Geometria
Tätä kirjoitusta on viimeksi päivitetty
15.11.2010

Geometrian oppikirja eläkkeellä oleville matemaatikoille

Geometrian sanasto eli geometrian sanakirja

Tekstin alkuun

Sisällysluettelo

Geometria
1. Motto
2. Alkusanat
3. Eräitä kirjallisuusviitteitä
4. Kieliongelmat
5. Miksi tässä kirjassa ei ole esitelty saksan kielisiä käsitteitä?
6. Ratkaisu kreikkalaisten kirjainten ongelmaan
7. Olemassaolon olemassaolo
8. Kvanttoriharha eli olemattomuusoppi
9. Viiva ja alue
10. Keskikoulun algebran perustelut saapuivat Suomeen
11. Ihmettelyn aihetta
12. Yliopistomatematiikan tarkoitus
13. Matematiikan peruskäsitteistö on sekaisin
14. Tarskin aksioomat reaaliluvuille ja geometrialle
Päivitykset
Johdanto
1. Matematiikan ja tieteen välinen ero
2. Tieteen määrittelemisestä
3. Geometerian käsitteiden havainnollistaminen kuvilla
4. Kuvituksen uusiminen
5. Mitä matematiikan alaa tämä kirjoitus edustaa?
6. Mitä tämän artikkelin laajuus on?
7. Ulottuvuudet (dimension)
8. Keitä varten tämä artikkeli on kirjoitettu?
9. Kuvien lähteitä
Merkintöjä ja nimityksiä
1. Perusoliot
2. Muut oliot
3. Ennestään tunnetuksi oletetaan
4. Yhdiste ja leikkaus (union and intersection)
5. Komplementtijoukot (ulkkojoukot, complement of the set)
  1. Ulkojoukko (ehdoton ulkojoukko)
  2. Suhteellinen (ehdollinen) komplementti
6. Oliovieraat (erilliset, ei-leikkaavat, disjoint) joukot
7. Yhden olion joukko (singleton)
8. Tulojoukko
9. Relaatio
10. Käänteisrelaatio
11. Yhdistetty relaatio
12. Lävistäjärelaatioo (identtinen relaatio)
13. Symmetrinen relaatio
14. Antisymmetrinen relaatio
15. Refleksiivinen relaatio
16. Transitiivinen relaatio
17. Ekvivalenssirelaatio
18. Ekvivalessiluokka
19. Funktio (function) eli kuvaus (mapping) ensimmäisen kerran
20. Muunnos (transformation)
21. Logiikan merkkejä
22. Joukko-opin merkkejä
23. Joukko-opin aksioomat
24. Sup ja inf
25. Reaalilukujen standardi- aksioomat
  1. Kunta-aksioomat
  2. Järjestysaksioomat
  3. Vaihtoehtoiset järjestysaksioomat
  4. Täydellisyysaksiooma
  5. Huomautus
  6. Reaalilukujen kunta-aksioomien seurauspäätelmiä
  7. Suoraan laskemalla saatavia reaalilukujen kaavoja
26. Tarskin aksioomat reaaliluvuille
27. Janojen yhtenevyys
28. Yhtäsuurten reaalilukujen ominaisuuksia
29. Päätelmä ja käänteispäätelmä (lause ja käänteislause)
30. Reaalilukujen yhtälöt
31. Reaalilukujen epäyhtälöt
  1. Yleistä
  2. Ensimmäisen asteen epäyhtälöt
  3. Toisen asteen epäyhtälöt
32. Aksioomat
33. Mitä aksioomat eivät ole
34. Aksioomat vai algoritmit?
35. Yksijärjestelmän luvut
36. Järjestetyt ja järjestämättämät joukot
37. Eräiden merkkien selityksiä
Pisteiden (points) geometriaa
1. Ymmärrettävä ja tehokas geometria
2. Onko määrittelemättömiä käsitteitä
3. Montako aksioomajärjestelmää geometrialle on olemassa?
Geometrian aksioomat
1. Hilbertin aksioomat
2. Oswald Veblenin aksioomat
3. Alfred Tarskin aksioomat
4. Kalifornian osavaltion aksioomat
5. Muita USA:n aksioomia
6. Gerard A. Veneman aksioomat 2006
7. Aksiomaattisille järjestelmille esitettyjä vaatimuksia
Kalkyylit
1. UI - kalkyyli
2. Millainen kalkyyli tulisi alkeisgeometriasta
  1. Surkastumien kielto
  2. Aksioomakaaviot
3. Kuuluisia kalkyylejä
Aksioomat ja suorat määritelmät
1. Ovatko aksioomat "perussääntöjä"
2. Suorat määritelmät
3. Aksiooman ja suoran määritelmän välinen ero on liukuva
4. Millä tavalla tämä oppikirja eroaa Eukleideen - Hilbertin geometriasta?
5. Tämän oppikirjan käsitteistön rakenteesta
6. Virheetöntä geometriaa ei ole
7. Geometrian osa-alueita
  1. Projektiivinen geometria
8. Neliöjuuren merkitseminen
9. Kreikkalaiset aakkoset ja matemaattiset merkit
  1. html ja Inkscape
  2. Vihje
10. Yleiskäsite mitta (measure)
Geometrian mittoja
1. Yksiulotteisia mittoja
2. Kaksiulotteisia mittoja
3. Kolmeulotteisia mittoja
Pisteen määritelmä
Muoto (form)
Suure (magnitude)
Paikka (place, kr. topos)
Kuvio (figure)
Välimatka (distance)
1. Mitallinen avaruus
2. Pisteiden lukumäärä
3. Ulottuvuusoletukset
Todellisuus (reality)
Eri pisteet (separate points)
Topologiaa
1. Mistä sitä löytyy?
2. Varoitus
3. Avoin joukko
  1. Topologian avoin joukko
  2. Euklidisen geometrian avoimet joukot
4. Suljettu joukko
5. Muut joukot
6. Ympäristö
7. Äärellinen ja ääretön joukko
8. Yhtenäisyys
9. Epäyhtenäisyys
10. Kasautumispiste
11. Irrallinen (erakkopiste, discrete) piste
12. Irrallinen (discrete) pistejoukko
13. Sisäpiste
14. Ulkopiste
15. Reunapiste
16. Kosketuspiste
Raja-arvo
1. Lukujoukon raja-arvo
2. Lausekkeen raja-arvo
Piirtämisohjeita
1. Alkuhuomautus
2. Pisteen piirtäminen
3. Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille
4. Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste ja yksi piste
5. Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen
6. Janaviivan piirtäminen annetulle säteelle (puolisuoralle)
7. Janaviivan kahtia jakaminen ja kohtisuora (perpendicular) janaviva
8. Kohtisuora annetun janaviivan keskipisteen kautta
9. Kohtisuora annetusta pisteestä
10. Kulman puolittaminen
11. Kulman kanssa yhtenevän kulman piirtäminen
12. Janaviivan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 1
13. Janan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 2
14. Janaviivan jakaminen yhtäsuuriin osiin
15. Kolmion ABC piirtäminen, kun on annettu sivut a, b ja c
16. Tasasivuisen ja tasakylkisen kolmion piirtäminen
17. Kolmion piirtäminen, kun tunnetaan kulma ja sen viereiset sivut
18. Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne
19. Samansuuruisten kaarien piirtäminen
Välissä (between)
1. Määritelmä
Reaalilukujen verrannot
1. Määritelmä
2. Verrannon muunnokset
3. Verrantoyhtälöt
4. Verrantoepäyhtälöt
Jana ja janaviiva (duo, line segment)
1. Määritelmä
2. Janaviiva on esimerkki viivasta
3. Kielenkäyttö
4. Janan päätelmiä
5. Janan pituus
6. Janojen yhteenlasku ja vähennyslasku
7. Janaston määritelmä
8. Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikköjanaa
9. Janojen yhtenevyys
10. Janan keskipiste (midpoint)
11. Janan päätepisteet (endpoint)
12. Janaviivan sisäpisteet (interior point)
13. Janaympäristö
14. Janan sisäjana
15. Järjestetty jana
16. Järjestetyn janan pituus
17. Janaviivan pisteiden järjestys
18. Janan sisäpiste jakaa janaviivan pisteet kahteen joukkoon
19. Samalla puolella ja eri puolilla
20. Symmetria
21. Pisteen peilikuva eli peilaus (reflection) pisteen suhteen
22. Pistejoukon peilikuva pisteen suhteen eli puolikierto (half turn) eli pistepeilaus
23. Kiintopiste
24. Janan ulkojana
25. Osajanat
26. Jatkettu jana
27. Peräkkäiset janat
28. Janojen kertominen ja jakaminen reaaliluvuilla
29. Janojen suuruusjärjestys
30. Janojen pituuksien suhteet
Yksikäsitteisyyden meemi
Raja-arvo
1. Lukujoukon raja-arvo
2. Lausekkeen raja-arvo
Funktio ja käänteisfunktio (function and inverse function)
1. Funktio eli kuvaus (mapping)
2. Käänteisfunktio
3. Funktion jatkuvuus
4. Kasvava ja vähenevä funktio
Kolmiosto (trinity)
1. Kolmen pisteen määräämä kolmiosto (taso)
2. Kolmioston (tason) oliot
3. Kolmiosto on esimerkki pinnasta
Tavallinen kolmioston kulma (angle)
1. Kolmioston tavallinen kulma
2. Kulmien merkitsemisestä
3. Kulman suuruus
4. Suoraviivainen kulma
Vektorit (vectors)
1. Määritelmä
2. Vektorin kertominen reaaliluvulla
3. Vektorin pituus
4. Vektorien yhteenlasku
5. Summavektorin pituus (kosinilause)
6. Kosinin määritelmä
7. Kosini on parillinen
8. Vektorin vastavektori
9. Nollavektori
10. Vektorien pistetulo
11. Vektorien ristitulo
Säde (ray, puolisuora)
Kulman suuruuden laskeminen (magnitude of the angle)
1. Funktiot
2. Sinin määritelmä
3. Sini on pariton
4. Arcusfunktiot
5. Radiaani (radian) ja aste (degree)
6. Säteiden välissäolo
7. Saman kolmioston (tason) peräkkäiset eli vierekkäiset kulmat
8. Saman kolmioston (tason) kulmien yhteenlasku ja vähennyslasku
9. Kulmien yhtenevyys
10. Järjestetty kulma
11. Kulman kertominen ja jakaminen reaaliluvulla
12. Kulmien kertominen keskenään
13. Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikkökulmaa
Kolmioston kulmien luokittelu (angles of the trinity)
1. Välinen (included)
2. Terävä kulma (acute angle)
3. Tylppä kulma(obtuse angle)
4. Suora kulma (right angle)
5. Kohtisuoruus (perpendicular)
6. Oikokulma (straight angle)
7. Oikokulma ja välissä oleminen
8. Kovera (concave) kulma
9. Täysi kulma (full agnle)
10. Kupera (convex) kulma
11. Komplementtikulmat (complementary angles)
12. Täydennyskulmat (suplement angle)
13. Eksplementtikulmat
Kolmioston murtoviiva (broken line)
1. Määritelmä
2. Kolmioston murtoviivan pituus
3. Kolmioston murtoviivan oikaiseminen (rectifying)
Kolmiostomonikulmio (polygon)
1. Määritelmä
2. Sisäkulma (interior angle)
3. Kupera
4. Kolmioston (tason) erotteluaksiooma
5. Kupera tavallinen monikulmio
6. Kovera
7. Kovera tavallinen monikulmio
8. Tasasivuinen (equilateral) monikulmio
9. Tasakulmainen (equiangular) monikulmio
10. Säännöllinen (regular) monikulmio
11. Monikulmion lävistäjät (diagonal)
12. Kolmioviiva ja kolmioalue (triangle)
13. Nelikulmio (tetragon = quadrilateral)
14. Viisikulmio (pentagon)
15. Kuusikulmio (hexagon)
16. Seitsenkulmio (heptagon)
17. Kahdeksankulmio (octagon)
18. Yhdeksänkulmio (nonagon)
19. Kymmenkulmio (decagon)
Janastot (set of line segments)
1. Janaston pisteet
2. Samalla puolella ja eri puolilla
3. Puolikolmiosto
4. Janasta riippumaton piste
5. Riippumattomat janastot
6. Toisiaan leikkaavat (intersecting) janastot
7. Yhteensattuvat (concurrent) janastot
8. Janaston osajoukkoja
9. Kohtisuorat (perpendicular) janastot
10. Keskipistekohtisuora eli janan keskinormaali (perpendicular bisector of the line segment)
Etäisyyksiä ja välimatkoja
1. Pisteen etäisyys pistejoukosta
2. Pisteen etäisyys janastosta
3. Kahden pistejoukon välinen etäisyys
4. Kahden janaston välimatka
Janan ulkopiste
1. Ulkopiste
2. Laajennettu kulma
3. Sisäosalause
4. Kolmioston koveran tavallisen kulman puolittaja (angle bisector)
Kolmio (triangle)
1. Määritelmä
  1. Kolmio, kolmioviiva ja kolmioalue
2. Nimityksiä
Yhdensuuntaisuus
1. Vieruskulmat (linear pair)
2. Vieruskulmalause (linear pair theorem)
3. Käänteinen vieruskulmalause
4. Paschin päätelmä: Janasto ja kolmio
5. Puomi (crossbar)
6. Hilbertin puomilause
7. Janojen välijanat
8. Janan viereiset kulmat (adjacent angles)
9. Janojen yhdensuuntaisuus (parallel line segments)
10. Janastojen yhdensuuntaisuus
11. Janastojen väliset sisäkulmat (interior angles)
12. Yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
13. Vuorokulmalause
14. Yhdensuuntaisuuden siirtyvyys (transitiivisuus)
15. Samankohtaiset kulmat
16. Yhdensuuntaisuuden määrittelemisestä ja ominaisuuksista
Kolmion pinta-ala (area)
1. Pinta-alakäsite
2. Kolmion pinta-alan määritelmä
Kulmien sitominen kolmion sivujen suuruuksiin
1. Kosini
2. Sini
3. Sinilause
4. Kolmion alan merkitseminen
5. Kahden toisiaan leikkaavan janaston välisen kulman laskeminen
Teräväkulmainen kolmio
Tylppäkulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio
1. Määritelmä
2. Kateetit (legs) ja hypotenuusa (hypotenuse)
3. Pythagoraan lause
4. Sini ja kosini suorakulmaisessa kolmiossa
5. Kolmion ala sinin avulla
6. Suorakulmaisen kolmion ala
7. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetti
8. |sin A| ≤ 1 ja |cos A| ≤ 1
9. Tangentti
10. Vanhan ajan trigonometrisia funktioita
Kolmiot (jatkoa)
1. Kolmioepäkäs (scalene triangle)
2. Uusi kaava kolmion alalle
3. Miksi h:ta kutsutaan korkeusjanaksi
4. Kolmion sivut ja korkeusjanat
5. Kolmion korkeusjana
  1. Kolmion korkeusjana Heronin kaavalla
  2. Kolmion korkeusjana ilman Heronin kaavaa
6. Kolmion keskijana (median)
7. Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon
8. Eri kolmiot, joilla on sama pinta-ala
  1. Samankantaiset kolmiot
  2. Carpet'in lause
9. Pinta-alan yhteenlaskettavuus
10. Kolmion sivut ja korkeudet
11. Kuperan pistejoukon litteys
12. Kolmion litteys
13. Säännöllisen monikulmion ala
14. Vivianin päätelmä
Pistejoukkojen yhdenmuotoisuus (similarity)
1. Miten yhdenmuotoisuus pitäisi määritellä?
2. Yleinen yhdenmuotoisuus (similarity)
3. Janojen yhdenmuotoisuus
4. Kulmien yhdenmuotoisuus
5. Yleinen venytys (litistys)
6. Pisteen venytys pisteen suhteen ilman kiertoa (homotetia)
7. Pistejoukon venytys pisteen suhteen (homotetia)
8. Kiintopiste venytyksessä pisteen suhteen
9. Kolmioiden yhdenmuotoisuus
10. Yhdenmuotoisten kolmioiden kulmat
11. Yhdenmuotoisten alueiden pinta-alojen suhde
12. Vastinosat (corresponding parts)
13. Kolmioiden yhdenmuotoisuuspäätelmiä
14. Yhdenmuotoisten kolmioiden korkeusjanat
15. lman kiertoa pistevenytetty kolmio
16. Yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä (homotetiassa)
17. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeusjana
18. Kulmat määräävät yhdenmuotoisten kolmioiden joukon
Janan harmoninen (sopusointuinen) jako
Pistejoukkojen yhtenevyys (congruence)
1. Yleinen yhtenevyys
2. Janojen yhtenevyys (congruence)
3. Pistejoukon siirto
4. Pisteen kolmiostokierto (rotation) pisteen suhteen
5. Pistejoukon kolmiostokierto (rattation) pisteen suhteen
6. Kiertosymmetria
7. Kolmioiden yhtenevyys
8. Keskipistekolmio
