematiikan aksioomajärjestelmät tehottomiksi ja vaikeiksi oppia. On esimerkiksi melko äskettäin luotu geometria, jossa ei ole kosinilausetta.

Aksioomat vai algoritmit?

31.5.2010

Rohkenin ottaa ostikon asian esille, koska Springer on julkaissut kirjan, jolla on otsikon nimi.

Mielestäni aksioomaattisen järjestelmän ja algoritmin raja on epäselvä jos ei tarpeeton.

Matematiikkaa aletaan opettaa alakoulussa yhteenlaskualgoritmilla. Sitten jatketaan vahennyslaskualgoritmilla, kertolaskualgoritmilla ja jakolaskualgoritmilla.

Myös irrationaalisia neliöjuuria lasketaan algoritmilla, vaikka algoritmi on tietosanakirjamääritelmänsä vastaisesti päättymätön.

Yhteenlaskua ei siis suoriteta Peanon aksioomilla.

Tietokoneet suorittavat yhteenlaskut kaksijärjestelmän luvuilla ja elektronisilla laitteilla puhtaan fysikalistisesti.

Yksijärjestelmän luvut

31.5.2010

Päin vastoin kuin usein ajatellaan, kaksijärjestelmä ei ole alin lukujärjestelmä. Alin lukujärjestelmä on yksijärjestelmä.

Lähinnä pohjimmaltaan kalleuden takia lopetettu kokeilu opettaa matematiikkaa joukko-opin avulla perustui yksijärjestelmään.

Yksijärjestelmässä luvut ovat jonkin merkin muodostamia joukkoja, esimerkiksi

1
11
111
1111
11111
........

Nolla on joukko, jossa ei ole yhtään merkkiä, ja negatiiviset luvut alkavat

-1
-11
-111
-1111
-11111.

Positiivisten lukujen yhteenlasku on ykkösjonojen yhteenliittämistä ja positiivisten lukujen vähennyslasku on ykkösjonojen lyhentämistä.

Kertolasku ja jakolasku onnistuvat aivan yhtä hyvin kuin kaksijärjestelmän luvuilla.

Rationaalilukujen kanssa ei ole mitään ongelmia:

11(1/11) on ilmiselvästi 2½.

Edes irrationaalilukujen kanssa ei synny ongelmaa. Käytännössä irrationaaliluvuista käytetään kaikissa muissakin lukujärjestelmissä niiden rationaalisia likiarvoja.

Ykkösjärjestelmän ilmaiseminen aksioomin on kuitenkin siinä suhteessa ongelmallista, että raja aksiooman ja algoritmin välillä häviää.

Tietokoneet laskevat helposti ykkösjärjestelmän luvuille tehtyjä algoritmeja. Sellaisen kirjoittaminen olisi ensimmäisen Java - kurssin harjoitustehtävä.

Järjestetyt ja järjestämättämät joukot

Järjestämättömiä joukkoja merkitään {A,B}, {A,B,C}, {A,B,C,D} ,...

Erityisesti {A,B} on pari, {A,B,C} on kolmikko, {A,B,C,D} on pistenelikko jne.

Järjestettyjä (ordered) joukkoja on tapana merkitä kulmasulkeilla

<A,B>, <A,B,C>,<A,B,C,D>,...

Eräiden merkkien selityksiä

Osa allaolevista merkeistä on esitelty jo aikaisemmin, mutta ne on otettu tähän mukaan kertauksen vuoksi.

∃ "on olemassa"
∃! "on olemassa yksi ja vain yksi"
∀ "kaikille"
∧ "ja"
⇒ "jos... niin... "
¬ "ei"
∈ "kuuluu"
∉ "ei kuulu"
≠ "on erisuuri kuin"
[ABC] "B on A:n ja C:n välissä"
A*B*C "B on A:n ja C:n välissä"
A-B-C "B on A:n ja C:n välissä"
B(ABC) "B on A:n ja C:n välissä"
∪ "joukkojen yhdiste"
∩ "joukkojen leikkaus"
∅ "tyhjä joukko" (empty set)
Δ "kolmio"
≡ "on yhtenevä"

Pisteiden (points) geometriaa

8.2.2010

Sana "geometria" on kreikkalaisperäinen ja tarkoittaa maanmittausta. Sanalle olisi syytä keksiä hyvä suomenkielinen nimi.

"Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille" (K. Merikoski, Valistus, Raittiuskansan kirjapaino, kahdeksas painos 1923) oli yritys juurruttaa nimitys "mittausoppi" suomen kieleen. Tässä nimityksessä ongelmana on sana "oppi".

Oikea nimitys olisi "mitalliset pistejoukot", mutta se olisi turhan pitkä.

Siitä huolimatta, että en pidä sanasta "tiede" ehdotan geometrian suomalaiseksi nimeksi sanaa mittaustiede.

Vastustan yritystä varata sana "mittaustiede" mittaustekniikalle. Englanninkielinen sana "metrology" eli mittausoppi riittäköön insinööreille.

Jos piste P on pisteiden A ja B välissä käytetään mm. seuraavia merkintöjä:

[APB] (H. M. S. Coexter)
A*P*C (Kurittu &...)
A-B-C
B(abc) (Tarski).

Järjestettyjä pistekaksikkoja (ordered pair) ovat esimerkiksi vektorit.

Yllä olevan kuvan mukaisia nuolia ei ole käytetty siitä syystä, että ylänuolella varustetut kirjainkaksikot pitäisi html:ssä esittää kuvina. Merkkien esittämistä kuvina voivat käyttää vain ne upporikkaat, joilla on yksityssihteeri tai ne professorit, joilla on eteenpäin pyrkiviä oppilaita.

Ymmärrettävä ja tehokas geometria

10.10.2010

Tietokoneiden aikakaudella on viisasta ottaa esimerkiksi geometrian aksioomiksi kosinilause ja Heronin kaava. Heronin kaava ja sen yleistykset ja yksinkertaistukset ovat Cayley-Mengerin determinanteilla esitettävissä.

Tehokkailla aksioomilla geometria lyhenee yhtä paljon kuin korkean tason abstraktioilla menettämättä kuitenkaan missään vaiheessa kansantajuisuuttaan.

Onko määrittelemättömiä käsitteitä

9.4.2010

Teoksessa Projective Geometry by Oswald Veblen, professor of mathematics, Princeton university and John Wesley Young professor of mathematics, Dartmouth college vuodelta 1910 väitetään, että määrittelemättömät käsitteet ovat vättämättömiä kehäpäätelmien välttämiseksi.

Samassa kirjassa sanotaan, että on aloitettava yksinkertaisilla oletuksilla. Tässä kirjassa on pikemmin noudatettu Veblenin aikalaisen George David Birkhoffin (1884-1944) tapaa olettaa melko alussa mutkikkaitakin kaavoja.

Birkhoffin aksioomat löydät napauttamalla tästä.

Määrittelemättömän käsitteen käsite on sisäisesti ristiriitainen, eikä se siitä syystä ole käsite ollenkaan.

Matematiikassa syntyi tapa muuttaa käsitteiden merkityksiä poistamalla käsitteen määritelmästä rajoituksia. Saatiin hyödyllistä matematiikkaa mutta myös mutkaisia suoria. Mutkaiset suorat olivat niin haitallinen meemi, että ne tekivät eräästä juutalaisesta "kaikkien aikojen suurimman neron".

Radu Miron ja Dan Brânzei sanovat kirjassaan Background of Arithmetic and Geometry, World Scientific, 1995, ISBN 981-02-2210-6, sivulla 129, että kulman suuruuden ja janan pituuden sitominen toisiinsa olisi opetuksen kannalta helpointa suorittaa tekemällä kosinilauseesta aksiooma, mutta sellainen pikemmin hävittäisi geometrian ja tekisi siitä trigonometrian liitännäisen.

Mitä pahaa on trigonometriassa? Kun opiskelin yliopistossa, trigonometria piti osata ulkoa, mutta kun tällainen hulluus lienee poistunut, en ole nähnyt estettä sille, että tämä kirja on kirjoitettu juuri niin hirveällä tavalla kuin minkä Radu Miron ja Dan Brânzei vuonna 1995 jyrkästi kielsivät.

Montako aksioomajärjestelmää geometrialle on olemassa?

8.4.2010

Pidän todennäköisena, että aksioomajärjestelmiä on äärellinen määrä.

Radu Miron ja Dan Brânzei sanovat kirjassaan Background of Arithmetic and Geometry, World Scientific, 1995, ISBN 981-02-2210, siculla 122, että Hilbertin jälkeen aksioomajärjestelmiä on ilmestynyt yli sata (v. 1995).

Kirjoittajien mukaan aksioomajärjestelmät vaihtelevat niiden tekijöiden tavoitteista riippuen. Jotkut haluavat vähentää aksioomia tehdäkseen syvempää metateoreettista tutkimusta. Jotkut tekevät aksioomia saadakseen aikaan useita eriytyneitä geometrian lajeja. Kolmas ryhmä, johon Birkhoff kuuluu, pyrkii tekemään geometriasta helposti ymmärrettävää.

Jos halusit oppia jotain tästä kohdasta, paina mieleesi, että erilaisia aksioomia on niin paljon, etteivät ne kaikki voi olla mitään itsestäänselvyyksiä.

Eräissä yliopistoissa koepaperin takana on aksioomat, ja tämä on viisasta, eihän sellaisia ole järkevää ryhtyä opettelemaan ulkoa.

Suomennos: Metateoria käsittelee jotain muuta teoriaa. Teoria on inhimillinen käsitys jostain asiasta.

Geometrian aksioomat

Hilbertin aksioomat

8.4.2010

Hilbertin aksioomat on 20 (alun perin 21:n) oletuksen sarja, jonka matemaatikko David Hilbert julkisti vuonna 1899.

Alla Suomessa laajalle levinnyt versio ilman Hilbertin (ja Rolf Nevanlinnan) ryhmittelyä. Alla olevat aksioomat käsittelevät tasogeometriaa. Tässä kirjassa käsitellään myös avaruusgeometriaa.

(H1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora l, joka kulkee sekä P:n että Q:n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on pisteet C, D ja E siten, että C*A*B, A*D*B ja A*B*E.

(H4) Jos A*B*C, niin A, B ja C ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja C*B*A.

(H5) Jos A ja B ovat eri pisteitä, suoralla AB on pisteet C, D ja E siten, että C*A*B, A*D*B ja A*B*E.

(H6) Jos A, B ja C ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa: A*B*C, A*C*B tai B*A*C.

(H7) Olkoot l suora sekä A, B ja C pisteitä, joiden kautta suora l ei kulje. Tällöin on voimassa:

(i) jos ABl ja BCl, niin ACl ja
(ii) jos AlB ja BlC , niin ACl.

(H8) Jos A ja B ovat eri pisteitä ja PQ on mielivaltainen säde (puolisuora), on olemassa yksi ja vain yksi piste R∈PQ siten, että AB≅PR.

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos A*B*C, A'*B'*C*, AB≅A'B' ja BC≅B'C', niin AC≅A'B'.

(H11) Olkoon ∠ABC kulma, DE puolisuora ja P piste, joka ei sisälly suoraan DE. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora DF siten, että FPDE ja ∠ABC≅∠FDE.

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot ΔABC ja ΔDEF kolmioita siten, että ∠A≅∠D, AB≅DE ja AC≅DF. Tällöin ΔABD≅ΔDEF.

(AA) (Arkhimedeen aksiooma) Olkoot AB ja CD janoja. Tälloin on olemassa n ∈ N ja piste E siten, että C ∗ D ∗ E ja CE ∼ n · AB.

(DA) (Dedekindin aksiooma) Olkoon suora, l = {P P sisältyy suoraan l} sen kaikkien pisteiden joukko ja D₁ ja D₂ ⊂ l siten, että D₁ ja D₂ toteuttavat Dedekindin ehdot. Tällöin on olemassa tasan yksi piste P ∈ l siten, että kaikille Q, R ∈ l pätee Q ∗ P ∗ R, jos ja vain jos Q ∈ D₁ ja R ∈ D₂ tai Q ∈ D₂ ja R ∈ D1.

Toinen seuraavista:

(PAR) (Euklidinen aksiooma) Jos l on suora ja P piste, joka ei sisälly suoraan A, niin P :n kautta kulkee korkeintaan yksi l:n kanssa yhdensuuntainen suora.

(HYP) (Hyperbolinen aksiooma) On olemassa suora ja piste P suoran ulkopuolella siten, ettaä P :n kautta kulkee ainakin kaksi eri l:n suuntaista suoraa.

Selityksiä:

ABl tarkoittaa, että pisteet A ja B ovat samalla puolella suoraa ja merkintä AlB tarkoittaa, että pisteet A ja B ovat eri puolilla suoraa. Aksiooma H7 on hyödyllinen perusteltaessa Paschin päätelmää ja Hilbertin puomipäätelmää joten kumpaakaan niistä ei tarvitse asettaa perusoletukseksi (aksioomaksi).

Merkki ≅ tarkoittaa yhtenevyyttä.

Oswald Veblenin aksioomat

20.4.2010

Aksioomien muodollistamisella tarkoitetaan luonnollisen kielen poistamista ja korvaamista erilaisilla merkeillä (symboleilla).

Esimerkkinä tällaisesta muodollistamisesta (formalisoinnista) esitämme joukon Veblenin aksioomia (sanalliset aksioomat ensin).

Oswald Veblenin väitöskirja (1904) "A System of Aksioomas for Geometry", Trans. Amer. Math. Soc., 5, 343-384 on toistaiseksi maksullinen, mutta julkaisija on luvannut lähitulevaisuudessa artikkelin ilmaiseksi Internetiin.

Esitän seuraavassa joukon Veblenin aksioomia siinä muodossa, jossa H. M. S. Coexter esittää ne teoksessaan Introduction to Geometry, second edition, John Wiley ans Sons Inc., 1969 ss. 177-187.

Olen muuttanut merkinnät 20.4.2010 alempana olevien aksioomajärjestelmien mukaisiksi.

A*B*C tarkoittaa, että piste B on pisteiden A ja B välissä.

On olemassa vähintään kaksi pistettä. ∃(A)∃(B){(A∈AB) ∧ (B∈AB)}.
Jos A ja B ovat kaksi pistettä, on olemassa ainakin yksi piste C, joka on niiden välissä.{(A∈AB) ∧ (B∈AB)} ⇒∃(C)A*B*C.
Jos B on A:n ja C:n välissä, A ja C ovat eri pisteitä. A*B*C ⇒ (A≠ C)
Jos B on A:n ja C:n välissä, niin B on C:n ja A:n välissä, mutta C ei ole B:n ja A:n välissä. A*B*C ⇒ {C*B*A ∧ ¬B*C*A]}.
Jos C ja D ovat eri pisteitä suoralla AB, silloin A on suoralla CD. {(C≠D)∧(C∈AB)∧(D∈AB)}⇒(A∈CD).
Jos AB on suora, on olemassa piste C, joka ei kuulu tähän suoraan. AB ⇒∃(C)(C∉AB).
Jos ABC on kolmio, C on B:n ja D:n välissä ja E on C:n ja A:n välissä, suoralla DE on piste F, joka on A:n ja B:n välissä. {ΔABC ∧ B*C*D ∧ C*E*A} ⇒ ∃(F){(F∈DE) ∧ A*F*B}.
Kaikki pisteet ovat samassa tasossa. ∀(P)(P∈ABC).
Jos ABC on taso, on olemassa piste D, joka ei kuulu tähän tasoon. ABC ⇒ ∃(D)(D∉ABC).
Kaikki pisteet ovat samassa avaruudessa. ∀(P)(P∈ABCD).
Jos ABCD on avaruus, on olemassa piste E, joka ei ole tässä avaruudessa. ABCD ⇒ ∃(E)(E∉ABCD).
Kaikille suoran pisteiden osituksille kahteen eityhjään luokkaan siten, että mikään toisen luokan piste ei ole toisen luokan pisteiden välissä, on olemassa ensimmäisen luokan piste joka sijaitsee jokaisen muun ensimmäisestä luokasta otetun pisteen ja minkä tahansa toisesta luokasta otetun pisteen välissä. {(CD=OA∪OB)∧(OA∩OB=∅)∧(P∈OA)}⇒
{(∀(Q)∀(R){(Q∈OA)∧(R∈OB)}
⇒ R*P*Q}}.
Kaikille pisteille A ja kaikille suorille l pisteen A ja suoran l määräämässä tasossa, missä l ei kulje A:n kautta, on olemassa enintään yksi sellainen suora m, joka kulkee A:n kautta eikä leikkaa suoraa l. Seuraava muoto on hieman vahvennettu. Muotoile harjoituksena heikompi muoto. ∀(A)∀(l)∃!(m)(A∉l ∧ A∈m ∧ (l ∩ m = ∅)).
Jos A, A', B, B', C C' ja O ovat seitsemän eri pistettä siten, ja jos AB on yhdensuuntainen A'B':n kanssa ja BC on yhdensuuntainen B'C':n kanssa,niin CA on yhdensuuntainen C'A':n kanssa. (AB || A'B' ∧ BC || C'C') ⇒ (CA|| C'A').

Alfred Tarskin aksioomat

15.4.2010

Eilen Internetiin laittamassani Internetistä kopioidussa versiossa oli painovirheitä.

Olen kirjoittanut tänään tämän osion uudestaan varustaen sen kuvilla, jotka toivottavasti ovat karsineet painovirheet.

Alfred Tarski oli se filosofi, joka väitti, että väite "sataa" on tosi, jos sataa.

Valitettavasti filosofit eivät ole vieläkään päässeet yksimielisyyteen siitä, onko tämä Tarskin väite tosi.

Tarskin ja Givantin artikkelissa käytetään pisteiden merkkeinä pieniä akirjaimia a, b, c, jne.

Tämä on mahdollista siitä syystä, ettei aksioomissa käytetä ollenkaan käsitettä "suora". Kaikki perusoliot ovat pisteitä. Alla olevassa esityksessä kirjaimet a, b, c jne. on muutettu kirjaimiksi A, B, C jne, koska suomalaiset ovat tottuneet merkitsemään pisteitä isoilla kirjaimilla.

Eiloogisia merkkejä Tarskilla on vain kaksi, ≡ eli pisteiden välimatka ja B(a,bc), mitä tarkoittaa, että b on pisteiden a ja c välissä. Seuraavassa olen muuttanut merkinnän B(abc) merkinnäksi A*B*C, koska Suomessa tähtimerkintä on suosiossa.

Alfred Tarskin aksioomat tämän oppikirjan kielelle käännettynä ovat seuraavat:

Yhtenevyysaksioomat

1. A:n ja B:n välimatka on sama kuin B:n ja A:n välimatka:

AB≡BA.

2. Jos AB on yhtä pitkä kuin CD ja AB on yhtä pitkä kuin EF, niin CD on yhtäpitkä kuin EF:

(AB≡CD∧AB≡EF)⇒CD≡EF.

3. Jos AB on sama kuin CC, A ja B ovat sama piste:

AB≡CC ⇒ A=B.

Janan jatkaminen toisella janalla

4. Janaa QA voidaan jatkaa janalla BC:

∃X (Q*A*X ∧ AX=BC).

Viisi janaa:

5. Jos neljä janaa ovat alla olevissa kuvioissa samat, viidennet janat DC ja C'D' ovat samat.

(A≠B ∧ A*B*C ∧ A'*B*'C' ∧ AB≡A'B'∧
BC≡B'C'∧ AD≡A'D' ∧ BD≡B'D') ⇒ CD≡C'D'.

5'. Muunnos edellisestä:

A≠ B∧ B≠ C∧ A*B*C ∧ A'*B*'C' ∧ AB≡A'B'∧
BC≡B'C'∧ AD≡A'D' ∧ BD≡B'D') ⇒ CD≡C'D'.

Saman pisteen välissä

6. Jos B on kahden A -nimisen pisteen välissä, niin A = B.

A*B*A⇒A=B.

Ensimmäinen muoto Paschin aksioomaa

7a. (A*P*C ∧ B*Q*C)⇒∃X (P*X*B ∧ Q*X*A).

Toinen muoto Paschin aksioomaa

7b. (A*P*C ∧ Q*C*B)⇒∃X (A*X*Q ∧ B*P*X).

Edellisen muunnos

7b'. (A*P*C ∧ Q*C*B)⇒∃X (A*X*Q ∧ X* P*B).

Heikko muoto Paschin aksioomaa

7c. (A*T*D ∧ B*D*C)⇒∃X ∃Y (A*X*B ∧ A*Y*C ∧ Y*T*X).

Alempi 1-ulotteinen aksiooma

8.a On olemassa kaksi eri pistettä.

∃A ∃B (A≠B)

Alempi 2-ulotteinen aksiooma

8b. On olemassa kolme pistettä siten, että mikään niistä ei ole muiden välissä.

∃A ∃B ∃C [¬A*B*C ∧¬B*C*A ∧¬C*A*B]

Alempi n-ulotteinen aksiooma

8n. Edellinen aksiooma muotoiltuna niin, että muuttujia on n kappaletta. Tämä muotoilu jätetään harjoitustehtäväksi, koska paperille on helpompi piirtää tarpeellisia merkkejä.

Alempi nollaulotteinen aksiooma

9.0 Nollassa ulottuvuudessa kaikki psiteet ovat samoja eli on olemassa vain yksi piste.

A = B.

Ylempi 1-ulotteinen aksiooma

9.1. Kolme pistettä on aina samalla suoralla.

A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B

Ylempi 2-ulotteinen aksiooma

9.2. Ylempi 2-ulotteinen aksiooma sanoo, että jos kolme A, B ja C ovat yhtä etäällä pisteistä P₁ ja P₁, niin A, B ja C ovat samalla suoralla.

(AP₁≡AP₂ ∧ BP₁≡BP₂ ∧ CP₁≡CP₂ ∧ P₁≠P₂)
⇒(A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B.

Ylempi n-ulotteinen askiooma

9.n. Edellinen aksiooma muotoiltuna niin, että muuttujia on n kappaletta. Tämä muotoilu jätetään harjoitustehtäväksi, koska paperille on helpompi piirtää tarpeellisia merkkejä.

Vaihtoehtoinen muoto ylemmälle 2-ulotteiselle aksioomalle

9.2.b. Tämän vaihtoehdon etuna on, että se on muotoiltu ilman käsitettä välimatka.

∃Y{([X*Y*A ∨ Y*A*X ∨ A*X*Y] ∧ B*Y*C)
∨([X*Y*B ∨ Y*B*X ∨ B*X*Y] ∧ C*Y*A)
∨([X*Y*C ∨ Y*C*X ∨ C*X*Y] ∧ A*Y*B)

Ensimmäinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.1.a Minkä tahaqnsa kulman BAC sisäpisteen T kautta on olemassa suora XY, joka leikkaa kulman molempia kylkiö pisteissä X ja Y.

A*D*T ∧ B*D*C ∧ A≠D)⇒
∃X ∃Y (A*B*X ∧ A*C*Y ∧ X*T*Y).

Ensimmäisen yhdensuuntaisuusaksiooman muodon muunnos

10.1.b Tässä on välissäolo käännetty edelliseen verrattuna.

(A*D*T ∧ B*D*C ∧ A≠D)⇒
∃X ∃Y (A*B*X ∧ A*C*Y ∧ Y*T*X).

Toinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.2. Toinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa sanoo, että kaikille ei-degeneroituneille kolmioille ABC on olemassa piste X, joka on yhtä kaukana kolmion kärjistä.

A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B ∨ ∃X [AX≡BX ∧ AX≡CX].

Kolmas muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.3. Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdistysjana on kolmannen suuntainen ja puolet siitä.

Tämä on yhtäpitävä sen kanssa, että kolmion kulmien summa on kaksi suoraa kulmaa (oikokulma).

[A*B*F ∧ AB≡ BF ∧ A*D*E ∧ AD≡DE ∧ B*D*C ∧ BD≡DC] ⇒ BC≡FE.

Jatkuvuusaksiooma

11. a. Jos pistejoukot X ja U ovat sellaiset, että kaikki X:n alkiot edeltävät kaikkia Y:n alkioita jonkin pisteen A suhteen, on olemassa piste B, joka erottaa niitä.

∃A∀U∀V[U∈X∧V∈Y⇒A*U*V]⇒
∃B∀U∀V[U∈X∧V∈Y ⇒ U*B*V] .

Jatkuvuusaksioomakaavio

11.b. Alla olevassa kaaviossa α ja β ovat mitä tahansa ensimmäisen kertaluvun kaavoja, joista α ei sisällä vapaina muuttujina A:ta B:tä ja V:tä ja β ei sisällä vapaina muuttujina A:ta, B:tä ja U:ta. Muuttujat ovat vapaita, jos niitä ei ole sidottu merkeillä ∃ ja ∀.

∃A∀U∀V [α ∧ β ⇒ A*U*V] ⇒
∃B∀U∀V[α∧β⇒U*B*V].

Itsensä välissä oleminen

12. Piste B on itsensä ja A:n välissä.

A*B*B.

13. Jos A:n ja B:n välimatka on nolla, B on A:n ja A:n välissä.

A=B ⇒ A*B*A.

Välissäolon symmetrisyys

14. A*B*C ⇒ C*B*A.

Välissäolon sisäinen siirrännäisyys (transitiivisuus)

15. Jos B on A:n ja D:n välissä ja C on B:n ja D:n välissä, niin B on A:n ja C:n välissä.

A*B*D ∧ B*C*D ⇒ A*B*C

Välissäolon ulkoinen siirrännäisyys

16. A*B*C ∧ B*C*D ∧ A≠ B ⇒ A*B*D

Välissäolon sisäinen liitännäisyys

17. A*B*D ∧ A*C*D ⇒ [A*B*C ∨ A*C*B]

Välissäolon ulkoinen liitännäisyys

18. A*B*C ∧ A*B*D ∧ A≠ B ⇒ [A*C*D ∨ A*D*C]

19. A=B ⇒ AC≡BC.

Kolmion luomisen yksikäsitteisyys

20. Samalla puolella janaa AB ei voi olla kahta eri pistettä C ja C' siten, että kolmiot ovat yhtenevät.

[AC≡AC' ∧ BC≡BC' ∧ A*D*B ∧ AD'B ∧ C*D*X ∧ C'*D'*X ∧ D≠X ∧ D'≠X] ⇒ C=C'.

Kolmion luomisen yksikäsitteisyys, muunnos

20'. Tämä muunnos väittää, että C ja C' ovat samalla puolella janaa AB.

Yhtenevän kolmion olemassaolo

21. Kaikille kolmioille A'B'C' ja kaikille janoille AB ≡ A'B' on olemassa piste C tietyllä puolella janaa AB siten, että kolmiot ABC ja A'B'C ovat yhtenevät.

AB≡A'B' ⇒ ∃C∃X (AC≡A'C' ∧ BC≡B'C' ∧ C*X*P ∧
[A*B*X ∨ B*X*A ∨ X*A*B]

Välissäolon tiheysaksiooma

22. X≠ Z ⇒ ∃Y[X≠ Y ∧ Z≠Y ∧ X*Y*Z.

(A≠C ∧ AC≡AC' ' ∧ BC≡BC' ∧ B*D*C') ∧
[A*D*C ∨ A*C*D]) ⇒ C=C'.

Yhtenevät janat

23. [X*Y*Z ∧ X*'Y*'Z' ∧ XZ ≡X'Z' ∧ YZ≡Y'Z'] ⇒ XZ≡X'Z'.

24. [X*Y*Z ∧ X*'Y*'Z' ∧ XZ ≡X'Z' ∧ YZ≡Y'Z'] ⇒ XY≡X'Y'.

Päätelmiä

AB≡CC ⇔ A=B ⇔ A*B*C.

A*A*B.

A*B*C ⇒ C*B*A.

(A*B*F ∧ B*C*F) ⇒ A*B*C.

(A*B*F ∧ A*C*F) ⇒ (A*B*C ∨ A*C*B).

≤ voidaan määritellä seuraavasti:

AB≤CD ⇔ ∀E(CE≡DE ⇒ ∃F(AF≡BF ∧ BF≡DE)).

Välissäolo voidaan määritellä seuraavasti:

A*B*C ⇔ ∀D(DA≤AB ∧ DC≤CB ⇒ D=B.

Mistä saat artikkelin

Artikkeli on vapaasti imuroitavissa ps - muodossa. Pääset lukemaan sitä napauttamalla tästä.

Kalifornian osavaltion aksioomat

13.5.2010

Kalifornian osavaltiossa on laadittu osavaltion käyttöön geometrian aksioomat:

SMSG -aksioomat 1960 -luvulla. Nämä aksioomat löydät napauttamalla tästä.

Muita USA:n aksioomia

10.10.2010

UCSMP -aksioomat vuonna 1983 Näiden aksioomien pohjana ovat olleet sekä George Birkhoffin että Saunders McLanen aksioomat. Chicagssa on hyvin toimiva julkinen liikenne mutta maksulliset aksioomat.

Gerard A. Veneman aksioomat 2006

13.5.2010

Gerard A. Veneman ajatukset katsoin siinä määrin tärkeiksi, että tilasin Amazon.co.uk:lta käytetyn kappaleen oppikirjasta The Foundations of geometry, Pearson Prentice Hall 2006.

Veneman aksioomat yrittävät luovia professorisekoilijain ja opettajasekoilijain välissä.

Suoraan määrittelemättömät käsitteet

Perusolioita ovat piste, suora, välimatka, puolitaso, kulman mitta ja pinta-ala.

Puolueettoman geometrian aksioomat

Olemassaolo: Kaikkien pisteiden joukko on eityhjä joukko jossa on vähintään kaksi pistettö. Joukosta käytetään nimitystä P.

Osumisaksiooma: Jokainen suora on pistejoukko. Kahta eri pistettä A ja B vastaa yksi ja vain yksi suora l = AB siten, että A, B ∈ l.

Viivainaksiooma: Jokaiselle pisteparille P ja Q on olemassa luku PQ. jota kutsutaan P:n ja Q:n väliseksi etäisyydeksi. Jokaista suoraa l vastaa ykjsi yhdelle kuvaus f suoran pisteiden joukolta r reaalilukujen joukolle R siten, että jos x = f(P) ja y = f(Q) niin

PQ = |x-y|.

Tason erotteluaksiooma: Jokaiselle tason suoralle l pisteet, jotka eivät ole suoralla l muodostavat kaksi eityhjää joukkoa H₁ ja H₂, joita kutsutaan puolitasoikai, joita l rajoittaa siten, että jos P∈H₁ ja Q∈H₂, PQ leikkaa l:ää.

Astelevyaksiooma: Jokaista kulmaa BAC vastaa reaaliluku (BAC), jota kutsutaan kulman ∠BAC mitaksi ja jolla on ominaisuudet

0 ≤μ(ABC) ≤ π;
(μ(ABC) = 0) ⇒ AB = BC.