9. Kolmion kulmain summa on oikokulma π
10. Janasto leikkaa yhdensuuntaisia
11. Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π
12. Kolmion sivujen pituudet määräävät kolmiojoukon
13. Ulkokulma (exterior angle)
14. Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma (exterior angle theorem)
15. Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat (The exterior angle theorem)
16. Kolmion kulmista voi vain yksi olla suora tai tylppä
17. Vieruskulmien summa on π
18. Ristikulmat (vertical angles)
19. Ristikulmalause
20. Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman
21. Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
22. Kohtisuorat kulmien kyljet
23. Yhdensuuntaiset kulmien kyljet
24. Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret
Suorakulmaisen kolmion ratkaiseminen
1. Suorakulmaisen kolmion kulmat
2. Suorakulmaisen kolmion puuttuva osa
Mielivaltaisen kolmion ratkaiseminen
1. Kolmion kulmien laskeminen
2. Kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma
3. Kolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu
  1. Puuttuvat osat
  2. Pinta-ala
4. Kolmion kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu
  1. Puuttuvat osat
  2. Pinta-ala
5. Kolmion kaksi sivua ja toisen vastainen kulma
Erikoiskolmioita
1. Tasakylkinen (isosceles) kolmio
  1. Pons asinorum (aasinsilta)
2. Tasasivuinen kolmio
3. Tasakulmainen kolmio
4. Erisivuinen kolmio
5. Koululaisen kolmio
Kolmion sivut ja kulmat
1. Suuremman sivun vastainen kulma...
2. Yhtäsuurien sivujen vastaiset kulmat
3. Suuremman kulman vastainen sivu...
4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetit
5. Tylppäkulmaisen kolmion tylpän kulman vastainen sivu on suurin
6. Kohtisuoran janaston olemassaolo
7. Pisteen lyhin etäisyys janastosta
8. Kolmion kahden sivun summa ja erotus
Trigonometrian kaavoja
1. Tavalliset matemaatikot
2. Pythagoraan lauseesta johtuu
3. Kaksinkertaisen kulman kosini
4. Kahden kulman summan ja erotuksen sini ja kosini
  1. Helppo tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)
  2. Perinteinen tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)
5. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion trigonometriaa
6. Trigonometriset yhtälöt
7. Trigonometriset epäyhtälöt
  1. Esimerkkejä
8. Kertausharjoituksia
Kolmioston ja nelistön sisäiset koordinaatistot
1. Sisäiset koordinaatistot yleensä
2. Kolmioston sisäiset koordinaatistot
3. Miksi suorakulmaisia koordinaatistoja käytetään
4. Karteesinen koordinaatisto
5. Vektorit karteesisessa koordinaatistossa
  1. Kohtisuorat kantavektorit
  2. Paikkavektorin pituus
6. Kartioleikkaukset sisäisissä jana -koordinaatistoissa
7. Kolmio ja koordinaatistot
8. Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)
9. Nelistön sisäiset koordinaatistot
10. Koodinaatistojen sisältämä ylimäärä (redundanssi)
11. Viisistö
Nelistön (kolmiulotteisen avaruuden) kolmiostot
1. Oletuksia
2. Nelitahokas (generalized tetrahedron)
3. Nelistö
4. Perusmääritelmiä
Kappale (spacebody, solid)
1. Määritelmä
2. Kappaleen tilavuus (volume)
3. Kappaleen pinta-ala
4. Monitahokas
5. Kappaleiden käsittely tietokoneen näytöllä
6. Soppi (polyhedral angle)
  1. Kolmisoppi (trihedron)
7. Diedrikulma (dihedral angle)
8. Diedrikulman mittaaminen ja laskeminen
9. Kosinilauseen yleistys
10. Sinilauseen yleistys
11. Tilavuus (volume)
12. Nelitahokkaan tilavuus
13. Nelitahokas, jossa yksi särmistä on korkeus
14. Mielivaltaisen nelitahokkaan tilavuus pohjan ja korkeuden avulla
15. Eri tavat laskea nelitahokkaan tilavuus
16. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio
17. Nelitahokkaat, joilla on sama pohjan pinta-ala ja korkeus
18. Säännöllisen nelitahokkaan tilavuus
19. Kuperan kappaleen litteys
20. Kappaleen pyöreys
21. Kappaleen pituus
22. Nelitahokkaan litteys
23. Kolmion ja nelitahokkaan yleistys: n-kärki (n-1 -simpleksi)
  1. Käsitteen määrittelemisestä
  2. Tilavuus
  3. Lineaarinen riippumattomuus ja determinantti
  4. Käytännön laskelmat
  5. n-kärjen (n-1) -simpleksin ominaisuuksia
Alue
1. Määritelmä (region)
2. Alueen pituus
3. Alueen kuperuus (covexity)
4. Alueen koveruus (concavity)
5. Nelikulmio (quadrilateral)
6. Neljä pistettä ja nelikulmio
7. Ristinelikulmio (crossel)
8. Kuperan nelikulmion pinta-ala
9. Muun kuin ristinelikulmion ala
10. Ristinelikulmion ala
11. Kupera nelikulmio osana kolmiota
  1. Uusi kaava kuperan nelikulmion alalle
  2. Verrannollisuustapaus ja kupera nelikulmio
12. Kuvion muuntaminen toiseksi, jolla on sama pinta-ala
  1. Nelikulmio kolmioksi
  2. Viisikulmio kolmioksi
13. Bretschneiderin kaava
14. Brahmaguptan kaava
15. Epäkäs ja kaiteet
  1. Epäkäs yleensä
  2. Kupera ja kovera epäkäs
  3. Ristiepäkäs
  4. Täydellinen epäkäs (complete quadrangle)
  5. Epäkkään litteys
16. Nelikulmioiden yhdenmuotoisuus
17. Nelikulmioden yhtenevyys
18. Puolisuunnikas (trapezoid)
19. Suunnikas (parallelogram)
20. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret
21. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovet yhdensuuntaiset
22. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret
23. Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret, nelikulmio on suunnikas
24. Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahteen yhtenevään kolmioon
25. Suunnikkaan viereisten kulmien summa on π
26. Toinen pari nelikulmion vastakkaisia sivuja yhtäsuuuret ja yhdensuuntaiset
27. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa
28. Suunnikkaan sivut ja lävistäjät
29. Keskipistekolmion suunnikkaat
30. Varignonin suunnikas
31. Suunnikkaiden yhtenevyys
32. Suunnikkaiden yhdenmuotoisuus
33. Suunnikas ja ulkojanat
34. Suunnikas määrää kolmioston (tason)
35. Suunnikkaan pinta-ala
36. Suunnikkaan litteys
37. Leija (kite)
38. Melkeinleija (kvasikite)
39. Neljäkäs (rhombus)
40. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
41. Suorakulmio (rectangle)
42. Neliö (square)
43. Puolisuorakulmio
44. Suunnikkaan erikoistapausten ominaisuuksia
45. Puolisuunnikkaan pinta-ala
  1. Pinta-ala kolmioiden summana
  2. Pinta-ala kolmioiden erotuksena
46. Kolme pistettä ja neljäs
Murtoviiva
1. Murtoviiva kolmiostossa (tasossa)
2. Nelistön murtoviiva
3. Nelitahokkaat ja nelistö (avaruus)
  1. Harjoitus
Peilaus (reflection) ja venytys janaston suhteen
1. Pisteen peilaus janaston suhteen
2. Pistejoukon peilaus janaston suhteen
3. Pisteen venytys janaston suhteen
4. Pistejoukon venytys janaston suhteen
Liukupeilaus (glide reflection) kolmiostossa
1. Yhdistetty venytys ja kierto
Hjelmslevin päätelmä
Kohtisuora projektio eli heijastus kolmiostossa (tasossa)
1. Määritelmä
2. Pisteen etäisyys janastosta
3. Projektiopäätelmä
Vino yhdensuuntaisprojektio kolmiostosssa
Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus)
1. Määritelmä
2. Leikkaus (shear)
Kultainen leikkaus
Janasto ja kolmiosto (suora ja taso)
1. Janaston ja kolmioston välinen kulma
Kartio (cone)
1. Yleistetty kartio
2. Yleinen kartio
3. Katkaistu kartio (frustum of the cone)
Viisitahokas (pentaedri)
1. Erilaisia viisitahokkaita
Särmiö (prism)
1. Kolmiosärmiö
2. Kolmiosärmiön tilavuus
3. Suora suorakulmainen (rectangular)kolmiosärmiö
4. Suora kolmiosärmiö
Kuusitahokas (heksaedri)
1. Nelikulmioista koostuva kuusitahokas
2. Viisikulmiosärmäkartio
3. Nelikulmainen vastakiila
4. Viisikulmainen vastakiila
5. Kolmiokaksoissärmäkartio (kaksoistetraedri)
6. Jatketun nelikulmiosärmäkartion puolikas
7. Nelikulmiopuolisärmiö
8. Nelitahokkaan koko särmästä poistettu nelitahokas
9. Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmää on kummankin kärjen vieressä jäljellä
10. Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmän toista päätä on jäljellä
11. Suuntaissärmiö (parallelpiped)
12. Suorakulmainen särmiö
13. Kuutio
Suora särmiö
1. Suoran särmiön käsite
2. Suora säännöllinen särmiö
3. Suoran särmiön vaippa
4. Suoran säännöllisen särmiön vaippa
Särmäkartio (pyramid)
1. Särmäkartion määritelmä
2. Särmäkartion tilavuus
Neliöpohjainen särmäkartio
1. Tilavuus
2. Pyramidi
Pallo (sphere)
Ympyrä C(O,r) (circle)
1. Määritelmiä
2. Ympyrä C(O,r) pisteen kiertona (rotation) pisteen suhteen
3. Ympyrän C(O,r) kaari (arc)
4. Ympyrän C(O,r) säde (ray)
5. Ympyrän C(O,r) jänne (chord)
6. Ympyrän C(O,r) halkaisija (diameter)
7. Pisteen asema ympyrään C(O,r) nähden
8. Ympyrän C(O,r) tangentti (tangent)
9. Ympyrän C(O,r) sekantti (secant)
10. Janasto, jolla ei ole yhteisiä pisteitä C(O,r) ympyrän kanssa
11. Ympyrän C(O,r) kehäkulma (inscribed angle)
12. Ympyrän C(O,r) keskuskulma (central angle)
13. Kehäkulma on puolet keskuskulmasta (central angle theorem)
14. Samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret
15. Puoliympyrän (semicircle) sisältämä kehäkulma (Thaleen puoliympyrälause)
  1. Puoliympyrä
  2. Thaleen lause
  3. Thaleen lauseen käänteislause
16. Sekanttien välinen kulma
17. Toisiaan leikkaavat ympyrän C(O,r) jänteet
18. Kolmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä
19. Keskipistekohtisuorien (normaalien) leikkauspiste
20. Nelikulmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä
21. Ympyrän C(O,r) tangenttikulma
22. Pisteen potenssi (power) ympyrän C(O,r) suhteen
23. Nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää C(O,r)
24. Ympyrä C(O,r), jonka sivuja sivuavat tangentit ovat kolmion sivuja
25. Kolmion kulman puolittajan pituus
26. Kolmion kahtiajakolause
27. Cevan päätelmä ja seurauspäätelmiä
  1. Cevan päätelmä
  2. Kolmion keskijanojen leikkauspiste
  3. Sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta, tapa 1
  4. Vanhojen oppikirjojen esitys: sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta.
  5. Keskijanat jakavat kolmion kuuteen yhtenevään kolmioon
  6. Kolmion kulman puolittajat
  7. Vanhojen kirjojen esitys: kolmionkulman puolittajien leikkauspiste
  8. Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste
  9. Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste ilman Cevan lausetta
28. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän C(O,r) säde
29. Kolmion sisään piirretty ympyrä
30. Apolloniuksen ympyrä
31. Ulkoympyrä (excircle)
32. Kohtisuorakolmio (orthic triangle)
33. Cevan kolmio
34. Menelauksen lause (n. 100 eaa)
35. Miguelin lause
36. Käänteissäteinen muunnos
  1. Muunnos (trasformation)
  2. Ympyräominaisuuden säilyminen
  3. Kulman säilyminen (konformisuus)
  4. Seurauksia
37. Kohtisuorat ympyrät (ortogonaaliympyrät)
38. Pallon isoympyrä (great circle)
39. Ympyrän C(O,r) ala ja kehä
  1. Ylärajajana
  2. Alarajajana
40. Säännöllisten monikulmioiden yhdenmuotoisuus
41. Ympyröiden yhdenmuotoisuus
42. Ympyrän kaaren pituus
43. Ympyränsektori (sector)
44. Ypyränsegmentti eli lohko (segment)
45. Ympyrän sisällä ja ympäri sijaitsevat säännölliset monikulmiot
  1. Vanhojen kirjojen kaavoja
  2. Yksinkertaisempi kaava
46. Ptolemaioksen päätelmä
47. Morleyn päätelmä
Viisitähti
1. Entisen esityksen yhä tarpeellinen osa
2. Uusi esitys
3. Säännöllinen kymmenkulmio
Eulerin viiva
Kartioleikkaukset
1. Ellipsi
  1. Tavanomainen ellipsin määritelmä
  2. Kolmioston (tason) ellipsi venytyksenä ympyrän suhteen
2. Paraabeli
3. Hyperbeli
Käyrä (curve)
1. Määritelmä
2. Yksinkertainen käyrä
3. Yksinkertaisen käyrän päätepiste
4. Yksinkertainen suljettu käyrä
5. Jordanin käyrälause
6. Yksinkertaisen suljetun kolmioston (tason) käyrän rajoittama pinta-ala
7. Kahden toisensa leikkaavan yksinkertaisen käyrän välinen kulma
Yksinkertaisen käyrän kaarevuus
1. Ympyrän C(O,r) kaarevuus
2. Yleinen tapaus
3. Ernst Lindelöfin kaava kaarevuudelle
4. Numeeriset menetelmät
Yksinkertaisen käyrän kaarenpituus
Yksinkertaisen käyrän kuperuus
Pinta (surface)
1. Pinnan määritelmä
2. Pinnan kaarevuus
3. Pyöreä kappale
Nelistön (avaruuden) kulma
Onko kierevyys olemassa?
Säännöllisiä kappaleita
1. Särmäkartio, jonka pohja on säännöllinen monikulmio
2. Ypyräkartio särmäkartion raja-arvona
3. Suora ympyräkartio
4. Suoran ympyräkartion vaippa
5. Katkaistun suoran ympyräkartion vaippa
Putki (tube)
1. Yleinen putki
2. Yleistetty lieriö (generalized cylinder)
3. Lieriö (cylinder)
4. Ympyrälieriö
Pallon pinta-ala
1. Pallo
2. Pallokalotti ja pallon vyöhyke
Pallon ja sen osat
1. Pallo
2. Pallosektorin tilavuus
3. Pallosegmentin tilavuus
Yhdensuuntaisprojektio
Janasto ja kolmiosto
Perspektiivi (syvyysvaikutelma, perspective)
1. Yhden pakopisteen (vanishing point) perspektiivi
2. Kahden pakopisteen perspektiivi
3. Kolmen pakopisteen perspektiivi
Nelistön sisäisiä koordinaatistoja
1. Kolmiokoordinaatisto (three points coodinates)
2. Lineaarialgebran koordinaatisto
3. Karteesinen koordinaatisto
4. Vektorit karteesisessa koordinaatistossa
5. Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)
Joitain johtopäätöksiä
1. Looginen empirismi
2. Einstein sotkee kuvioita
3. Mistä aloitan virhepäätelmien etsimisen?
4. Uranuurtajat
5. Tutkimattomat ovat matematiikan tiet
6. Mutkaiset suorat
7. Sitten tuli Albert Einstein
8. Onko avaruus olemassa?
9. Miksi valo taipuu painovoimakentässä
10. Karteesinen meemi
11. Erilaiset kielet matematiikan sisällä
12. Kellojen synkronointi
Poistettuja

Geometria

Motto

Yleensä molemmat reunat kokouksessa kulma on muodostettava kulma ei ole suora (180 °), muuten rataosuuksilla pidetään osia yksi reuna.

Wikipedian erään lauseen automaattinen käännös suomeksi

Alkusanat

9.10.2010

Ulottuvuuksien lisääminen suoritettiin perinteisissä geometrioissa olemassaoloaksioomilla, joita tässä geometriassa kutsutaan perusoletuksiksi. Olemassaoloaksiooma, joka sanoo, että jonkin niminen olio on olemassa, on mielestäni tyhjä.

Periaatteessa koko asia voidaan hoitaa metrisessä euklidisessa avaruudessa Cayley-Menger -determinanteilla seuraavasti:

Joukko Λ (jossa on vähintään kolme eri pistettä) on janasto (suora) jos ja vain jos kaikille kolmelle Λ:n pisteille A, B, ja C :

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

Joukko Π (jossa on vähintään neljä eri pistettä, on kolmiosto (taso) jos ja vain jos kaikille Π:n pisteille A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Π:n kolmikot eivät ole samalla janastolla (suoralla).

Joukko Φ (jossa on ainakin viisi eri pistettä) is nelistö (avaruus>) jos ja vain jos kaikille Φ:n pisteille, A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & d(DE)^2 & 1 \\ d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Φ:n nelikot eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa).

Ylemmät ulottuvuudet voidaan muotoilla samoin. Aloittelijoille mainittakoon, että esimerkiksi ilmaisohjelma Octave laskee determinantteja kuin tyhjää vaan. d(A,B) tarjoittaa pisteiden A ja B välimatkaa.

Ns. lävistäjä on pelkkiä nollia siitä syystä, että pisteen etäisyys itsestään, esim. d(A,A) = 0.

Jos determinanttia merkitään C_M_n:llä, n -ulotteisen simpleksin tilavuuden ja determinantin välillä on seuraava yhteys:

C_M_n = (-1)ⁿ⁺¹ 2ⁿ (n!)² V² ,

missä V on tilavuus (volume) ja n! on n-kertoma, esim. 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Tämän puutteen korjaaminen on osoittautunut vaikeammaksi kuin luulin, ja tämän oppikirjan valmistuminen voi viivästyä arvioni mukaan noin vuodella.

Itse kirjoittamista haittaa se, että selkäni kestää istumista vain rajoitetun määrän päivässä ja harmaakaihi lisäälikinäköisyyttä. Ajattelutyö tehdään kokonaan muualla kuin pöydän ääressä, mutta minkä tahansa asian viimeistely edellyttää istumistyötä.

7.8.2010

Jotta tämän oppikirjan määritelmät saataisiin kunnollisiksi, tähän oppikirjaan joudutaan lisäämään joukko topologiaa eli ympäristöoppia. Tästä ympäristöopista on muodostunut jonkinlainen matematiikan ylitiede, niin että ei auta muuta kuin että on lisättävä tähän oppikirjaan ympäristöoppia. Onneksi ympäristö-opin merkinnät eivät ole html:n kannalta ollenkaan hankalia.

10.10.2010

Olen lisäämässä tähän kirjaan viittaavien linkkien määrää. Näin entistä useammat havaitsevat sen. Opiskelijoita kehotan lukemaan ulkoa oman kurssimonisteensa.

Tässä kirjassa asioita on käsitelty sellaisessa järjestyksessä, joka on usein päinvastainen kuin se järjestys, mikä opiskelijan on opittava.

Lisäksi tämä oppikirja on keskeneräinen ja valmistunee joskus. Siinä on monenlaisia virheitä.

10.10.2010

Tämän oppikirjan kirjoittaminen on osoittautunut vaikeammaksi kuin etukäteen arvelin. Vaikka käytössä on paljon tietotekniikkaa ja Internet, sekä aineiston löytäminenen että sen jäsentäminen ovat osoittautuneet vaikeiksi puhumattakaan siitä, että asioita joutuu keksimään itse.

Kun kirjoittaa suoraan julkisuuteen menevään tiedostoon ja yrittää samalla yhdenmukaistaa käsitteistöä abstraktin matematiikan kanssa, huomaa määritelleensä käsitteitä eilen eri tavoin kuin tänään. Joku voisi tuntea itsensä tällaisessa tilanteessa idiootiksi, mutta onneksi minulla ei ole tapana syyttää itseäni aivojen puutteellisesta toiminnasta.

Toisaalta minulla ei ole pakkoa kirjoittaa ollenkaan, ja vielä vähemmän pakko on tehdä kunnollista työtä.

Tästä eteenpäin vastuu siirtyy lukijalle.

Erkki Hartikainen
Eläkeläismatemaatikko

Eräitä kirjallisuusviitteitä

28.4.2010

Käytettynä Internetistä hankkimani Gerard A. Veneman Foundations of Geometry, Pearson-Prentice-Hall, 206, ISBN 0-13-143700-3 muistuttaa löytämistäni lähteistä eniten geometrian oppikirjaa. Oppikirjan tekijällä on omat aksioomat, jotka on esitelty tässä oppikirjassa alempana.

Olen löytänut uuden, tosin englanninkielisen, maksuttoman oppikirjan Internetistä: Plane Geometry, An Illustrated Guide, Matthew Harvey.

Se on yli 400 sivua, mutta laajuutta selittää osittain se, että mukana on analyyttistä geometriaa, trigonometriaa ja hieman myös kompleksiluvuista.

Esitys on aksiomaattinen, mutta myös eläkeläisen luettavissa. Opetustehtävissä toimivien iloksi kirjassa on paljon kuvasivuja, joista voi väritulostimilla tehdä piirtoheitinkalvoja.

Valitettavasti Matt Harveyn erinomaista kirjaa on vaikea löytää. Laita Googleen hakusanat "Plane Geometry An Illustrated Guide Matthew Harvey" ja löytänet kirjan heti ensimmäiseltä sivulta.

Yllättäen huomasin, että Jyväskylän yliopiston ahkerat työntekijät Lassi Kurittu ja kumppanit, ovat laittaneet Internetiin 180 -sivuisen oppikirjan Geometria pdf - tiedostona.

Kirja on kaikin puolin hienoa työtä, tehty AmsTeX:illä joka on American Mathematical Society:n vastine LaTeX:ille.

Internetistä. Sieltä löytyi myös turkulaisen Tero Harjun kirja Geometria, lyhyt painos. Se löytyi hakusanoilla Birkhoff ja postulaatit.

Myös vaikuttaa alla olevan oppikirjan sisältöön. Harju sanoo, että hänen lähestymistapansa on koulugeometrinen. Myös alla olevan kirjan lähestymistapa on toivottavasti koulugeometrinen, eiväthän eläkeläismatemaatikot ymmärrä siitä muuten mitään.