Kulman muodostamisaksiooma:

∀r∈R: 0<r<π ja kaikille puolitasoille H joita AB rajoittaa, on olemassa säde AE siten, että E∈H ja μ(∠BAE) = r.

Kulmien yhteenlaskuaksiooma: Jos säde AD on kahden säteen AB ja AC välissä, niin

μ(∠BAD) + μ(∠DAC) = μ(∠BAC).

SAS (sivu-kulma-sivu) -aksiooma: Jos kaksi kolmiota ΔABC ja ΔDEF ovat sellaiset, että AB = DE, BC = EF ja ∠ABX = ∠DEF, niin ΔABC on yhtenevä ΔDEF:n kanssa.

Yhdensuuntaisuus

Euklidinen: Jokaiselle suoralle l ja jokaiselle suoran ulkopuolella olevalle pisteelle P on olemassa tasan yksi suora m siten, että m || l.

Elliptinen: Kaikille suorille l ja kaikille suoran ulkopuolella oleville pisteille P ei ole yhtään sellaista suoraa m, että m || l.

Hyperbolinen: Jokaiselle suoralle l ja jokaiselle suoran ulkopuolella olevalle pisteelle on vähintään kaksi sellaista suoraa m ja n, että P on molemmilla suorilla m ja n ja että m || l ja n || l.

Pinta-ala-aksioomat

Puolueeton pinta-ala-aksiooma: Jokaiseen monikulmioalueeseen R liittyy einegatiivinen reaaliluku α(R), jota kutsutaan monikulmion alaksi ja jolla on ominaisuudet:

(Yhtenevyys) Jos kaksi kolmiota ovat yhtenevät, niiden pinta-alat ovat samat.
(Yhteenlaskettavuus) Jos R = R₁ U R₂ ja R₁ ja R₂:n leikkaus on tyhjä, niin α(R₁) + α(R₂) = α(R).

Euklidinen pinta-ala-aksiooma: Jos R on suorakulmio, α(R) = pituus(R) x korkeus(R).

Peilausaksiooma

Jokaiselle suoralle l on olemassa muunnos ρ_l:P → P siten, että

Jos P∈l, niin ρ_l(P) = P.
Jos P∉l niin ρ_l(P) sijaitsee suoran toisella puolella.
ρ_l säilyttää välimatkan, suorat ja kulmat.

Aksiomaattisille järjestelmille esitettyjä vaatimuksia

Ristiriidattomuus, täydellisyys ja ratkaistavuus

Tarski ja Givant ovat osoittaneet, että alkeisgeometria on

Ristiriidaton
Täydellinen: Kaikki alkeisgeometrian lauseet voidaan päätellä aksioomista.
Ratkeava: On olemassa menetelmä, jolla voidaan päätellä, onko jokin päätelmä johdettavaissa aksioomista.

Tarski, Alfred; Givant, Steven (1999), "Tarski's system of geometry", The Bulletin of Symbolic Logic 5 (2): 175–214, MR1791303, ISSN 1079-8986

Harjoitus: Perustele Tarskin aksioomajärjestelmällä viisi alkeisgeometrian päätelmää.

Riipumattomuus

13.5.2010

Givant ei ole tarkastellut neljättä aksioomajärjestelmiltä usein vaadittua ominaisuutta eli riippumattomuutta.

Määritelmä: Aksioomajärjestelmä on riippumaton, jos mitään aksioomaa ei voida päätellä muista aksioomista.

Riippumattomuuden tekee mielenkiintoiseksi se, että maailman matematiikanerot pohtivat kaksituhatta vuotta sitä, onko euklidisen geometrian yhdensuuntaisuusaksiooma riippumaton muista euklidisen geometrian aksioomista.

Epäeuklidisen geometrian synty ratkaisi tämän ongelman: yhdensuuntaisuusaksiooma (tai sitä vastaava muu aksiooma) on riippumaton muista euklidisen geometrian aksioomista.

Mainittakoon, että epäeuklidisen geometrian keksimisen jälkeenkin on esiintynyt liikoja aksioomia tai epätietoisuutta siitä, jokin aksiooma riippumaton muista saman järjestelmän aksioomista.

Tämän kirjoittajan eläessä on selvinnyt, että ns. valinta-aksiooma (jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta) on muista joukko-opin aksioomista riippumaton.

Presburgerin aritmetiikka

10.6.2010

Presburgerin aritmetiikka (1929), joka sisältää pelkästään yhteenlaskun, on

ristiriidaton,
täydellinen ja
ratkeava

Presburgerin aritmetiikka sisältää seuraavat aksioomat:

¬(0 = x + 1)
x + 1 = y + 1 ⇒ x = y
x + 0 = x
(x + y) + 1 = x + (y + 1)
Olkoon P(x) ensimmäisen kertaluvun kaava jossa x on vapaa muuttuja (ja mahdollisesti muita vapaita muuttujia). Tällöin seuraava kaava on aksiooma:

(P(0) ∧ ∀x(P(x) ⇒ P(x + 1))) ⇒ P(y).

Ongelmat alkavat Peanon aritmetiikasta, joka sisältää kertolaskun. Useimmille ihmisille matematiikan ongelmat taitavat alkaa kertolaskusta.

Presburgerin aritmetiikkaa lienee suomen kielellä esitellyt vain Heikki Partanen omakustanteessaan Presburgerin ja Gödelin aritmetiikat, 2001, ISBN 952-91-3464-9. Heikki Partasella ei ole mitään hätää, koska hän peri varallisuutta vuorineuvosisältään, mutta hänen elämäntarinansa on surullinen kertomus ns. tieteen sisäisestä tilasta.

Presburgerin aritmetiikka ja tietokoneet

10.6.2010

1960 -luvun kaupalliset tietokoneet eivät tunteneet kertolaskua eli ne toimivat Presburgerin aritmetiikalla.

Sen ajan assembler -kielisessä ohjelmoinnissa kertolaskut suoritettiin yhteenlaskuina käyttäen aliohjelmia, joita sanottiin makroiksi.

Kuitenkin näille koneille oli olemassa FORTRAN -kääntäjä, jolla normaali matematiikka toimi hyvin. Tilasin työpaikkani ensimmäisen FORTRAN -kääntäjän Yhdysvalloista ja myös käytin sitä, koska olen ollut aina laiska laskemaan.

Jo siihen aikaan yliopiston tietokoneessa oli kerto- ja jakolasku, ja nykyään kaikissa tietokoneissa on sisäänrakennettuina kerto- ja jakolasku.

Kalkyylit

UI - kalkyyli

Yllä on erästä aksioomajärjestelmää kuvaava puu. Tällaisia voi luoda Inkscapella.

Walter R. Fuchs (Walter R. Fuchs: Matematiikka, Kirjayhtymä,1968) on havainnollistanut merkkipeliä eli kalkyyliä seuraavalla esimerkillä:

Peruskuvio (aksiooma)
Klemmari
U

Päättelysääntö 1:
Klemmarin molemmin puoli saa asettaa tulitikun, esimerkiksi
IUI
on johdettavissa.

Päättelysääntö 2:
Kuvion (lauseen) perään saa asettaa klemmarin, esimerkiksi
UU
on johdettavissa.

Ristiriidattomuus tarkoittaa merkkipeleissä sitä, että kaikkia mahdollisia kuvioita ei voida johtaa annetuilla päättelysäännöillä peruskuvioista tai tyhjästä kuviosta.

Esimerkkimerkkipelissämme kuviota
IU
ei voida johtaa peruskuviosta annetuilla kahdella päättelysäännöllä, joten merkkipeli on ristiriidaton.

Puuna merkkipelimme alkaa seuraavasti:

Aksiooma:

Päätelmiä:

IUI

IIUII

IUIU

IUUI

UUU

IIIUIII

IIUIIU

IIUIUI

IUIUU

IIUUII

IUUIU

IUUUI

UUUU

Jos tikkujen ja klemmarien sijaan käytetään ykkösiä ja nollia, voidaan konstruoida erilaisia lukujoukkoja (kokeile!).

Yllä olevalle on sukua MIU -kalkyyli, joka on esitetty Douglas R. Hofstadlerin teoksessa Gödel, Escher. Bach, an Eternal Golden Braid, Basic Books, ISBN 0-465-02656-7.

Harjoitus: Olkoon ainia aksiooma 1 ja olkoon esnimmäinen sääntö että kuvion perään saa lisätä 0 ja olkoon toinen sääntö, että kuvion perään saa lisätä 1. Tee tästäkalkyylista puu.

Millainen kalkyyli tulisi alkeisgeometriasta

Surkastumien kielto

22.4.2010

Alkeisgeometrian vaikeudet kalkyylinä ilmenevät esimerkiksi Tarskin aksioomissa. Mielestäni ongelmana ovat surkastuneet oliot kuten yhden pisteen jana, kahden pisteen kolmio ja kolmen pisteen nelitahokas. Yritän seuraavassa muotoilla kalkyylin niin, ettei surkastumia sallita.

Surkastumien kielto tarkoitta sitä, etteivät merkinnät PP, PPP, PPPP ole sallittuja.

Aksioomakaaviot

22.4.2010

Alkeisgeometriaan pitänee laittaa aksioomien sijasta niin sanottuja aksioomakaavioita.

Edellä on Tarskin aksioomien yhteydessä esitetty yksi aksioomakaavio, jossa α:n ja β:n paikalle saa sijoittaa mitä tahansa vapaista muuttujista koostuvia ilmauksia.

Pisteiden A, B, C jne sijasta käytän seuraavassa muuttujia X, Y, Z jne, joiden tilalle voi sijoittaa.

Ensimmäinen kaavio olisi nollaulotteisen geometrian kaavio:

X

X:n tilalle saa sijoittaa minkä tahansa pisteen.

Tässä tapauksessa ei tarvita surkastumisen estoa.

Seuraava kaavio olisi yksiulotteisen geometrian kaavio:

XY

X:n ja Y:n tilalle saa sijoittaa pisteen.

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä.

Seuraava kaavio olisi kaksiulotteisen geometrian kaavio:

XYZ

X:n, Y:n ja Z:n tilalle saa sijoittaa pisteet.

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, niin Z:n tilalle ei saa sijoittaa kumpaakaan pisteistä P ja Q.

Seuraava kaavio olisi kolmiulotteisen geometrian kaavio:

XYZU

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, niin Z:n tilalle ei saa sijoittaa kumpaakaan psiteistä P ja Q. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, ja Z:n tilalle R, niin niin U:n tilalle ei saa sijoittaa mitään pisteistä P, Q ja R.

Samuuden merkkinä käytetään merkkiä ≡.

Samuuden siirrännäisyysaksiooma:

Δ₁ ≡ Δ₂ ∧ Δ₂ ≡Δ₃ ⇒ Δ₁≡Δ₃

Kahden pisteen vaihdannaisuusaksiooma:

XY ≡ YX

Päätelmiä:

XYZ ≡ XZY

XYZ ≡ ZXY

XYZ ≡ ZYX

XYZ ≡ YZX

XYZ ≡ ZYX

Koska 3! = 1.2.3 = 6, yllä on kaikki kolmen kirjaimen yhdeistelmät.

Vastaavasti neljän kirjaimen yhdistelmiä saadaan 1.2.3.4 = 24.

Harjoitustehtävä: Luetteloi kaikki mahdolliset neljän kirjaimen yhdistelmät.

Tähtien lisääminen ja poisto

XY - X*Z*Y

XY - X*Y*Z

XY - Z*X*Y

Ongelma:

3.5.2010

Kaksiulotteisuuden ja kolmiulotteisuuden toteuttaminen tapahtuisivat helpoimmin, jos kalkyylin merkit voisi esittää kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa.

Tietokoneelle tämä ei ole mikään ongelma, sillä kaikki matriisit ja puut ovat yksiulotteisessa muistissa olevia tietorakenteita. Lyijykynällä kirjoittavalle matemaatikolle tämä on iso ongelma.

Tarskin geometriaa vastaavia menetelmiä on kehitetty, mutta valitettavasti ne ovat vielä monimutkaisempia kuin tavalliset matriisi- ja puumallit.

jatkuu...

Kuuluisia kalkyylejä

1.6.2010

Esimerkkejä

Tietosanakirjasivistys ei tunne enää muita kalkyyjejä kuin lambda -kalkyylin.

Logiikan lausekalkyyli ja ns. predikaattikalkyylit ovat kuitenkin mitä ilmeisimmin kalkyylejä.

Tietotekniikka

Mitä tulee tietotekniikkaan, logiikkaohjelmointia varten on kehitetty joukko kieliä, joista kuuluisin on prolog.

Sisäisesti tietokone käyttää mm. ja, tai ja ei -portteja. Ja -portti päästää virtaa läpi vain, jos molemmista syötejohdoista tulee virtaa. Tai -portti päästää läpi virtaa, jos molemmista tai toisesta syötejohdosta tulee virtaa. Ei -portti tekee johtimeen virtaa silloin, kun syötejohdosta ei tule virtaa.

Portin on toteutettu kähinnä transistoreilla ja diodeilla.

Kaikki laskutoimitukset on toteutettu edellä luetelluilla porteilla.

Tietokoneiden ohjelmointikielissä käytetään myös sanona "ja", "tai" ja "ei". Vanhemmissa ohjelmointikielissä käytetään englanninkielen sanoja, C- sukuisissa kielissä (kuten C, C++, Java ja C#) käytetään ja -sanan merkinä kahta ja - merkkiä &&, tai -sanan merkkinä kahta putken merkkiä eli pystysuoraa viivaa || ja ei -sanan merkkinä huutomerkkiä !.

Merkilliset merkit johtivat siitä, että C -kielen kehittäjät halusivat käyttää normaalinäppäimistöltä löytyviä merkkejä.

Logiikka

2.5.2010

Jos yksinkertaisuuden mittana pidetään aksioomien vähyyttä, yksinkertaisin logiikan kalkyyli on Patrick Suppesin järjestelmä, jossa on pelkkiä sääntöjä eikä lainkaan aksioomia. Helpoimmin pääset tutustumaan tähän järjestelmään hankkimasta jostain Seppo K. Miettisen kirjan Logiikan perusteet, osa I, II korjattu painos, Ylioppilastuki ry 1971. Suppesin järjestelmää on esitelty sivuilla 37-...

Jos yksinkertaisuuden mittana käytetään merkkien määrää, Shefferin viiva | riittää koko lausekalkyyliin.

Shefferin viiva luetaan "ei molemmat".

Kuten lukemistavasta näkyy, Shefferin viiva on yhdeitelmä sanoista "ei" ja "ja" (joskus merkitään "nand"). Miltä tuntuisi laskea seuraavilla aksioomilla?

(x | x) | (y | x) = x
x | (y | (x | z)) = ((z | y) | y) | x

Hilbert - tyyppisiksi sanotaan aksioomajärjestelmiä, joissa on muutamia normaalikielellä ymmärrettäviä aksioomia. Esitän esimerkkinä yhden. Se on peräisin Prologin oppikirjasta Logic for Applications, Anil Nerode and Richard A. Store, Springer, second edition, 1996, s. 127.

α, β ja γ ovat mitä tahansa kaavoja kaikkien kaavojen joukossa L.

(α⇒(β⇒α)
((α⇒((β⇒γ))⇒((α⇒β)⇒β)⇒(α⇒γ)))
((¬α)⇒(α⇒β))
(∀x)α(x)⇒α(t) kaikille niille t, jotka on sijoitettavissa α:aan.
(∀x)(α⇒β)⇒(α⇒(∀x)β) jos α ei sisällä x:n vapaita esiintymiä.

Esiintymä on sidottu jos sitä sitovat kvanttorit ∀ ja ∃.

Päättelysääntöjä on kaksi:

Modus ponens: Jos α ja α⇒β niin β.
Yleistys: Jos (∀x)α niin α.

Jos haluat opiskella logiikkaa tästä eteenpäin, etsi jostain esimerkiksi Seppo K. Miettisen kirja. Siitä on tiettävästi uudehkoja painoksia:

Miettinen, Seppo K.: Logiikka, perusteet, Gaudeamus 2009, 249 sivua, 3. painos, ISBN 9516628656

Aksioomat ja suorat määritelmät

Ovatko aksioomat "perussääntöjä"

Rolf Nevanlinnan teoksen "Geometrian perusteet, WSOY, 1972, sivulla IX kutsutaan aksioomia perussäännöiksi.

Tämä käsitys on oikean suuntainen mutta virheellinen. On aksiomaattisia järjestelmiä kuten esimerkiksi Patrick Suppesin logiikka (Introduction to Logic. Dover, 1999 (1957)), joissa tullaan toimeen pelkillä säännöillä, mutta yleensä aksioomiksi ei kutsuta näitä sääntöjä vaan kalkyylien ns. peruskuvioita.

Siinä Nevanlinna on oikeassa, että aksioomat ja säännöt määrittelevät kalkyylin perusrakenteen.

Suorat määritelmät

Luettelen seuraavassa joukon Oswald Veblenin suoria määritelmiä. H. M. S. Coexter esittää ne teoksessaan Introduction to Geometry, second edition, John Wiley ans Sons Inc., 1969 ss. 177-187.

Jos A ja B ovat eri pisteitä, jana on niiden pisteiden P joukko, jotka ovat A:n ja B:n välissä.
Väli AB on niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat jana AB ja sen päätepisteet.
Saman suoran pisteet ovat samasuoraisia (kollineaarisia).
Kolme ei-samasuoraista (ei-kollineaarista) pistettä määräävät kolmion ABC, joka koostuu janoista AB, BC tai CD (kolmion sivut) tai ovat kolmion kärkiä A, B tai C.
Jos A, B ja C ovat kolme ei-samasuoraista (ei-kollineaarista) pistettä, taso on kaikkien niiden pisteiden joukko, jotka ovat samasuoraisia (kollineaarisia) sellaisten pisteparien kanssa, jotka ovat yhdellä tai kahdella kolmion ABC sivuista.
Jos piste O on janalla AB, O jakaa suoran kahteen säteeseen OA ja QB.
Kulma koostuu pisteestä O ja kahdesta eisamasuoraisesta (ei-kollineaarisesta) säteestä. O on nimeltään kulman kärki ja säteet OA ja OB kulman kylkiä.

Aksiooman ja suoran määritelmän välinen ero on liukuva

10.6.2010

On mahdollista, että Eukleideen geometria voidaan täsmentää ilman nykyistä aksiomatiikkaa. Mielestäni tarvitsee vain muuttaa muutamien tavallisten päätelmien (teoreemojen) nimet aksioomiksi.

En kuitenkaan ryhdy tähän tehtävään, mutta toivon, että tieteen osakkeenomistajat sallisivat jonkun nuoren matemaatikon paneutua tähän tehtävään.

Millä tavalla tämä oppikirja eroaa Eukleideen - Hilbertin geometriasta?

13.5.2010

Oleellisin ero näihin geometrioihin verrattyna on se, että tämä oppikirja on mitallista (metristä) geometriaa. Tässä geometriassa oletetaan kahden pisteen välimatka tunnetuksi ja pinta-ala ja tilavuus määritellään pisteiden välimatkojen perusteella suoraan.

Tällöin säästytään hankalilta yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuustarkasteluilta ja vaikeuksilta janojen, kulmien, alueiden ja kappaleiden mittojen laskutoimitusten tarkasteluissa.

Harpilla ja asteikottomalla viivaimella tehtäviä piirroksia on tarkasteltu, mutta niitä ei ole pyritty perustelemaan, vaan perustelut voi jokainen lukija halutessaan löytää muualta tästä oppikirjasta. Tietysti ne voi löytää myös melkein kaikista Eukleideen kirjoja käsittelevistä oppikirjoista.

Tämän oppikirjan käsitteistön rakenteesta

20.3.2010

Peruskäsitteet jana, kolmio ja nelitahokas on määritelty kahdeksi eri pisteeksi, kolmeksi, janasta riippumattomaksi eri pisteeksi ja neljäksi, janasta ja kolmiosta riippumattomaksi pisteeksi.

Käsite janan pituus on määritelty d(X,Y):si, kolmion pinta-ala on määritelty Heronin kaavan avulla ja nelitahokkaan tilavuus on määritelty Heronin kaavan yleistyksen avulla. Nämä kaavat ovat erikoistapauksia Cayley-Mengerin determinantteihin perustuvista kaavoista.

Peruskäsitteistä riippuvina käsitteinä on määritelty janasto (entinen suora), kolmiosto (entinen taso) ja nelistö (entinen avaruus).

Janan, pinnan ja kappaleen määritelmät on irroitettu niiden varsin mutkikkaista topologisista määritelmistä (tämän kirjoittaja on kyllä suorittanut topologian kurssin yliopistossa).

Virheetöntä geometriaa ei ole

16.3.2010

En ole nähnyt yhtään virheetöntä geometrian oppikirjaa. Tämäkään kirja ei ole virheetön, sillä sellaista en osaisi tehdä eikä osaisi kukaan muukaan nykyihminen. Visuaaliset mielikuvat ja yhteydet ovat niin sitkeästi ihmislajin päässä, että todennäköisesti tarvittaisiin uusi eläinlaji rakentamaan virheetön geometria.

En väitä, että geometrian kirjoissa esitetyt lauseet olisivat sinänsä virheellisiä, vaan väitän, että näiden lauseiden perustelut eivät ole ole täydellisisiä vaan riippuvat ihmislajin aivojen kyvystä käsitellä visualisoitavissa olevia asioita.

Geometrian osa-alueita

Projektiivinen geometria

Projektiivisen geometrian aksioomat:

Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, on ainakin yksi suora l, joka sisältää molemmat.
Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, vain yksi suora l sisältää molemmat pisteet.
Kaikilla tason suorilla on ainakin yksi yhteinen piste (mikä saattaa olla äärettömyyspiste)
Tasossa on ainakin yksi suora.
Jokainen suora sisältää tasossa ainakin kolme pistettä.
Kaikki tason pisteet eivät kuulu samaan suoraan.

Lähde:
Veblen, O. and Young, J. W. Projective Geometry, 2 vols. Boston, MA: Ginn, 1938.
Kasner, E. and Newman, J. R. Mathematics and the Imagination.
Redmond, WA: Microsoft Press, pp. 150-151, 1989.

Neliöjuuren merkitseminen

Neliöjuuri a on usein ilmaistu potenssina a^½ koska ½ löytyy suoraan tietokoneen näppäimistöltä. Siis esimerkiksi kakkosen neliöjuurta merkitään 2^½.

Joissakin tapauksissa neliöjuurta on merkitty myös √(....). HTML:ssä neliöjuuren merkki on √.

Kreikkalaiset aakkoset ja matemaattiset merkit

html ja Inkscape

15.3.2010

Koska kreikkalaisten aakkosten käyttö mutkistaisi esimerkiksi kuvien tekoa vektorigrafiikalla, kreikkalaisia aakkosia ei ole yleensä käytetty.

HTML:ssä kreikkalaisia aakkosia saadaan esimerkisi seuraavasti: α Α β Β jne.

Kompozerissa ja Composerissa kreikkalaisia aakkosia saa (kuten edellä on mainittu) suoraan valikosta Format/Font/Aplha-beta.

abcdefghiklmnopqrstu...ABCDEFGHI

Inkscapessa voidaan käyttää kreikkalaisia aakkosia seuraavasti:

Valitse tekstin kirjoittaminen.
Siirrä kohdistin paikkaan, johon haluat kirjoittaa kreikkalaisen aakkosen.
Paina Ctrl + U
Kirjoita kreikkalaisen aakkosen Unicode -merkki HEX - muodossa.
Paina Enteriä.

Unicode -karttoihin pääset napauttamalla tästä.

Samasta paikasta löydät myös matemaattiset merkit

Esimerkki: Haluat kirjoitta kreikkalaisen aakkosen alfa Inkscape -kuvaan.

Valitse tekstin kirjoittaminen.
Siirrä kohdistin paikkaan, johon haluat kirjoittaa kreikalaisen aakkosen.
Paina Ctrl + U.
Kirjoita 03B1.
Paina Enteriä.

Unicode -merkkejä voidaan siis käyttää HEX - muodossa Inkscapessa.

Vihje

Laita yllä oleva Unicode -merkkien sivu selaimesi kirjainmerkkeihin.

Yleiskäsite mitta (measure)

8.4.2020

Sigma-algebra

Määritelmä: Olkoon Ω mielivaltainen epätyhjä joukko.

Sigma-algebra perusjoukolla Ω (omega) on sen osajoukkojen (subset) joukkoperhe F, joka toteuttaa ehdot:

∅∈F ,
jos A ∈F, niin A^c ∈F,
jos A_k ∈ F kaikilla k ∈ K, missä K on numeroituva joukko, niin ∪A_k ∈F.

Suomennos:

Tyhjä joukko kuuluu sigma-algebraan.
Jos joukon A pisteet kuuluvat sigma-algebraan, niin silloin siihen kuuluvat myös kaikki ne pisteet, jotka eivät kuulu A:han.
Jos numeroituva joukko joukkoja kuuluu sigma-algebraan, niin niiden yhdiste kuuluu sigma-algebraa. Yhdiste tarkoittaa joukkoa, johon kuuluvat samat pisteet kuin kaikkiin yhdistettäviin joukkoihin, mutta mitään pistettä ei lasketa kahdesti.

Nimitys sigma-algebra johtuu eräiden matemaatikoidet tavasta merkitä sigma-algebraa σ(F), missä σ on kreikankielen pieni kirjain sigma.

Numeroituvassa joukossa on enintään yhtä paljon olioita (alkioita) kuin kokonaislukujen joukossa.

Mitta

Määritelmä: Oletetaan, että X on joukko ja A on jokin joukon X sigma-algebra.

Sanomme, että funktio μ : A ⇒ [0,∞] on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

Tyhjän joukon mitta on nolla, eli μ(∅) = 0
Jos joukot A_i ∈A, i ∈ N, ovat erillisiä (pistevieraita), niin μ(∪A_i)= Σμ(A_i).

μ (myy) tulee sanasta mitta.

Suomennos:

Tyhjän joukon mitta on nolla.
Jos joukot ovat sellaisia, ettei niissä ole samoja pisteitä (pistevieraita joukkoja), niin joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa.

Pistevieraus takaa sen, ettei samoja pisteitä mitata kahdesti.

Huoimautus: Mitta ei ole puhtaan geometrian käsite.

Birkhoffin janamitta

Birkhoff määrittelee yksi-yhteen vastaavuuden reaalilukujen ja pisteiden välille: Pisteitä A ja B vastaavat reaaliluvut x siten, että |x_b-x_a| = d(A,B) (Postulaatti 1).

Me emme tätä mittaa tarvitse.

Geometrian mittoja

Yksiulotteisia mittoja

10.6.2010

Yksiulotteisia mittoja ovat mm.

Välimatka d(P,Q).
Pituus |PQ|.
Paksuus t(A).

Kaksiulotteisia mittoja

Kaksiulotteisia miittoja ovat mm.

Pinta-ala A.

Kolmeulotteisia mittoja

Kolmiulotteisia mittoja ovat mm.

Tilavuus V.

Huomaa, että välimatkaa ei määritellä tässä oppikirjassa toisin kuin analyyttisen geometrian oppikirjoissa. Välimatkat oletetaan tunnetuiksi reaaliluvuiksi.

Pinta-ala ja tilavuus määritellään myöhemmin välimatkan avulla.

Pisteen määritelmä

10.6.2010

Pisteellä on mm. seuraavat ominaisuudet:

Piste ei ole tyhjä joukko {P} ≠ ∅
Piste on yhden alkion joukko n{P} = 1.
Pisteen kaikki mitat ovat nollia μ(P) = 0.

Huomaa, että tämä on vain osittainen määritelmä.

Harjoituksia

Tee geometria, jossa pisteillä on eri värit.
Mitä seuraa siitä, että samassa paikassa voi olla erivärisiä pisteitä?
Milaisen geometrian saat RGB -väreillä?
Millaisen geometrian saat CMYK -väreillä.
Millaisen geometrian saat väreillä, joihin on lisätty ultravioletti ja infrapunainen?

Muoto (form)

11.2.2010

Määritelmä: Kahdella pistejoukolla on sama muoto, jos ne ovat yhdenmuotoiset (tämä käsite määritellään alempana).

Sanaa "muoto" käytetään matematiikassa myös laajemmassa merkityksessä, on muotoluokkia kuten suorakulmiot, suorakulmaiset särmiöt, monikulmiot, jne.

Luokan pistejoukoilla on yhteisiä ominaisuuksia.

Esimerkiksi suorakulmiot ovat nelikulmioita, joiden kaikki neljä kulmaa ovat suoria.

Suure (magnitude)

11.2.2010

Suure on fysiikan käsite.

Geometriassa käytetään suureiden sijasta reaalilukuja.

Geometrian tehtävissä voidaan käyttää fysiikan SI -järjestelmän mukaisia suureita, joista tärkeimmät ovat m, m² ja m³ eli metri, neliömetri ja kuutiometri.

Paikka (place, kr. topos)

11.2.2010

Tässä geometriassa ei käytetä käsitettä "paikka". Analyyttisessä geometriassa paikka on pisteen sijainti ns. koordinaatistossa.

Kuvio (figure)

6.6.2010

Muotoa, piirrosta yms. esitystä sanotaan usein kuvioksi.

Määritelmä: Tässä geometriassa kuvio on pistejoukko.

Huomautus: Kuvio voi olla myös täysin satunnainen pistejoukko.

Välimatka (distance)

Mitallinen avaruus

16.3.2010

Perusoletus: Kirjaimia A, B, C, D jne. kutsutaan pisteiksi.

Pisteet piirroksissa: Pisteet piirroksissa ovat täpliä tai pieniä rasteja, ja niitä merkitään usein myös P, Q, R, ...

Määritelmä: Pistekaksikolla (duo) on ominaisuutena pisteiden välimatka d (distance), joka on reaaliluku (real number). Merkitään kahden pisteen A ja B välimatkaa (distance) seuraavasti: d = d(A,B) = |A,B|. Alempana pilkku ja d jätetään pois eli pisteiden A ja B välimatkaa merkitään |AB|.

Välimatka on einegatiivinen reaaliluku eli |AB| ≥0.
Välimatka |AB| on nolla silloin ja vain silloin, kun A=B.
Välimatka on vaihdannainen eli |AB| = |BA|.
Välimatkat noudattavat kolmioepäyhtälöä

|AB| + |BC| ≥ |AC|.

Pisteet A ja B ovat siis eri pisteitä, jos ja vain jos d|AB| > 0.

Näiden ehtojen mukaisista oliojoukoista E käytetään nimitystä metrinen eli mitallinen avaruus.