Löysin työhuoneeni kaapista professori Olli Tammen geometrian luennot 1960 - luvulta. Olen merkinnyt kahteen kierrelehtiöön, että kyseessä on ns. cum laude -kurssi, mutta valitettavasti en ole merkinnyt päivämäärää.

Tieto löytyisi vanhasta opintokirjasta, mutta minulle on epäselvää, missä säilytän sitä.

Olli Tammen luennot alkavat täsmälleen siitä, mihin tämä oppikirja päättyy, ja tämä on luonnollista, sillä siihen aikaan koulussa luettiin suuri määrä lähinnä Eukleideen Alkeista koottua geometriaa.

Trakoitukseni oli käydä läpi Helsingin yliopiston kevään 2010 geometrian kurssin aineisto, mutta pdf - kuvista, jotka oli tehty lyijykynällä kirjoitetusta tekstistä, en saanut mitään selvää. Luennoija on unohtanut ylioppilastutkintolautakunnan ohjeen, jonka mukaan liian kovaa lyijykynää ei saa käyttää.

Sen sijaan Jouni Luukkaisen luennoista vuonna 2007 sai hyvin selvää. Olen huomioinut tekstin muilta osin paitsi että en ole ottanut mukaan analyyttistä geometriaa. Analyyttisestä geometriasta sain tarpeekseni 1960-luvun alussa.

Löysin paikallisesta kirjakaupasta Robin Harthornen teoksen Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0-387-98650-2 (hc).

Luulin myös nähneeni kirjakaupassa opetusneuvos Reino Seppälän, mutta hän onkin kuollut huhtikuussa 2010.

Internetistä löysin myös perusteellisen geometrian perusteiden oppikirjan, joka on vain vuoden vanha:

www.bruce-shapiro.com/math370/notes/370-April-29.pdf

Olen tulostanut itselleni paperille Eukleideen - Aschanin - Kahaanpään teoksen Eukleiden alkesta kuusi ensimmäistä kirjaa.

Saatavilla olevat uudemmat kirjat puhuvat usein Eukleideen alkeista ikään kuin lukija osaisi ne ennestään ulkoa.

Toisaalta Eukleideen lähestymistapa, jossa toisin kuin tässä oppikirjassa ei käytetä sellaisia mittoja, joita esimerkiksi Heronin kaava antaa, on lähellä nykyisen professorimatematiikan tapaa esittää asiat hyvin yleisellä tasolla, ja Eukleideen järjestelmää tutkimalla voi löytää viitteitä siitä, miten geometriaa voidaan ehkä tuntuvasti yksinkertaistaa vaihtamalla vanhat esitykset vahvemmalla aksioomajärjestelmällä varustettuun geometriaan.

Kieliongelmat

10.10.2010

Apukäsitteinä käytetyt sanat "janasto", "kolmiosto" ja "nelistö" ovat suomen kielen uudissanoja ja eivät tästä syystä aiheuta mitään sekaannusta.

Koska janan englanninkielinen nimitys on "line segment", sanan "janasto" kääntäminen englanniksi voi olla vaikeaa. Paremman puutteessa käytetään nimitystä "duo".

Kolmiostoa voidaan kutsua vaikka nimellä "trinity" ja nelistöä nimellä "quartet".

Ongelma ratkaistaan lopullisesti, jos elän niin vanhaksi, että saan tämän valmiiksi ja käännän sen englanniksi.

Miksi tässä kirjassa ei ole esitelty saksan kielisiä käsitteitä?

22.3.2010

Saksan kieliset geometrian oppikirjat maksavat liikaa.

Ratkaisu kreikkalaisten kirjainten ongelmaan

12.6.2010

Ubuntun Kompozer tai Composer -käyttäjiä silmällä pitäen kreikkalaisten aakkosten ongelmaan on yksinkertainenb ratkaisu. Valitse

Format/Font/Alpfa-beta

ja teksti on esimerkiksi seuraavaa:

aAbBCcDdEeFf.....

Kun joku keksisi, miten saadaan aikaan kirjoitus l (pieni äl). Sen pitäisi olla nimenomaan sellainen l, joka erottuu.

Olemassaolon olemassaolo

10.10.2010

Olen suhtautunut matematiikan olemassaolo-oletuksiin melko välinpitämättömästi. Koska matematiikka ei käsittele todellisuutta, olen ajatellut, ettei matematiikan olemassaolo-oletuksilla ole kovin suurta väliä.

Sen sijaan todellisuutta käsitteleviin olemassaolo-oletuksiin olen aina suhtautunut vakavasti. Oivalsin varsin nuorena, että virheellisistä todellisuutta koskevista oletuksista on vakavaa vahinkoa.

Ihmeteltyäni aikani sitä, että Eukleides pyrki osoittamaan geometrian oliot todellisiksi piirtämällä ja tarkastelemalla piirrosten ominaisuuksia puhtaan käsitteellisesti, olen tullut siihen tulokseen, että myös matematiikan olemassaolo-oletusten suhteen olisi syytä tehdä pesänselvitys.

En kuitenkaan tee sitä tässä oppikirjassa enkä muutenkaan, sillä olen mihinkään erityiseen pyrkimätön eläkeläinen.

Kuitenkin, jos havaitsen gemetrian olemassaolo-oletuksissa jotain erityisen huvittavaa, aion tuoda sen esiin.

Kvanttoriharha eli olemattomuusoppi

8.6.2010

Asiaa tarkemmin pohdittuani olen tullut siihen tulokseen, että matematiikassa ei pitäisi puhua ollenkaan olemassaolosta.

Sanojen "kaikki" ja "on olemassa" käyttö on mielestäni suuri onnettomuus.

Matematiikan, logiikan ja joukko-opin kieli voidaan nähdäkseni määritellä ilman näitä sanoja.

Koska olen eläkkeellä ja vanha ja vajaatyökykyinen, en kuitenkaan aio ryhtyä kehittelemään näitä ajatuksia.

Kuten jo muinaiset ... sanoivat, itse jumalatkaan eivät pysty taistelemaan tyhmyyttä vastaan.

Viiva ja alue

10.10.2010

Tätä oppikirjaa aiotaan selventää siten, että erotetaan toisistaan esimerkiksi kolmioviiva ja kolmioalue tai ympyräviiva ja ympyräalue. Selkiinnyttäminen on kesken.

Keskikoulun algebran perustelut saapuivat Suomeen

30.5.2010

Olen tänään lisännyt mukaan (viimeistelemättömän) esityksen siitä, miten keskikoulun algebran perussäännöt perustellaan reaalilukujen standardiaksioomilla. Esityksessä on käytetty H. L. Roydenin suosittelemia vaihtoehtoisia aksioomia.

Ihmettelyn aihetta

29.5.2010

Olen viime aikoina etsinyt täydennystä tämän oppikirjan perustietoihin. Olen jo aikaisemmin kirjoittanut osiot reaalilukuyhtälöiden ja -epäyhtälöiden käsittelystä.

Olen käynyt läpi kaikki Suomen yliopistojen algebran monisteet, ja en ole löytänyt niistä jälkeäkään niistä kaavoista, joita käytetään yhtälöiden ratkaisuissa.

Ulkomaisista lähteistä löysin yhden kurssin, jossa kaikki yhtälöiden ratkaisuissa vaadittavat reaalilukujen aksioomista johdettavat kaavat oli mainittu, mutta vain harjoitustehtävinä.

En siis löytänyt mistään valmista algebran aineistoa geometrian oppikirjaan.

Muinaisena matematiikan opettajana en voinut olla ihmettelemättä sitä, keitä varten matematiikkaa opetetaan yliopistoissa.

Yliopistomatematiikan tarkoitus

29.5.2010

Olen tullut siihen tulokseen, että yliopistomatematiikan tarkoitus on sama kuin muiden tieteiden: Esitellä oman alansa kuuluisuuksia.

Matematiikalla on sekä kestokuuluisuuksia että muotikuuluisuuksia. Lisäksi on kuuluisuuksia, joiden huhutaan olevan kuuluisuuksia, mutta joista ei olla tosissaan kiinostuneita.

Viimeksimainittuun ryhmään kuuluu mielestäni Alfred Tarski, joka päin vastoin kuin "maailmanetiikkaa" tarjoileva katolinen Hans Küng, väitti, että sataa on tosi, jos sataa.

Matematiikan peruskäsitteistö on sekaisin

29.5.2010

Koska olen saattuneesta syystä tuntenut matemaatikoita nuoruudestani asti, en ole koskaan pitänyt heitä varsinaisina ruudinkeksijöinä. Kyllä ruuti on kemistien keksintö tai sitten ruudin keksijöitä on pidettävä keksintönsä nojalla kemisteinä.

Tampereen yliopistossa tehdyn tutkimuksen mukaan matematiikassa harjoitetaan ulkolukua enemmän kuin missään muussa oppiaineessa.

Yritän lähiaikoina selkeyttää tämän oppikirjan käsitteistöä seuraavasti.

Osaa ns. aksioomista kutsutaan perusoletuksiksi. Perusoletuksia ovat seuraavassa ne aksioomat, jotka tekevät olemassaololetuksia. Olemassaolooletuksia voi tehdä tietysti aivan vapaasti, mutta vain osasta olemassaolo-oletuksia on selvää hyötyä matematiikan ymmärtämiselle.

Osaa aksioomista kutsutaan perusmääritelmiksi. Perusmääritelmiä ovat ne aksioomat, jotka eivät sisällä olemassolo-oletuksia tai Willard Van Orman Quinen sanoin ontologisia sitoumuksia.

Muita määritelmiä kutsutaan määritelmiksi. Tässä oppikirjassa on siis kolmenlaisia matematiikan määritelmiä:

olemassaolo-oletuksia,
perusmääritelmiä ja
suoria määritelmiä.

Propedeuttisia, ostensiivisia jne. määritelmiä tässä oppikirjassa ei ole. Esimerkiksi sellaisesta Valistuksen mittausopin maalaiskansakouluille käsitteestä kuin pystysuorasta suorasta tässä kirjassa ei puhuta mitään.

Kestää ehkä syksyyn kauan ennen kuin tässä mainittu ohjelma on toteutettu.

Tarskin aksioomat reaaliluvuille ja geometrialle

29.5.2010

Lisäsin tänään kiusallani mukaan Alfred Tarskin aksioomat reaaliluvuille.

10.10.2010

Lisäsin tähän oppikirjaan eilen Alfred Tarskin alkeisgeometrian alsioomajärjestelmän kokonaisuudessaan ja kuvitettuna. Tarskin aksioomajärjestelmä on kaikista yli sadasta aksioomajärjestelmästä mielestäni paras, ja siksi siitä ei ole olemassa juuri muuta kuin aksioomajärjestelmä ristiriidattomuus-, täydellisuus ja ratkaistavuustarkasteluineen.

Voisi tietysti ajatella, että isot isännät antaisivat näin uuden geometriamuodin vallitessa jollekin nuorelle ihmiselle luvan tehdä työn, jota ei ole ennen sallittu, mutta tieteen osakkeenomistajat ...

Päivitykset

Päivityksiä pyritään tekemään silloin, kun kirjoittajan aivot tuntuvat jossain muussa asiassa toimivat kunnolla.

Johdanto

Kuten varmaan olet havainnut, käsitejärjestelmä muuttuu koko ajan. Ainakaan tällaisen eläkeläisen muisti ei riitä kaiken edellä esitetyn muistamiseen ensimmäisellä kirjoittamiskerralla. Myös ulottuvuuksien määrä unohtuu välillä.

Kaikkia syntyviä virheitä ei pyritä korjaamaan heti vaan vasta sitten, kun kokonaisuus on hyvin hahmottunut.

Alla olevaa geometriaa ei kannata opetella ulkoa ennen kuin se on valmis.

Matematiikan ja tieteen välinen ero

Kun kelvollinen tiede on karkeistus todellisuudesta, todellisuus on karkeistus matematiikasta.

Tieteen määrittelemisestä

16.3.2010

Ihmettelin aikaisemmin, miksi David Hilbertin geometriaa on alettu opettaa yliopistoissa matematiikan opettajiksi pyrkiville, vaikka uudempaa ja täsmällisempää aineistoa on saatavilla.

Tähän on hyvin yksinkertainen selitys. Hilbertin Geometrian perusteet on useilla kielillä saatavissa ilmaiseksi Gutenberg -projektista.

Ei opiskelijoilla ja eläkeläisillä ole varaa ostaa kirjoja, jotka eivät ole aivan pakollisia. Hilbertin teoksen olen tulostanut laserkirjoittimellani, ja kun seuraavassa esityksessä viittaan siihen, sivunumerot ovat painoksesta The Foundations of Geometry, Reprint edition, The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1950.

Kun Hilbertkin kirjoitti geometriaansa pari vuotta, ei ole odotettavissa, että tämä geometria valmistuisi ainakaan nopeammin, pikemminkin päin vastoin.

Ehdotan, että tieteen määritelmä aloitetaan seuraavalla aksioomalla:

Tieteen tarkoitus on tuottaa rahaa osakkeenomistajille.
....

Geometerian käsitteiden havainnollistaminen kuvilla

10.10.2010

Kirjoittajan voimavarat eivät riitä tämän esityksen täydelliseen varustamiseen kuvilla, vaikka kirjoittaja on todennäköisesti parempi piirtäjä kuin matemaatikko. Internetistä löytyy hakusanalla "geometria" monia sivustoja, joilla alla esitetyt käsitteet on havainnollistettu kuvilla.

Jos elän vanhaksi ja varustan tämän kokonaan kuvilla, käytän vektorigrafiikkaa (tähän mennessä tehdyt kuvat on tehty Inkscapella).

Tämän esityksen kuvat tallenetaan palvelimen levytilaan png -tiedostoina.

Kuvituksen uusiminen

10.6.2010

Matemaatikon pitäisi kirjoittaa tätä kirjaa LaTeX:illa kuten Simo Kivelä aikoinaan. Olen kirjoittanut tätä html:llä, koska tiedostojen siirto- ja latausajat ovat pieniä.

Pääasiassa on käytetty svg - kuvia ja ne on tallennettu png -muodossa.

Sittemmin kuvitusta on täydennetty Octavella tehdyillä jpg -kuvilla.

Mitä matematiikan alaa tämä kirjoitus edustaa?

Tämä kirjoitus käsittelee ns. euklidista alkeisgeometriaa.

Se sisältää jonkin verran käänteismatematiikkaa.

Käänteismatematiikka on usein melko vaikeaa, ja myös tämä artikkeli edistyy hitaasti.

Kirjoitus sisältää joitain piirteitä noin sata vuotta sitten esitetystä järjestettyjen pisteiden geometriasta (Oswald Veblen).

Mitä tämän artikkelin laajuus on?

Artikkelin on tarkoitus käsitellä euklidista geometriaa samassa laajuudessa kuin keskikoulu ja lukio käsittelivät sitä viime vuosisadan keskivaiheilla.

Vähintään siinä esitetään samat asiat kuin Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille.

Ulottuvuudet (dimension)

10.10.2010

Tässä esityksessä rajoitutaan yleensä yksi-, kaksi- ja kolmiulotteiseen geometriaan. Jokainen lisäulottuvuus toisi mukanaan uusia käsitteitä, joilla ei ole vastinetta tavallisten ihmisten todellisuudessa.

Tilastotiede käyttää usein noin kymmentä ulottuvuutta, mutta siellä käytetyn geometrian ymmärtäminen on harvoin tarpeellista edes tilastotieteilijälle, sillä laskentamenetelmät ovat tietokoneohjelmia.

Taloudellisissa tutkimuksissa on jo lähes puoli vuosisataa käytetty simpleksialgoritmia ja siitä edelleen kehitettyjä menetelmiä, mutta simpleksialgoritmikin on ollut tietokoneohjelmana jo reikäkorttiajasta lähtien (tilasin 1960 - luvulla sellaisen Yhdysvalloista työpaikalleni).

Keitä varten tämä artikkeli on kirjoitettu?

Se on kirjoitettu puhtaasti minua varten.

Kuvien lähteitä

31.5.2010

Itse piirrettyjen kuvien määrä on nyt kasvanut huomattavast ja lähiaikoina muuaalta lainatut kuvat poistuvat kokonaan.

Merkintöjä ja nimityksiä

Perusoliot

9.6.2010

Piste on geometrinen suure, jolla on paikka, mutta ei ulottuvuutta.

Eräs geometrian pro gradu vuodelta 2007

Yllä olevalle on naurettu jo kauan ainakin sata vuotta.

Perusolioita kutsutaan aluksi olioiksi ja niiden joukkoja oliojoukoiksi. Sitä, että olio a kuuluu joukkoon A merkitään a∈A

Muut oliot

6.6.2010

Muita olioita ovat esimerkiksi järjestämättömät joukot ja järjestetyt joukot.

Muita olioita määritellään tarpeen mukaan.

Muut oliot erottuvat ominaisuuksiensa perusteella.

Ennestään tunnetuksi oletetaan

Raaliluvut, joukko-oppi ja logiikka oletetaan tunnetuiksi. Useimmilla ihmisillä on jonkinlainen käsitys näistä asioista, vaikka he eivät olisi matematiikkaa opiskelleet.

Seuraavassa on kuitenkin esitelty joitain piirteitä joukko-opista ja reaaliluvuista sekä logiikan merkinnöistä.

Yhdiste ja leikkaus (union and intersection)

Määritelmä: Kahden joukon A ja B yhdiste on niiden olioiden joukko (set), jotka kuuluvat A:han tai B:hen tai molempiin. A:n ja B:n yhdistettä (U sanasta "unioni") merkitään

A U B

Määritelmä: Kahden joukon A ja B leikkaus on niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat A:han ja B:hen. A:n ja B:n leikkausta merkitään

A ∩ B.

Komplementtijoukot (ulkkojoukot, complement of the set)

Ulkojoukko (ehdoton ulkojoukko)

Määritelmä: Joukon A ulkojoukko (komplementti) on niiden olioiden joukko, jotka eivät kuulu alkuperäiseen joukkoon.

Joukon A ulkojoukkoa (komplementtia) merkitään tässä artikkelissa

A^c.

Komplementti on aina komplementti jonkin perusjoukon suhteen.

Suhteellinen (ehdollinen) komplementti

Määritelmä: Mikäli käsitettä suhteellinen komplementti tarvitaan, joukko A \ B on niiden olioiden joukko, jotka kuuluvat A:han mutta eivät B:hen.

Oliovieraat (erilliset, ei-leikkaavat, disjoint) joukot

9.8.2010

Määritelmä: Joukot A ja B ovat oliovieraat, os niillä ei ole yhteisiä alkioita.

A ∩ B = ∅.

Yhden olion joukko (singleton)

{a}.

Tulojoukko

13.5.2010

Määritelmä: Kahden joukon A ja B tulojoukko A x B on niiden järjestettyjen parien <a,b> joukko, missä a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen.

Esimerkki: Joukkojen {a, b, c} ja {1, 2} tulojoukko on joukko {<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>, <c,1>, <c,2>}.

Relaatio

Määritelmä: Relaatio on tulojoukon osajoukko.

Esimerkki: Yllä olevan tulojoukon osajoukko on esimerkiksi joukko {<a,1>, <b,2>}.

Määritelmä: Relaation määrittelyjoukko eli lähtöjoukko on relaation ensimmäisten olioiden joukko ja relaation arvojoukko eli maalijoukko on toisten olioiden joukko.

Relaatioita merkitään myös esimerksiksi aRb tai R(a,b).

Käänteisrelaatio

Määritelmä: Relaation käänteisjkoukko R^-1 on joukko, jossa on vaihdettu ensimmäisen ja toisen olion paikka.

Yhdistetty relaatio

Määritelmä: Kahden relaation R ja S yhdistetty relaatio RoS on parien <x,z> joukko, kun <x,y> on relaation R pari ja <y,z> on relaation S pari.

Lävistäjärelaatioo (identtinen relaatio)

Määritelmä: Lävistäjärelaatio eli ldenttinen relaatioI on parien <x,x> muodostama relaatio.

Symmetrinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on symmetrinen, jos kaikille pareilla <x,y> = <y,x>.

Antisymmetrinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on antisymmetrinen jos kaikilla pareilla <x,y> ≠ <y,x>.

Refleksiivinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on refleksiivinen, jos kaikille x, x on relaatiossa itsensä kanssa eli <x,x> pätee kaikille x.

Transitiivinen relaatio

Määritelmä: Relaatio on transitiinen, jos siitä, että <x,y> ja <y,z> voidaan päätellä, että <x,z>.

Ekvivalenssirelaatio

Määritelmä: Relaatio on ekvivalenssi, jos se on

refleksiivinen
symmetrinen
transitiivinen

Ekvivalessiluokka

Ekvivalenssiluokka on kaikkien niiden X:n alkioiden joukko, jotka ovat a:n kanssa ekvivalentteja.

Funktio (function) eli kuvaus (mapping) ensimmäisen kerran

27.5.2010

Funktiosta eli kuvauksesta puhutaan alempana täsmällisemmin. Funktio on erikoistapaus relaatiosta.

Määritelmä: Tässä riittää todeta, että funktio eli kuvaus on relaatio, jossa millään kahdella eri jäsenellä ei ole samaa ensimmäistä oliota (alkiota) (John L. Kelley, General Topology, D. van Nostrand, 1955, s. 10).

Esimerkki 1: Joukko {<1,2>,<1,3>} ei ole funktio, koska ensimmäisenä oliona (alkiona, jota sanotaan myös koordinaatiksi) esiintyy kahdella eri jäsenellä sama alkio 1.

Esimerkki 2: Joukko {<2,1>,<3,1>} on funktio, koska molemmat ensimmäiset oliot (alkiot, koordinaatit) ovat samat.

Muunnos (transformation)

28.5.2010

Määritelmä: Muunnos eli transformaatio on funktio erl kuvaus joltakin joukolta joukolle itselleen.

Logiikan merkkejä

26.5.2010

Kunkin rivin lopussa on mainittu html:n lähdekoodiin kirjoitattava merkkijono.

¬ ei, negaatio, ¬
∧ ja, konjunktio &and;
∨ tai, disjunktio (p tai q tai molemmat) &or;
⇒ jos ... niin (implikaatio) ⇒
⇔ jos ja vain jos (ekvivalenssi) ⇔
∀ kaikille ∀
∃ on olemassa ∃
∃! on olemassa yksi ja vain yksi ∃!

Joukko-opin merkkejä

∅	∅	∅	tyhjän joukon merkki i ole sama kuin halkaisijan merkki; ei MES-2:ssa
∈	∈	∈	joukkoon kuulumisen merkki esim. a ∈ A
∉	∉	∉	joukkoon kuulumattomuuden merkki
∋	&ni;	∋	käänteinen joukkoon kuulumisen merkki ei MES-2:ssa
&#8834	⊂	⊂	osajoukon merkki
⊃	⊃	⊃	ylijoukon merkki
⊄	&nsub;	⊄	osajoukkosuhteen kiellon merkki ei MES-2:ssa
⊆	&sube;	⊆	osajoukkosuhteen tai yhtäläisyyden merkki ei MES-2:ssa
⊇	&supe;	⊇	ylijoukkosuhteen tai yhtäläisyyden merkki ei MES-2:ssa
∩	∩	∩	leikkauksen merkki joukko-opissa
∪	∪	∪	yhdisteen merkki joukko-opissa (unioni)

Joukko-opin aksioomat

26.5.2010

Joukko-oppia opetetaan tavallisesti ns. "naiivina" joukko-oppina, jossa käytetään pelkkiä suoria määritelmiä.

Olemassaolo-oletusten ystävät harrastavat aksiomaattista joukko-oppia, jossa erilaisten joukko-opin olioiden olemassaolo oletetaan.

Kuuluisin joukko-opin aksioomajärjestelmä on Zermelo-Fraenkelin (ZF) aksioomajärjestelmä täydennettynä valinta-aksioomalla (ZFC).

Seuraavassa on esitetty suurin piirtein tämä aksioomajärjestelmä.

Alkuperäiset Adolf Fraenkelin aksioomat on esitetty hänen kirjansa Einleitung in die Mengenlehre, Spinger, 1928 sivuilla 272-312.

Rudolf Carnap sanoo kirjansa Symbolishe Logik, Springer 1954 sivulla 151, että Fraenkelin mukaan 1) joukot eivät ole luokkia, 2) jokainen joukon olio (alkio) on joukko ja 3) ei ole muita yksilöitä kuin joukkoja.

Carnap luopuu ehdosta 3) selventääkseen Frankelin aksioomia.

Joukko-opin perusmerkki on ∈, joka luetaan "kuuluu" (huomaa kuu ja luu).

Logiikan merkeistä seuraavassa käytetään tavanomaisten merkkien lisäksi merkkiä =, joka luetaan "on sama kuin". Merkkinä "on sama kuin" on eräissä osioissa käytetty merkkiä ≡.

Merkillä = on ominaisuudet:

∀x [x = x];
∀x∀y [(x = y) ⇒ (y = x)];
∀x∀y∀z {[(x = y) ∧ (y = z)] ⇒ (x = z)}

B(x,y) ja B(x) ovat logiikan ns. predikaatteja eli ominaisuuksia.

Merkit x, y, z, p, q, r, a, b, c, ja samat suurilla kirjaimilla tarkoittavat muuttujia.

Määritelmä 1: (Puhetavat)

[(a ∈ A) xor (A = ∅)] ⇒ (A on joukko)

Jos a ∈ A, sanotaan. että a on joukon A alkio. Merkki ∅ luetaan "tyhjä joukko".

Joukko A on joukon B osajoukko, merkitään A ⊂ B tai B ⊃ A, luetaan ”A on B:n osajoukko" tai "B on joukon A”, ylijoukko, jos

∀(a ∈ A)[(a ∈ A) ⇒ (a ∈ B)]

Aksiooma 1: (Samuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat silloin ja vain silloin, kun niillä on samat alkiot.)