Lähde; J. Dieudeonné: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960, s. 27. Löytyy myös teoksen Seymouer Lipschuz: General Topology, Schaum, 1965 sivulta 111.

Päätelmä: |AB| ≥ |AC| - |BC|

Perustelu: |BC| on siirretty epäyhtälön puolelta toiselle ja samalla on vaihdettu sen merkki.

Huomautus: Välimatka reaalilukuna ei ole ns. puhtaan geometrian käsite.

Harjoitus: Osoita, että välimatka on olemassa.

Pisteiden lukumäärä

14.5.2010

Monissa oppikirjoissa tarkastellaan äärellisiä geometrioita, joissa on vain muutamia pisteitä. Muutaman pisteen geometriassa riittää usein, että vain muutama yhdensuuntainen tai kohtisuora on olemassa.

Koska tässä geometriassa käsitellään keskipistejanaa, kulman puolittajaa, ympyrää jne. pistejoukkoina, pisteitä voi olla mielivaltainen tai ääretön määrä.

Kun tässä geometriassa käytetään reilusti mittaa eikä vain pelkkää yhdenmuotoisuutta tai järjestystä, oletamme, että kaikilta etäisyyksiltä löytyy riittävästi pisteitä. Eiväthän nämä pisteet meille mitään maksa.

Ulottuvuusoletukset

6.6.2010

Yksiulotteisuusoletus: (Annetulla etäisyydellä oleva piste)

Kaikille pisteille P ja kaikille reaaliluvuille a'>0 on olemassa piste Q, jonka etäisyys pisteestä P on a'. Tässä tapauksessa etäisyydellä ei ole ala- eikä ylärajaa ellei alarajana pidetä pisteen etäisyyttä itsestään.

∀P∀(a'∈R)∃Q (d(P,Q) = a').

Vaihtoehtoinen yksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Λ (jossa on vähintään kolme eri pistettä) on janasto (suora) jos ja vain jos kaikille kolmelle Λ:n pisteille A, B, ja C :

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

missä d(A,B)≠0 tai d(B,C)≠0.

Esimerkki 1

Tarkastellaan pisteitä A, B ja C, joille d(A,B) =1, d(B,C) = 1 ja d(A,C) = 1.

Octavella determinatti lasketaan seuraavasti:

octave:1> A = [
> 0 1 1 1
> 1 0 1 1
> 1 1 0 1
> 1 1 1 0 ]
A =

   0   1   1   1
   1   0   1   1
   1   1   0   1
   1   1   1   0

octave:2> det(A)
ans = -3
octave:3>

Koska determinatti ei ole nolla, pisteet A, B ja C eivät ole samassa janastossa (samalla suoralla.

Esimerkki 2

Tarkastellaan pisteitä A, B ja C, joille d(A,B) =1, d(B,C) = 2 ja d(A,C) = 3.

Etäisyyksien neliöt ovat

d(A,B)² =1, d(B,C)² = 4 ja d(A,C)² = 9.

Octavella determinatti lasketaan seuraavasti:

octave:5>

A =

>0   1   9   1
>1   0   4   1
>9   4   0   1
>1   1   1   0

octave:6> det(A)
ans = -7.9936e-15
octave:7>

Nyt determinatti on laskutarkkuden rajoissa nolla ja pisteet ovat samassa janastossa (samalla suoralla).

Tietysti Octaven voi panna laskemaan neliöt esimerkiksi seuraavasti:

octave-3.2.4:29> AB = 1
AB = 1
octave-3.2.4:30> BC = 2
BC = 2
octave-3.2.4:31> AC = 3
AC = 3
octave-3.2.4:32> A = [
> 0 AB*AB AC*AC 1
> AB*AB 0 BC*BC 1
> AC*AC BC*BC 0 1
> 1 1 1 0]
A =

   0   1   9   1
   1   0   4   1
   9   4   0   1
   1   1   1   0

octave-3.2.4:33> det(A)
ans = -7.9936e-15
octave-3.2.4:34>

Harjoituksia

Millainen geometria saadaan jos d(A,B)≠d(B,A)
Tee oma suhteellisuusteoria, jossa d(A,B)≠d(B,A).

Kaksiulotteisuusoletus: (Kahdesta eri pisteestä annetuilla etäisyyksillä oleva piste)

Kaikille pisteille P ja Q ja kaikille niille reaaliluvuille a'>0 ja b'>0, joille a' + b' ≥ d(P,Q) on olemassa piste R, jonka etäisyydet pisteistä P ja Q ovat a' ja b'.

∀P ∀Q ∀(a'∈R) ∀(b'∈R) ∃R {(P≠Q) ∧(a'+b' ≥d(P,Q)) ⇒ [(d(P,R)=a')∧(d(Q,R)=b')]}.

Vaihtoehtoinen kaksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Π (jossa on vähintään neljä eri pistettä), on kolmiosto (taso) jos ja vain jos kaikille Π:n pisteille A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Π:n kolmikot eivät ole samalla janastolla (suoralla).

Esimerkki 1: Olkoot kaikki kuusi pisteiden välimatkaa 1 (säästytään neliöinniltä). Tällöin

octave-3.2.4:4> A = [
> 0 1 1 1 1
> 1 0 1 1 1
> 1 1 0 1 1
> 1 1 1 0 1
> 1 1 1 1 0]
A =

   0   1   1   1   1
   1   0   1   1   1
   1   1   0   1   1
   1   1   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:5> det(A)
ans = 4
octave-3.2.4:6>

Kun determinantti on 4, pisteet eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa), vaan ne itse asiassa muodostavat säännöllisen yksikkönelitahokkaan, josta puhutaan toisaalla.

Tämän nelitahokkaan tilavuus voidaan laskea determinantin arvosta 4 kaavalla

V = √(D/2)/12 = √(4/2)/12 = √(2)/12.

Jos säännöllisen nelitahokkaan särä on d, tästä saadaan säännöllisen nelitahokkaan tilavuudella kaava

V = d³√(D/2)/12,

sillä kuten toisalla esitetään, tilavuus on suoraan verrannolinen mittakaavan kuutioon.

Esimerkki 2: Laitetaan esimerkin 1 ykkösistä yksi etäisyys nollaksi.

octave-3.2.4:10> A = [
> 0 1 1 0 1
> 1 0 1 1 1
> 1 1 0 1 1
> 0 1 1 0 1
> 1 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   1   0   1
   1   0   1   1   1
   1   1   0   1   1
   0   1   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:11> det(A)
ans = 0
octave-3.2.4:12>

Nyt neljäs piste on kolmion kärjessä ja determinantti on nolla.

Esimerkki 3: Olkoot kuusi etäisyyttä seuraavat

AB =1, BC = 1, CD=1, AC = √(2) ja BD = √(2).

Neliöt ovat

AB² = 1, BC² = 1, CD² = 1 AC² = 2, BD² = 2.

Octavella saadaan seuraava tulos

octave-3.2.4:1> A = [
> 0 1 2 1 1
> 1 0 1 2 1
> 2 1 0 1 1
> 1 2 1 0 1
> 1 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   2   1   1
   1   0   1   2   1
   2   1   0   1   1
   1   2   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:2> det(A)
ans = -1.1844e-15
octave-3.2.4:3>

Koska determinantti on mittaustarkkuuden rajoissa nolla, pisteet ovat samassa kolmiostossa (tasossa), jos joku pistekolmikko muodostaa kolmion.

Tarkastellaan pistejoukkoa ABC.

Siinä

AB =1, BC = 1, ja AC = √(2)

AB² = 1, BC² = 1, ja AC² = 2.

Octavella saadaan tulos

octave-3.2.4:3> A = [
> 0 1 2 1
> 1 0 1 1
> 2 1 0 1
> 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   2   1
   1   0   1   1
   2   1   0   1
   1   1   1   0

octave-3.2.4:4> det(A)
ans = -4
octave-3.2.4:5>

eli pisteet A, B ja C muodostavat kolmion.

Itse asiassa pisteet A, B, C ja D muodostavat yksikköneliön, jonka lävistät ovat √(2).

Harjoitus: Piirrä esimerkkiä 3 vastaava kuva.

Kolmiulotteisuusoletus: (Kolmesta eri pisteestä annetulla etäisyydellä oleva piste)

Kaikille pisteille P, Q ja R, joille d(P,Q)=a, d(Q,R)=b ja d(R,P)=c kaikille niille reaalilivuille a', b' ja c', joille

V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 ≥0

on olemassa piste S siten, että sen etäisyydet pisteistä P, Q ja R ovat a', b' ja c'.

∀P ∀Q ∀R ∀(a'∈R) ∀(b'∈R) ∀(c'∈R) ∃S
{[(P≠Q) ∧ (P≠R) ∧ (R≠Q) ∧ (V² ≥0)]⇒
[(d(P,S)=a') ∧ (d(Q,S)=b') ∧ (d(R,S)=c')]}.

Vaihtoehtoinen kaksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Φ (jossa on ainakin viisi eri pistettä) is nelistö (avaruus>) jos ja vain jos kaikille Φ:n pisteille, A, B, C, D ja E:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & d(DE)^2 & 1 \\ d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Φ:n nelikot eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa).

Harjoitustehtävä:

Olkoot A, B, C, D, E, F, H ja H kahdeksan pistettä, jotka muodostavat yksikkökuution. (Lävistäjät ovat √(2) ja √(3). Osoita, että Cayley-Mengerin determinantti on nolla.
Osoita, että löytyy neljä pistettä, joille Cayley-Mengerin determinantti ei ole nolla.

Todellisuus (reality)

Todellisuudessa paikkojen (pisteiden karkeistuksia) välimatkoja voidaan mitata.

Mittaukset ovat aina epätarkkoja. Lisäksi välimatkat ja jopa mittausvälineet voivat koko ajan muuttua.

Pisteiden välimatkoja voidaan laskea esimerkiksi muiden välimatkojen ja kulmien suuruuksien avulla.

Eri pisteet (separate points)

10.5.2010

Määritelmä: Kaksi pistettä A ja B ovat eri pisteitä silloin ja vain silloin, kun d(A,B) >0.

∀A∀B [(A≠B) ⇔ (d(A,B)>0)]

Niissä geometrioissa, joissa mitta määritellään myöhemmin, eri pisteet määritellään esimerkiksi seuraavasti:

A ja B ovat eri pisteitä, jos A*B*C, eli jos A:n ja B:n välissä on piste C.

Välissä olemista merkitään useilla tavoilla, esimerkiksi A*B*C, A-B-C ja [ABC] tarkoittavat kaikki, että piste B on pisteiden A ja C välissä.

Periaatteessa viivan "-" luulisi voittavan, koska se tulee suoraan näppäimistön pienten kirjainten näppäimistä. Tähti näyttää kuitenkin olevan tällä hetkellä voitolla.

Topologiaa

Mistä sitä löytyy?

8.8.2010

Topologiasta on suomeksi Jussi Väisälän kirjoittama kaksiosainen oppikirja, jota myy Helsingin yliopiston matemaattisten aineiden opiskelijayhdistys Limes ry. Kirjat maksavat hieman.

Omat suomenkieliset kirjani (ja luentomuistiinpanoni) ovat vanhentuneita, joten käytän alla mainittua lähdettä ja kirjastossani olevia klassikkoja. Vanhoista kirjoista voi löytyä keinoja ilmaista asia hyvin.

Englanniksi on saatavissa suoraan Internetistä pdf - tiedostona laaja topologian alkeiden oppikirja. Tässä kirjassa kaikki määritelmät on varustettu sinisellä pohjavärillä, joten ne löytyvät helposti.

http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topology.htm

Varoitus

Topologian soveltaminen geometriaan ei ole ollenkaan ongelmatonta, mutta tässä kirjassa ongelmiin ei kiinnitetä huomiota.

Mielestäni matematiikka ei ole miltään osin ongelmatonta, joten annan mahdolliset puutteet itselleni anteeksi.

Avoin joukko

Topologian avoin joukko

Olkoon X eityhjä joukko ja T sen osajoukkojen joukko.

Pistejoukon T avoimet joukot täyttävät seuraavat ehdot:

tyhjä joukko ja joukko $T$ itse kuuluvat tähän joukkoon,
kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat tähän joukkoon
kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset (yhteisten pisteiden joukot) kuuluvat tähän joukkoon.

∅⊂T, X ⊂ T
A∈ T ⇒ ∪ A ∈ T
A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T.

Joukkoa T sanotaan X:n topologiaksi.

Mistä tahansa joukosta X voidaan muodostaa määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi ainoastaan joukko X ja tyhjä joukko.

Tällainen topologinen joukko ei ole Hausdorffin joukko, paitsi jos joukkoon X kuuluu vain yksi piste.

Mistä tahansa joukosta X voidaan myös muodostaa T määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi X:n kaikki osajoukot. Tällöin kyseessä on niin sanottu diskreettitopologia, ja muodostettu joukko on Hausdorffin joukko.

Harjoituksia:

Millainen olisi tyhjä pistejoukko?
Miksi geometriassa heti alussa todetaan, että on olemassa ainakin yksi piste?

Euklidisen geometrian avoimet joukot

Alempana on määritelty mm. avoimet janat, avoimet ympyrät, avoimet pallot jne.

Harjoituksia:

Onko jana avoin, jos tarkastellaan kaksiulotteista avaruutta, johon jana kuuluu?
Onko avoin ympyrä avoin, jos tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta, johon ympyrä kuuluu?
Onko avoin pallo avoin, jos tarkastellaan neliulotteista avarutta, johon avoin pallo kuuluu?

Suljettu joukko

Joukko on suljettu, jos sen komplementtijoukko (pisteet, jotka eivät kuulu tähän joukkoon) on avoin.

Muut joukot

Joukko ei välttämättä ole avoin tai suljettu. Esimerkiksi puoliavoin jana ei ole avoin eikä suljettu. Puoliavoimen janan komplemetti ei liioin ole avoin tai suljettu.

Ympäristö

11.2.2010

Pisteen ympäristö on avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen.

Esimerkkejä ympäristöistä: avoin jana, avoin ympyrä, avoin pallo jne.

Huomaa, että ympäristön ei tarvitse olla pyöreä.

Harjoitus: Luettele joukko ympäristöjä, jotka eivät ole pyöreitä. Käsitettä pyöreys on määritelty toisaalla tässä oppikirjassa.

Äärellinen ja ääretön joukko

11.2.2010

Esimerkiksi kahden pisteen joukko on äärellinen pistejoukko, mutta eityhjässä ympyrässä on ääretön joukko pisteitä.

Yhtenäisyys

Pistejoukko on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen.

Vihreällä merkitty pistejoukko on yhtenäinen. Violettien pistejoukkojen yhdiste on epäyhtenäinen.

Epäyhtenäisyys

Pistejoukko M on epäyhtenäinen, jos on olemassa sellaiset M:n avoimet osajoukot A ja B, että

M on joukkojen A ja B yhdiste,
ei A eikä B ole tyhjä joukko
A:n ja B:n leikkaus (yhteinen osa) on tyhjä.

M = A ∪ B
A ≠ ∅ ≠ B
A ∩ B = ∅

Kasautumispiste

Määritelmä: Pistejoukon piste on kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on toinen saman pistejoukon piste.

Irrallinen (erakkopiste, discrete) piste

Määritelmä: Piste on irrallinen, jos se ei ole kasautumispiste.

Irrallinen (discrete) pistejoukko

Määritelmä: Pistejoukko on irrallinen (discrete) jos se ei sisällä yhtään kasautumispistettä.

Sisäpiste

Piste x on joukon A sisäpiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:ssa.

Ulkopiste

Piste x on joukon A ulkopiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:n komplementissa.

Reunapiste

Piste x on joukon A reunapiste, jos se ei ole A:n sisäpiste eikä ulkopiste.

Kosketuspiste

Piste x on joukon A kosketuspiste, jos kaikki x:n ympäristöt sisältävät jonkin A:n pisteen.

Raja-arvo

29.1.2010

Lukujoukon raja-arvo

Järjestetyllä äärettömällä reaalilukujoukolla A = <a₁,a₂,...,a_n,...> on raja-arvona L, jos kaikilla reaaliluvuilla

ε > 0

on olemassa luonnollinen luku n₀ siten, että

| a n - L | < ε

, kun

n > n 0

. Sitä, että järjestetyn lukujoukon a_n raja-arvo on

L

, merkitään

lim a_n = L, kun n kasvaa rajatta.

Tätä rajatta kasvamista merkitään usein n → ∞.

Geometriassa esimerkiksi murtoviivan pituuden raja-arvo voi olla murtoviivasta hieman eroavan pistejoukon pituuden raja-arvo (esimerkiksi ympyrän kehän pituus).

Lausekkeen raja-arvo

Lauseke (expression) on matematiikassa joidenkin sääntöjen mukaan muodostettu joukko matematiikan merkkejä.

Reaalikukulauseke sisältää tiettyjen sääntöjen mukaan muodostetun merkkijonon, jossa voi olla muuttujia, vakioita, laskutoimitusten merkkejä, erilaisia sulkeita ja myös muita ns. reaalianalyysiin kuuluvia merkkejä.

Lausekkeen raja-arvo L, kun jokin muuruja "lähestyy" jotain lukua tai jotkin muuttujat lähestyvät joitakin lukuja, määritellään ensiksi mainitussa tapauksessa seuraavasti:

Lausekkeella

f(x)

on muuttujan x arvolla x₀ raja-arvo

L

, jos kaikilla

reaaliluvuilla ε > 0

on olemassa reaaliluku

δ > 0

siten, että

| f (x) - L | < ε

, aina kun

0 < | x - x 0 | < δ

.
Esimerkki:

Lausekkeen (x² -9)/(x-3) raja-arvo, kun x lähestyy lukua 3, on 6. Todistus löytyy lukion oppimäärästä. Tässä tapauksessa lauseke voidaan supistaa x-3:lla.

x on muuttuja ja 9 ja 3 ovat vakioita.

Piirtämisohjeita

30.3.2010

Alkuhuomautus

Näitä ohjeita voi lukea alempana esitettävien harjoitustehtävien määräämässä tahdissa.

Määritelmä: Suora viiva (line) tarkoittaa alla asteikottomalla viivaimella paperin laidasta laitaan piirrettyä suoraa viivaa. Huomaa, että suora viiva on aina jana, koska meillä on käytettävissämme vain äärellisen kokoisia papereita ja näyttöjä.

Määritelmä: Harppi (compass) on piirtämiseen tai mittaamiseen tarkoitettu työväline. Se on varustettu kääntyvällä mekanismilla, joka yhdistää toisiinsa kaksi vartta. Joissakin harpeissa on myös kiinteä mitta-asteikko, josta näkee piirrettävän ympyrän säteen. Harppia käytetään tavallisesti ympyrän ja kaarien piirtämiseen sekä niiden mittaamiseen.

Määritelmä: Viivain eli viivoitin on suorien viivojen piirtämiseen käytettävä väline. Viivaimessa on usein asteikko, jolla voi mitata etäisyyksiä. Viivaimia tehdään muovista, puusta ja metallista.

Pisteen piirtäminen

Paina kynän kärjellä paperia niin, että siihen jää pieni jälki. Älä käytä sellaista lyijykynää, jota Ylioppilastutkintolautakuntakaan ei salli.

Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille

Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille.

Aseta viivain niin, että sen sama sivu sivuaa pisteitä A ja B.
Piirrä kynällä viivaimen sivua pitkin viiva pisteestä A pisteedeen B.

Syntynyt viiva on janaviiva AB.

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste ja yksi piste

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja yksi piste P.

Sijoita harpin kärki pisteeseen O ja kynä pisteeseen P.
Piirrä niin, että kärki pysyy paikallaan ja kynä piirtää.

Syntynyt viiva on ympyräviiva.

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen.

Aseta harpin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirrä harppia kulman säilyttäen niin, että kärki on pisteessä P. Kynä olkoon pisteessä D.
Ala kiertää harppia kärjen paikka säilyttäen niin, että kynä piirtää ympyrää.

Saatu viiva on vaadittu ympyräviiva.

Janaviivan piirtäminen annetulle säteelle (puolisuoralle)

On annettu jana AB ja säde (puolisuora) CD. Säteen (puolisuoran) pisteestä A' alkaen on piirrettävä janan AB pituinen janaviiva.

Laitetaan harpin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirretään harpin kärki harpin kulmaa muuttamatta pisteeseen A' ja piirretään ympyrä. Se leikkaa puolisuoran kahdessa pisteessä, joista toinen olkoon B'.

Jana A'B' on vaadittu janaviiva.

Janaviivan kahtia jakaminen ja kohtisuora (perpendicular) janaviva

Janaviiva AB jaetaan kahtia seuraavasti:

Piirretään jana AB.
Piirretään toisiaan leikkaavat ympyrät, joiden keskipisteinä ovat A ja B.
Piirretään viivaimella jana joka kulkee ympyröiden leikkauspisteiden kautta.

Samalla saadaan kohtisuora janaviiva janaviivaa AB vastaan janaviivan keskipisteen kautta.

Yllä olevassa kuvassa näkymättömissä olevat ympyräviivojen osat kannattaa piirtää ja näkyvissä olevat kannattaa jättää piirtämättä. Itse en osannut tehdä tätä paremmin Inkscapella.

Kohtisuora annetun janaviivan keskipisteen kautta

Katso edellistä kohtaa.

Kohtisuora annetusta pisteestä

Olkoon annettu viivaimella piirretty säde ja sen ulkopuolella oleva piste P, josta on piirrettävä kohtisuora sädettä vastaan.

Piirretään P keskipisteenä ympyrä, joka leikkaa sädettä esimerkiksi pisteissä A ja B.
Sitten jatketaan kuten edellisessä kohdassa.

Kulman puolittaminen

Olkoon annettu kulma ABC. Erotetaan harpilla kulman kyljistä BA ja BC yhtä pitkät janaviivat BD ja BE. Piirretään toisiaan leikkaavat ympyräviivat D ja E keskipisteinä. Yhdistetään ympyräin leikkauspiste F kulman kärkeen B.

Huomautus: Ympyröiden molempia leikkauspisteitä voidaan käyttää, mutta tarkuuden kannalta on viisainta käyttää sitä leikkauspistettä, joka on kauempana kulman kärjestä.

Kulman kanssa yhtenevän kulman piirtäminen

On annettu kulma ABC ja puolisäde XY. Puolisäteen pisteeseen P on piirrettävä kulma, jonka suuruus on ABC.

Piirretään kulman ABC kärki B keskipisteenä ympyrä.
Piirretään samansäteinen ympyrä piste P keskipisteenä.
Ympyrä leikkaa XY:n pisteessä Q.
Erotetaan pisteestä Q lähtien piirretystä ympyrästä janaa (jännettä) ED vastaava kaari QR.
Piirretään puolisäde PR.

Kulma RPQ on vaadittu kulma.

Huomautus: XY:n ja ympyrän kahdesta leikkauspisteestä lähtien voidaan erottaa kaikkiaan neljä kaarta eli ratkaisuna on neljä kulmaa, joista yllä on esitetty yksi.

Janaviivan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 1

On annettu janasto AB ja sen ulkopuolella oleva piste P. AB:n kanssa yhdensuuntainen janviivaa pisteen P kautta piirretään seuraavasti:

Pisteestä P piirretään aikaisemmin esitetyllä tavalla kohtisuora AB:tä. vastaan. Tämä kohtisuora leikkaa AB:n pisteessä Q.
Pisteeseen P piirretään aikaisemmin esitetyllä tavalla kohtisuora PQ:ta vastaan.

Kuvassa CD on vaadittu janasto.

Janan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 2

Lähde: K. Väisälän teoksen Geometria sivu 21.

On annettu jana AB ja sen ulkopuolinen piste P.

Piirretään pisteen P kautta mielivaltainen suora viiva, joka leikkaa janastoa AB.
Piirretään suoran ja janaston leikkauspiste keskipisteenä ympyrä. Suoran ja janaston väliin muodostuu ympyränkaaria. Olkoon lyhempi näistä DC.
Siirretään harpin kärki pisteeseen P ja piirretään harpin kulma säilyttäen ympyrä.
Erotetaan samalta puolelta leikkaavaa suoraa pisteestä P alkaen DC:n suuruinen ympyrän kaari FE.
Piirretään suora viiva pisteiden P ja E kautta.

Janasto PE on vaadittu AB:n kanssa yhdensuuntainen janasto.

Janaviivan jakaminen yhtäsuuriin osiin

On annettu janaviiva AB ja se on jaettava kolmeen yhtäsuureen osaan.

Piirretään A:sta lähtevä säde AC, joka ei kulje B:n kautta.
Säteeltä AC erotetaan A:sta alkaen harpilla kolme yhtäsuurta osaa AD, DE ja EF.
Yhdistetään pisteet B ja F.
Piiretään aikaisemman kohdan mukaisesti E:n kautta FB:n suuntainen jana EF'.
Piirretään D:n kautta BF:n suuntainen jana DD'.

Pisteet D' ja E' jakavat janaviivan AB kolmeen yhtäsuureen osaan.

Kolmion ABC piirtäminen, kun on annettu sivut a, b ja c

On annettu kolme janaviivaa a, b ja c. On piirrettävä kolmio, jonka sivut ovat näiden janaviivojen suuruiset.

Piirretään suora viiva.
Erotetaan siltä piste, kuvassa C.
Erotetaan samalta suoralta viivalta harpilla jana a ja olkoon janan toinen päätepiste B.
Piirretään C keskipisteenä c -säteinen ympyrä ja b keskipisteenä c -säteinen ympyrä. Olkoon näiden ympyröiden eräs leikkauspiste A.
Yhdistetään piste A pisteisiin B ja C.

ABC on vaadittu kolmio.

Huomautus: Jos ympyrät piirretään kokonaan, saadaan myös toinen leikkauspiste D. Kolmio BCD on tehtävän toinen ratkaisu. Kolmiot ovat nelistössä (avaruudessa) yhtenevät ja kolmistossa (tasossa) kääntäen yhteneviä eli toistensa peilikuvia. Periaatteessa samat toistensa kolmiostossa (tasossa) peilikuvat saadaan valitsemalla mikä tahansa janoista aloitusjanaksi.

Tasasivuisen ja tasakylkisen kolmion piirtäminen

Tasasivuinen kolmio piirretään yllä olevalla tavalla valitsemalla a:ksi, b:si ja c:ksi sama jana s.

Tasakylkinen kolmio piirretään valitsemalla a:ksi ja b:ksi sama jana ja c:ksi eri jana.

Kolmion piirtäminen, kun tunnetaan kulma ja sen viereiset sivut

On annettu kulma XYC ja kolmion kaksi kulman Y viereistä sivua a ja b. Kolmio piirretään seuraavasti.

Kopioidaan kulma XYZ oikeaan paikkaan edellä esitetyllä tavalla.
Olkoon kulman kärki C. Kulman sivuilta erotetaan harpilla janat a ja b.

Syntynyt kolmio ABC on vaadittu kolmio.

Huomautus: Riippuen siitä kummalta kyljeltä jana a erotetaan saadaan eri kolmiot, jotka ovat kolmiostossa (tasossa) kääntäen yhtenevät ja nelistössä (avaruudessa) yhtenevät.

Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne

Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne.

Asetetaan harpin kärki janan toiseen päätepisteeseen ja kynä janan toiseen päätepisteeseen.
Harpin kärki siirretään harpin kulma säilyttäen ympyrän pisteeseen P.
Tämä keskipisteenä piirretään ympyrä, joka leikkaa annettua ympyrää pisteissä Q ja R.

Janaviivat PQ ja PR ovat vaadittuja jänteitä.

Huomaa, että jana ei saa olla ympyrän halkaisijaa suurempi.

Samansuuruisten kaarien piirtäminen

Samansuuruisten kaarien piirtäminen perustuu siihen, että samansäteisissä ympyröissä samansuuruisia jänteitä vastaavat samansuuruiset kaaret.

Olkoon annettu kaksi samansäteistä ympyrää. Toisesta on annettu kaari AB (pienempi kaari, segmenni on väritetty). Toisesta ympyrästä on annettu piste P, josta lähtien AB:n suuruiset kaaret on piirrettävä.

Aseta harpoin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirrä harpin kärki pisteeseen P harpin kulmaa muuttamatta.
Piirräympyrä. Se leikkaa oikeanpuoleisen ympyrän pisteissä ER ja Q.

Kaaret PR ja PQ (joiden segmentit on väritetty), ovat vaaditut kaaret.

Välissä (between)

Määritelmä

Määritelmä: Jos Piste C sijaitsee niin, että |AC| + |CB| = |AB|, missä kaikki kolme lukua ovat >0, sanotaan, että piste C on pisteiden A ja B välissä eli A*C*B.

Päätelmä: Piste C on pisteiden A ja B välissä silloin ja vain silloin, kun

d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)

ja kaikki etäisyydet ovat positiivisia (edellä olevat määritelmät).

Perusoletus: (Välissä olevan pisteen olemassaolo) Kaikille pisteille A ja B on olemassa piste C siten, että d(A,B) = d(A,C) + d(C,B) eli

∀A∀B∃C [(A≠B) ⇔ (d(A,B) = d(A,C) + d(C,B))].

Toisin merkinnöin:

∀A∀B∃C [(A≠B) ⇔ (A*C*B)].

Huomautus: Tässä geometriassa kahden eri pisteen välissä on aina vähintään yksi piste (vastaa Veblenin oletusta, että on olemassa vähintään kolme pistettä E₀, emt. s.18, pistejoukkojen muut laajennukset E₁, E₂ ja E₃ on esitetty sivulla 21).

Birkhoffilla on PII seuraava: Yksi ja vain yksi suora sisältää mielivaltaiset kaksi pistettä A:n ja B:n.

Päätelmä: Jos jokin pisteistä A, B ja C on muiden välissä, pisteen etäisyydet kahdesta pisteestä määräävät yksikäsitteisesti kolmannen pisteen.

Välissäoloa merkitään nykyään A*B*C tai A-B-C tai [ABC]. Tarski merkitsi tätä B(abc)

Päätelmä: Välissä olon määritelmästä seuraa, että jos A*C*B niin B*C*A.

Perustelu: d(A,C) + d(C,B) = d(B,C) + d(C,A) = d(A,B) sillä d(A,B) = d(B,A) ja d(C,B) = d(B,C).

Päätelmä: Välissä olon määritelmästä seuraa, että jos A*C*B niin ei ole, että C*B*A tai B*A*C.

Perustelu: d(A,C) + d(C,B) = d(A,B) ei ole d(C,B) + d(C,A) = d(C,A)

Harjoitus: Perustele päätelmän toinen osa.

Päätelmä: Kahden eri pisteen välissä on äärettömän monta pistettä.

Perustelu annetaan harjoitustehtäväksi.