∀A∀B [∀a(a ∈ A) ⇔ (a ∈ B)] ⇔ (A=B)

Aksiooma 2: (Vähimmäisjoukkoaksiooma: Jokainen eityhjä joukko A sisältää sellaisen alkion a, että A ja a ovat erillisiä joukkoja. Alkiota a sanotaan A:n vähimmäisalkioksi. Aksioomaa sanotaan myös
säännöllisyysaksioomaksi.)

∃a (a ∈ A) ⇒ [∃a (a ∈ A) ∧ ¬∃b (b ∈ A ∧ b ∈ a)].

Loput aksioomat ovat olemassaoloaksioomia.

Aksiooma 3: (Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko, jota merkitään {} tai ∅.)

∃∅ ∀y ¬(y ∈ ∅)

Tästä aksioomasta Rudolf Carnap (em. teos s. 155)sanoo, ettei se ole tarpeellinen, mutta se on mukava.

Aksiooma 4: (Järjestämättömän parin aksiooma: Jos A ja B ovat joukkoja, niin myös {A,B} on joukko, joka sisältää vain alkiot A ja B.)

∀A∀B ∃C∀D [(D∈C) ⇔ (D=A ∨ D=B)

Aksiooma 5: (Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa A kohti on olemassa joukko B = ∪A, joka on joukon A alkioiden yhdiste.)

∀A∃B∀b(b ∈ B) ⇔ ∃a(b ∈ a ∧ a ∈ A).

Aksiooma 6: (Potenssijoukkoaksiooma: Jokaiselle joukolle A on olemassa joukko B, joka sisältää kaikki A:n osajoukot.)

∀A∃B∀b [(b ∈ B) ⇔ (b ⊆ A)].

Aksiooma 7: (Äärettömyysasiooma: On olemassa sellainen joukko A, että ∅ on An alkio ja aina, kun a on A:n alkio, niin on myös yhdiste a∪ {a}.)

∃A(∅∈A) ∧[∀a (a ∈ A) ⇒ (a ∪{a} ∈ A)]

Aksiooma 8: (Sijoitusaksiooma: Jokaista joukkoa ja jokaista kuvausta B(u,v) missä ehdosta B(u,v) ja B(u,z) seuraa v = z kohti on olemassa joukko , joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.)

B(u,v) ⇔ [ ∀y (y ∈ v ⇔ ∃x [ x ∈ u ∧ A_n(x,y)])]

[∀x ∃!y A_n(x,y)] ⇒ ∀u∃v (B(u,v))

Aksiooma 9: (Valinta-aksiooma: Jokaista keskenään erillisten eityhjien joukkojen joukkoa A kohti on olemassa joukko b, joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta A:n alkiosta.)

∀A∃f∀b [(b∈A ∧ b≠∅) ⇒ f(b) ∈ b]

Aksiooma 10: On mahdollista, että tätä aksioomajärjestelmää muutetaan.

Sup ja inf

9.5.2010

Määritelmä: Olkoon A ⊂ R. Reaaliluku M on joukon A yläraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≤ M .

Määritelmä: Joukko A on ylärajallinen, jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yläraja.

Määritelmä: Reaaliluku m on joukon A alaraja, jos ja vain jos kaikille a ∈ A pätee a ≥ m.

Määritelmä: Joukko A on alarajallinen, jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja.

Määritelmä: Joukko A on rajallinen, jos ja vain jos se on sekä ylärajallinen että alarajallinen.

Määritelmä: Reaaliluku M on joukon A ⊂ R supremum, jos ja vain jos se on joukon A yläraja eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon A yläraja.

Määritelmä: Reaaliluku M on joukon A ⊂ R infimum, jos ja vain jos se on joukon A alaraja eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon A alaraja.

Päätelmä: Olkoon A ⊂ R ja M ∈ R. Tällöin M = sup(A), jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa:

M on joukon A yläraja.
∀ε > 0 : ∃a ∈ A : |M − a| < ε.

Perustelun löydät mistä tahansa ns. analyysin oppikirjasta.

Päätelmä: Olkoon A ⊂ R ja m ∈ R. Tällöin m = inf(A), jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa:

m on joukon A alaraja.
∀ε > 0 : ∃a ∈ A : |m − a| < ε.

Perustelun löydät mistä tahansa ns. analyysin oppikirjasta.

Reaalilukujen standardi- aksioomat

Kunta-aksioomat

(P1) (Yhteenlaskun liitännäisyys):

∀a∀b∀c [a + (b + c) = (a + b) + c].

(P2) (Yhteenlaskun nolla-alkio):

∃0∀a [a + 0 = 0 + a = a].

(P3) (Yhteenlaskun käänteisalkio):

∀a∃(-a) [a + (−a) = (−a) + a = 0].

(P4) (Yhteenlaskun vaihdannaisuus):

∀a∀b [a+b=b+a].

(P5) (Kertolaskun liitännäisyys):

∀a∀b∀c [a · (b · c) = (a · b) · c].

(P6) (Kertolaskun ykkösalkio):

∃1∀(a ≠ 0) [a · 1 = 1 · a = a].

(P7) (Kertolaskun käänteisalkio):

∀(a ≠ 0)∃(a⁻¹) [a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = 1].

(P8) (Kertolaskun vaihdannaisuus):

∀a∀b [a·b=b·a].

(P9) (Osittelulaki):

∀a∀b∀c [a · (b + c) = a · b + a · c].

Järjestysaksioomat

(P10) ∀a∀b∀c [a < b ⇒ a + c < b + c].

(P11) ∀a∀b∀c [(a < b ∧ b < c) ⇒ a < c].

(P12) ∀a∀b∀c [a < b xor b < a xor a = b].

(P13) ∀a∀b∀c [(a < b ∧ c > 0) ⇒ ac < bc].

Vaihtoehtoiset järjestysaksioomat

29.5.2010

On olemassa R++ ⊂ R siten, että

Jos x, y ∈ R++ niin x + y ∈ R++ ja xy ∈ R++.
Jos x ∈ R++ niin −x ∈ R++.
Jos x≠0, niin joko x ∈ R++ tai −x ∈ R++.

Huomautus: R++ on positiivisten reaalilukujen joukko.

Harjoituksia:

H. L. Royden suosittelee vaihtoehtoisia aksioomia (Real Analysism by H. L. Royden, löytyy Internetistä). Johda tavalliset järjestysaksioomat vaihtoehtoisista järjestysaksioomista.
On annettu $piin (3,141592653589$ ...) likiarvo miljardilla desimaalilla. Miten voit päätellä, kumpi on suurempi, pii vai sen likiarvo?

Täydellisyysaksiooma

(P14) (Pienimmän ylärajan olemassaolo):

Jokaisella eityhjällä reaalilukujoukolla A, joka on rajoitettu ylhäältä, on pienin yläraja.

Huomautus

xor on poissulkeva tai (joko ... tai).

Reaalilukujen kunta-aksioomien seurauspäätelmiä

Päätelmä: 0, 1, −x, x⁻¹ ovat yksikäsitteisesti määriteltyjä.

Perustelu:

Jos θ + x = x, niin θ = θ + 0 = θ + (x − x) = (θ + x) − x = x − x = 0.

Jos θ · x = x, niin θ = θ · 1 = θ xx−1 = (θx) x−1 = xx−1 = 1.

Jos y + x = 0, niin y = y + 0 = y + (x − x) = (y + x) − x = 0 − x = −x.

Jos yx = 1, niin y = y · 1 = y(xx^₋₁ ) = (yx) x⁻¹ =
1 · x⁻¹ = x⁻¹ .

Päätelmä: − (−x) = x ja (x⁻¹)^-1 = x.

Perustelu:

− (−x) = − (−x) + 0 = − (−x) + ((−x) + x) =
(− (−x) + (−x)) + x = 0 + x = x.

(x⁻¹)^-1 =(x⁻¹)^-1 ·1= (x⁻¹)^-1x⁻¹· x = ((x⁻¹)^-1x⁻¹)· x

Päätelmä: (a) Jos x + b = y + b niin x = y, ja (b) jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y

Perustelu:

Jos x + b = y + b, niin
x = x + 0 = x + (b − b) = (x + b) − b = (y + b) − b = y + (b − b) = y + 0 = y.

Jos xa = ya ja a ≠ 0, then x = x · 1 = x(aa⁻¹)=
(xa) a⁻¹ = (ya)a^₋₁ = y(aa⁻¹)= y · 1 = y.

Päätelmä: (a) 0x = 0 and (b) Jos xy = 0 ja x ≠ 0 niin y = 0.

Perustelu:

0 + 0x = 0x = (0 + 0) x = 0x + 0x. Päätelmällä "jos x+b=y+b niin x=y" saadaan 0 = 0x.

Jos x0 = 0 niin jos xy = 0 ja x ≠ 0, niin päätelmällä "jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y" saadaan y = 0.

Päätelmä: − (x + y) = −x − y ja (xy)⁻¹ = x⁻¹ y⁻¹.

Perustelu:

− (x + y) + (x + y) = 0
ja
(x + y) + ((−x) + (−y)) = (x − x) + (y − y) = 0.

Päätelmällä "jos x+b=y+b niin x=y" saadaan

((−x) + (−y)) = − (x + y) .

xy · (xy)⁻¹ = 1 ja xy · x⁻¹ y^₋₁ = xx⁻¹ · yy ⁻¹ = 1 · 1 = 1.

Päätelmällä "jos ax = ay ja a ≠ 0 niin x=y" saadaan (xy)⁻¹ =x⁻¹ y⁻¹ .

Päätelmä: − (xy) = (−x) y.

Perustelu:
− (xy) = − (xy)+0 = −xy +0y = − (xy)+(x − x) y = − (xy)+(xy + (−x) y) = (−xy + xy)+ (−x) y =
0 + (−x) y = (−x) y.

Päätelmä: (−1) x = −x.

Perustelu: Edellisen päätelmän perusteella −x = −(1x) = (−1) x.

Päätelmä: (−x)(−y) = xy.

Perustelu:
xy = x (− (−y)) = x ((−1) (−y)) = (x (−1)) (−y) = (−x) (−y).

Määritelmä: x > y ⇔ x − y ∈ R++ .

Päätelmä: Jos x > y ja w ≥ z, niin x + y > y + z.

Perustelu:
Nämä seuraavat ehdoista x − y ∈ R++ ja w − z ∈ R++ ∪ {0}

Jos w − z = 0, niin (x + w) − (y + z) = x−y ∈ R++ .

Josd w−z > 0, niin (x + w)−(y + z) ∈ R++ .

Kummassakin tapauksessa x+y > y +z.

Päätelmä: If x > y > 0 and w ≥ z > 0, then xw > yz.

Peruistelu:
Tämä seuraa ehdoista (x − y) w ∈ R++ and
(w − z) y ∈ R++ ∪ {0} .

Tällöin xw − yz = (x − y) w + (w − z) y ∈ R++ , mistä seuraa xy > yz.

Päätelmä: Oletetaan, että x, y > 0. Tällöin

x + y > 0,
(−x) + (−y) < 0,
xy > 0,
x(−y) < 0,
(−x) (−y) > 0.

Perustelu:
Perustellaan 5. Muut perustellaan samalla tavalla.
Ensimmäinen järjestysaksiooma sanoo, että jos
x, y > 0 niin xy > 0.
(−x) (−y) = − (x (−y)) = − (− (xy)) = xy > 0.

Määritelmä: Kaikille x ∈ R, x2 ⇔ x · x.

Päätelmä: x2 > 0 kaikille x ≠ 0.

Perustelu: Tämä seuraa välittämästi edellisen päätelmän kohdista 3 ja 5.

Päätelmä: 1 > 0.

Perustelu:
Jos 1 < 0 niin edellisen kohdan perusteella 1 = 1 · 1 > 0, mikä on ristiriita.

Päätelmä: Jos x > 0 niin x⁻¹ > 0.

Perustelu:
Jos x⁻¹ < 0, aikaisemman tuloksen perusteella
1 = xx⁻¹< 0, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että
1 > 0.

Päätelmä: Jos x > y > 0 niin 0 < x⁻¹ < y ⁻¹ . Erityisesti jos x > 1 niin x⁻¹ < 1.

Perustelu:
Jos (x − y) > 0 ja jos x⁻¹ niin 1 − yx⁻¹ =
(x − y) x⁻¹> 0. Tällöin jos y⁻¹ > 0 niin y⁻¹ − x⁻¹ =
y^-1(1-yx^-1)>0, mistä seuraa y⁻¹ > x⁻¹.

Suoraan laskemalla saatavia reaalilukujen kaavoja

5.6.2010

Kun suoritetaan edellä olevien aksioomien mukaisesti laskutoimitukset, saadaan

(a - b)(a + b) =

a² + ab - ba - b²=

a² - b² eli

(a-b)(a+b) = a² - b².

Tämä kaava on hyödylinen erityisesti silloin, kun jokin lauseke on neliöiden erotus ja lauseke on jaettava tekijöihin eli saatettava tulon muotoon.

Tulon muoto on hyödyllinen erityisesti tutkittaessa lausekkeen nollakohtie (ratkaistaessa yhtälöitä), sillä tulo on nolla, jos tulon tekijä on nolla.

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² - 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² - 4 = 0.

x² - 2² = 0.

(x - 2)(x + 2) = 0.

x - 2 = 0 tai x + 2 = 0.

x = 2 tai x = -2.