Huomautus: Kirjallisuudessa esiintyvien eri esitysten vertailun helpottamiseksi esitämme tässä eräitä Veblenin oletuksia:

Ainakin kaksi pistettä, esimerkiksi A ja B, on olemassa.
A:n ja B:n välissä on ainakin yksi piste.
Jos B on A:n ja C:n välissä, A ja C ovat eri pisteitä.
Jos B on A:n ja C:n välissä, C ei ole B:n ja A:n välissä mutta C on B:n ja A:n välissä.

Jo aikaisemmin on esitetty oletukset 1 ja 2.

Oletus 3 on pääteltävissa pisteiden erillisyyden edellä olevasta määritelmästä.

Oletus 4 on pääteltävissä edellä olevasta välissäolon määritelmastä, sillä jos

|AC| + |CB| = |AB| ,

niin

|AC| = |AB| - |BC|,

(missä kaikki luvut ovat >0).

Pisteiden etäisyys on sama mitattiin se kumpaan suuntaan tahansa.

Reaalilukujen verrannot

Määritelmä

6.6.2010

Koska jopa yliopistojen opiskelijoille opetetaan geometrian yhteydessä reaalilukujen verrantoja, seuraavassa esitetään lyhyt yhteenveto verrannoista.

Verrannot on pääteltävissä edellä esitetyistä reaalilukujen aksioomista ja niistä johdetuista päätelmistä.

Määritelmä: Verranto tarkoittaa yhtälöä

a/b = c/d,

missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja.

Verrannon muunnokset

Ristiin kertominen:

Yhtälö saäilyy, kun sen molemmat puolet kerrotaan samalla einollalla luvulla. Verranto

a/b = c/d

sisältää saman tiedon kuin yhtälö

ad = bc.

Esimerkki:

1/2 = 6/12.

Nimityksiä: a on verrannon ensimmäinen jäsen, b toinen, c olmas ja d neljäs.

Verrantojen muunnokset:

Kääntäminen:

b/a = d/c.

Perustelu: Jos luvut ovat yhtäsuuret, myös niiden käänteisluvut ovat yhtäsuuret.

Vuorottaminen:

a/c = b/d.

Perustelu:

Yhtälö säilyy, jos sen molammet puolet jaetaan samalla nollasta eroavalla luvulla.

Tulosta ad = bc saadaan jakamalla molemmat puolet luvulla cd:

a/c = b/d.

Yhdistäminen:

(a + b)/b = (c + d)/d.

Perustelu: Yhtälö säilyy, jos sen molempiin puoliin lisätään sama luku. Yllä oleva yhtälö saadaan lisäämällä molempiin puoliin 1 ja sieventämällä.

Erottaminen:

(a - b)/b = (c - d)/d.

Perustelu: Yhtälö säilyy, kun molemmista puolista vähennetään sama luku. Yllä olevassa on vähennetty molemmista puoliusta 1 ja sievennetty.

Suoraan verrannollisuus:

a/c = b/d.

Yllä olevassa tapauksessa on tapana sanoa, että luvut ovat suoraan verrannolliset.

Kääntäen verrannolliset:

Luvut ovat kääntäen verrannolliset, jos

a/b = (1/c):(1/d).

Verrantoyhtälöt

6.6.2010

Verrantoyhtälöiksi sanotaan sellaisia yhtälöitä, jotka ovat muotoa

f(x)/g(x) = h(x)/i(x),

missä f, g, h ja i ovat muuttujan (esimerkiksi x:n) lausekkeita.

Esimerkki 1:

x/(2 x - 1) = (x + 3)/(2 x + 1).

Verrantoyhtälöiden ratkaisut (juuret) on aina tarkistettava, koska verrantoyhtälöissä esiintyy nimittäjiä, jotka voivat olla nollia.

Aloitetaan ns. ristiinkertomisella

x(2x + 1) = (2x - 1)( x + 3).

Suoritetaan sievennykset ja laskutoimitukset.

2 x² + x = 2 x² + 6 x - x - 3.

Vähennetään molemmista puolista 2 x².

x = 6 x - x - 3.

Siiretään x:ää sisältävät lausekkeet vasemmalle puolelle.

x - 6 x + x = - 3 ⇔

- 4 x = - 3 ⇔

x = 3/4.

Tutkitaan nimittäjien nollakohdat:

2 x - 1 = 0 ⇔

2 x = 1 ⇔

x = ½.

2 x + 1 = 0 ⇔

2 x = -1 ⇔

x = -½.

Koska x:n arvo x = 3/4 ei ole kumpikaan nimittäjien nollakohdista, se kelpaa, ja yhtälön ratkaisu on

x = 3/4.

Verrantoepäyhtälöt

10.5.2010

Verratoepäyhtälöitä ratkaistaessa on viisasta käyttää merkkikaavioita. Huomaa, että nimittäjien nollakohdat eivät kelpaa ratkaisujoukkoon.

Jana ja janaviiva (duo, line segment)

Määritelmä

Määritelmä: Jana on kahden eri pisteen A ja B muodostama joukko. Janaa merkitään AB.

Määritelmä: Niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kaksi eri pistettä A ja B (d(A, B)>0) ja kaikki niiden välissä olevat pisteet, on nimeltään (suljettu) janaviiva, ja sitä merkitään AB. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

AB = {A,B} U {P: A*B*C}.

= on logiikan samuusmerkki. Merkkiä ∈ käyttäen määritelmä on seuraava:

(X ∈ AB) ⇔ [X=A ∨ X=B ∨ A*X*B]

P∈AB luetaan tässä kirjassa kahdella tavalla:

Piste on janaviivalla.
Janaviiva kulkee pisteen kautta.

Joukko-opin merkki ∈ luetaan "kuuluu" (sen muistaa sanoista "kuu" ja "luu").

Jos halutaan korostaa sitä, että jana on suljettu (päätepisteet kuuluvat janaan), merkitään [AB].

Harjoitus: Piirrä janaviiva.

Janaviiva on esimerkki viivasta

6.6.2010

Toisaalla tässä oppikirjassa määritellään käsite viiva. Jana on eräs esimerkki viivasta. Janasta käytetään myös nimitystä suora viiva.

Kielenkäyttö

Kun alempana puhutaan janoista, tarkoitetaan sekä pistepareja että janaviivoja.

Janan päätelmiä

27.5.2010

Päätelmä: Jos A ja B ovat kaksi pistettä, on olemassa jana AB.
Perustelu: Jana on määritelty edellä kahden pisteen joukoksi.

Päätelmä: Jos A ja B ovat kaksi eri pistettä, ne eivät määrää enempää kuin yhden janan.

Perustelu: A ja B eivät määrää muita pisteitä kuin A:n ja B:n, joten AB on yksikäsitteinen.

Päätelmä: Jokaisella janaviivalla on ainakin kolme pistettä.

Perustelu: Edellä on tehty perusoletus, että janan päätepisteiden A ja B välissä on kolmas piste, joka kuuluu janaviivaan.

Päätelmä: On olemassa ainakin yksi jana.

Perustelu: Edellä on tehty perusoletus, että on olemassa ainakin kaksi pistettä A ja B, joten jana AB on olemassa.

Huomautus:

Veblenin oletus A1: Jos A ja B ovat eri pisteitä, on olemassa ainakin yksi suora, joka kulkee pisteiden A ja B kautta.

Veblenin oletus A2: Jos A ja B ovat eri pisteitä, niiden kautta ei kulje useampia kuin yksi suora.

Veblenin oletus E₀: Jokaisella suoralla on ainakin kolme pistettä.

Veblenin oletus E₁: On olemassa ainakin yksi suora.

Janan pituus

8.7.2010

Määritelmä: Janan AB pituus eli suuruus |AB| >0 on sama kuin pisteiden A ja B välimatka d(A,B). Janoja ja niiden pituuksia voidaan merkitä kirjaimilla a, b, c jne.

Perusmääritelmä: Janan pituus on janan mitta.

μ(AB) = |AB| = d(A,B).

Perusoletus: Janan pituudella ei ole ylärajaa.

Janojen yhteenlasku ja vähennyslasku

Janan pituus on mitta. Janojen yhteenlasku tapahtuu yleisen mitan ehtojen mukaan.

Harjoitus: Mikä on janan paksuus?

Koska janan suuruus on mitta,

μ(AB ∪ BC) = μ(AB) + μ(BC).

Määritelmä: Jos A, B ja C ovat eri pisteitä ja piste B on pisteiden A ja C välissä, janojen AB ja BC summa on AC.

AB + BC = AC.

Huomaa, että tällöin

|AB| + |BC| = |AC|

eli B on pisteiden A ja C välissä.

A*B*C ⇒ AB + BC = AC.

Määritelmä: Jos |AB| + |BC| = |AC|, janojen AC ja AB erotus on

AC - BC = AB.

Huomaa, että tällöin

|AC| - |BC| = |AB|

eli B on pisteiden A ja C välissä.

A*B*C ⇒ AC - BC = AB.

Huomautus: Janojen yhteenlasku sisältää Hilbertin geometriassa joukon aksioomia. Tässä geometriassa riittävät suorat määritelmät.

Harjoitus:

Suorita harpilla ja viivaimella kahden janan vähennyslasku. Viisainta on yrittää vähentää pienempi jana suuremmasta.
Suorita vähennyslasku myös täysin erillisillä janoilla.

Janaston määritelmä

4.10.2010

Tässä geometriassa käytetään suorien sijasta janastoja, jotka ulottuvat piirroksissa kuvioiden laitoihin ja voivat olla kuinka pitkiä tahansa. Perusjanoista käytetään kirjaimia l, m, n jne.

Määritelmä: Janasto AB on kaikkien niiden janojen PQ joukko, joille

AB + BP = AP
ja
AB + BQ = AQ

tai
AB + AP = BP
ja
AB + AQ = BQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB - BQ = AQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB + AQ =BQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB + BQ = AQ.

Lisäksi joukkoon kuuluu jana AB itse.

Janasto on joukko janoja. Koska jokainen jana on joukko pisteitä, janasto on joukkojen joukko.

Määritelmä: Piste P kuuluu janastoon AB jos se kuuluu johonkin janaston janoista.

Määritelmä: Jana PQ on janasta AB riippuva, jos se kuuluu janastoon AB.

Puhetapa: Janastojen janoihin kuuluvia pisteitä sanotaan yksinkertaisuuden vuoksi janaston pisteiksi.

Päätelmä: Janasto ja sen pisteet vastaavat standardigeometrian käsitettä suora,

Harjoitus:

Mittaa edellisessä tehtävässä piirtämäsi janan pituus jollain SI- järjestelmään kuuluvalla mittausvälineellä.
Mikä on suurin jana SI - yksiköissä, joka mahtuu edessäsi olevalle paperille?
AB = CD. Osoita, että AC = BD.

Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikköjanaa

10.4.2010

Janan pituus voi tässä geometriassa olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku, joten myös janoja, joille |AB| on 1 on olemassa. Mistä tahansa janasta AB>0 saadaan yksikköjana seuraavasti:

AC = AB/|AB|.

Janojen yhtenevyys

14.5.2010

Määritelmä: Janat ovat yhtenevät jos ja vain jos niillä on sama pituus.

AB = BC ⇔ |AB| = |BC|

Huomautus: Kuten olet huomannut, yhtenevyysmerkkinä käytetään kirjoittajan laiskuudesta johtuen merkkiä =.

Janan keskipiste (midpoint)

27.5.2010

Määritelmä: Janan AB keskipiste on sellainen pisteiden A ja B välissä oleva janan AB piste C, että |AC| = |CB|.

Koska C on A:n ja B:n välissä, |AC| + |CB| = |AB| = 2|AC|.

Jana

AC = ½AB.

Päätelmä: Janan keskipiste on olemassa.

Perustelu: Edellä on esitetty perusoletus, jonka mukaan kahdesta pisteestä annetuilla etäisyyksillä a' ja b' oleva piste Q on olemassa, jos a' + b' ≥ |AB|. Koska a' = b' = ½AB, keskipiste on olemassa.

Päätelmä: Janan keskipiste on yksikäsitteinen

Perustelu: Oletetaan, että janalla AB on kaksi keskipistettä C ja C'.

Ne ovat eri pisteitä silloin ja vain silloin, kun |CC'|>0.

Olkoon |CC'| = c. Tälläin janan pituus olisi
½AC + c + ½C'B, mikä on suurempi kuin janan pituus, mikä on mahdotonta.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella jana ja sen keskipiste.

Janan päätepisteet (endpoint)

Määritelmä: Pisteitä A ja B sanotaan janan AB päätepisteiksi.

Päätelmä: Janan päätepisteiden välimatka on janan pituus.

Perustelu: d(A,B) = |AB| (määritelmä).

Määritelmä: Janaa, joka sisältää päätepisteensä, kutsutaan suljetuksi väliksi ja sitä merkitään [AB].

Janaviivan sisäpisteet (interior point)

Määritelmä: Piste C∈ AB on janaviivan sisäpiste, jos ja vain jos se on päätepisteiden A ja B välissä eli A*C*B.

Määritelmä: Janaviivan sisäpisteiden joukkoa merkitään ]AB[ ja siitä käytetään nimitystä avoin väli.

Janaympäristö

Määritelmä: Jos piste P kuuluu avoimeen väliin ]AB[, avointa väliä ]AB[ sanotaan pisteen P janaympäristöksi.

Määritelmä: Välit ]AB], jossa A ei kuulu ja B kuuluu väliin, ja [AB[, jossa A kuuluu ja B ei kuulu väliin, ovat puoliavoimia välejä.

Harjoitus:

Piirrä janaviiva ja siihen viisi sisäpistettä niin, että janaviiva jakautuu yhtä suuriin osiin.
Piirrä avoin janaviiva.
Osoita, että avoin janaviiva on olemassa.

Janan sisäjana

Määritelmä: Janan AB sisäjana XY on jana, jonka päätepisteet X ja Y ovat pisteiden A ja B välissä eli

A*X*B ∧ A*Y*B ∧ |XY|>0.

Harjoitus: Piirrä annetun janan AB sisäjana CD

Järjestetty jana

Määritelmä: Jana on järjestetty, jos sen toista päätepistettä sanotaan alkupisteeksi ja toista loppupisteeksi.

Järjestettyjä janoja merkitään <A,B> tai lyhyesti <AB>.

Useimmissa nykyisissä oppikirjoissa suunnattua janaa merkitään kirjoittamalla esim. AB:n päälle nuoli. Tämä onnistuu helposti LaTeX -sukuisilla ladontajärjestelmillä, mutta koska tätä kirjoitetaan html:llä, nuolta janan merkin päällä ei voida käyttää (ellei käytetä grafiikkaa, mikä sotkee asiakirjan rumasti).

Tämä on kuva:

Määritelmä: Pistettä A sanotaan järjestetyn janan alkupisteeksi ja pistettä B sanotaan järjestetyn janan loppupisteeksi.

Järjestetyn janan pituus

Määritelmä: Järjestetyn janan <AB> pituus on sama kuin janan AB pituus eli |AB|.

Janaviivan pisteiden järjestys

13.5.2010

Suhde (relaatio) "välissä" määrää janaviivan pisteiden järjestyksen.

Esimerkiksi A*B*C määrää järjestetyt pistejoukot

<A,B,C> ja <B,C,A>.

Huomautus: Järjestyksen määräämiseksi tarvitaan välissaolosuhteiden lisäksi tieto suunnistuksesta. Matematiikassa suoraviivaisen suunnistuksen ajatellaan usein kulkevan vasemmalta oikealle.

Janan sisäpiste jakaa janaviivan pisteet kahteen joukkoon

13.5.2010

Päätelmä: Olkoon AB jana ja C sen sisäpiste. C jakaa janaviivan pisteet kahteen luokkaan, niihin, jotka ovat A tai A:n ja C:n välissä ja niihin, jotka ovat B tai B:n ja C:n välissä.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Samalla puolella ja eri puolilla

Kaksi A:sta eroavaa pistettä voivat olla samalla puolella pistettä A tai eri puolilla pistettä A.

Määritelmä: Pisteet X ja Y ovat samalla puolella pistettä A jos ja vain jos A ei kuulu janaan XY = YX.

Määritelmä: Pisteet X ja Y ovat eri puolilla pistettä C, jos ja vain jos C kuuluu janaan XY.

Symmetria

28.4.2010

Määritelmä jätetään harjoitustehtäväksi. Samoin harjoitustehtäväksi jätetää sanan "symmetria" suomentaminen.

Tulokset haulle symmetrian määritelmä (ilman lainausmerkkejä):

Pisteen peilikuva eli peilaus (reflection) pisteen suhteen

Määritelmä: Jos C on janan AB keskipiste, sanotaan, että B on A:n peilikuva pisteen C suhteen ja että A on B:n peilikuva pisteen C suhteen.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella piste, toinen piste ja toisen pisteen peilikuva ensimmäisen pisteen suhteen.

Pistejoukon peilikuva pisteen suhteen eli puolikierto (half turn) eli pistepeilaus

Määritelmä: Pistejoukon A peilikuva A' pisteen P suhteen on pistejoukko A', johon kuuluu jokaisen A:n pisteen peilikuva pisteen P suhteen.

On tapana puhua pistesymmetriasta.

Todellisuudessa pisteiden peilikuvia voidaan likimäärin muodostaa harpilla ja viivaimella piirtelemällä.

Pallo ja ympyrä ovat omien pisteidensä peilikuvia keskipisteen suhteen.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella kolmion ABC peilikuva pisteen P suhteen.
Suorita vastaava tehtävä Inkscape - ohjelmalla. Tallenna tulos png -tarkenteisena tiedostona, koska sellainen vie hyvin vähän tilaa ja sellainen voidaan hakea suoraan html - tiedostoon, kun taas svg - tiedosto tarvitsee embed - tagin.Olkoon A annettu kuvio ja P annettu piste.
Osoita että A:n peilikuva pisteen P suhteen on olemassa.

Kiintopiste

1.5.2010

Määritelmä: Pistettä, joka säilyy kuvauksessa tai muunnoksessa, kutsutaan kiintopisteeksi.

Päätelmä: Pistepeilauksessa on kiintopiste.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Janan ulkojana

Määritelmä: Janan AB ulkojana on on jana CD siten, että janan päätepisteet A ja B ovat pisteiden C ja D välissä ja |CD|>0.

eli

C*A*D ja C*B*D ja |CD|>0.

Harjoitus:

Piirrä janan AB ulkojana CD.
Osoita, että ulkojana on olemassa.

Osajanat

Perusmääritelmä: Jos janan AB pituus on a>0 ,ja jos luku 0<b<a, janalla AB on piste X siten, että

|AX| = b.
tai
|XB| = b.

∃A∀B [(d(A,B) = a >0) ∧ (0<b<a)] ⇒
∃(X ∈ AB)(|AX| = b ∨ |XB| = b).

Määritelmä:

Jos

|AX| = b.
tai
|XB| = b
tai
XY on AB:n sisäjana janaa kutsutaan janan osajanaksi.

Harjoitus:

Piirrä jana ja sen osajana.
Pirrä jana ja sen sisäjana.

Jatkettu jana

28.5.2010

Määritelmä: Alkoot AB jana. Jana AC on pisteestä B jatkettu jana, jos B on A:n ja C:n välillä. Jana DA on pisteestä A jatkettu jana, jos A on D:n ja A:n välillä.

Perusoletus: Jatkettu jana on olemassa.

∀(AB)∃C∃D [(A*B*C) ∧ (D*A*B)].

Päätelmä: Janan ulkojana on kahden jatketun janan yhdiste.
Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Peräkkäiset janat

Määritelmä: Kahta (>0) janaa AB ja BC, joilla on yksi ja vain yksi yhteinen piste, joka on päätepiste B sanotaan peräkkäisiksi janoiksi.

AB ∩ BC = {B}

Harjoitus: Piirrä kaksi peräkkäistä janaa.

Perusoletus: Jos peräkkäiset janat AB ja BC eivät noudata yhtälöä |AB| + |BC| = |AC| , on olemassa jana AC', joka noudattaa yhtälöä |AB| + |BC| = |AC|.

Määritelmä: Janan AC' määrittämistä kutsutaan murtoviivan oikaisuksi.

Harjoitus: Oikaise kolmio harpilla ja viivaimella.

Perusoletus: Jos peräkkäiset janat AB ja BC eivät noudata yhtälöä |AB| + |BC| = |AC| ja |AB| > |BC|, on olemassa jana AB', jonka pituus on janojen AB ja BC pituuksien erotus.

Janojen kertominen ja jakaminen reaaliluvuilla

11.2.2010

Määritelmä: Reaaliluku k > 0 kertaa jana AB tarkoittaa janaa, jonka pituus on reaaliluku k kertaa janan pituus.

|k AB| = k |AB|

Määritelmä: Jana jaetaan reaaliluvulla k siten, että se kerrotaan luvun käänteisluvulla 1/k.

AB/k = (1/k)AB (k>0).

Harjoitus:

Jaa jana harpilla ja viivaimella viiteen yhtäsuureen osaan.
Voidaanko jana harpilla ja asteikottomalla viivaimella kertoa millä tahansa reaaliluvulla?

Janojen suuruusjärjestys

13.5.2010

Kaksi janaa ovat joko yhtäsuuret tai erisuuret. Tämä johtuu siitä, että reaaliluvut ovat hyvin järjestetty joukko.

Jos janat ovat erisuuret, toinen janoista on suurempi ja toinen pienempi kuin toinen. Tämäkin johtuu siitä, että reaaliluvut ovat hyvin järjestetty joukko.

Jos AB = k BC,

janat ovat yhtäsuuret silloin ja vain silloin, kun k = 1,
jana AB on suurempi kuin jana BC silloin ja vain silloin, kun k < 1,
jana AB on pienempi kuin jana BC silloin ja vain silloin, kun k > 1.

Janojen pituuksien suhteet

22.2.2010

Koska janojen pituudet ovat reaalilukuja, voidaan muodostaa janojen pituuksien suhteita (ratio), esimerkiksi

|AB|/|CD| = 2/3

tai

|AB|/|BC| = |BC|/|CD|

Jos ei ole vaaraa epäselvyydestä, voidaan kirjoittaa

AB/BC.

Näin on tehty etenkin Internetistä lainatuissa päättelyketjuissa.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella janat, joiden pituuksien suhde on 2/3.

Yksikäsitteisyyden meemi

16.5.2010

Kun muslimi- ja kristittymatematiikkanerot olivat pari tuhatta vuotta miettineet, miten Eukleideen yhdensuuntaisuusaksiooma (suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee yksi ja vain yksi tämän suoran suuntainen suora) todistetaan muiden Eukleideen aksioomien avulla, matemaatikot innostuivat kovasti yksikäsitteisyydestä.

Oletetaan, että on olemassa vähintään yksi piste. Juuri näin monet aksiomaattisen geometrian oppikirjat alkavat.

Miten todistetaan, että tämä piste on yksikäsitteinen?

Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Vihje: Tällainen piste oletettiin olemassaolevaksi. Muita pisteitä ei vielä oletettu olemassaoleviksi.

Raja-arvo

29.1.2010

Lukujoukon raja-arvo

Järjestetyllä äärettömällä reaalilukujoukolla A = <a₁,a₂,...,a_n,...> on raja-arvona L, jos kaikilla reaaliluvuilla

ε > 0

on olemassa luonnollinen luku n₀ siten, että

| a n - L | < ε

, kun

n > n 0

. Sitä, että järjestetyn lukujoukon a_n raja-arvo on

L

Lausekkeen raja-arvo

f(x)

on muuttujan x arvolla x₀ raja-arvo

L

, jos kaikilla

reaaliluvuilla ε > 0

on olemassa reaaliluku

δ > 0

siten, että

| f (x) - L | < ε

, aina kun

0 < | x - x 0 | < δ

Funktio ja käänteisfunktio (function and inverse function)

Funktio eli kuvaus (mapping)

14.2.2010

Määritelmä:

Olkoot A ja B kaksi ei-tyhjää joukkoa. X olkoon joukon A alkio ja Y ja Z olkoon joukon B alkioita. Alkioiksi kutsutaan olioita, jotka kuuluvat joukkoon.

Käsitettä "olio" ei määritellä tässä oppikirjassa.

Pari <X,Y> kuuluu funktoon F jos ja vain jos jokaisella alkiosta Y poikkeavilla alkioilla Z pari <X,Z> ei kuulu funktioon F.

Ison kirjaimen F sijasta käytetään usein pientä kirjainta f. Myös muuttujien nimistä käytetään usein pieniä kirjaimia x, y ja z ja järjestettyä paria <X,Y> merkitään usein (x,y).

Tällöin on usein tapana merkitä y = f(x). Tosiasiassa funktion alkioita ovat parit (x,f(x)), jossa x kuuluu määrittelyjoukkoon M_f ja f(x) kuuluu arvojoukkoon A_f.

Perinteisessä matematiikassa on tapana merkitä:

y = f(x)

Monilla tärkeillä funktioilla on nimiä kuten sin x, cos x ja tan x. Merkitään

y = sin x

tai lukuparina

(x, sin x)

Yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella käytetään usein lauseketta (expresion). Näin on laita esimerkiksi sinin ja kosinin määritelmisssä.

Lauseke on esimerkiksi

x² + x + 1,

missä x² = x x x

Esimerkki yksinkertaisesta reaali(luku)funktiosta:

y =2 x²

tai lukuparina

(x, x²).

Harjoituksena voit laskea lukupareja taskulaskimella.

Käänteisfunktio

21.2.2010

Määritelmä: Käänteisfunktion f^-1 määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

f^-1(f(x)) = x kaikilla x funktion f määrittelyjoukossa.

f(f^-1(y)) = y kaikilla y funktion f arvojoukossa.

Esimerkiksi eksponenttifunktio (x, e^x) ja logaritmifunktio (x, ln x) ovat toistensa käänteisfunktioita.

Harjoitus: Laske lukiolaisen taskulaskimella lukupareja (x, e^x) ja (x, ln x). Huomaa, että ln x:ää voidaan merkitä myös muuten (esim log x, näin on laita Ubuntun laskimessa).

Funktion jatkuvuus

14.5.2010

f

on jatkuva muuttujan arvolla

x

jos

∀ ε > 0 ∃ δ >0;
d(x,z) < δ ⇒ d'(f(x),f(z)) < ε.

Funktio on jatkuva välillä [a,b], jos se on jatkuva jokaisessa $välin$ pisteessä.

Kasvava ja vähenevä funktio

6.6.2010

Funktio on määrittelyjoukossaan (tai sen osajoukossa)

kasvava, jos x₁ < x₂ f(x₁) f(x₂),
aidosti kasvava, jos x₁ < x₂ f(x₁) < f(x₂),
vähenevä, jos x₁ < x₂ f(x₁) f(x₂),
aidosti vähenevä jos x₁ < x₂ f(x₁) > f(x₂).

Funktio on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Kasvavilla ja vähenevillä funktioilla on merkitystä geometriassa sikäli kuin geometriassa käytetyt funktiot voidaan osoittaa kasvaviksi tai väheneviksi.

Kolmiosto (trinity)

17.3.2010

Kolmen pisteen määräämä kolmiosto (taso)

28.4.2010

Määritelmä:

Kolme eri pistettä A, B ja C, joille |AB| + |BC| > |AC|, määräävät pistejoukon ABC, jota kutsutaan kolmiostoksi (tasoksi) T (Hilbert s. 2).
Piste D kuuluu kolmiostoon,

jos se on A, B tai C
jos se on janastoissa AB, AC ja BC
jos se on janastosta, jonka kaksi edellisten kohtien eri pistettä määräävät.

Veblenin oletus E2: Kaikki pisteet eivät ole samalla suoralla.

Päätelmä: Pisteen etäisyydet kolmesta pisteestä, joista mikään ei ole kahden muun välissä, määräävät pisteen yksikäsitteisesti.

Perustelu: Etäisyydet a', b' ja c' määräävät pisteen yksikäsitteisesti, jos

[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 = 0

ja a, b ja c ovat alkuperäisten pisteiden väliset etäisyydet.

Huomaa, että yksikäsitteisyyteen tarvitaan etäisyys kaikista kolmesta pisteestä.

Kolmioston (tason) yhteyksiä muihin pistejoukkoihin käsitellään alempana.

Harjoitus:

Etsi edellä olevista aksioomajärjestelmistä aksiooma, joka liittyy tähän määritelmään.

Kolmioston (tason) oliot

17.3.2010

Jotta esitys säilyisi yhdenmukaisena muiden geometrian oppikirjojen kanssa, kolmioston (tason) olioissa käytetään silloin tällöin etuliiteettä taso, esimerkiksi tasokulma. Mikäli otsikossa on mainittu sana "taso", otsikon alla esitetyt oliot ovat taso-olioita.

Kolmiosto on esimerkki pinnasta

6.6.2010

Toisaalla tässä oppikirjassa määritellään pinta. Kolmiosto on esimerkki suorasta pinnasta.

Tavallinen kolmioston kulma (angle)

Kulman suuruus ei riipu kulman sivujen (side) pituudesta, vaan niiden välisestä aukeamasta.

K. Merikoski

Kolmioston tavallinen kulma

Määritelmä: Pistekolmikkoa <A,B,C> kutsutaan kolmioston tavalliseksi kulmaksi. Kulman suuruus on reaaliluku (tässä > 0). Tavallisesti pilkut jätetään pois ja kulmaa merkitään ∠ABC. usein on tapana sanoa "kulma ABC".

Huomaa, että kulma <A,B,C> on -<C,B,A>.

Tavallisesti puhutaan kuitenkin kulmien suuruuksien itseisarvoista eli tavallisesti ABC = BCA. Jos kyse on järjestetyistä kulmista, tämä mainitaan erikseen.

Kolme pistettä määrä useitakin kulmia eli ∠ABC, ∠ACB ja ∠BAC. Vaikka nämä kulmat ovat joskus yhtäsuuria (esimerkiksi tasasivuisessa kolmiossa) ne ovat yleensä erisuuria.

Jos on mahdollista, että kulma sekaantuu merkkiin "pienempi kuin", käytetään merkkiä ∠, joka saadaan html:ssä kirjoittamalla lähdetekstiin &ang;.

Kun etäisyydet |AB|, |BC| ja |AC| tunnetaan, kulman ∠ABC suurus |∠ABC| eli ∠ABC voidaan laskea (kosinilauseella, joka esitetään hieman alempana).

Birkhoff määrittelee kulman järjestetyksi pistekolmikoksi AOB, missä A ≠O ja B ≠O ja jokaista kulmaa ∠AOB vastaa reaaliluku m(∠AOB) (mod 2π). Viimeksi mainittu tarkoittaa, että kulman jaksona on 2π.

Me emme käytä kirjainta m emmekä hienompaa kirjainta μ. Kulman suuruus on myöhempänä ∠AOB.

Birhoffin PIII:ssa säteisiin l ja m liitetään yksi ja vain yksi reaaliluku |a_m-a_n| = m(AOB), missä A∈l ja B∈m (mod 2π).

Pistekolmikko määrää itse asiassa kaksi kulmaa, mutta, mutta sikäli kuin ei toisin mainita, kulmalla tarkoitetaan näistä kahdesta mahdollisesta kulmasta pienempää (suoran kulman tapauksessa molemmat ovat yhtä suuria).

Huomaa, että kulmaa ja kulman suuruutta merkitään usein samalla tavalla, mutta tämä käytäntö on matematiikassa yleinen.

Kosinilauseen (alempana esiteltävä aksiooma eli perusoletus) mukaan tavallisille (tässä > 0) kulmille ∠ABC = ∠CBA, ∠BAC = ∠CAB ja ∠BCA = ∠ACB.

Ellei toisin mainita, tässä artikkelissa puhutaan tavallisista (>0) kulmista.

Todellisuudessa kulmia vastaavia olioita voidaan likimäärinmitata.

Tavallisissa geometrian oppikirjoissa yllä olevan kuvan BA:ta sanotaan kulman vasemmaksi kyljeksi ja janaa BCsanotaan kulman oikeaksi kyljeksi.

Ihminen erottaa piiroksista vasemman ja oikean (useimmiten sen jälkeen, kun on oppinut puhumaan), mutta matemaattisesti on sama, mikä valitaan vasemmaksi ja mikä oikeaksi. Olennaista on, että kulmalla on kaksi kylkeä (jotka voivat erikoistapauksissa yhtyä).

Harjoitus:

Piirrä viivaimella tavallinen kulma.
Pohdi miksi kulman käsitettä ei välttämättä löydy alkeisgeometrian aksioomajärjestelmistä?
Osoita, että kulmia on olemassa.

Huomautus: Monet lähteet (mm. Matti Lehtisen em. teos s. 7) määrittelevät kulman kahden säteen (eli puolisuoran, esitelty alempana) yhdisteeksi ts.

∠ABC = AB U AC.

Kulmien merkitsemisestä

Tavallisia vastapäiväisiä (positiivisia) kulmia merkitään seuraavassa lyhyesti ∠ABC.

Määritelmä: Keskimmäistä pistettä B sanotaan kulman kärjeksi (vertex).

Mikäli toisin ei ole sanottu, merkinnöissä on noudatettu vastapäiväistä (positiivista) kiertosuuntaa.

Määritelmä: Pistepareja {A,B} ja {B,C} sanotaan kulman ∠ABC kyljiksi (angle side).

Kulma nimetään usein kärkipisteen mukaan, esimerkiksi kulmaa ∠ABC merkitään usein ∠B tai pelkästään B.

Jos Internetistä on lainattu kaavoja, kulmia merkitään myös x, y, z jne.

Joskus myös pieniä kreikkalaisia aakkosia kuten α, β, γ (α β γ jne. käytetään.

Harjoitus: Piirrä tavallinen kulma ∠ABC ja nimeä sen vasen kylki ja oikea kylki. Kummasta kyljestä pidät enemmän?

Kulman suuruus

Perusmääritelmä: Kulmaan liittyy reaaliluku, jota sanotaan kulman suuruudeksi. Kulman suuruus lasketaan kosinilauseella (alempana esiteltävä aksiooma eli perusoletus).

Kulman suuruus on mitta.

Todellisuudessa kulmia voidaan (likimäärin) mitata.

Harjoitus: Pohdi, mitä kulma mittaa.

Suoraviivainen kulma

6.6.2010

Koska kolmiosto on suoraviivainen pinta, kolmioston kulmaa voidaan sanoa suoraviivaiseksi kulmaksi.

Käyräviivainen kulma on kahden ei-suoraviivaisen viivan eli käyrän välinen kulma.

Vektorit (vectors)

Määritelmä

Määritelmä: Usein järjestettyjä janoja, joilla on suuruus ja suunta kutsutaan vektoreiksi.

Tässä on huomattava, että kaikki vektorit, joilla on sama suuruus ja sama suunta, ovat saman vektorin eri ilmentymiä.

Huomaamyös, että sama vektori voidaan merkitä peräkkäin itsensä kanssa kerrottaessa vektoria kokonaisluvuilla.

Tässä geometriassa vektoreita ei käytetä juuri mihinkään, joten sellaisia käsitteitä kuten "suuntainen" ei tässä yhteydessä ryhdytä tarkemmin määrittelemään.

Harjoituksia:

Keksi hyvä suomennos sanalla "vektori".
Osoita, että vektoreita on olemassa.

Vektorin kertominen reaaliluvulla

Vektoreista käytetään usein lihavia kirjaimia, esimerkiksi vektoria <AB> voidaan merkitä kirjaimilla a tai AB.

Määritelmä: Vektori k a, missä k on nollasta eroava reaaliluku, on vektorin <AB> suuntainen, kun k>0 ja vektorin <BA> suuntainen, kun k<0. Vektorin k <AB> pituus on |k| |AB|.

Vektorin pituus

21.7.2010

Vektorilla a on pituus, jota merkitään |a| tai a.

Vektorin pituus on alkupisteen ja loppupisteen välimatka eli jos a = AB, niin

|a| = |AB|.

Vektorien yhteenlasku

Vektorien <AB> ja <BC> summa määritellään
vektoriksi <AC>

Summavektorin pituus (kosinilause)

Perusoletus: Vektorien a ja b summavektorin c pituus lasketaan kaavalla

|c| = (|a|²+|b|²-2 |a| |b| cos C)^½

eli alempana esitettävällä kosinilauseella, joka tässä geometriassa on eräs perusoletuksista (sillä sidotaan kolmion kulmien suuruus kolmion sivujen pituuksiin).

Kosinin määritelmä

Perusmääritelmä: cos C lasketaan kosinin sarjakehitelmällä:

cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

Laskin ja tietokone laskevat kosinin silmänräpäyksessä.

Kosini on parillinen

cos(-x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ....= cos (x)

eli

cos (-x) = cos x

On tapana sanoa, että kosini on parillinen.

Kosinin sarjakehitelmä on siis tässä geometriassa kosinin määritelmä.

Vektorin vastavektori

Määritelmä: Vektorin a =<AB> vastavektori - a = <BA>.

Nollavektori

Määritelmä: Nollavektori on vektori <AA>, ja sitä merkitään 0 (onko nollavektorilla suntaa?).

Vektorien pistetulo

21.7.2010

Vektorien a ja b pistetulo a⋅b määritellään yhtälöllä:

a⋅b = ab cos (a,b),

missä (a,b) on vektorien a ja b välinen kulma.

Huomaa, että vektorien pistetulo on pelkkä reaaliluku.

Vektorien ristitulo

2.7.2010

Vektorien a ja b ristitulo axb määritellään yhtälöllä:

axb = ab sin (a,b) u,

missä u on opikean käden peukalosäännön mukaiseen suuntaan osoittava a:ta ja b:tä vastaan oleva ykkösen pituinen vektori.

Toisaalla on esitetty, että A = ½ ab sin C on sellaisen kolmion pinta-ala, jossa kaksi sivua ovat a ja b ja niiden välinen kulma on C.

Säde (ray, puolisuora)

Yhdenmukaistettu muiden oppikirjojen mukaiseksi 21.3.2010

Määritelmä: Säde (ray, half-line, puolisuora) AB_½ on niiden janaston AB (A≠B) pisteiden P joukko, jotka ovat janalla AB tai joille B on janalla AP. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

P∈AB_½ ⇔ A*B*P ∨ A*P*B.

Tämä voidaan ilmaista myös seuraavasti:

P∈AB_½ ⇔ AB U {P: A*B*P}

P∈BA_½⇔ B*A*P ∨ B*P*A.

Huomautus: Huomaa, että säde on oikeastaan sädeviiva.

Määritelmä: Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat oikokulman, jos niiden välinen kulma on π. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

Määritelmä: Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat suoran kulman, jos niiden välinen kulma on +π/2 tai -π/2. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

Huomautus: Jotkut katsovat säteen AB alkupisteen A kuuluvan säteeseen (suljettu säde).

Säteet siis alkavat jonkin janan päätepisteestä ja janan pisteiden järjestys märää, kumpaan suuntaan säde suuntautuu.

Tavallisissa geometrian kirjoissa säde merkitään siten, että sen alkupiste merkitään kuten janan alkupiste A ja toinen piste B, joka määrää säteen suunnan, merkitään säteen viereen.

Säteeseen saatetaan merkitä myös nuoli, joka osoittaa sen suuunnan.

Määritelmä: Säteet AB ja BA ovat vastakkaisia (opposite).

Huomautus: Jos kahden pisteen A ja B kautta kulkeva suora S halutaan määritellä tässä geometriassa, se on

S = AB½ U BA½

Harjoitus:

Kuinka pitkä säde on?
Etsi yksi aksioomajärjestelmä, jossa alkupiste kuuluu puolisuoraan ja yksi aksioomajärjestelmä, jossa alkupiste ei kuulu puolisuoraan. Pohti, miten tällaiset erot ovat mahdollisia.
Osoita, että säteitä on olemassa.

Kulman suuruuden laskeminen (magnitude of the angle)

Funktiot

Kulman suuruus lasketaan tässä esityksessä muiden olioiden suuruuksista käyttäen kosinilausetta ja funktioita

sin A, cos A, arcsin A ja arccos A.

Tässä tarvitsee tietää vain, että sin, cos, arccos ja arcsin lasketaan sarjakehitelmillä, jotka löytyvät esimerkiksi Wikipedian artikkelista Trigonometriset funktiot.

Nimitys arc sin x tulee merkinnästä arc(sin x) missä arcus tarkoittaa kaarta.

Funktioista arcsin ja arccos käytetään myös merkintöjä

sin^-1 ja cos^-1php - ohjelmointikielessä näistä funktioista käytetään nimityksiä

asin ja acos.

Sinin määritelmä

Määritelmä: Sini lasketaan sarjakehitelmällä

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Merkintä 7! tarkoittaa 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7.

Merkintä x⁵ tarkoittaa x x x x x x x x x.

Sini on pariton

sin (-x) = -x + x³/3! - x⁵/5! + x⁷/7! + ...= - sin (x).

eli

sin (-x) = - sin(x).

On tapana sanoa, että sini on pariton funktio

Arcusfunktiot

Sinin ja kosinin käänteisfunktiot arc sin x eli sin^-1 x ja arc cos x eli cos^-1x eivät ole yksikäsitteisiä, mutta tässä esityksessä ei pohdita tätä asiaa tämän tarkemmin. Lisätietoa saa Internetistä.

Käytännössä laskimet ja tietokoneohjelmat laskevat arkusfunktiot sarjakehitelmillä:

arcsin(x) = x + 1/2 (x³/3) + (1/2)(3/4)(x⁵/5) +
(1/2)(3/4)(5/6)(x⁷/7) + ...

arccos(x) = ½π - arcsin(x).

π (lue: pii) on vakio, jonka mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan laskea sarjakehitelmillä.

Tietokone laskee sarjakehitelmät suurella tarkkuudella alle silmänräpäyksen.

Radiaani (radian) ja aste (degree)

7.4.2010

Kulmien yksiköinä käytetään tässä esityksessä radiaania ja astetta. Astetta merkitään ⁰. Radiaania merkitään rad.

Määritelmä: Radiaani on se yksikkö, joka antaa kulman suoraan sarjakehitelmän likiarvona.

Määritelmä kompleksilukujen ystäville:

e^it = cos t + i sin t
missä t on kulma radiaaneissa.

Jos kulma on x radiaania, se on (180⁰ x)/π astetta.

Laskelmissa asteet on muutettava radiaaneiksi lausekkeella (πx)/180⁰.

Useimmat lukiolaisen laskimet ja tietokoneiden ohjelmointikielet tuntevat tämän vakion likiarvon melko suurella tarkkuudella (englanniksi: pi, html:ssä π) .

Harjoitus: Muunna lukiolaisen laskimella asteissa mitattuja kulmia radiaaneiksi. Jos sinulla ei ole lukiolaisen laskinta, käytä tietokoneesi käyttöjärjestelmän mukana tulevaa laskinohjelmaa.

Ubuntussa valitse Apuohjelmat / Laskin ja ota käyttöön Tiedetila.

Ubuntussa käänteisfunktiot tulevat näkyviin, kun pannaan rasti ruutuun Inv sanasta inverse = käänteinen.

Säteiden välissäolo

14.5.2010

Kulman muodostamisaksiooma (Venema):

∀r∈R: 0<r<π ja kaikille puolitasoille H joita AB rajoittaa, on olemassa säde AE siten, että E∈H ja μ(∠BAE) = r.

Määritelmä: Säde AD on säteiden AB ja BC välissä silloin ja vain silloin, kun on olemassa pisteet X, Y ja Z siten, että mikään näistä pisteistä ei ole a, X kuuluu AB:hen, Y kuuluu BC:hen ja Z kuuluu AD:hen ja X*Y*Z.

Tällainen säde jakaa kulman kahteen osaan.

Merkintä: Jos säde AD on säteiden AB ja BC välissä, merkitään AB * AD * AC.

Saman kolmioston (tason) peräkkäiset eli vierekkäiset kulmat

8.2.2010

Määritelmä: Olkoot ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 saman kolmioston (tason) kulmia, joilla on yhteinen kärki (vertex) P ja yhteinen (eriniminen) kylki PB. Tällöin kulmia ∠APB ja ∠BPC sanotaan peräkkäisiksi tai perättäisiksi tai vierekkäisiksi kulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Olkoot AOB ja BOC kaksi kulmaa, joiden yhteinen kärki on O ja yhteinen sivu on QB.

Kulmat ovat peräkkäisiä tai perättäisiä tai vierekkäisiä kulmia, jos on olemassa pisteet A', B' ja C' puolisäteiltä OA, OB ja OC tai niiden vastasäteiltä niin, että mikään pisteistä ei ole O ja A'*B'*C'.

Saman kolmioston (tason) kulmien yhteenlasku ja vähennyslasku

23.2.2010

Päätelmä: Koska kulman suuruus on mitta,

μ(∠ APB) ∪ (∠BPC) = μ(∠APC).

Venemalla tämä on aksiooma, koska hän käyttää ns. koordinaatistofunktiota välimatkojen laskemiseen. Me käytämme johdonmukaisesti sekä välimatkaa että kulman suuruutta eri keinoin todellisuudesta hankittavina reaalilukuina.

Määritelmä: Olkoot ∠ABP > 0 ja ∠BPC > 0 kolmioston peräkkäisiä kulmia. Kulmien ∠ABP ja ∠BPC summa on

∠ APB + ∠BPC = ∠APC

ja

|∠APB| + |∠BPC| = |∠APC|.

Määritelmä: Olkoot ∠ABP > 0 ja ∠BPC > 0 peräkkäisiä kulmia ja olkoon |∠APC| > |∠BPC|. Kulmien ∠APC ja ∠BPC erotus on

∠ APC - ∠BPC = ∠APB

ja

|∠APC| - |∠BPC| = |∠APB|

Kolmittain nämä pisteet muodostavat kolmioita (määritellään myöhemmin).

Kulmia mitattaessa pelkkä säde AD saa mitakseen nolla, ja jos mikään pisteistä A, B ja C ei ole muiden välissä ja pisteet ovat eri pisteitä

∠BAC > 0.

Huomautus: Kulmien yhtenevyys ja laskutoimitukset sisältävät aksioomia.

Harjoitus:

Piirrä viivaimella kaksi kulmaa ja suorita harpilla ja viivaimella kulmien yhteenlasku.
Piirrä viivaimella kaksi kulmaa ja suorita harpilla ja viivaimella kulmien vähennyslasku.

Kulmien yhtenevyys

14.5.2010

Määritelmä: Kulmat ∠ABC ja ∠DEF ovat yhtenevät silloin ja vain silloin, jos ne ovat yhtäsuuret.

∠ABC = ∠DEF ⇔ |∠ABC| = |∠DE|

Järjestetty kulma

Matematiikassa käytetään kiertosuuntia.

Määritelmä: Todellisuuden kiertosuunnista on sovittu siten, että vastapäivään on vastapäiväinen (positiivinen, counterclocwise) kiertosuunta

ja myötäpäivään on myötäpäiväinen (negatiivinen, clockwise) kiertosuunta.

Jos vastapäiväinen (positiivinen) kiertosuunta on A:sta C:hen, järjestettyä kulmaa merkitään +∠A,B,C. Jos kiertosuunta on C:stä A:han, kulmien suuruksille on voimassa: ∠C,B,A = - ∠A,B,C.

Huomaa, että käytämme järjestettyjen kulmien tapauksessa pilkkuja.

Ihminen erottaa ympäristössään myötäpäivään ja vastapäivään -käsitteet, mutta matemaattisesti on tärkeää vain se, että on kaksi kiertosuuntaa.

Huomaa, että miinusmerkkinen eli negatiivinen kulma voi syntyä myös kulmien vähennyslaskussa, kun yllä oleva järjestysehto ei ole voimassa.

Harjoitus: Pohdi miksi kiertosuunta on vain kaksi.

Kulman kertominen ja jakaminen reaaliluvulla

Määritelmä: Koska kulman ∠ABC > 0 suuruus |∠ABC| > 0 on reaaliluku, voidaan laskea kulman k∠ABC suuruus, joka on k |∠ABC|.

Määritelmä: Kulma jaetaan reaaliluvulla k>0 siten, että se kerrotaan k:n käänteisluvulla 1/k (k ei saa olla nolla).

Se, miten tällaisia kulmia muodostetaan, on tekninen kysymys.

Harpilla ja viivaimella kulmia voidaan helposti kaksinkertaistaa tai jakaa kahdella.

Harpilla ja viivaimella kulmaa ei voida jakaa kolmeen osaan, mutta muilla tekniikoilla se onnistuu. Eräille erikoiskulmille kolmijako on mahdollinen.

Harjoitus:

Piirrä kulma ja jaa se harpilla ja viivaimella kahteen osaan (Vihje: Jako on esitetty em. Valistuksen mittausopin sivulla 13.).
Piirrä kulma ja kerro se harpilla ja viivaimella kolmella.
Tarkista tulokset aste- tai radiaanilevyllä.
Jaa suora kulma harpilla ja viivaimella kolmeen yhtäsuureen osaaan.

Kulmien kertominen keskenään

10.4.2010

Koska kulman suuruus on reaaliluku, kulmia voidaan jopa kertoa keskenään, ilmaus

∠ABC ⋅∠DEF

on täysin mielekäs.

Esimerkiksi π² on täysin sallittu kulma (mod 2π).

Neliöidessä pienet kulmat pienenevät, esimerkiksi π/4 = 0,785398163 ja (π/4 )² = 0,616850275.

Laskelmat on tehty Ubuntun laskimen oletustarkkuudella.

Harjoitustehtävä: Laske π² likiarvo.

Kulmien kertominen keskenään ei ole erityisen muodikasta, koska hakukone kysyy "tarkoititko enkelien kertomista" (angel = enkeli ja angle = kulma).

Harjoitustehtävä napakoordinaattien ystäville:

Piirrä käyrä r = π^t. missä t kulma ja r on etäisyys kiinteästä pisteestä O ja piirtäminen aloitetaan jostakin janasta OB, mikä esittää kulmaa 0.

Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikkökulmaa

10.4.2010

Koska kulmien suuruudet ovat reaalilukuja, kulma voi saada arvon 1.

Jos tunnetaan kulman ∠ABC kärkipiste B, piste P kyljeltä BA ja piste C kyljeltä BC, kulman suuruus voidaan laskea kosinilauseella.

Kosinilause antaa kulman suuruuden yksiköissä, josta käytetään nimitystä radiaani. Radiaanille ei käytetä mitään merkkiä kuten asteelle.

Periaattessa yksikkökulma on

∠BAC/μ(∠BAC),

mutta emme käytä täällä mitan merkkiä vaan μ(∠BAC) kirjoitetaan ∠BAC.

Kolmioston kulmien luokittelu (angles of the trinity)

Välinen (included)

Esimerkiksi välinen kulma tai välinen sivu.

Terävä kulma (acute angle)

Määritelmä: Jos kulma on >0 ja alle π/2 radiaania (eli 90⁰), kulmaa sanotaan teräväksi.

Harjoitus: Piirrä terävä kulma. Miten voit varmistua siitä, että piirtämäsi kulma on varmasti terävä?

Tylppä kulma(obtuse angle)

Määritelmä: Jos kulma on yli π/2 radiaania eli 90⁰ mutta alleπ radiaania eli 180⁰, kulmaa sanotaan tylpäksi.

Harjoitus: Piirrä tylppä kulma. Miten voit varmistua siitä, että piirtämäsi kulma on varmasti tylppä?

Suora kulma (right angle)

Määritelmä: Jos kulma on π/2 radiaania eli 90⁰ , kulmaa sanotaan suoraksi.

Mitattomassa geometriassa (esim. Eukleideen geometria) kulma on suora, jos se on yhtä suuri kuin oma vieruskulmansa. Yllä olevassa kuvassa ∠APB ja ∠BPC ovat toistensa vieruskulmia.

Harjoitus: Piirrä harppia ja viivainta käyttäen suora kulma.

Vihje: Menetelmä on esitetty K. Merikosken Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille Otava, Helsinki, 1923 sivulla 9.

Kohtisuoruus (perpendicular)

Määritelmä:

Janat AB ja BC ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa eli A ⊥ B, jos niiden välinen kulma on ½π eli 90⁰ eli suora.
Jos tarkastellaan janoja AB ja CD, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, janat AB ja CD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos on olemassa piste E siten, että janan AB ulkojana FE ja janan CD ulkojana GH ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Koska kulmat ovat reaalilukuja, kulman suuruus ½π on mahdollinen.

Harjoitus:

Piirrä harppia ja viivainta käyttäen AB ja sitä vastaan kohtisuora BC.
Ota selvää, millaisella välineellä rakennustyöläiset mittaavat suoria kulmia.

Vihje: Menetelmä on esitetty K. Merikosken Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille Otava, Helsinki, 1923 sivulla 9

Oikokulma (straight angle)

Määritelmä: Jos kulma on π radiaania eli 180⁰ , kulmaa sanotaan oikokulmaksi.

Harjoitus: Piirrä viivainta käyttäen oikokulma.

Oikokulma ja välissä oleminen

9.3.2010

Oikokulma ja välissä oleminen liittyvät toisiinsa siten, että jos ∠ABC on oikokulma, B on pisteiden A ja B välissä.

Kovera (concave) kulma

Määritelmä: Kulma ∠ABC > 0 on kovera, jos sen mitta on alle π radiaania (alle 180^o) eli oikokulmaa pienempi. Koverat kulmat jaetaan teräviin, suoriin ja tylppiin.

Täysi kulma (full agnle)

Määritelmä: Jos kulma on 2π eli 360⁰, sitä sanotaan täydeksi kulmaksi.

Kupera (convex) kulma

Määritelmä: Kulma on kupera jos se on yli π radiaania eli jos sen asteluku ylittää 180⁰

Komplementtikulmat (complementary angles)

Määritelmä: Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa komplementtikulmia, jos niiden summa ∠APC on π/2 eli 90⁰.

Täydennyskulmat (suplement angle)

Määritelmä: Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa täydennyskulmia, jos niiden summa ∠APC on π eli 180⁰.

Myöhemmin osoitetaan, että jos α ja β ovat täydennyskulmat, niin:

$α + β = π$
$sinα = sinβ$
$cosα = - cosβ$

Harjoitustyö:

26.1.2010

Laadi astelevyä vastaava radiaanilevy. Hae tälle levylle patentti Yhdysvalloista.

Vihje: Käytä Inkscapen valintaa Laajennokset/Hahmonna/Polaarinen ruudukko.

Eksplementtikulmat

Eksplementtikulmilla tarkoitetaan saman kolmioston kulmaparia jossa kulmien summa on 2π eli 360⁰.

Myöhemmin osoitetaan, että eksplementtikulmille α ja β pätee

α + β = 2π

cosα = cosβ

sinα = − sinβ

Kolmioston murtoviiva (broken line)

Määritelmä

Olkoon

A = <A₁,A₂,...,A_n>

Järjestety kolmioston (tason) pistejoukko, jossa on n > 3 eri pistettä.

Määritelmä: Kolmioston janat A₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n ja kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-2A_n-1A_n muodostavat murtoviivan:

A₁A₂ U A₂A₃ U....U A_n-1A_n

Murtoviiva pyritään myöhemmin määrittelemään yllä olevaa täsmällisemmin.

Huomautus: Monissa oppikirjoissa murtoviivoiksi kutsutaan vain niitä murtoviivoja, jotka ovat topologisesti ekvivalentteja janan kanssa.

Kolmioston murtoviivan pituus

14.2.2010

Määritelmä: Kolmioston murtoviivan pituus on murtoviivan eri janojen pituuksien summa

ΣA_nA_n+1

kun n saa arvot 1:stä n-1:een.

Kreikankielen (iso sigma) Σ tarkoittaa summaa.

Yllä olevassa kuvassa Inkscape on laskenut murtoviivan pituuden näytön pisteissä.

Kolmioston murtoviivan oikaiseminen (rectifying)

8.3.2010

Määritelmä: Kolmioston murtoviivan oikaisuksi nimitetään sellaista janaa, jonka pituus on murtoviivan eri janojen pituuksien summa.

Harjoitus: Piirrä kolmio ja piirrä jana, joka on oikaistu kolmio.

Kolmiostomonikulmio (polygon)

Määritelmä

Määritelmä: Olkoon

A = <A₁,A₂,...,A_n>

kolmioston järjestety pistejoukko, jossa on n eri pistettä.

JanatA₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n, A_nA₁ ja niiden väliset kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-1A_nA₁ muodostavat kolmioston monikulmion.

Formaali määritelmä:
Monikulmio on

P = A₁A₂ ∪ A₃A₄ ∪ ...A_n-1A_n ∪ A_nA₁.

Huomautus: Monikulmio pyritään myöhemmin määrittelemään yllä olevaa täsmällisemmin. Tavallisesti monikulmion on oltava topologisesti ekvivalentti ympyrän kanssa.

Nimitys "monikulmio" johtuu siitä, että monikulmiossa on monta kulmaa. Yksinkertaisin monikulmio on kolmio, jossa on kolme kulmaa. Kaksikulmiota ei ole oikeasti olemassa, vaikka janaa voisi pitää kaksikulmiona, jonka molemmat kulmat ovat nollia.

Huomaa, että monikulmio voi olla kuinka moniulotteinen tahansa. Kolmiulotteisen murtoviivan määritelmässä tarvitaan kaarevuuskulmat ja kierevyyskulmat.

Tavallisen kolmiostomonikulmion pisteet ovat samassa (kolmen pisteen määräämässä) kolmiostossa (tasoessa).

Lisäksi usein oletetaan, että tavallinen kolmiostomonikulmio on Jordan -käyrän (määritellään myöhemmin) rajoittama ja janat (monikulmion sivut) eivät leikkaa toisiaan muualla kuin kolmiostomonikulmion kärkipisteissä.

Määritelmä: Takaisin taipunut monikulmio (reflex polygon) on monikkulmio, joka leikkaa itsensä kahdessa tai useammassa pisteessä.

Seuraavassa kolmiostomonikulmiota sanotaan monikulmioksi.

Harjoitus: Miksi yhdistettä ∪ käytettäessä ei ole mainittu kulmia?

Sisäkulma (interior angle)

Määritelmä: Sisäkulma (interior angle) on monikulmion kärkikulma (kärjen viereisten sivujen välinen kulma).

Yllä olevassa monikulmiossa esimerkiksi punaisella ja vihreällä merkityt kulmat ovat sisäkulmia.

Harjoitus: Piirrä monikulmio ja väritä sen sisäkulmat.

Kupera

11.4.2010

Määritelmä: Joukko K on kupera (convex) jos kaikille A, B ∈ K, AB ⊂ K.

Suomeksi: Pistejoukko on kupera, jos se sisältää kaikki janat, joiden päätepisteet kuuluvat pistejoukkoon.

Kolmioston (tason) erotteluaksiooma

11.4.2010

Kolmioston (tason) erotteluaksiooma. Olkoon l kolmioston (tason) P janasto (suora). Tällöin

P - l = H₁ ∪ H₂ ,

missä

S1. H1 , H₂ ovat kuperia joukkoja

S2. H₁ ∩ H₂ = Ø (pistevieraita joukkoja).

S3. Jos A ∈ H₁ ja ∈ H₂ silloin janasto (suora) leikkaa janan AB.

Kuperia joukkoja H₁ ja H₂ kutsutaan janaston (suoran) määräämiksi puolitasoiksi. Huomaa, ettei suora l kuulu puolitasoon.

Tämä vastaa suunnilleen Hilbertin aksioomaa H7.

Harjoitus: Ota tyhjä paperiarkki. Piirrä siihen viivaimella laidasta laitaan ulottuva suora viiva. Muodosta kaksi puolitasoa leikkaamalla paperi viivaa pitkin kahtia.

Kupera tavallinen monikulmio

Määritelmä: Jokainen kuperan (konveksin = convex) monikulmion sisäkulma on korkeintaan π radiaania eli 180⁰.

Kovera

7.4.2010

Määritelmä: Pistejoukko S on kovera, jos se ei ole kupera.

Huomautus: Tavallisesti käsitteitä kupera ja kovera käytetään yhtenäisistä (määritellään myöhemmin) pistejoukoista.

Kovera tavallinen monikulmio

Määritelmä: Tavallinen monikulmio, joka ei ole kupera (konveksi), on nimeltään kovera (konkaavi = concave) monikulmio. Koveran (konkaavin) monikulmion jokin sisäkulma on yli π radiaania eli 180⁰.

Tasasivuinen (equilateral) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on tasasivuinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

Yllä olevaa tasasivuista monikulmiota sanotaan tasasivuiseksi kolmioksi.

Tasakulmainen (equiangular) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on tasakulmainen, jos sen kulmat ovat yhtä suuret.

Yllä olevaa tasakulmaista monikulmiota ABCD sanotaan suorakulmaiseksi.

Harjoitus: Voiko tasakulmainen monikulmio olla kovera?

Säännöllinen (regular) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on säännöllinen, jos se on sekä tasasivuinen että tasakulmainen.

Harjoitus: Piirrä harppia ja viivainta käyttäen säännöllinen kuusikulmio.

Monikulmion lävistäjät (diagonal)

Määritelmä: Niitä monikulmion kärkien välisiä janoja, jotka eivät ole monikulmion sivuja, sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

Kuperassa monikulmiossa, jossa on n kärkeä, on ½n(n-3) lävistäjää.