Suorittamalla laskutoimitukset saadaan:

(a + b)² = (a + b)(a + b) =
a² + ab + b² + ba =
a² + 2 ab + b².

(a + b)² = a² + 2 ab + b².

Tämä kaava on hyödyllinen erityisesti silloin, kun lausekkeessa esiintyy kahden lausekkeen neliöt ja niiden kaksinkertainen tulo. Tällöin lauseke voidaan saattaa tulon muotoon eli neliöksi.

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² + 4x + 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² + 2.2x + 2² = 0.
(x + 2)² = 0.
x = -2.

Suorittamalla laskutoimitukset saadaan:

(a - b)² = (a - b)(a - b) =
a² - ab + b² ba =
a² - 2 ab + b².

(a - b)² = a² - 2 ab + b².

Esimerkki: Olkoon meillä yhtälö

x² - 4x + 4 = 0.

Tämän yhtälön ratkaisemisessa ei tarvita toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa vaan jaetaan yhtälö tekijöihin seuraavasti:

x² - 2.2x + 2² = 0.
(x 2)² = 0.
x = 2.

Tarskin aksioomat reaaliluvuille

Järjestysaksioomat: (R, <):

Aksiooma 1:: "<" on asymmetrinen relaatio.

Aksiooma 2:: Jos x < z, on olemassa y siten, että x < y ja y < z. Toisin sanoen "<" ion tiheä joukossa R.

Aksiooma 3: "<" on Dedekind-täydellinen.; Kaikille X, Y ⊆ R, jos kaikille x ∈ X ja y ∈ Y, x < y, on olemassa z ssiten, että kaikille x ∈ X ja y ∈ Y, x ≤ z ja z ≤ y. u ≤ v on lyhennys merkinnälle "u < v or u = v".

Selvennys, olkoon X ⊆ R ja Y ⊆ R. Määritellään seuraavat yleiset teonsanat:

X edeltää Y:tä jos ja vain jos kaikille x ∈ X ja kaikille y ∈ Y, x < y.

Reaaliluku z erottaa X:n ja Y;n jos va vain jos kaikille x ∈ X kun x ≠ z ja kaikille y ∈ Y kun y ≠ z, x < z ja z < y.

Aksiooma 3 voidaan esittää seuraavasti:

"Jos reaalilukujen joukko edeltää toista reaalilukujen joukkoa, silloin on olemassa ainakin yksi reaaliluku, joka erottaa nämä kaksi joukkoa."

Yhteenlaskuaksioomat: (R, <, +):

Aksiooma 4:
: x + (y + z) = (x + z) + y.

Aksiooma 5:
: Kaikille x, y, on olemassa z siten että x + z = y.

Aksiooma 6:: Jos x + y < z + w, niin x < z tai y < w.

Ykkösaksioomat ( R, <, +, 1):

Aksiooma 7:
: 1 ∈ R.

Aksiooma 8:
: 1 < 1 + 1.

Huomautus:

Näistä aksioomista seuraa, että R on lineaarisesti järjestetty Abelin ryhmä alkion 1 yhteenlaskun suhteen. R on myös Dedekind-täydellinen ja jaollinen.

Nämä aksioomat tarvitsevat vain kolme olemassaolokvanttoria, yhden jokaiselle aksioomista 2, 3, ja 5.

Tarski osoitti, että 8 aksiooma 4 määrittelemätöntä merkkiä ovat toisistaan riippumattomia.

Tarski esitti perustelun sille, että näistä määrittelemättömistä merkeistä ja aksioomista on pääteltävissä kesrtolasku -nimisen binäärisen operaation olemassaolo. Kun tällä operaatiolla on tavanomaiset ominaisuutensa. R on täydellisesti järjestetty kunta kun laskutoimituksina ovat yhteenlasku ja kertolasku.

Janojen yhtenevyys

Ekvivalenssi on puhtaan geometrian ulkopuolinen käsite.

Kertaus: Ekvivalenssirelaatio noudattaa seuraavia ehtoja:

Jos a = b, niin aRb (alkio a on relaatiossa R alkioon b, refleksisyys).
Jos aRb, niin myös bRa (symmetrisyys).
Jos aRb ja bRc, niin aRc (transitiivisyys).

Janojen yhtenevyyden tapauksessa ehdot olisivat seuraavat:

Jos a ja b ovat samat, ne ovat yhtä pitkät.
Jos a on yhtä pitkä kuin b, niin b on yhtä pitkä kuin a.
Jos a on yhtäpitkä kuin b ja b on yhtäpitkä kuin c, niin a on yhtäpitkä kuin c.

Päätelmä: Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

Yhtäsuurten reaalilukujen ominaisuuksia

8.5.2010

Nämä ominaisuudet on edellä johdettu reaalilukujen standardiaksioomista.

Sijoitus:

Jos a = b, a;n saa sijoittaa b:n paikalle ja b:n saa sijoittaa a:n paikalle.

Molempiin puoliin lisääminen:

Jos a = b, niin a+c = b+c.

Molemmista puolista vähentäminen:

Jos a = b, niin a-c = b-c.

Molempien puolten kertominen:

Jos k ei ole 0 ja a = b, niin ka = kb.

Molempien puolten jakaminen:

Jos k ei ole 0 ja a = b, niin a/k = b/k.

Päätelmä ja käänteispäätelmä (lause ja käänteislause)

8.5.2010

Päätelmät ovat esimerkiksi muotoa

p ⇔ q

eli jos ja vain jos p niin q tai muotoa

p ⇒ q.

eli jos p niin q.

Viimeksimainitussa tapauksessa päätelmän p ⇒ q käänteispäätelmäksi (käämteislauseeksi) kutsutaan päätelmää (lausetta)

q ⇒ p

eli jos q niin p.

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇔ (p ⇔ q)

eli jos p niin g ja jos q niin p on ekvivalenttia sen kanssa, että p jos ja vain jos q.

Reaalilukujen yhtälöt

13.5.2010

Reaalilukujen yhtälö on muotoa

f(x) = g(x),

missä f(x) ja g(x) ovat lausekkeita.

Lausekkeita ovat esimerkiksi

f(x) = 2x² + 3x - 5,

f(x) = (2x + 1)/(x-1),

f(x) = ax + b,

missä x on muuttuja ja a ja b ovat vakioita.

Kirjaimilla merkityt vakiot ovat tietysti myös muuttujia, mutta niitä voidaan käyttää vakioiden merkkeinä, jolloin niitä käsitellään kuten vakioita.

Jos on annettu yhtälö, se voidaan muuttaa yhtäpitävyyden säilyttäen toiseen muotoon seuraavilla säännöillä.

Mikä tahansa lauseke, joka on kaikkialla määritelty, voidaan lisätä molempiin puoliin.
Mikä tahansa lauseke, joka on kaikkialla määritelty, voidaan vähentää molemmista puolista.
Molemmat puolet voidaan kertoa millä tahansa kaikkialla määritellyllä lausekkeella joka ei ole missään nolla.
Molemmat puolet voidaan jakaa millä tahansa kaikkialla määritellyllä lausekkeella, joka ei ole missään nolla.
Yleensä mitä tahansa funktiota voidaan soveltaa molempiin puoliin tai mikä tahansa funktio voidaan poistaa molemmilta puolilta, mutta tällöin on ehdottomasta tarkistettava saadut ratkaisut, sillä ratkaisujoukko voi muuttua.

Esimerkki 1:

2 x + 1 = 0 | -1

Vähennetään molemmista puolista 1. Huomaa yllä oleva merkintä | -1.

2x = -1 | : 2

Jaetaan molemmat puolet 2:lla:

x = -½.

Esimerkki 2:

√(2x + 1) = x - 1. |()²

Neliöjuuren poistamiseksi sovelletaan molempiin puoliin samaa funktiota eli neliöidään molemmat puolet.

2 x + 1 = x² - 2x + 1 | -1

2x = x² - 2x.

Siirretään kaikki samalle puolelle yhtälöä ja muutetaan siirrettyjen lausekkeiden merkit.

2x - x² + 2x = 0.

x² + 4 x = 0.

x ( x + 4) = 0.

x = 0 tai x + 4 = 0.

x = 0 tai x = -4.

Tarkistetaan juuret alkuperäisellä yhtlälöllä.

Nolla ei kelpaa, koska saadaan

1 = -1.

-2 ei kelpaa, koska neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku.

Yhtälöllä ei ole reaalilukuratkaisua.

Esimerkki 3:

a x - a = 2x.

Siirretään muuttujaa x sisältävät lausekkeet vasemmalle puolelle ja samalla vaihdetaan siirrtettyjen lausekkeiden merkit. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ns. ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Vakiot (tässä a) siirretään oikealle puolelle. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä.

a x - 2 x = a.

Otetaan x vasemmalla puolella yhteiseksi tekijäksi. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä.

(a - 2) x = a.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet x=n kertoimella. Tämä on tyypillinen toimenpide ratkaistaessa ensimmäisen asteen yhtälöitä. Supistetaan samalla pois x:n kerroin.

x = a/(a - 2).

Tämä molempien puolten jakaminen a - 2:lla sisälsi nollalla jakamisen mahdollisuuden, koska a - 2 = 0, kun a = 2.

Tästä syystä ratkaisujoukkoon kuuluvat muut x:n arvot, mutta eivät ne, joilla a = 2.

Esimerkki 4:

x/(x - 1) = (2 x - 1)/(x - 1).

Yhtölön molemmat puolet kerritaan x - 1:llä, mutta on huomattava, että koko yhtälöä ei ole määritelty silloin, kun x = 1, koska nimittäjät ovat nollia.

x = 2 x - 1

x - 2x = -1

-x = -1

x = 1.

Saatu ratkaisu ei kelpaa. koska x:n arvolla 1 nimittäjät ovat nollia.

Esimerkki 5:

ax² + bx + c = 0 |:a

x² + (b/a)x + (c/a) = 0 | -(c/a)

x² + (b/a)x = -(c/a) | +(b/(2a))²

x² + (b/a)x +(b/(2a))²= -(c/a) +(b/(2a))²

[x+(b/(2a))][x +(b/(2a))] =-(c/a)(4a/4a)+(b/(2a))²

[x+(b/(2a))]² = (b² - 4ac)/4a²

√[x+(b/(2a))]² = ±√[(b² - 4ac)/4a²] | √()=√().

x+(b/(2a)) =± √(b² - 4ac)/2a

x+(b/(2a))-(b/(2a))=-(b/(2a))± √(b² - 4ac)/2a

x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a.

Harjoitus: Tee html ja php -ohjelma, joka ratkaisee toisen asteen yhtälön.

Pääset ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä napauttamalla tästä.

Lisää yhtälöiden ratkaisemistsesta läydät napauttamalla tästä

Reaalilukujen epäyhtälöt

16.5.2010

Yleistä

Lukujen järjestys

Kaikille reaaliluvuille a ja b vain yksi seuraavista on voimassa:

a < b
a = b
a > b

Toinen luvuista on joko pienempi, yhtäsuuri tai suurempi kuin toinen.

Siirrännäisyys (transitiivisuus)

Kaikille reaalilivuille a, b ja c:

Jos a > b ja b > c niin a> c
Jos a < b ja b < c niin a < c
Jos a > b ja b = c niin a > c
Jos a < b ja b = c niin a < c

Yhteenlasku ja vähennyslasku

Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:

Jos a < b, niin a + c < b + c ja a − c < b − c
Jos a > b, niin a + c > b + c ja a − c > b − c

ts. reaaliluvut muodostavat järjestetyn ryhmän.

Epäyhtälön molempiin puoliin saa lisätä saman luvun.

Epäyhtälän molemmista puolista saa vähentää saman luvun.

Kertolasku ja jakolasku

Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:

Jos c > 0 ja a < b, niin ac < bc
Jos c < 0 ja a < b, niin ac > bc

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan postiivisella luvulla, epäyhtälön suunta säilyy.

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön suunta kääntyy.

Yhteenlaskun käänteisalkio

Kaikille reaaliluvuille a ja b:

Jos a < b niin −a > −b
Jos a > b niin −a < −b

Jos epäyhtälön molempien puolten merkki vaihdetaan, niin epäyhtäläisyysmerkin suunta kääntyy.

Kertolaskun käänteisalkio

Kaikille reaaliluvuille a ja b jotka ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia:

Jos a < b niin 1/a > 1/b
Jos a > b niin 1/a < 1/b

Jos epäyhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkisiä, puolet saa vaihtaa käänteislukuihinsa.

Jos toinen luvuista a ja v on negatiivinen ja toinen positiivinen, niin:

Jos a < b niin 1/a < 1/b
Jos a > b niin 1/a > 1/b

Jos toinen luvuista a ja b on positiivinen ja toinen negatiivinen, epäyhtälön molemmat puolet saa vaihtaa käänteislukuihin, kun samalla kääntää epäyhtälön merkin.

Epäyhtälöiden ratkaisemisessa muistettavaa

Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiään kulkematta nolla kautta.
Funktio voi vaihtee merkkiään epäjatkuvuuskohdissa.

Epäjatkuvuuskohtia ovat nimittäjän nollakohdat.

Tangentin nollakohdat ovat funktion f(x) = cos x nollakohtia ja kotangentin nollakohdat ovat funktion f(x) = sin x nollakohtia.