Harjoitus: Perustele yllä oleva lävistäjien lukumäärän kaava.

Kolmioviiva ja kolmioalue (triangle)

Määritelmä: Kolmioviiva on tavallinen monikulmio, jossa on kolme kulmaa.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Kolmio on kolme pistettä, joista mikään ei ole muiden välsissä.

Määritelmä: Suljettu kolmioalue on niiden pisteiden joukko, jotka ovat kolmioviivalla tai kahden kolmioviivan pisteen välissä.

Muut monikulmiot koostuvat kolmioista.

Määritelmä: Koostuvat tarkoittaa sitä, että monikulmion pinta-ala saadaan laskemalla yhteen tai vähentämällä toisistaan kolmioiden pinta-aloja.

Harjoitus:

Piirrä viivaimella kolmio.
Voiko kolmio olla kovera?

Nelikulmio (tetragon = quadrilateral)

Määritelmä: Nelikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on neljä kulmaa.

Viisikulmio (pentagon)

Määritelmä: Viisikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on viisi kulmaa.

Kuusikulmio (hexagon)

Määritelmä: Kuusikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kuusi kulmaa.

Seitsenkulmio (heptagon)

Määritelmä: Seitsenkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on seitsemän kulmaa.

Kahdeksankulmio (octagon)

Määritelmä: Kahdeksankulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kahdeksan kulmaa.

Yhdeksänkulmio (nonagon)

Määritelmä: Yhdeksänkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on yhdeksän kulmaa.

Kymmenkulmio (decagon)

Määritelmä: Kymmenkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kymmenen kulmaa.

Harjoitus: Piirrä monikulmiot yksitoistakulmiosta kaksikymmenkulmioon.

Vihje: Piirtämistä helpottaa, jos käytät sekä koveria että kuperia kulmia.

Janastot (set of line segments)

17.3.2010

Janaston pisteet

Alla olevassa janastossa AB pisteitä on merkitty lyhyillä pystysuorilla viivanpätkillä. Pisteitä voi siis olla välillä AB ja välin AB ulkopuolella. Huomaa, että janaston pisteet ovat aina äärettömän monien janojen päätepisteitä.

Janaston AB janojen pisteet muodostavat pistejoukon, jonka pisteitä sanotaan yksinkertaisuuden vuoksi janaston pisteiksi (suoran AB pisteiksi).

Kuvissa janastoja esitetään janastojen edustajilla eli janoilla. Menetelmä on sama kuin piirrettäessä vektorin edustajia.

Vihje: Jos useita janoja kuuluu janastoon, kannattaa ensin piirtää suora viiva ja sitten on helppo merkitä siihen janaston janoja.

Harjoitus: Mikä ero on janastolla ja suoralla?

Samalla puolella ja eri puolilla

Määritelmä: Jos pisteet P ja Q eivät kuulu janastoon AB, ne ovat eri puolilla janastoa AB, jos janalla PQ on jokin janaston janan piste X.

Jos tällaista pisteettä X ei ole, pisteet P ja Q ovat samalla puolella janastoa.

Kahdesta pisteestä P ja Q voidaan sanoa, että ne joko ovat eri puolella janastoa tai ovat samalla puolella janastoa (tämä on eräs aksioomia).

Puolikolmiosto

7.4.2010

Määritelmä: Puolikolmiosto (puolitaso) on niiden kolmioston pisteiden joukko, jotka ovat samalla puolella janastoa.

Harjoitus: Piirrä puolikolmiosto.

Janasta riippumaton piste

8.3.2010

Määritelmä: Piste P on janasta AB riippumaton, jos se ei kuulu janastoon AB

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.

Jo edellä on oletettu, että jos AB on jana, on olemassa AB:n janastoon kuulumaton piste C (Veblenin E₂).

Määritelmä: Pisteen P on janastoon AB kuulumaton (ulkopuolella) jos ja vain jos |AP|+|PB|>|AB|.

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella jana AB ja janaston ulkopuolella oleva piste P.
Millä aksioomilla janastoon kuulumaton psite määritellään?

Riippumattomat janastot

9.3.2010

Määritelmä: Kolmioston eri janastot l ja m ovat toisistaan riippumattomia jos ja vain jos on olemassa sellainen piste P, joka kuuluu janastoon l mutta ei kuulu janastoon m.

Toisiaan leikkaavat (intersecting) janastot

Määritelmä: Kaksi kolmioston janastoa l ja m leikkaavat toisiaan, jos niillä on yksi ja vain yksi yhteinen piste P.

l ∩ m = {P}.

Harjoitus:

Kuinka moneen osaan kaksi toisiaan leikkaavaa janastoa jakaa kolmioston?
Miten näiden osien suuruutta voidaan mitata?

Yhteensattuvat (concurrent) janastot

2.5.2010

Määritelmä: Kolme tai useampia janastoja ovat yhteensattuvia, jos ne ovat eri janastoja mutta niillä on yksi yhteinen piste P.

l ∩ m ∩ n = {P}.

Harjoitus:

Piirrä viisi yhteensattuvaa janastoa.
Kuinka todennäköistä on, että viisi janastoa yhteensattuu?

Janaston osajoukkoja

Janaston osajoukkoja ovat mm. janaston pisteet, janaston janat (suljetut välit), janaston avoimet välit ja janaston vektorit.

Janaston osajoukkoja ovat myös erilaiset yhdisteet ja leikkaukset yllä mainituista osajoukoista.

Kohtisuorat (perpendicular) janastot

18.3.2010

Määritelmä: Kaksi kolmioston toisiaan leikkaavaa janastoa l ja m ovat kohtisuoria jos ja vain jos on olemassa janaston l jana AC ja janaston m jana BD, jotka leikkaavat toisiaan pisteessä P ja kulma ∠CPB on suora.

l ⊥ m ⇔
∃(AC∈l)∃(BD∈m)(P∈AC ∧ P∈BD ∧ PC⊥PB).

Harjoitus: Vertaa suuruudeltaan toisiinsa niitä kolmioston osia, joihin kaksi kohtisuoraa janastoa jakaa kolmioston.

Keskipistekohtisuora eli janan keskinormaali (perpendicular bisector of the line segment)

Alla olevassa kuvassa on yhtä pitkiä janoja AE ja EB merkitty yhdellä vinoviivalla.

21.3.2010

Määritelmä: Janan AB keskipistekohtisuora (keskinormaali) CD on pistejoukko, jonka pisteet ovat yhtä etäällä janan päätepisteistä A ja B.

Siis jos X on janan keskipistekohtisuoran piste, niin

|AX| = |BX|.

Keskipistekohtisuoraan kuuluvat janan keskipiste E ja janan ulkopuolisia pisteitä.

Päätelmä: CD kuuluu janastoo l, jolle pätee

l on kohtisuorassa janastoa AB = m vastaan,
l kulkee janan AB keskipisteen kautta.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella jana AB ja sen keskipistekohtisuora (keskinormaali):

Etäisyyksiä ja välimatkoja

Pisteen etäisyys pistejoukosta

Määritelmä: Pisteen P etäisyys pistejoukosta A on lyhin etäisyyksitä |PX|, missä X kuuluu A:han. Jos P kuuluu A:han, tämä etäisyys on nolla.

Vaihtoehtoinen määritelmä (em. teoksesta General Topology):

Olkoon d metriikka joukossa X. Joukon X pisteen p etäisyys eityhjästä X:n osajoukosta A on

d(p,A) = inf {d(p,a): a ∈ A}.

Harjoitus: Mittaa pöydän ja tuolin välinen etäisyys SI -yksiköissä.

Pisteen etäisyys janastosta

Määritelmä: Pisteen P lyhin etäisyys janastosta AB on sen janan pituus, joka on lyhin janoista PX, missä X on janaston piste.

Harjoitus: Mittaa kynän kärjen etäisyys lattiasta.

Kahden pistejoukon välinen etäisyys

Määritelmä: Kahden pistejoukon A ja B välinen etäisyys on lyhin etäisyyksistä |XY|, missä X kuuluu A:han ja Y kuuluu B:hen.

Kahden pistejoukon etäisyys voi olla myös nolla.

Vaihtoehtoinen määritelmä (em. teoksesta General Topology):

Kahden eityhjän X:n osajoukon A ja B välinen etäisyys on

d(A,B) = inf {d(a,b): a ∈ A, b ∈ B}.

Harjoitus: Piirrä kaksi pistejoukkoa, joiden etäisyys on nolla.

Kahden janaston välimatka

Määritelmä: Kahden janaston l ja s välimatka on pienin luvuista |XY|, missä X kuuluu l:ään ja Y kuuluu s:ään.

Kahden janaston välimatka voi olla myös nolla.

Harjoitus: Piirrä kaksi janastoa ja mittaa niiden lyhin välimatka.

Janan ulkopiste

Ulkopiste

Määritelmä: Piste P on janan AB ulkopiste, jos se kuuluu janastoon AB mutta ei kuulu janaan AB.

P*A*B ∨ A*B*P.

Harjoitus: Olkoon AB eräs pöytäsi särmä jana. Piirrä seinään janan ulkopiste P.

Laajennettu kulma

18.3.2010

Määritelmä: Kulmaan ∠ABC liittyvä laajennettu kulma ∠ABC on niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kulman ∠ABC kärki B, säteet (kyljet) BA_½ ,BC_½ sekä kaikki ne pisteet, jotka ovat BA_½:lta ja BC_½:lta otettujen mielivaltaisten pisteiden A ja C välissä.

(X∈∠ABC) ⇔ X∈AB ∨ X∈BC ∨ [(Y∈BA ∧ Z∈ BC ∧ Y*X*Z) ⇒ X∈∠ABC)]

Seuraavassa ei erikseen eritellä, onko kyseessä kulma vai laajennettu kulma, koska jokaista kulmaa vastaa yksi ja vain yksi laajennettu kulma ja päin vastoin.

Määritelmä: Kulman sisäosa (interior, aukeama) on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat laajennettuun kulmaan mutta eivät kuulu kulman kylkiin eivätkä kärkeen.

Yllä olevassa kuvassa sisäosan pisteet on merkitty vihreällä.

Harjoitus: Tutki, millaisia erilaisia kulman määritelmiä on esitetty.

Sisäosalause

Määritelmä: Piste P kuuluu kulman BAC sisäosaan, jos

P on samalla puolella sivua AB kuin C ja
P on samalla puolella sivua AC kuin B.

Päätelmä: Olkoon l janasto (suora) ja P sen piste. Olkoon Q piste, joka ei ole janastossa (suoralla) l. Tällöin kaikki säteen PQ pisteet P:tä lukuunottamatta ovat samalla puolella janastoa (suoraa) l.

Perustelu: Olkoot P1 ja P2 kaksi säteen PQ:n pistettä, joista kumpikaan ei ole P ja jotka ovat vastakkaisilla puolilla janastoa (suoraa) l. Tällöin säteen päätepiste P olisi kahden säteen pisteen välissä, mikäon mahdotonta.

Harjoitus: Ota selvää, miten kulman sisäosa on määritelty eri aksioomajärjestelmissä.

Kolmioston koveran tavallisen kulman puolittaja (angle bisector)

18.3.2010

Määritelmä: Kolmioston koveran kulman ∠ABC puolittaja BD on niiden pisteiden P joukko, jotka ovat yhtä etäällä koveran kulman kyljistä BA ja BC.

P ∈ BD ⇔ d(P,BA) = d(P,BC)

Tavallisen (kolmioston) kulman puolittajaan kuuluvan vain ne pisteet, jotka kuuluvat myös laajennettuun kulmaan.

Päätelmä: Säde BD on kulman ∠ABC puolittaja silloin ja vain silloin, kun ∠ABD = ∠DBC ja ∠ABD + ∠DBC = ∠ABC.

Harjoitus:

Määrittele kuperan kulman puolittaja.
Piirrä harpilla ja viivaimella kulma ja sen puolittaja.
BF on kulman ∠ABC puolittaja. ∠ABD = ∠CBE. Osoita, että ∠DBF = ∠EBF.

Kolmio (triangle)

Määritelmä

Kolmio, kolmioviiva ja kolmioalue

Perusmääritelmä: Jos |AC| + |CB| > |AB|, missä kaikki etäisyydet ovat >0, sanotaan, että pisteet A, B ja C muodostavat kolmion

Veblen määrittelee kolmion sellaiseksi janojen joukoksi, jossa C ei ole A:n ja B:n määräämässä janastossa ja joka muodostuu janoista AB, BC ja CA. Myös Birkhoffilla kolmio on kolme janaa AB, BC ja CA.

He määrittelevät kolmioviivan, eivät tämän oppikirjan kolmiota, joka on kolme eri pistettä siten yllä esietyllä ehdolla.

Kolmion merkkinä käytetään tarvittaessa merkkiä Δ (html:ssä Δ).

Määritelmä: Suljettu kolmioviiva on suljettu käyrä, joka koostuu kolmesta janasta AB, BC ja CD, joilla on kaksittain yhteiset päätepisteet eli kärjet A, B ja C.

Määritelmä: Suljettu kolmioalue on niiden pisteiden joukko, jotka ovat kolmioviivan pisteitä tai ovat kahden saman kolmioviivan pisteen välissä.

Harjoitus:

Ota selvää siitä, miten kolmio esiintyy eri aksioomajärjestelmissä.

Nimityksiä

Kolmion kärjet

Määritelmä: Pisteitä A, B ja C sanotaan kolmion kärjiksi (vertex, monikko vertices).

Harjoitus: Miksi pisteitä A, B ja C sanotaan kolmion kärjiksi?

Kolmion sivut

Määritelmä: Avoimet välit ]AB[, ]BC[ ja ]CA[ ovat nimeltään kolmion ΔABC sivut (side).

Kolmiossa ΔABC väliä ]AB[ voidaan merkitä kirjaimella c, väliä ]AC[ kirjaimella b ja väliä ]BC[ kirjaimella a.

Kolmion ΔABC sivut ovat siis a, b ja c. Yksinkertaisuuden vuoksi a, b ja c tarkoittakoot seuraavassa myös sivujen pituuksia.

Huomautus: Kolmion ΔABC sivuiksi saatetaan kutsua myös janoja AB, BC ja CA.

Harjoitus: Piirrä kolmio ja mittaa sen sivujen pituudet SI -yksiköissä.

Kolmioviivan pituus (kolmion piiri, perimeter)

Määritelmä: Piiri (perimeter) eli ympärysmitta (circumference) tarkoittaa suljetun viivan pituutta. Monikulmion tapauksessa piiri on sivujen pituuksien summa. Ympyrän piiriä kutsutaan kehäksi.

Määritelmä: Kolmion ΔABC piiri on kolmioviiva (sen muodostavat janat AB, BC ja CA).

Kolmioviivan eli piirin pituus p (perimeter) lasketaan kaavalla p = |AB| + |BC| + |CA| eli p = a + b + c.

Määritelmä: Puolipiirin pituus (semiperimeter)

s = ½(a + b + c).

Harjoitus: Piirrä kolmioviiva ja mittaa sen piiri SI -yksiköissä.

Kolmion kulmat

Merkinnät: Kolmion ΔABC sivujen a, b ja c vastaisia kulmia merkitään isoilla kirjaimilla A, B ja C. Siis A on sivun a vastainen kulma.

Sivun a vastaista kulmaa saatetaan merkitä myös kreikkalaisella kirjaimella α (α) sivun b vastaista kulmaa kirjaimella β (β)ja sivun c vastaista kulmaa kirjaimella γ (γ).

Harjoitus: Piirrä kolmioviiva ja mittaa sen kulmat SI - järjestelmän yksiköissä. Laske saatujen kulmien summa.

Avoin kolmio ja kolmion sisäosa (interior)

Määritelmä: Pisteet Z, jotka eivät kuulu kolmioviivaan (kolmion ΔABC piiriin), mutta jotka ovat kolmioviivan (kolmion piirin erillisten) pisteiden X ja Y välissä, muodostavat avoimen kolmion Δ]ABC[, jota kutsutaan kolmion sisäosaksi.

Huomaa, että kolmion kärjet eivät kuulu avoimeen kolmioon.

Yllä olevassa kuvassa avoin kolmio Δ]ABC[ on väritetty keltaisella (piiri on väritetty mustalla).

Määritelmä: Piste P on kolmion sisäpuolella, jos se kuuluu kolmion sisäosaan.

Määritelmä: Jos piste ei kuulu klmioviivaan (kolmion piiriin) eikä sisäosaan, se on kolmion ulkopuolella.

Suljettu kolmio

Määritelmä: Suljettuun kolmioon Δ[ABC] kuuluvat kolmioviiva (kolmion piiri) ja kolmion sisäosa.

Yllä olevassa kuvassa sekä keltainen että musta osa kuuluvat kolmioon Δ[ABC].

Kolmion sisäosan pisteiden määräämä janasto

Määritelmä: Janasto XY on kolmion sisäosan pisteiden määrämä janasto, jos X ja Y ovat kaksi kolmion sisäosan Δ]ABC[ eri pistettä.

Kolmion sisäosan määräämää janastoa kutsutaan seuraavassa kolmion määräämäksi janastoksi.

Harjoitus: Miten tämä määritelmä esitetään eri aksioomajärjestelmissä?

Yleinen kielenkäyttö

Yleisessä kielenkäytössä kolmioksi kutsutaan usein kolmioviivaa (kolmion piiriä) P = AB U BC U CA. Joskus kolmioksi kutsutaan myös suljettua kolmiota.

Huomaa, että |P| = p = a + b + c ja puolipiiri s = ½p.

Harjoitus:

Miten kolmio määritellään eri aksioomajärjestelmissä?
Miksi kolmio on tavallisesti vain kolme pistettä, joista mikään ei ole muiden välissä?

Kolmiosto

Päätelmä: Koska jokaiseen kolmioon liittyy kulmia, mikä tahansa kolmen pisteen avulla annetuista kolmion kulmista, esimerkiksi A, B ja C, määrää kolmioston ΔABC (>0).

Kolmioston pisteet kolmion avulla

Päätelmä: Kolmion määräämän janaston pisteet ovat kolmioston (tason) pisteitä.

Yhdensuuntaisuus

Vieruskulmat (linear pair)

Määritelmä: Jos kolmiossa ΔABC piste D on sivun AB pisteiden A ja B välissä, kulmia ∠ADC ja ∠CDB kutsutaan toistensa vieruskulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Vierekkäiset kulmat ∠ADC ja ∠CDB ovat vieruskulmia silloin ja vain silloin, kun A*D*B.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kulma ja sen vieruskulmat.

Vieruskulmalause (linear pair theorem)

5.4.2010

Päätelmä: Jos kulmat ∠CDA ja ∠CDB ovat vieruskulmia, niiden summa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π.

Perustelu: Vieruskulman määritelmän mukaan vieruskulmien summa on oikokulma.

Käänteinen vieruskulmalause

6.6.2010

Päätelmä: Jos kahden saman kolmioston kulmille on voimassa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π niin kulmat ovat vieruskulmia.

Perustelu: Vieruskulman määritelmän mukaan kulmat ovat toistensa vieruskulmia.

Paschin päätelmä: Janasto ja kolmio

18.03.2010

Päätelmä: (Pascin aksiooma) Olkoon l janasto (suora), joka leikkaa yhden kolmion sivun sen sisäpisteen kautta eikä kulje vastakkaisen kärjen kautta. Tällöin janasto (suora) leikkaa toista sivua sen sisäpisteessä.

Perustelu:

Tarkastellaan kolmiota ABC. Oletetaan, että janasto (suora) kulkee sivun AB sisäpisteen D ∈ AB kautta.

Tällöin se jakaa tason kahteen puolitasoon H₁ and H₂ , missä A ∈ H₁, B ∈ H₂ .

Nyt sovelletaan Dirichlet'in periaatetta:

Olkoon meillä kaksi venettä ja kolme kalastajaa. Tällöin on olemassa laiva, jossa on vähintään kaksi kalastajaa.

Meidän tapauksessamme veneet ovat H₁ jaH₂ and kalastajat ovat pisteet A, B ja C.

Toinen puolitasoista sisältää kaksi pistettä.

Erotamme tapaukset:

1. A ∈ H₁ ja B, C ∈ H₂. Tässä tapauksessa A:ta ja C:tä erottaa janasto (suora) l ja S3:sta seuraa, että se leikkaa AC:tä. H₂:n kuperuuden perusteella jana BC sisältyy H₂:een and eikäleikkaa l:ää.

2. A, C ∈ H₁ ja B ∈ H₂ . Tässä tapauksessa janasto (suora) l erottaa A:n ja B:n ja S3:n perusteella janasto (suora) leikkaa janaa BC. Kun A, C ∈ H₁ , kuperuuden perusteella jana AC kuuluu H₁:een eikä janasto (suora) l leikkaa sitä.

Huomaa, että puolitasoja erottava janasto (suora) l ei kuulu kumpaankaan puolitasoon. Tästä syystä amerikkalaiseen esitykseen oli lisättävä ehto, jonka mukaan l ei kulje C:n kautta.

Puomi (crossbar)

5.4.2010

Koveran kulman BAC kyljillä olevien pisteiden B ja C välistä janaa sanotaan puomiksi (crossbar) (katso alla olevaa kuvaa).

Kulman sisäosa

Hilbertin puomilause

26.3.2010

Hilbertin puomilause: Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA.

Perustelu: Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA.

Olkoon A' piste, jolle A'*A*C. Mikä tahansa piste AC:lle vastakkaiselta säteeltä kelpaa. Janasto (suora) AD leikkaa uuden kolmion A'BC pisteessä A. Paschin lauseen mukaan sen on leikattava jompi kumpi sivuista A'B tai BC.

Seuraavaksi tarkastellaan AD:lle vastakkaista puolisädettä AD'. Voisiko se leikata jomman kumman sivuista A'B ja BC?

Koska D kuuluu kulman BAC sisäosaan, se on samalla puolella AC:tä kuin B.

Sisäosalauseen (esitetty edellä) mukaan kaikki A'B:n ja BC:n pisteet (lukuunottamatta pisteitä A' ja B) ovat samalla puolella AC:tä kuin D. Koska janasto (suora) AD leikkaa AC:tä A:ssa, kaikki vastakkaisen säteen AD' pisteet ovat eri puolella AC:tä. Tästä syystä AD' ei voi leikata A'B:tää tai BC:tä.

Osoittaaksemme, että säde AD leikkaa BC:tä meidän on suljettava pois se mahdollisuus, että se leikkaisi A'D:tä.

Huomaa, että A' ja C ovat vastakkaisilla puolilla janastoa (suoraa) AB, kun taas C ja D ovat samalla puolella janastoa (suoraa) AB.

Erotteluaksiooman mukaan A':n ja D:n on oltava janaston (suoran) AB eri puolilla. Tässä tapauksessa kaikkien A'B:n pisteiden (lukuunottamatta pistettä A') on oltavatoisella puolella AB:tä ja kaikkien säteen AD pisteiden (A:ta lukuunottamatta), toisella puolella.

Koska A ≠ B. säde AD ei voi laikata A'B:tä. Tästä syystä se leikkaa BC:tä.

Janojen välijanat

11.4.2010

Määritelmä: Alkoot AB ja BC kaksi janaa. Niiden mahdollista leikkauspistettä merkitään E:llä. Jos valitaan janalta AB piste F, joka ei ole E ja janalta CD piste F, joka ei ole E , janaa GF kutsutaan janojen välijanaksi.

Harjoitus: Piirrä kaksi janaa ja mittaa janojen suurin ja pienin välimatka.

Janan viereiset kulmat (adjacent angles)

11.4.2010

Määritelmä: Olkoot ABCD kolmioston murtoviiva. Kulmia ABC ja BCD sanotaan janan BC viereisiksi kulmiksi, kun kulmat ovat samalla puolella murtoviivaa.

Harjoitus:

Piirrä neljän pisteen murtoviiva ja mittaa kahden keskimmäisen pisteen viereiset kulmat.
Määrittele käsite "samalla puolella murtoviivaa".

Janojen yhdensuuntaisuus (parallel line segments)

11.4.2010

Määritelmä: Janat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin, kun kaikille välijanoille EF, missä E ∈ AB ja F ∈ CD, janan EF vierekkäisten kulmien summa on π.

Tavallisesti yhdensuuntaisuutta ei määritellä janoille vaan suorille.

Birkhoff määrittelee yhdensuuntaisuuden tavalliseen tapaan: Janastot (Suorat) ovat yhdensuuntaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Lisäksi janasto (suora) katsotaan yhdensuuntaiseksi itsensä kanssa.

Meidän yhdensuuntaisuuden määritelmämme vastaa yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa yhtäpitävää oletusta, jonka mukaan l ja m ovat yhdensuuntaiset, jos samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret, kun n leikkaa l:ää ja m:ää.

Me emme ole ottaneet samankohtaisuutta määritelmäämme mukaan, koska en ole keksinyt, miten määrittelisin samankohtaisuuden niin, ettei se aiheuta sekaannuksia (on vaikeuksia suunnistuksen kanssa).

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi yhdensuuntaista janaa.

Janastojen yhdensuuntaisuus

Janastot AB ja CD ovat yhdensuuntaiset, jos ne eivät ole sama janasto ja jos janat AB ja CD ovat yhdensuuntaiset.

Janastojen väliset sisäkulmat (interior angles)

14.5.2010

Määritelmä: Olkoot l ja m kaksi yhdensuuntaista janastoa ja olkoon n janasto, joka leikkaa niitä (transversal).

Kulmia AHG, BHG, CHH ja DGH kutsutaan sisäkulmiksi (interior angles), koska jana GH on janastojen (suorien) välinen jana.

Muita kulmia kutsutaan ulkokulmiksi (exterior angles).

Huomaa, että toisin kuin eräissä kirjoissa väitetään, tämä pätee vain yhdensuuntaisiin suoriin. Alla on esimerkki suorista, jotka eivät ole yhdensuuntaiset.

Tässä tapauksessa sisäkulmia ovat vain kolmion ABC sisisäkulmat ABC, BCA ja CAB, kaikki muut ovat ulkokulmia.

Yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus

27.4.2010

Päätelmä: Koska kulmat α ja π - α voivat olla yhtäsuuret eli α = π - α = π/2, on olemassa yhdensuuntaisten janastojen välijana, joka on kohtisuorassa molempia suoria vastaan.

Päätelmä: Jos eri kaksi m ja n janastoa on kohtisuorassa samaa janastoa l vastaan, nämä kohtisuorat janastot ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Perustelu: Ensimmäisen kohtisuoran m ja janaston l välinen kulma on π/2 ja samoin toisen kohtisuoran n ja janaston l välinen kulma on π/2.

Koska näiden kulmien CAB ja ACD summa on π, välijanan vierekkäisten kulmien summa on π ja nämä kohtisuorat janastot (suorat) ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Vuorokulmalause

7.4.2010

Päätelmä: Olkoot janastot DC ja AB yhdensuuntaisia ja olkoon kulma ∠BAD = α. Tällöin kulma ∠ADC = π - α. Olkoon F janaston DC piste siten, että D on F:n ja C:n välissä(F*D*C). Olkoon E janaston AB piste siten, että A on pisteiden E ja B välissä (E*A*B). Tällöin kulmat ∠FDA ja ∠DAB ovat yhtäsuuret ja suuruudeltaan α.

Perustelu: Kulma ∠FDA on kulman ∠ADC vieruskulma.

Päätelmä: Jos kulmat FDA ja DAB ovat yhtäsuuret, janastot ovat yhdensuuntaiset.

Perustelu: Kulman FDA vieruskulma ∠ADC = π - α.

Kulmia BAD ja ADF sanotaan joskus vastakulmiksi.

Harjoitus:

Piirrä kaksi yhdensuuntaista janaa ja mittaa niiden välinen kulma.
Määrittele vastakulmat.

Yhdensuuntaisuuden siirtyvyys (transitiivisuus)

11.4.2010

Päätelmä: Jos AB || CD ja CD || EF, niin AB || EF.

Perustelu: Olkoon AB || CD ja CD || EF.

Valitaan EF:ltä piste G, CD:ltä piste H ja AB:ltä piste I.

G, C ja I voivat olla samalla janastolla (suoralla) tai ne voivat muodostaa kolmion GCI.

Tapaus 1

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa GCI on kolmio.

Säde HD tai sille vastakkainen (opposite) säde HC on kulman GCI aukeamassa. Muuten CD yhtyisi janastoon CG tai janastoon HI, mikä on vastoin sitä oletusta, että GC ja HI ovat yhdensuuntaisten janastojen (suorien) välijanoja.

Hilbertin poikkipuomilauseen mukaan kärjen H jautta kulkeva janasto CD leikkaa kärjen vastaisen sivun pisteessä J.

Janojen AB ja CD yhdensuuntaisuusehdosta seuraa, että jos BIJ = α, niin IJD = π - α. IJD:n vieruskulmana GCD = α. Janojen CD ja EF yhdensuuntaisuudesta seuraa, että kulma JGF = π - α. Nyt kulmien GIB ja IGF summa on π ja janastot (suorat) AB ja EF ovat yhdensuuntaiset.

Tapaus 2

Tässä tapauksessa GI toteuttaa suoraan saman tehtävän kuin edellisessä kohdassa.

Samankohtaiset kulmat

13.5.2010

Ensin ajattelin, että en tässä oppikirjassa käytä käsitettä "samankohtaiset kulmat". Koska käsite esiintyy kaikessa eläkeläiselle helposti saatavissa olevissa aineistoissa, olen seuraavassa yrittänyt määritellä käsitettä "samankohtainen kulma".

Määritelmä: Samankohtaisiksi kulmiksi sanotaan kulmaa α ja sen vuorokulman ristikulmaa.

Yhdensuuntaisuuden määrittelemisestä ja ominaisuuksista

8.4.2010

Yhdensuuntaisuusaksiooma sanoo:

Janaston (Suoran) ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee yksi ja vain yksi tämän janaston (suoran) suuntainen janasto (suora).

Sen kanssa yhtäpitäviä ovat mm. seuraavat määritelmät:

Janasto (Suora), joka leikkaa toisen kahdesta keskenään yhdensuuntaisesta jasastosta (suorasta), leikkaa toisenkin.
On olemassa suoria, jotka ovat kaikkialla yhtä kaukana toisistaan.
Kolmion kulmien summa on oikokulma.
Kaikkien kolmioiden kulmien summa on sama.
Jokaiselle kolmiolle on olemassa sen kanssa yhdenmuotoinen kolmio, joka ei ole sen kanssa yhtenevä.
Millä tahansa kahdella yhdensuuntaisella janastolla (suoralla) on yhteinen kohtisuora.
Kolmen pisteen, jotka eivät ole samalla janastolla (suoralla), kautta kulkee ympyrä.
Jos kaksi janastoa (suoraa) ovat yhdensuuntaisia kolmannen kanssa, ne ovat myös keskenään yhdensuuntaisia.
Saccherin suorakulmaoletus on voimassa. Saccheri tarkastali nelikulmiota, jossa kaksi viereistä kulmaa olivat suoria ja suorien kulmien välistä sivua vastaan kohtisuorat sivut olivat yhtä pitkät. Jos tämä nelikulmio oletetaan suorakulmioksi, on esitetty yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa yhtäpitävä aksiooma.
Playfairin aksiooma on voimassa. Jos a on janasto (suora) ja A piste (ei a:n piste), niin on olemassa vain yksi janasto (suora) b, jolle A kuuluu ja joka on yhdensuuntainen a:n kanssa.
On olemassa suorakulmioita.
Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa.
Jos janasto (suora) leikkaa kahta yhdensuuntaista janastoa (suoraa),niin ns. samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret.
Kaikille pisteille annetun kulman sisäosassa on olemassa janasto (suora), jolla tämä piste on ja joka leikkaa kulman kylkiä eikä kulje kulman kärjen kautta.

Jätän lukijain mietittäväksi, miten nämä aksioomat ilmenevät tässä oppikirjassa.

Harjoitus:

Keksi yllä olevassa luettelossa mainitsematon aksiooma, joka on yhtäpitävä yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa.
Kuinka monta janastoa (suoraa) janaston (suoran) ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee?

Kolmion pinta-ala (area)

Pinta-alakäsite

18.4.2010

Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille ja muinaisissa oppikoulun geometrian oppikirjoissa pinta-alaa määriteltiin ruudukon avulla.

Tässä oppikirjassa pinta-alan perusyksikkönä ei ole neliö, suorakulmio tai differentiaali jossain pinnassa vaan kolmio, jonka pinta-ala määritellään Heronin kaavalla.

Muut pinta-alat johdetaan erilaisilla menetelmillä tästä kaavasta.

μ(A) = ΣA_i.

Mitta- ja integraaliteoriaa (josta tämän kirjoittaja on tehnyt pro gradu -tutkielman), ei käytetä tässä oppikirjassa.

Jouduin ensimmäistä kertaa pinta-alojen mittaamisen kanssa tekemisiin, kun minun oli pakko rahoittaa opiskeluajan elämää. Minun piti mitata pinta-aloja Turun sataman kartasta.

Tein työtä jonkin aikaa kolmiomittauksella, mutta sitten äkykkäät insinöörit keksivät hakea kokeiltavaksi planimetrin, jolla suoritin loput mittaukset.

Mekaanisia planimetrejä saa parilla sadalla mutta jos mukana on eletroniikkaa, planimetri voi maksaa lähes tuhat euroa. Planimetri ei ole vieläkään mikään leikkikalu. Planimetrin toiminnan selittäminen tapahtuu integraalilaskennan avulla.

Ensimmäistä kertaa integraalien avulla suoritettavien mittausten kanssa jouduin tekemisiin, kun tohtori Erkki Pesonen antoi minulle harjoitustyöksi laskea eräiden jakaumien ns. häntiä.

Tilasin Yhdysvalloista Fortran - kääntäjän ja tein ohjelman, jonka piti laskea integraaleja numeerisesti. Silloinen IBM:n kaupallinen reikäkortteja syövä tietokone ei pystynyt tekemään laskelmaa.

Varsin yleisesti ajatellaan, että pinta-alat lasketaan Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille mainittuja lukuunottamatta integraalilaskennalla. Valitettavasti integraalilaskennallakin suoritettavat laskelmat tehdään oikeissa käytännön tilanteissa usein numeerisesti, sillä tunnettujen integroituvien funtioiden joukko on rajallinen.

Harjoitus:

Piirrä ruudulliselle paperille suljettu käyrä ja arvioi sen pinta-alaa laskemalla ruutuja.
Tarkista pinta-ala planimetrillä (sellaisen voi lainata kokeiltavaksi planimetrejä myyvästä kaupasta).
Laske käyrän sisään jäävien ruutujen määrä ja viivaa koskettavien ruutujen määrä. Miten voit näistä saada arvion pinta-alalle ruuduissa mitattuna?

Kolmion pinta-alan määritelmä

6.6.2010

Perusmääritelmä: Kolmiolle ΔABC, jonka sivut ovat a, b ja c, määritellään pinta-alaksi Heronin kaavan antama reaaliluku:

A = [s(s - a)(s - b)(s - c)]^1/2

missä

s = ½(a + b + c) = ½p.

Kun s:n tilalle sijoitetaan ½(a + b + c), saadaan

A = (1/4)([(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^½

Koska neliöjuuren alla ei saa olla mitään negatiivista, saadaan seuraavat mahdollisuudet
1.
(-a+b+c)>0 ja
(a-b+c)>0 ja
(a+b-c)>0

tai
2.
(-a+b+c)<0 ja
(a-b+c)<0 ja
(a+b-c)>0

tai
3.
(-a+b+c)>0 ja
(a-b+c)<0 ja
(a+b-c)<0

tai
4.
(-a+b+c)<0 ja
(a-b+c)>0 ja
(a+b-c)<0

Nämä antavat kolmioiden sivuille seuraavia epäyhtälöitä:
1.
b+c>a ja
>a+c>b ja
a+b>c

Tässä tapauksessa kolmion kahden sivun summa on suurempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
2.
b+c<a ja
a-b<c ja
a+b>c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
3.
b+c>a ja
b+c<a ja
a+b<c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
4.
b+c<a ja
a+c>b ja
a+b<c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).

Kaikkien neljän tulon tekijän on siis oltava positiivisia.

Tietokone tekee laskelman alle silmänräpäyksen.

Joidenkin mielestä kolmion pinta-alan määritteleminen Heronin kaavan avulla voi tuntua omituiselta.

Pinta-alan määritelmäksi voidaan valita mikä tahansa sellainen kaava, jolla kolmion pinta-ala voidaan laskea, mutta yksinkertaisinta on antaa kolmion pinta-ala jo siinä vaiheessa, jossa kolmiosta tunnetaan vain sivujen pituudet.

Mainittakoon, että Heronin kaava on erikoistapaus myöhemmin esitettävästä nelitahokkaan tilavuuden kaavasta.

Liitutaulusidonnaisia käsitteitä "kanta" ja "korkeus" ei tarvitse määritellä tässä vaiheessa.

Jos kaava antaa kolmion alaksi nollan, kolmion kärkipisteet ovat samassa janastossa.

Jos alaksi tulee kompleksiluku (neliöjuuren alle tulee jotain miinusmerkkistä), janat eivät muodosta kolmiota.

Kolmion olemassaolon voi tarkistaa ennen laskelmaa siten, että jos kahden eri janan summa on pienempi tai yhtäsuuri kuin kolmas sivu, kolmiota ei ole olemassa.

Tarkistuksen voi suorittaa myös piirtämällä (On erilaisia viivaimia, joissa on erilaisia asteikkoja.).

Harjoitustyö: Kirjoita html:llä ja php:llä ohjelma, joka laskee kolmion alan, kun kolmion sivut on annettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kulmien sitominen kolmion sivujen suuruuksiin

Kosini

Perusmääritelmä: Kolmioissa ΔABC, jossa sivut ovat a, b ja c, sini ja kosini sidotaan kolmion sivujen suuruuksiin seuraavasti.

cos A = (b² + c² -a²)/2bc.

(kosinilause, esitetty edellä)

Sini

sin A =(-a⁴- b⁴- c⁴ + 2b²c² + 2c²a² +2 a²b²)^½/2bc

Itse kulmat saadaan funktioilla arccos ja arcsin, eli cos^-1 ja sin^-1, joiden sarjakehitelmät löytyvät em. Wikipedian artikkelista.

Todettakoon, että tavallinen koululaisen laskin laskee näiden ns. funktioiden arvot alle silmänräpäyksen.

Ubuntun laskimessa nämä funktiot saadaan laittamalla rasti ruutuun Inv.

Huomautus: Abstraktissa lineaarialgebrassa kulma määritellään periaatteessa kosinilauseella. Näin tehdään esimerkiksi W. H. Greubin oppikirjassa Linear algebra, Springer 1963 ss. 162-163.

Sinilause

Sinin kaavalla kolmiossa voidaan muodostaa osamäärä sinA/sinB, ja osamäärästä supistuu melkein kaikki pois eli jäljelle jää a/b.

Päätelmä: Näin on saatu sinilause eli

sin A/sin B = a/b,

sin B/sin C = b/c ja

sin C/sin A = c/a.

Tavallisesti sinilause esitetään muodossa

(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c = 1/k. (sinilause)

missä k = a sin A.

Kolmion alan merkitseminen

5.4.2010

Kolmion alaa merkitään joissakin lähteissä area(ΔABC), mutta tässä oppikirjassa kolmion alaa merkitään samalla tavalla kuin kolmiota itseään eli ΔABC.

Kahden toisiaan leikkaavan janaston välisen kulman laskeminen

18.3.2010

Edellä on todettu, että kaksi janastoa l ja m leikkaavat toisensa, jos niillä on yhteinen piste P eivätkä ne ole sama janasto eli on olemassa P:stä eriävät pisteet A ja B, joista A kuuluu ensimmäiseen janastoon ja B kuuluu toiseen janastoon.

Janastojen PA ja PB välinen kulma ∠APB lasketaan kosinilauseella kolmiosta ΔAPB

Tavallisesti janastojen väliseksi kulmaksi kutsutaan mahdollisista kulmista pienempää.

Harjoitus: Piirrä kaksi janastoa ja laske niiden välinen kulma pisteiden ja niiden välimatkojen avulla

Teräväkulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio ΔABC on teräväkulmainen, jos sen kaikki kulmat ovat alle π/2 eli 90⁰.

Yllä olevassa kolmiossa kaikki kulmista ∠A, ∠B ja ∠C ovat teräviä.

Harjoitus:

Piirrä teräväkulmainen kolmio.
Tarkista teräväkulmaisuus mittaamalla.
Osoita, että on olemassa teräväkulmaisia kolmioita.

Tylppäkulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio ΔABC on tylppäkulmainen, jos yksi sen kulmista on tylppä.

Yllä olevassa kolmiossa kulma ∠B on tylppä.

Harjoitus:

Piirrä tylppäkulmainen kolmio ja jaa se harpilla ja viivaimella kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Vihje: Kannattaa piirtää melko iso kolmio.
Osoita, että on olemassa tylppäkulmaisia kolmioita.

Suorakulmainen kolmio

Määritelmä

Määritelmä: Kolmio ΔABCon suorakulmainen, jos yksi sen sisäkulmista on suora eli π/2 radiaania eli 90⁰.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella suorakulmainen kolmio.
Osoita, että on olemassa suorakulmaisia kolmioita.

Kateetit (legs) ja hypotenuusa (hypotenuse)

Määritelmä: Suorakulmaisen kolmion suoran kulman viereisiä sivuja a ja b kutsutaan suorakulmaisen kolmion kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua c kutsutaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi.

Jostain syystä näitä sanoja ei ole ei ole tiettävästi yritetty suomentaa.

Ehdotus: Käytetään hypotenuusassta nimitystä pitkis ja kateeteista nimitystä lyhis.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella suorakulmio, jonka kateetit ovat 3 ja 4 SI -yksikköä. Mittaa kuinka pitkä on hypotenuussa.

Pythagoraan lause

Päätelmä: Kosinilauseen perusteella suorakulmaisessa kolmiossa

a²+ b²= c²(Pythagoraan lause).

Kun a²+ b²sijoitetaan kosinilauseessa c²:n paikalle saadaan

cos A = b/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman kosini on viereisen kateetin suhde (rate) hypotenuusaan.

Tällä tavalla kosini määriteltiin ennen vanhaan koululaisille. Ilmeisesti vanhaa tapaa jatketaan yhä.

Nollakolmiossa a + b = c.

Kun a + b sijoitetaan kosinilauseessa c:n paikalle saadaan

(a + b)² = a² +b² -2ab cos C eli

a² + b² + 2ab = a² + b² -2ab cos C, mistä kosinille cos C saadaan arvo -1 eli C = π eli C on 180⁰.

Nollakolmion erityistapaus on se, jossa a ja b ovat samat (piste C on sivun keskipiste).

Määritelmä: Pythagoralaiset luvut (Pythagorean triple) ovat lukuja, jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen, esimerkiksi 3, 4 ja 5.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio, jonka sivujen suhde on 3:4:5.
Ota selvää, kuka keksi Pythagoraan lauseen.

Sini ja kosini suorakulmaisessa kolmiossa

Kuten edellä on määritelty, kolmio on suorakulmainen, jos yksi sen kulmista on suora eli π/2 radiaania eli 90 astetta.

Tämän kulman sini on sarjakehitelmän mukaan 1 ja tämän kulman kosini on sarjakehitelmän mukaan nolla.

Kuten edellä on määritelty, suoran kulman viereisiä sivuja a ja b kutsutaan suorakulmaisen kolmion kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua c kutsutaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi.

Päätelmiä: Suorakulmaisessa kolmiossa kulman π/2 eli 90⁰ sini on 1. Jos suora kulma on kulma ∠C, saadaan seuraava tulos:

(sin A)/a = (sin B)/b = 1/c.

Tästä saadaan

sin A = a/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuussaan.

sin B = b/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan.

Tällä tavalla sini määriteltiin ennen vanhaan koululaisille. Ilmeisesti samaa käytäntöä jatketaan.

Koska suorakulmaisessa kolmiossa

sin A = a/c

ja

cos A = b/c, saadaan

(sin A)² + (cos A)²
= a²/c² + b²/c²
= (a² + b²)/c² = c²/c²
=1.

Saadaan kaava, joka usein esitetään muodossa

sin²A + cos²A =1.

Koska A voi olla mikä terävä kulma tahansa, kaava pätee ainakin teräville kulmille.

Kolmion ala sinin avulla

Heronin kaavasta ja yllä olevasta sinin määritelmästä voidaan johtaa mielivaltaisen kolmion ΔABC alalle kaava

A = ½ bc sin A

(katso esim H. M. S. Coexter, Introduction to Geometry, second edition, Wiley & Sons, 1980, s. 12).

Harjoitus: Piirrä kolmio, mittaa kaksi sivua ja niiden välinen kulma ja laske kolmion pinta-ala.

Suorakulmaisen kolmion ala

Suorakulmaisen kolmion ΔABC pinta-ala saadaan seuraavasti. Olkoot a ja b suoraulmaisen kolmion kateetit. Kateettien välinen kulma ∠C on suora.

A = ½ bc sin C = ½ bc.

Harjoitus: Piirrä suorakulmainen kolmio, mittaa sen sivut ja laske sen pinta-ala.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetti

9.3.2010

Päätelmä: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa c on suurempi kuin molemmat kateetit a ja b.

Perustelu: kun c² = a² + b², niin c²≥a² ja c²≥b², mistä seuraa, että c≥a ja c≥b (a, b ja c ovat janoina ei-negatiivisia).

Huomaa, että toinen perustelu tälle päätelmälle on esitetty alempana. Geometriassa on yleistä, että sama päätelmä voidaan perustella ei tavoin.

|sin A| ≤ 1 ja |cos A| ≤ 1

4.5.2010

Tämä seuraa kaavasta (sin x)² + (cos x)² = 1.

Olen tänään käynyt läpi Ubuntun funktioiden piirtämisohjelmia, ja Octave on se, josta voi suoraan tallentaa tavallisimpin muotoihin (esim. png ja jpg). Alla olevassa kuvassa on kaksi jaksoa funktiosta y = sin x. Asteikko on radiaaneissa.

Alla olevassa kuvassa on kosinifunktion kuvaaja:

Tangentti

20.2.2010

Trigonometrinen funktio tangentti määritellään sarjakehitelmällä.

tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + ...

Voidaan osoittaa, että

tan A = sin A/cos A.

Huomautus: Tavallisesti tangentti määritellään sinin ja kosinin osamääränä. Sen osoittaminen, että nämä määritelmät ovat yhtä hyviä, ei kuulu tämän suppean geometrian oppikirjan alaan.

Tästä voidaan päätellä, että

tan (-A) = - tan A

eli tangentti on pariton funktio.

Tangentin käänteisfunktio on

arctan eli tan^-1 eli atan.

Kolmioiden käsittelyssä syntyy helposti sinin ja kosinin osamääriä, esimerkiks suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a = c sin A ja b = c cos A. Näiden osamäärä on

a/b = tan B.

Näin on saatu perinteisen geometrian päätelmä:

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin.

Tätä päätelmää voidaan käyttää geometriassa runsaasti.

Harjoitus:

Etsi Internetistä tangenttifunktion kuvaaja. Mitkä ovat sen nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat?
Etsi Internetistä tangenttifunktion kuvaaja. Mitkä ovat sen nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat?

Vanhan ajan trigonometrisia funktioita

20.2.2010

Lähde: L. Neovius-Nevanlinna: Trigonometria, WSOY 1918, s. 21.

cot A = 1/(tan A),

sec A = 1/(cos A),

cosec A = 1/(sin A).

Kuten määritelmistä on nähtävissä, toimeen tullaan sinillä, kosinilla ja tangentilla.

Ensimmäisen kaavan perusteella voidaan päätellä, että

cot (-A) = - cot A

eli että kotangentti on pariton funktio.

Trigonometria on suomeksi kolmiomittaus.

Harjoitus: Tutki, mitä suorakulmaisen kolmion suhdetta kuvaa

sekantti
kosekantti

Kolmiot (jatkoa)

Kolmioepäkäs (scalene triangle)

2.5.2010

Määritelmä: Kolmioepäkäs on kolmio, jonka kaikki sivut ovat eripitkiä.

Harjoitus: Piirrä kolmio, jonka kaikki sivut ovat eripitkiä.

Uusi kaava kolmion alalle

9.4.2010

Määritelmä: Kolmion ABC kärjestä lähtevä korkeus (altitude) sivua c vastaan, kun muut sivut ovat a ja b ja kulmat ovat A, B ja C, on

h_c = b sin A.

Päätelmä: Kolmion pinta-ala on puolet kolmion sivun pituuden ja vastakkaisesta kärjestä lähtevän korkeusjanan pituuden tulosta

Merkitään kaavassa

A = ½ bc sin A

suuretta

b sin A

kirjaimella h. Kolmion alalle saadaan kaava

A = ½ ch.

Tavallisesti kaavassa käytetään c:n sijasta kirjainta a ja suuretta h kutsutaan kolmion korkeusjanaksi.

A = ½ah.

Alempana on esitetty, että tämä kaava saadaan Heronin kaavalla ja Pythagoraan lauseella.

Kaikkia sivuja vastaavat omat korkeusjanat:

h_a, h_b ja h_c.

_{Miksi
h:ta kutsutaan korkeusjanaksi}

9.4.2010
_{Yllä
olevassa kolmiossa jana h, joka on sekä b sin α että a cos β, näyttää
niin kovasti korkeusjanalta, että sitä kutsutaan korkeusjanaksi.

Myös koko kolmion ala näyttää erehdyttävästi kahden suorakulmaisen
kolmion alojen summalta eli

A = ½dh +½eh = ½h(d + e) = ½hc = ½ ch.

Yllä olevassa kolmion pinta-ala näyttää kahden suorakulmaisen kolmion
pinta-alojen erotukselta.

A = ½(d+e)h - ½eh = ½ch.}

Kolmion sivut ja korkeusjanat

3.4.2010

Olkoot kolmion sivut a, b ja c ja niiden vastaiset korkeusjanat h_a, h_b ja h_c.

Kolmion alan kaavalla saadaan yhtälöt

A = ½ah₁ = ½bh₂ = ½ch₃.

Tästä saadaan verranto:

a : b : c = (1/h_a) : (1/h_b) : (1/h_c)

Kolmion korkeusjana

Kolmion korkeusjana Heronin kaavalla

9.3.2010

Lähde: Niilo Kallio - Bruno Malmio: Geometria II, Lukioluokkien oppimäärä, Otava 1939 s. 141.

Kun kolmion ala A on laskettu, korkeusjana h_a sivua a vastaan voidaan laskea kaavalla (Laskelma perustuu kolmion pinta-alan kaavaan A = ½ah).

h_a = (2 A)/a.

Kun A:n paikalle sijoitetaan Heronin kaavan antama pinta-ala, korkeusjanan pituudelle saadaan seuraava kaava:

h_a= {b² -[(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½.

Harjoitustehtävä: Tee html:llä ja php:llä ohjelma, joka laskee kolmion sivun a vastaisen korkeusjanan, kun kolmion sivujen pituudet on annettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion korkeusjana ilman Heronin kaavaa

7.5.2010

Olkoon ABC kolmio ja olkoot sen sivut a, b ja c. Olkoon sivun c vastainen korkeusjana h. Korkeusjana jakakoon pisteessä D sivun C jakteen osaan siten, että BD = l ja DC = m.

Muodostetaan yhtälöitä, joissa kuvion janojen pituudet esiintyvät ja pistetaan lopuksi apumuuttujat l ja m.

a = l + m.

b² = h² + l² Pythagoraan lauseella.

c² = h² + m² Pythagoraan lauseella.

Vähentämällä nämä yhtälöt toisistaan saadaan

b² - c² = l² - m².

Kun molemmat puolet jaetaan lausekkeella a = l + m, saadaan

l - m = (b² - c²).

Kun lisätään molemmille puolille l + m = a, saadaan

l = (a² + b² - c²)/(2a).

Edellä oli todettu, että

b² = h² + l²,

mistä l² = b² - h².

Kun l esitetään kahdella tavalla ja merkitään lausekkeet yhtäsuuriksi, saadaan

b² - h² = [(a² + b² - c²)/(2a)]²,

mistä

h = {b² - [(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½ .

Joissakin oppimateriaaleissa Heronin kaava johdetaan tällä kaavalla, mutta tässä oppikirjassa Heronin kaava on aksiooma.

Harjoitus: Johda kolmion korkeusjanan kaavasta ja Heronin kaavasta kaava A = ½ah.

Kolmion keskijana (median)

9.3.2010

Lähde: Niilo Kallio - Bruno Malmio: Geometria II, Lukioluokkien oppimäärä, Otava 1939 s. 49.

Kolmion ΔABC kärjestä A sivulle BC ulottuva keskijana on jana AD, missä |BD| = |BC|.

Jos merkitään keskijanaa kirjaimella m_a, saadaan kolmiosta ACD kosinilauseella

b² = m_a² +(a/2)² - 2 m_a (a/2) cos ADC ja

ja kolmiosta ΔADB

c² = m_a² +(b/2)² - 2 m_a (b/2) cos ADB.

Koska kulmien ∠ADC ja ∠ADB summa on oikokulma, kulmien kosinit ovat toistensa vastalukuja,

[cos(π-A)=-cos A],

joten laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan

b² + c² = 2m_a² + (a/2)².

Kun tästä ratkaistaan m, saadaan kaava:

m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Huomautus: Kaava [cos(π-A)=-cos A] perustellaan alempana tästä päättelystä riippumattomalla tavalla.

Harjoitustehtävä: Tee html- ja php- ohjelma, joka laskee kolmion mediaanien pituudet.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon

9.1.2010

Päätelmä: Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon.

Perustelu: Kolmioiden ABX ja AXC sivut BX ja XC ovat yhtä suuret, koska X on sivun BC keskispiste. Kolmioiden korkeudet ovat samat, koska A:n etäisyys pisteiden B ja C määräämästä janastosta on h ja kolmioiden pinta-alat ovat |BX| h/2 ja |XC| h/2.

Eri kolmiot, joilla on sama pinta-ala

Samankantaiset kolmiot

Määritelmä: Siitä kolmion sivusta, jonka vastainen korkeus tunnetaan, käytetään nimitystä kanta (base). Myös tasakylkisen kolmion erisuuresta sivusta käytetään nimitystä kanta (base).

Kaavasta ala = ½ kertaa kanta (base) kertaa korkeus nähdään, että kolmioilla, joilla on sama sivu AB ja tämän sivun vastainen korkeus h, on kulmista riippumatta sama pinta-ala.

Tästä voidaan päätellä vinojen (suunnikas, neljäkäs) nelikulmioiden pinta-alat.

Tämän periaatteen yleistys esitetään myöhemmin nelitahokkaille ja vältetään Cavalierin oletuksen käyttö vinojen nelistöolioiden (suuntaissärmiö, vino särmäkartio jne) käsittelyssä.

Harjoitus: Muunna mielivaltainen kolmio harppia ja viivainta käyttäen suorakulmaiseksi kolmioksi.

Carpet'in lause

7.5.2010

Päätelmä: Olkoot ABC ja ABD samankantaisia ja samankorkuisia kolmioita. Niiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Kun kummankin kolmion pinta-alasta vähennetään yhteinen osa ABE, jäljelle jääneet osat eli AEC (sininen) ja BDE (punainen) ovat pinta-alaltaan yhtäsuuret.

Harjoitus: Mitä syntyy, kun kyseessä on useampia kolmioita?

Pinta-alan yhteenlaskettavuus

8.5.2010

Jotta pinta-ala olisi mitta, sen on oltava yhteenlaskettava eli

Jos joukot A_i ∈A, i ∈ N, ovat erillisiä (pistevieraita), niin μ(∪A_i)= Σμ(A_i).

Yllä olevan kuvan tapauksessa on ilmiselvää, että μ(ABC)+μ(BDC) = μ(ADC), sillä kolmioilla ABC, DBC ja ADC on sama korkeus ja pinta-alat ovat

½|AB| h + ½|BD| h = ½(|AB| + |BD|)h = ½|AD| h.

Olkoot ABC ja ADE kaksi mielivaltaista kolmiota, joiden yksi sivu on samassa janastossa AB.

Olkoon AE pienempi kuin AB. Tälläin kolmioilla AEC ja AED on yhteinen sivu, joten niiden pinta-alojen summa on

½|AE| h₁ + ½|AE| h₂ = ½|AE|(h₁ + h₂)

Kolmioiden AED ja CEB alojen summa on

½|AE| h₁ + ½|EB| h₁ = ½h₁(|AE| + |EB|) = ½h₁|AB|.

Kolmioiden ABC ja ADE alojen summa on

μ(ADE )+ μ(AEC) + μ(CEB) =

½|AE| h₂ + ½|AE| h_{1 +}½|EB| h_{1 =}½|AE| h_{2 +}½h₁|AB|.

Päätelmä: Mielivaltaisten kolmioiden, joilla on sivu samassa janastossa, pinta-alat siis voidaan laskea yhteen.

Kolmion sivut ja korkeudet

Päätelmä: Kolmiossa on suurimman sivun vastainen korkeus pienin.

Perustelu: Kolmion pinta-ala on puolet sivun ja sitä vastaavan korkeuden tulosta. Jos otetaan pienempi sivu, korkeuden on vastaavasti oltava suurempi.

Kuperan pistejoukon litteys

8.8.2010

Litteys määritellään alempana vain kuperille pistejoukoille. Näille pistejoukoille litteys on ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde sisään piirretyn ympyrän säteeseen.

Tämä käsite ei siis sovi ollenkaan koverille pistejoukoille kuten esimerkiksi symmetrisille tähdille.

Tämä käsite on suunniteltu kuvaamaan lähinnä sellaisten pistejoukkojen kuin kolmio, suunnikas, ellipsi jne. erästä ominaisuutta.

Litteyden mitta on varsin karkea ja jokainen voi kehitellä erikoistapauksia varten tarkempia mittoja.

Harjoitus: Kehitä kolme uuutta litteyden mittaa, jotka ovat soissain erikoistapauksissa tarkempia kuin yllä esitetty.

Kolmion litteys

1.8.2010

Edesmennyt dosentti Pertti Lindfors kertoi professori emeritus Raimo Tuomelan kysyneen häneltä, että mitä uutta sinä olet keksinyt.

Siitä lähtien olen miettinyt, mitä minä vastaisin tuohon kysymykseen.

Kun on parasta keksiä tuo uusi omalta alaltaan, olen päätynyt määrittelemään litteyttä.

Valitettavasti määritteleminen on osoittautunut vaikeaksi.

Viime päivinä esittämistäni määritelmäehdotuksista olen valinnut lopulliseksi määritelmäksi seuraavan:

Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde r on

r = 2A/(a+b+c),

missä A on kolmion ala ja a, b ja c ovat kolmion sivut.

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on

R = (abc)/(4A).

Määritelmä: Kolmion litteys Λ on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde kolmion sisään piirretyn ympyrän säteeseen eli

R/r = [(abc)/(4 A²)]/[A/((a+b+c)/2)]

Λ = [(abc)(a+b+c)]/(8 A²)

Perusteluja: Tarkasteltaessa muita pistejoukkoja havaitaan, että ympyrän litteys on pienin eli 1. On perusteltuna pitää ympyrää, palloa jne. vähiten litteinä pistejoukkoina.

Säännöllisen monikulmion ala

27.4.2010

Päätelmä: Säännöllinen monikulmio koostuu yhtenevistä kolmioista.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Säännöllisen monikulmion pinta-ala on

A = ½pa,

missä p on monikulmion piiri ja a on mnikulmion symmetriakeskuksen etäisyys monikulmion sivusta s.

Perustelu: Yksittäisen kolmion ala on ½sa, miissä s on monikulmion sivu ja a (apoteema) on symmetriakeskuksen etäisyys monikulmion sivusta. Sivujen a summa on p.

Vivianin päätelmä

26.4.2010

Päätelmä: Tasasivuisen kolmion sisällä tai sivulla olevan pisteen etäisyydet kolmion sivuista ovat yhteensä kolmion korkeus.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Pistejoukkojen yhdenmuotoisuus (similarity)

Miten yhdenmuotoisuus pitäisi määritellä?

20.3.2010

Jotkin geometrian pistejoukot ovat oman luokkansa sisällä keskenään yhdenmuotoisia kuten janat, ympyrät, pallot jne.

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, jos toisen kolmion sivut saadaan toisen kolmion sivuista kertomalla ne reaalilukuvakiolla.

Monikulmioissa pitää ottaa huomioon joko kulmien säilyttäminen tai myös monikulmion lävistäjät.

Periaatteessa yhdenmuotoisuuden määritelmän voi rakentaa osista tai voi tyytyä yleiseen määritelmään.

Tässä oppikirjassa on määritelty yleinen yhdenmuotoisuus, mutta siitä ei ole erikseen johdettu kolmioiden yhdenmuotoisuutta, vaan kolmioiden yhdenmuotoisuus on määritelty erikseen.

Yleinen yhdenmuotoisuus (similarity)

20.3.2010

Määritelmä: Pistejoukot A ja B ovat yhdenmuotoiset,

jos jokaista pistejoukon A pisteparia {X,Y} ja välimatkaa |XY|vastaa yksi ja vain yksi pistejoukon B pistepari {Z,U} siten, että |XY| = k |ZU| missä k on reaali(luku)vakio ja
jokaista pistejoukon A kulmaa ∠XYZ vastaa pistejoukon B kulma ∠X'Y'Z' siten, että ∠XYZ=∠X'Y'Z'.

Funktiokäsitettä käyttäen yleinen yhdenmuotoisuus voidaan muotoilla seuraavasti:

d(f(X), f(Y)) = k d(X,Y)

ja

∠f(A)f(B)f(C) = ∠A'B'Z'.

missä d on edellä määritelty välimatka ja k on reaaliluku, joka ei ole negatiivinen.

A ∼ B luetaan A on yhdenmuotoinen B:n kanssa. html:ssä yhdenmuotoisuuden merkki on &sim;.

Janojen yhdenmuotoisuus

AB ∼ BC ⇔ |AB| = k |BC|

Kulmien yhdenmuotoisuus

∠ABC ∼ ∠A'B'C' ⇔ ∠ABC = ∠A'B'C'.

Yleinen venytys (litistys)

25.4.2010

Määritelmä: Yleinen venytys on kuvaus, joka säilyttää janastot (suorat) janastoina (suorina).

Alempana esitetään hyvin monenlaisia venytyksiä. Ensimmäisenä niistä esitellään yhdenmuotoisuuskuvausta.

Huomaa, että kaikki venytykset eivät säilytä kulmia.

Pisteen venytys pisteen suhteen ilman kiertoa (homotetia)

Määritelmä: Piste X' on pisteen X venytys pisteen P suhteen, jos

|PX'| = k |PX| ja
X on pisteiden P ja X' välissä, jos k > 1,
X' on pisteiden P ja X välissä, jos k> 0 ja k<1,
P on pisteiden X ja X' välissä, jos k < 0.

Pistejoukon venytys pisteen suhteen (homotetia)

Määritelmä: Pistejoukko A' on pistejoukon A venytys mittakaavassa k pisteen P suhteen, jos jokainen A' piste on jonkin A:n pisteen venytys mittakaavassa k ja jokainen A:n piste on jonkin A':n pisteen venytys mittakaavassa 1/k.

Homotetia eli skaalaus tarkoittaa yhdenmuotoisuuskuvausta, missä kukin kuvion piste saadaan, kun mitataan sen etäisyys homotetiakeskuksesta ja kerrotaan se homotetiassa annetulla vakiolla.

Tällöin annettu avaruuden piste A kuvautuu pisteen P ja homotetiakeskuksen O kautta kulkevalle janastolle (suoralle).

Jos homotetiakerroin on positiivinen ja P:n kuva homotetiassa on A, pysyvät P ja A samalla puolella pistettä O. Jos homotetiakerroin on negatiivinen, sijaitsee O P:n ja A:n välissä.

Kiintopiste venytyksessä pisteen suhteen

1.5.2010

Päätelmä: Piste O, jonka suhteen pistevenytys suoritetaan, on kuvauksen kiintopiste.

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

20.3.2010

Päätelmä: Kolmiot ΔABC ja ΔDEF ovat yhdenmuotoiset eli ΔABC ∼ ΔDEF, jos ja vain jos |AB| = k|DE|, |BC| = k|EF| ja |CA| = k|FD|.

Birkhoff ottaa tässä vaiheessa mukaan myös kulmat (PIV), mutta kun meillä on jo takataskussa kosinilause, emme tätä lisäystä tarvitse.

Perustelu esitetään alempana.

Huomautus: Niissä oppikirjoissa, joissa ei määritellä yleistä yhdenmuotoisuutta, jokin yhdenmuotoisuuspäätelmistä on otettu aksioomaksi. Esimerkiksi Hilbertillä ja Venamalla aksioomana on alempana esitetty yhtenevyyspäätelmä sks.

Jos kolmioiden sivut ovat a, b ja c sekä a', b' ja c', verrannollisuussuhdetta a/a' kutsutaan mittakaavaksi ja merkitään a/a'=k.

Tästä käytetään myös lyhennettä sss.

Määritelmä: Jos vastinkulmien kiertosuunta on kolmioston yhdenmuotoisissa kolmioissa sama, niitä kutsutaan suoraan yhdenmuotoisiksi ja jos se ei ole, sama kääntäen yhdenmuotoisiksi.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi keskenään yhdenmuotoista kolmiota, jotka on saatu toisistaan venytyksellä.

Yhdenmuotoisten kolmioiden kulmat

Päätelmä: Jos kolmioiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret, kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja kääntäen, jos kolmiot ovat yhdenmuotoiset,niissä on pareittain yhtäsuuret kulmat.

Perustelu: Jos kolmioissa ΔABC ja ΔA'B'C' kulmat ovat samat, kulma ∠A =∠A', kulma ∠B =∠B' ja kulma ∠C =∠C'. Tällöin sin A = sin A', sin B = sin B' ja sin C = sin C'.

Jos komioiden sivut ovat a, b ja c sekä a', b' ja c', sinilausella voidaan päätellä, että

sin A / sin B = sin A' / sin B'.

Toisaalta sin A / sin B = a/b ja sin A'/sin B' = a'/b'.

Saadaan verranto a/b = a'/b'. Muille sivuille saadaan pareittain samanlaiset verrannot.

Ristiin kertomalla saadaan ab' = ba'.

Jakamalla yhtälön molemmat puolet tulolla a'b' saadaan

a/a' = b/b´. Muille sivupareille saadaan samanlaiset tulokset ja voidaan tehdä seuraava johtopäätös:

Päätelmä: Jos kolmioiden kulmat pareittain yhtäsuuret, kolmioiden sivut ovat verrannolliset eli kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Päätelmä: Koska kolmion kaksi kulmaa määräävät kolmannen kulman, kolmiot ovat yhdenmuotoiset, jos niissä on kaksi pareittain yhtäsuurta kulmaa (kk).(Toisaalla on esitetty tästä riippumatta, että kolmion kulmain summa on 180⁰.)

Käänteinen päätelmä

Yhdenmuotoisissa kolmioissa

a' = ka,
b' = kb
c' = kc.

Kun sijoitetaan a', b' ja c' kosinilauseseen

c² = a² +b² -2ab cos C

saadaan

(kc')² =(ka')² +(kb')² -2ka'kb' cos C

ja jaetaan molemmat puolet vakiolla k>0, saadaan

c'² =a'² +b'² -2a'b' cos C,

mistä päätellään, että kulma ∠C' on kulma ∠C.

Vastaavat päätelmät voidaan tehdä myös kolmioiden muista kulmista.

Päätelmä: Jos kolmiot ovat yhdenmuotoiset, niiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella yhdenmuotoiset kolmiot, jotka eivät ole homoteettiset.

Yhdenmuotoisten alueiden pinta-alojen suhde

3.4.2010

Koska kolmion pinta-ala on

A = ½ bc sin C

ja yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinkulmat ovat yhtä suuret, saadaan, kun

A' = ½ b'c' sin C, että

A/A' = bc/b'c' = (b/b')(c/c') = k².

Yhdenmuotoisten alueiden suhde määrätään sen sisältäminen kolmioiden avulla ja se on:

A/A' = k²

Sanallisesti: Yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

Tässä oppikirjassa muut alueet kuin kolmiot voidaan jakaa kolmioihin, joten päätelmä mittakaavan neliöstä pätee kaikille alueille.

Vastinosat (corresponding parts)

28.4.2010

Määritelmä: Kun kuvio kuvataan toiseksi kuvioksi, määrittelyjoukon ja arvojoukon toisilleen kuvautuvia osia sanotaan vastinosiksi.

Esimerkiksi vastinkulma on kulma, joka on toisen kuva ja vastinsivu on sivu, joka on toisen kuva.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuspäätelmiä

12.2.2010

Päätelmä: Jos kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia vastinsivuihin toisessa kolmiossa ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtäsuuret, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Lähde: Kallio-Malmio: Geometria II, Otava 1939, s. 13.

Olkoon kolmioiden yhteinen kulma ∠C ja olkoot ensimmäisen kolmion kulman viereiset sivut a ja b.
Toisen kolmion kulman ∠C viereiset sivut ovat silloin a' = ka ja b' = kb.

Olkoot kolmioiden kolmannet sivut c ja c'.

Kosinilausella saadaan, että

c² = a² +b² -2ab cos C

ja

c'² = k²a² + k²b² - 2 ka kb cos C =

k²(a² +b² -2ab cos C)

eli c' / c = k

eli kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Tästä käytetään lyhennettä sks.

Harjoitus: Osoita, että jos D on kolmion ΔABC sivun AC keskipiste ja E sivun BC keskipiste, syntynyt kolmio CDE on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion kanssa mittakaavassa ½..

Yhdenmuotoisten kolmioiden korkeusjanat

Päätelmä: Kolmion korkeusjana CD on kolmion kärjen C etäisyys vastakkaisen sivun AB määräämästä janastosta.

Päätelmä: Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinkorkeudet ovat verrannolliset sivujen pituuksiin ja keskenään.

Lähde: Kallio-Malmio: Geometria II, Otava 1939, s. 14.

Perustelu: Olkoot ΔABC ja ΔA'B'C yhdenmuotoiset kolmiot. Olkoon CD sivun AB vastainen korkeus ja olkoon C'D' sivun A'B' vastainen korkeus.

Kolmion kulmien suuruudesta riippuen pisteet D ja D' ovat joko janoilla AB ja A'B' tai niiden jatkeilla.

CD ja C'D' muodostavat korkeusjanoina suoran kulman AB:n ja AB':n kanssa. Syntyneistä suorakulmaisista kolmioista löytyy aina suoran kulman lisäksi toinen yhtäsuuri kulmapari, joten suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosina verrannolliset keskenään ja vastinsivuihin.

lman kiertoa pistevenytetty kolmio

11.4.2010

Päätelmä: lman kiertoa pistevenytetty A'B'C' kolmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen ABC kolmion kanssa.

Perustelu:

Kolmiot OAC ja OA'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).
Kolmiot OAB ja OA'B'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).
Kolmiot OBC ja OB'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).

Yhdenmuotoisen kolmioiden vastinosina
AC ∼ A'C'.
AB ∼ A'B'.
BC ∼ B'C'.

Kolmiot, joiden kaikki sivut ovat pareittain yhdenmuotoiset, ovat yhdenmuotoiset.

Yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä (homotetiassa)

11.4.2010

Päätelmä: Pistevenytys ilman kiertoa kuvaa yhdensuuntaiset janat yhdensuuntaisiksi.

Perustelu: AB || CD. Kolmiot ja OAB ja OA'B' ovat yhdenmuotoiset, joten niiden kulmat ovat yhtäsuuret. Kulmat BAA' ja AA'B' ovat toistensa täydennyskulmia joten AB || A'B'.

Vastaavalla tavalla saadaan, että DC || C'D'.

Yhdensuuntaisuuden siirtyvyydestä (transitiivisuudesta) seuraa, että A'B' || C'D'.

Harjoitus: Mitä muuta kuin yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeusjana

Päätelmä: Suorakulmaisen kolmion ΔABC hypotenuusan AB vastainen korkeusjana CD jaka suorakulmaisen kolmion kahteen suorakumaiseen kolmioon ΔADC ja ΔCBD, jotka ovat keskenään yhdenmuotoiset. Lisäksi |AD|/|CD| = |CD|/|DB| eli |CD|² = |AD||DB|.

Perustelu: Kolmio ΔADC on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion ΔACB kanssa. koska niissä on yhteisenä kulmana ∠A ja molemmat kolmiot ovat suorakulmaisia (kk).

Kolmio ΔBDC on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion ΔACB kanssa. koska niissä on yhteisenä kulmana ∠B ja molemmat kolmiot ovat suorakulmaisia.

Yhtenevien komioiden vastinosina kulmat ∠BCD ja ∠A ovat yhtäsuuret eli myös kolmiot ΔBDC ja ΔADC ovat yhdenmuoiset.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosat ovat verrannolliset eli AD/DC = DC/DB.

Koska |CD| = √(|AD||DB|),

CD on janojen AD ja DB keskiverto (geometric mean).

Huomautus: Keskiverto ei siis tarkoita aritmeettista keskiarvoa päin vastoin kuin tlelevision uutisten lukijat väittävät.

Harjoitus: Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3,0 cm ja 4,0 cm. Laske hypotenuusan vastainen korkeusjana.

Kulmat määräävät yhdenmuotoisten kolmioiden joukon

17.1.2010

Kaksi kulmaa ∠A ja ∠B määräävät, yhdenmuotoisten kolmioiden joukon.

Oikeastaan tulisi puhua suurennoksista ja pienennöksistä (zoomauksista, skaalauksista).

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja kaksi sen kanssa yhdenmuotoista kolmiota.

Päätelmä: Osoita, että yhdenmuotoisten monikulmioiden vastinkolmiot ovat yhdenmuotoisia.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Janan harmoninen (sopusointuinen) jako

8.5.2010

Tämä asia on esitetty Kalle Väisälän Geometrian sivuilla 115-119. Seuraavassa on lyhyt yhteenveto tästä esityksestä.

Määritelmä: Jos piste X on janan AB sisäosassa ja AX/XB = p : q, sanotaan, että piste X jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa p : q.

Määritelmä: Jos piste Y on janan AB ulkopiste ja AY/BY = p : q, sanotaan, että piste Y jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa p : q.

Määritelmä: Pisteet X ja Y jakavat sanan AB harmonisesti suhteessa p : q, jos

AX/XB = AY/BY = p : q.

Päätelmä: Jos pisteet X ja Y jakavat janan AB harmonisesti suhteessa p : q, niin

AX = pa/(p+q)

BX = qa/p+q)

AY = pa/(p-q)

BY = qa/(p-q).

Määritelmä: Apolloniuksen ympyrä on ympyrä, jonka kahdesta pisteestä laskettujen etäisyyksien suhde p:q on vakio. Jos nämä pisteet ovat janan AB päätepisteet, Apolloniuksen ympyrä leikkaa janaston AB pisteissä X ja Y, jotka jakavat janan AB harmonisesti suhteessa P ja Q.

Harjoituksia:

Perustele yllä olevat neljä yhtälöä käyttäen edellä esitettyja verrantojen muunnoksia.
Piirrä harpilla ja viivaimella Apolloniuksen ympyrä.
Jaa jana harpilla ja viivaimella harmonisesti suhteessa p:q. Vihje: katso alla olevaa apukuvaa.

Pistejoukkojen yhtenevyys (congruence)

Yleinen yhtenevyys

20.3.2010

Määritelmä: Pistejoukot ovat yhtenevät,

jos pisteparin {A,B} pisteiden A ja B etäisyys |AB| on yhtäsuuri kuin vastinpisteparin {A',B'}pisteiden A ja B etäisyys |A'B'| ja
kulmille on ∠ABC = ∠A'B'C'.

Yhtenevyys on siis yhdenmuotoisuutta mittakaavassa yksi (1).

Funktiokäsitettä käyttäen yleinen yhtenevyys voidaan muotoilla seuraavasti:

d(f(X), f(Y)) = d(X,Y)

ja

f(A)f(B)f(C) = ∠ABC

missä d on edellä määritelty välimatka.

A ≅ B luetaan A on yhdenmuotoinen B:n kanssa, merkki on html:ssä &cong;.

Birkhoff määrittelee yhtenevyyden lyhyesti yhdenmuotoisuudeksi mittakaavassa 1.

Yhtenevyyskuvauksen sanotaan olevan isometrinen (isometry), koska se säilyttää etäisyydet.

Yhtenevyyskuvaus määritellään myös ortogonaaliseksi lineaarikuvaukseksi.

Fysiikassa yhtenevyyskuvauksen sovellus on jäykän kalppaleen liike (rigid motion).

Harjoitus: Ota selvää, mitä tarkoittavat ortogonaalinen ja lineaarikuvaus.

Janojen yhtenevyys (congruence)

Päätelmä: Kaksi eri janaa ovat keskenään yhtenevät AB ≅ A'B', jos niillä on sama pituus eli d(A,B) = d(A',B'). (Tämä vastaa yhtä Hilbertin aksioomista.)

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi keskenään yhtenevää janaa.

Pistejoukon siirto

11.4.2010

Määritelmä: Pistejoukon J siirto janan k verran on pistejoukko J', jossa, kun A' on A:n kuvapiste ja B' on B:n kuvapiste ja

A'B' || AB,
AA' || BB'
d(A,A') = k > 0.

Harjoitus:

Suorita harpilla ja viivaimella kolmion siirto.
Osoita, että siirto on yhtenevyyskuvaus.

Pisteen kolmiostokierto (rotation) pisteen suhteen

Määritelmä: Pisteen X kolmiostokiertokierto pisteen P suhteen kulman K verran on piste X' siten, että |PX| = |PX'| ja ∠PXP' = ∠K.

Harjoitus: Piirrä paperille kaksi eri pistettä P ja K. Kierrä harpilla ja viivaimella pistettä K kulman π/4 verran.

Pistejoukon kolmiostokierto (rattation) pisteen suhteen

Määritelmä: Pistejoukon J kolmiostokierto pisteen P suhteen kulman ∠K verran on pistejoukko J' siten, että jokaista J:n pistettä X vastaa yksi ja vain yksi J':n piste X' siten, että X:n kolmiostokierto pisteen P suhteen kulman ∠K verran on X' ja jokaista joukon J' pistettä X' vastaa yksi ja vain yksi pistejoukon J piste X siten, että X on pisteen X' kolmiostokierto kulman ∠-K verran.

Määritelmä: Sitä pistettä, joka pysyy kierrossa muuttumattomana, sanotaan kierron kiintopisteeksi (center of rotationa) eli pyärähdyskeskukseksi.

Päätelmä: Pistejoukon kolmiostokierrolla on kiintopiste P.

Harjoitus:

Piirrä paperille pistettä P ja jana AB. Kierrä harpilla ja viivaimella janaa AB kulman π/4 verran.
Mitä ominaisuuksia säilyy kolmiostokierrossa?

Kiertosymmetria

26.3.2010

Pistejoukko on kiertosymmetrinen, jos kuvio on sama tietyn kierron jälkeen.

Harjoitus: Piirrä Inkscapella tähti, tee tähdestä kopio ja kierrä kopiota sitä niin, että se on samassa asennossa kuin alkuperäinen.

Kolmioiden yhtenevyys

11.4.2010

Päätelmä: Kolmiot ovat yhtenevät, jos niissä on pareittain yhtäsuuret sivut (sss).

Perustelu: Jos kolmiosta tunnetaan sivut, kosinilausella voidaan laskea kulmat eli jos sivut ovat yhtäsuuret, myös kulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää sss (kaikki sivut tunnetaan).

Määritelmä: Kolmiostossa kolmiot ovat suoraan yhtenevät, jos kulman kärkien kiesrtosuunta säilyy ja muutoin kolmiot ovat käänteäen yhtenevät.

Päätelmä: Kosinilauseen perusteella saadaan suoraan yhtenevyyslause "kolmiot ovat yhtenevät, jos kaksi sivua ovat yhtäsuuret ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtäsuuret(sks).

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa yhtäsuuria on merkitty punaisella.

Kosinilauseella saadaan yhtälöt:

a² = b² + c² - 2 bc cos A.

a'² = b² + c² - 2 bc cos A.

Tästä saadaan

a² = a'², ja koska a>0 ja a'>0, a = a'. (sss)

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää sks (kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan).

Päätelmiä:

Yhtenevät kolmiot ovat yhdenmuotoiset
Yhtenevien kolmioiden kulmat ovat yhtäsuuret. Tämä seuraa kosinilauseesta. Vastinkulmille saadaan samat kosinit.

Jos kahdessa yhdenmuotoisessa kolmiossa yksi vastinsivu on sama eli a = a', kolmiot ovat yhtenevät, sillä mittakaava a/a' =1. Tästä voidaan päätellä seuraava kolmioiden yhtenevyyspäätelmä:

Päätelmä: Jos kahdessa kolmiossa yksi pari vastinsivuja ovat yhtäsuuret, ja viereiset vastinkulmat ovat yhtä suuret, niin kolmiot ovat yhtenevät (ksk).

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa yhtäsuuria on merkitty punaisella.

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk).

Yhdenmuotoisuusuhde on a : a = 1 eli kolmiot ovat yhtenevät.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää ksk (kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnetaan).

Päätelmä: Suorakulmaisille kolmioille pätee yhtenevyyslause ssk (koska yksi kulma on aina suora).

Perustelu: Kun suorakulmaisesta kolmiosta tunnetaan kaksi sivua, kolmas voidaan aina laskea Pythagoraan lauseelle joten sss on suoraan voimassa.

Mittakaavoista

Koska yhtenevien kolmioiden sivut ovat yhtä pitkät, sivujen suhde on a/a = 1 eli mittakaava on yksi.

Alojen suhde on mittakaavan neliö eli 1²= 1.

A/A' = 1 ali A = A'.

Kun kahden olionalojen suhde on 1,alat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Millä ehdoilla yhtenevyyslause ssk pätee ei-suorakulmaisille kolmioille?

Päätelmä: Jos kolmion yhdestä pisteestä lähtevät sivut ja keskijana ovat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhtenevät (sms).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava keskijanan kaava:
m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Kun keskijanat ja niiden viereiset sivut a ja b ovat yhtäsuuret, kolmansien sivujen on pakko olla c eli yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja sen keskijana. Mittaa keskijanan viereiset sivut ja keskijana. Lisäksi laske keskijana edellä annetulla kaavalla ja vertaa tulosta mitattuun.

Päätelmä: Jos kolmion korkeusjanat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (hhh).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava korkeusjanan kaava:

h_a= {b² -[(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½.

Korkeusjanoista saadaan kolme yhtälöä, joissa on kolme muuttujaa a, b ja c. Ne voidaan ratkaista ja silloin kaikki vastinsivut ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen korkeusjanat.

Päätelmä: Jos kolmion keskijanat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (mmm).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava keskijanan kaava:
m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Keskijanoista saadaan kolme yhtälöä, joissa on kolme muuttujaa a, b ja c. Ne voidaan ratkaista ja silloin kaikki vastinsivut ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen keskijanat.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan pistepeilauksella, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan siirrolla, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan kierrolla pisteen suhteen, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Jos kolmion kulmanpuolittajat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (ppp).

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen kulmanpuolittajat.

Keskipistekolmio

24.2.2010

Olkoon ΔABC kolmio. Olkoon A' sivun BC keskipiste, B' sivun AC keskipiste ja C' sivun AB keskipiste.

Tällä tavalla saamme neljä yhtenevää kolmiota ΔA'B'C', ΔAB'C', ΔA'BC' ja ΔA'B'C, joissa kulmien summa on sama kuin kolmiossa ΔABC.

Kolmiot ΔCAB ja ΔCA'B' ovat yhdenmuotoiset, koska niillä on yhteinen kulma ∠C ja viereisten sivujen suhde on 2:1.

Vastaavasti A -kärkinen pikkukolmio ΔAB'C' ja B - kärkinen pikkukolmio BA'C ovat ison kolmion kanssa yhdenmuotoisia suhteessa 2:1.

Nämä kolme pikkukolmiota ovat yhteneviä, koska niissä on yksi sama kulma ja samat kulman viereiset sivut (yhtenevyyspäätelmä sks).

Pikkukolmiossa ΔA'B'C' on yhteinen sivu jokaisen muun pikkukolmion kanssa, joten tämä pikkukolmio ΔA'B'C' on yhtenevä muiden pikkukolmioiden kanssa (sss).

Kolmio jakaantuu näin neljään keskenään yhtenevään kolmioon.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja sen keskipistekolmio.

Kolmion kulmain summa on oikokulma π

3.3.2010

Päätelmä: Kolmion kulmain summa on π eli 180 astetta.

Perustelu: Keskipistekolmiossa ΔABC kolmiot ΔAB'C, ΔAC'B ja ΔBA'C ovat nollakolmioita, joten kulmat ∠AB'C, ∠AC'B ja ∠BA'C ovat π eli 180 astetta.

π = AC'B' + B'C'A+ A'C'B = CAB + ACB + ABC.

Yhtenevien kolmioiden vastinkulmilla

α + γ + β = π.

Harjoitus: Kolmion kaksi kulmaa ovat π/3 ja π/4. Laske kolmion sivujen suhteet.

Janasto leikkaa yhdensuuntaisia

Päätelmä: Jos janasto l leikkaa janastoa m ja l ≠ m, janastot eivät ole yhdensuuntaiset.

Perustelu: Jos janastot olisivat yhdensuuntaiset ja leikkaisivat toisiaan esimekiksi pisteessä X, janastoilla olisi välijana AB, joka muodostaisi janastojen kanssa kulmat α ja π - α, muodostuisi kolmio ABX, konka kulmain summa olisia > π mikä on mahdotonta.

Päätelmä: Jos janasto leikkaa toista yhdensuuntaisista janastoista, se leikkaa toistakin.

Perustelu: Olkoot l || m, l ≠ m ja olkoon s janasto, joka leikkaa janasto l.

Perustelu: Jos se ei leikkaisi janasto m, se olisi yhdensuuntainen janasto m kanssa, mistä seuraa yhdensuuntaisuuden sirrännäisyyden vuoksi, että se olisi yhdensuuntainen myös janaston l kanssa, mikä on vastoin tehtyä oletusta.

Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π

Päätelmä: Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π eli 180⁰.

Perustelu: Kovera, kupera ja ristinelikulmio nelikulmio voidaan jakaa kolmioihin siten, että nelikulmion kulmien summa on kahden kolmion kulmien summa yhteensä eli 2π.

Harjoitus: Osoita, että mielivaltaisen n-kulmion kulmien summa on 2π (n-2).

Kolmion sivujen pituudet määräävät kolmiojoukon

17.1.2010

Kolme reaalilukua a, b ja c määräävät kolmiojoukon. Jos A, B ja C ovat kolme pistettä siten, että a = |BC|, b = |AC| ja c = |AB|, kolmiota ABC sanotaan lukujen a, b ja c määräämän kolmiojoukon alkioksi.

Saman kolmiojoukon kolmioita voidaan kutsua toistensa kopioiksi. Tavallisesti niitä kutsutaan yhteneviksi, mutta mielestäni parempi sana olisi "kopio".

Harjoitus: Piirrä kolmio ja kaksi kopiota siitä harpilla ja viivaimella.

Ulkokulma (exterior angle)

28.4.2010

Määritelmä: Kolmion kulman vieruskulmaa sanotaan kolmion ulkokulmaksi.

Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma (exterior angle theorem)

Päätelmä: (Vieruskulmalause) Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma.

Perustelu: Olkoon ΔABC kolmio ja ΔA'B'C' sen keskipistekolmio.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosina kulma ∠AB'C' on kulma ∠B'CA' eli kulmien ∠AC'B' ja ∠B'AC summa on kulman ∠A'C'B vieruskulma, joka on sama kuin ∠B'AC'. Kuvan merkinnöin

α + γ = α + γ
α + β = α + β
γ + β = γ + β

Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat (The exterior angle theorem)

Päätelmä: (Ulkokulmalause) Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat.

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa (keskipistekolmiossa) kolmion jokainen kulma on osa kummankin muun kulman vieruskulmaa.

Kolmion kulmista voi vain yksi olla suora tai tylppä

Päätelmä: Jos yksi kulmista on tylppä, molempien muiden summa on alle suora kulma.

Perustelu: Jos yksi kulmista on suora, muiden kulmien summa on ½π.

Vieruskulmien summa on π

Päätelmä: Vieruskulmien summa on π.

Perustelu: Koska kolmion ΔADC kulmien ∠DAC ja ∠ACD summa on kolmannen ∠ADC vieruskulmakulma vieruskulmien summa on oikokulma eli π eli 180^o.

Vieruskulmat ovat siis täydennyskulmia.

Ristikulmat (vertical angles)

Määritelmä: Olkoon C janan AB sisäpiste ja olkoon C myös janan DE sisäpiste. Kulmia ∠ACD ja ∠BCE sanotaan toistensa ristikulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Kulmat ∠ACD ja ∠BCE ovat ristikulmia silloin ja vain silloin, kun A*C*B ja D*C*E.

Ristikulmalause

6.6.20120

Päätelmä: Koska nämä kulmat ovat saman kulman ∠ACE vieruskulmia, ne ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä ristikulmat.

Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman

Päätelmä: Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman π eli 180⁰.

Perustelu: Olkoot ristikulmat suuruudeltan α. Niiden yhteinen vieruskulma on π - α.

Puolikkaat ristikulmasta ovat suuruudeltaan α/2.

Kun lasketaan yhteen α/2 + α/2 + π - α saadaan π eli puolittajat muodostavat oikokulman.

Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

Päätelmä: Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Perustelu: Olkoot vieruskulmat α ja β, niiden summa on π.

Vieruskulmien puolittajat ovat suuruudeltan α/2 ja β/2 eli ½(α + β) = ½π.

Kohtisuorat kulmien kyljet

28.4.2010

Päätelmä: Jos kahden koveran kulman samannimiset kyljet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu: Syntyy yhdenmuotoiset kolmiot (kuvassa BEF ja ADF), joissa on suorat kulmat ja ristikulmat samat.

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk) ja niiden vastinkulmina kulmat (kuvassa FBA ja ADF) ovat yhtäsuuret.

Yhdensuuntaiset kulmien kyljet

28.4.2010

Päätelmä: Jos kahden koveran kulman samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu jätetään yllä olevan kuvan mukaisesti harjoitustehtävänä suoritettavaksi.

Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret

14.5.2010

Päätelmä: Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret

Perustelu: Olkoot AB ja CD yhdensuuntaiset janastot, ja olkoot GE ja HF yhdensuuntaiset välijanat, missä E ja F kuuluvat AB:hen ja G ja H kuuluvat CD:hen.

Kolmiot EGH ja EHF ovat yhdenmuotoiset, sillä yhdensuuntaisuudesta johtuen ja vieruskulmista johtuen kaikki kolmioiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Koska kolmioilla on yhteinen sivu, kolmiot ovat yhdenmuotoiset mittakaavassa 1 eli yhtenevät.

Yhtenevien kolmioiden vastinosina välijanat GE ja HF ovat yhtäsuuret.

Suorakulmaisen kolmion ratkaiseminen

Suorakulmaisen kolmion kulmat

Koska suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on π/2 eli 90 astetta, kahden muun summa on π - π/2 = π/2.

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma β voidaan laskea kaavalla

β = π/2 - α,

kun toinen terävä kulma α on tunnettu.

Harjoitus: Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 0,23 ja toinen kateetti on 5,0 cm. Laske kolmion pinta.ala.

Suorakulmaisen kolmion puuttuva osa

20.2.2010