Jos funktiossa on nimittäjiä, niiden nollakohdat eivät kelpaa yhtälöisden ratkaisuissa.

Ratkaisu aloitetaan siirtämällä ensin kaikki samalle puolelle, esimerkiksi f(x) > 0.
Sitten etsitään nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat, ratkaistaan f(x) = 0..
Sitten funktion arvoista tehdään merkkkikaavio.
Merkkikaaviosta luetaan funktion merkin vaihtelu perusjaksolla.
Merkkikaaviosta luetaan ratkaisujoukkoon kuuluvat välit ja pisteet. Välit voivat olla suljettuja, avoimia tai puoliavoimia.
Lopuksi ratkaisuun liitetään jaksot.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöt

16.5.2010

Esimerkki 1:

ax + b ≥ 0. |-b

ax ≥ -b. |:a

1) a > 0.

x ≥ -(b/a).

2) a = 0.

-b ≥ 0 on tosi kaikille x, jos b ≤ 0.

3) a < 0

Vaihdetaan merkin suunta, kun jaetaan negatiivisella luvulla.

x ≤ -(b/a).

Esimerkki 2:

-3(x - 5) ≤ ½x + 4. | x 2

-6(x - 5) ≤x + 8.

-6x + 30 ≤ x + 8.

-6 x - x ≤ 8 - 30.

-7 x ≤ -22 | :(-7), merkki kääntyy, kun : (-7)

x ≥ 22/7.

Esimerkki 3:

5 - 2x ≤ x ≤ 5 - x.

Tämä on ns. kaksoisepäyhtälö, joka on auku kirjoitettuna

5 - 2x ≤ x ja x ≤ 5 - x.

Molemmat epäyhtälöt ratkaistaan ensin erikseen.

5 - 2x ≤ x

-3 x ≤ 5

x ≥ 12/3
--------------
x ≤ 5 - x

2 x ≤ 5

x ≤ 2½,
--------------

Ratkaisujoukko on näiden kahden joukon leikkaus eli

12/3 ≤ x ≤ 2½.

Toisen asteen epäyhtälöt

16.5.2010

Esimerkki:

2 x² + 4 x - 4 ≤ 0.

Ensin ratkaistaan yhtälö

2 x² + 4 x - 4 = 0.

Ylempänä tässä oppikirjassa oleva php -ohjelma antaa yhtälön ratkaisuiksi

x = 0,7321 tai x = -2,7321.

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja osaa tavallinen matemaatikko järkeillä suoraan, mutta tehdään nyt merkkikaavio, jotta saadaan luotettava ratkaisumenetelmä.

+++++++-2,7321-------------0,7321+++++++

eli -2,7321 ≤ x ≤ 0,7321.

Lisää epäyhtälöiden ratkaisemisesta llöydät napauttamalla tästä.

Aksioomat

Matti Lehtisen teoksen "Geometrian alkeet" aksioomia kutsutaan tässä esityksessä perusoletuksiksi tai perusmääritelmiksi.

Aksioomat ovat peruskäsitteiden epäsuoria määritelmiä, ts. käsitteet määritellään epäsuorasti joukolla lauseita, joissa peruskäsitteet esiintyvät (tämä käsitys on selkeimmin esitetty Arthur Papin teoksessa Semantics and necessary truth: An inquiry into the foundations of analytic philosophy. New Haven: Yale University Press, 1958, s. 425).

Epäsuoria määritelmiä saatetaan korvata suorilla määritelmillä.

Mitä aksioomat eivät ole

7.3.2010

Aksioomat eivät ole, kuten tietosanakirjoissa väitetään, minkäänlaisia "itsestäänselvyyksiä". Itse asiassa matematiikan lauseet eivät ole ollenkaan tosia. Totuuskäsite pitäisi varata kokemustiedolle.

Tästä syystä ns. olemassaolo-oletuksilla ei ole matematiikassa yhtä suurta merkitystä kuin kokeellisessa tutkimuksessa.

Oleellista on, että käsitteistö on ristiriidaton. Liiat oletukset ovat tietysti kauneusvirheitä.

"Itsestäänselvyysajattelun" kannattajat ovat usein rakentaneet matematiikan aksioomajärjestelmät tehottomiksi ja vaikeiksi oppia. On esimerkiksi melko äskettäin luotu geometria, jossa ei ole kosinilausetta.

Aksioomat vai algoritmit?

31.5.2010

Rohkenin ottaa ostikon asian esille, koska Springer on julkaissut kirjan, jolla on otsikon nimi.

Mielestäni aksioomaattisen järjestelmän ja algoritmin raja on epäselvä jos ei tarpeeton.

Matematiikkaa aletaan opettaa alakoulussa yhteenlaskualgoritmilla. Sitten jatketaan vahennyslaskualgoritmilla, kertolaskualgoritmilla ja jakolaskualgoritmilla.

Myös irrationaalisia neliöjuuria lasketaan algoritmilla, vaikka algoritmi on tietosanakirjamääritelmänsä vastaisesti päättymätön.

Yhteenlaskua ei siis suoriteta Peanon aksioomilla.

Tietokoneet suorittavat yhteenlaskut kaksijärjestelmän luvuilla ja elektronisilla laitteilla puhtaan fysikalistisesti.

Yksijärjestelmän luvut

31.5.2010

Päin vastoin kuin usein ajatellaan, kaksijärjestelmä ei ole alin lukujärjestelmä. Alin lukujärjestelmä on yksijärjestelmä.

Lähinnä pohjimmaltaan kalleuden takia lopetettu kokeilu opettaa matematiikkaa joukko-opin avulla perustui yksijärjestelmään.

Yksijärjestelmässä luvut ovat jonkin merkin muodostamia joukkoja, esimerkiksi

1
11
111
1111
11111
........

Nolla on joukko, jossa ei ole yhtään merkkiä, ja negatiiviset luvut alkavat

-1
-11
-111
-1111
-11111.

Positiivisten lukujen yhteenlasku on ykkösjonojen yhteenliittämistä ja positiivisten lukujen vähennyslasku on ykkösjonojen lyhentämistä.

Kertolasku ja jakolasku onnistuvat aivan yhtä hyvin kuin kaksijärjestelmän luvuilla.

Rationaalilukujen kanssa ei ole mitään ongelmia:

11(1/11) on ilmiselvästi 2½.

Edes irrationaalilukujen kanssa ei synny ongelmaa. Käytännössä irrationaaliluvuista käytetään kaikissa muissakin lukujärjestelmissä niiden rationaalisia likiarvoja.

Ykkösjärjestelmän ilmaiseminen aksioomin on kuitenkin siinä suhteessa ongelmallista, että raja aksiooman ja algoritmin välillä häviää.

Tietokoneet laskevat helposti ykkösjärjestelmän luvuille tehtyjä algoritmeja. Sellaisen kirjoittaminen olisi ensimmäisen Java - kurssin harjoitustehtävä.

Järjestetyt ja järjestämättämät joukot

Järjestämättömiä joukkoja merkitään {A,B}, {A,B,C}, {A,B,C,D} ,...

Erityisesti {A,B} on pari, {A,B,C} on kolmikko, {A,B,C,D} on pistenelikko jne.

Järjestettyjä (ordered) joukkoja on tapana merkitä kulmasulkeilla

<A,B>, <A,B,C>,<A,B,C,D>,...

Eräiden merkkien selityksiä

Osa allaolevista merkeistä on esitelty jo aikaisemmin, mutta ne on otettu tähän mukaan kertauksen vuoksi.

∃ "on olemassa"
∃! "on olemassa yksi ja vain yksi"
∀ "kaikille"
∧ "ja"
⇒ "jos... niin... "
¬ "ei"
∈ "kuuluu"
∉ "ei kuulu"
≠ "on erisuuri kuin"
[ABC] "B on A:n ja C:n välissä"
A*B*C "B on A:n ja C:n välissä"
A-B-C "B on A:n ja C:n välissä"
B(ABC) "B on A:n ja C:n välissä"
∪ "joukkojen yhdiste"
∩ "joukkojen leikkaus"
∅ "tyhjä joukko" (empty set)
Δ "kolmio"
≡ "on yhtenevä"

Pisteiden (points) geometriaa

8.2.2010

Sana "geometria" on kreikkalaisperäinen ja tarkoittaa maanmittausta. Sanalle olisi syytä keksiä hyvä suomenkielinen nimi.

"Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille" (K. Merikoski, Valistus, Raittiuskansan kirjapaino, kahdeksas painos 1923) oli yritys juurruttaa nimitys "mittausoppi" suomen kieleen. Tässä nimityksessä ongelmana on sana "oppi".

Oikea nimitys olisi "mitalliset pistejoukot", mutta se olisi turhan pitkä.

Siitä huolimatta, että en pidä sanasta "tiede" ehdotan geometrian suomalaiseksi nimeksi sanaa mittaustiede.

Vastustan yritystä varata sana "mittaustiede" mittaustekniikalle. Englanninkielinen sana "metrology" eli mittausoppi riittäköön insinööreille.

Jos piste P on pisteiden A ja B välissä käytetään mm. seuraavia merkintöjä:

[APB] (H. M. S. Coexter)
A*P*C (Kurittu &...)
A-B-C
B(abc) (Tarski).

Järjestettyjä pistekaksikkoja (ordered pair) ovat esimerkiksi vektorit.

Yllä olevan kuvan mukaisia nuolia ei ole käytetty siitä syystä, että ylänuolella varustetut kirjainkaksikot pitäisi html:ssä esittää kuvina. Merkkien esittämistä kuvina voivat käyttää vain ne upporikkaat, joilla on yksityssihteeri tai ne professorit, joilla on eteenpäin pyrkiviä oppilaita.

Ymmärrettävä ja tehokas geometria

10.10.2010

Tietokoneiden aikakaudella on viisasta ottaa esimerkiksi geometrian aksioomiksi kosinilause ja Heronin kaava. Heronin kaava ja sen yleistykset ja yksinkertaistukset ovat Cayley-Mengerin determinanteilla esitettävissä.

Tehokkailla aksioomilla geometria lyhenee yhtä paljon kuin korkean tason abstraktioilla menettämättä kuitenkaan missään vaiheessa kansantajuisuuttaan.

Onko määrittelemättömiä käsitteitä

9.4.2010

Teoksessa Projective Geometry by Oswald Veblen, professor of mathematics, Princeton university and John Wesley Young professor of mathematics, Dartmouth college vuodelta 1910 väitetään, että määrittelemättömät käsitteet ovat vättämättömiä kehäpäätelmien välttämiseksi.

Samassa kirjassa sanotaan, että on aloitettava yksinkertaisilla oletuksilla. Tässä kirjassa on pikemmin noudatettu Veblenin aikalaisen George David Birkhoffin (1884-1944) tapaa olettaa melko alussa mutkikkaitakin kaavoja.

Birkhoffin aksioomat löydät napauttamalla tästä.

Määrittelemättömän käsitteen käsite on sisäisesti ristiriitainen, eikä se siitä syystä ole käsite ollenkaan.

Matematiikassa syntyi tapa muuttaa käsitteiden merkityksiä poistamalla käsitteen määritelmästä rajoituksia. Saatiin hyödyllistä matematiikkaa mutta myös mutkaisia suoria. Mutkaiset suorat olivat niin haitallinen meemi, että ne tekivät eräästä juutalaisesta "kaikkien aikojen suurimman neron".

Radu Miron ja Dan Brânzei sanovat kirjassaan Background of Arithmetic and Geometry, World Scientific, 1995, ISBN 981-02-2210-6, sivulla 129, että kulman suuruuden ja janan pituuden sitominen toisiinsa olisi opetuksen kannalta helpointa suorittaa tekemällä kosinilauseesta aksiooma, mutta sellainen pikemmin hävittäisi geometrian ja tekisi siitä trigonometrian liitännäisen.

Mitä pahaa on trigonometriassa? Kun opiskelin yliopistossa, trigonometria piti osata ulkoa, mutta kun tällainen hulluus lienee poistunut, en ole nähnyt estettä sille, että tämä kirja on kirjoitettu juuri niin hirveällä tavalla kuin minkä Radu Miron ja Dan Brânzei vuonna 1995 jyrkästi kielsivät.

Montako aksioomajärjestelmää geometrialle on olemassa?

8.4.2010

Pidän todennäköisena, että aksioomajärjestelmiä on äärellinen määrä.

Radu Miron ja Dan Brânzei sanovat kirjassaan Background of Arithmetic and Geometry, World Scientific, 1995, ISBN 981-02-2210, siculla 122, että Hilbertin jälkeen aksioomajärjestelmiä on ilmestynyt yli sata (v. 1995).

Kirjoittajien mukaan aksioomajärjestelmät vaihtelevat niiden tekijöiden tavoitteista riippuen. Jotkut haluavat vähentää aksioomia tehdäkseen syvempää metateoreettista tutkimusta. Jotkut tekevät aksioomia saadakseen aikaan useita eriytyneitä geometrian lajeja. Kolmas ryhmä, johon Birkhoff kuuluu, pyrkii tekemään geometriasta helposti ymmärrettävää.

Jos halusit oppia jotain tästä kohdasta, paina mieleesi, että erilaisia aksioomia on niin paljon, etteivät ne kaikki voi olla mitään itsestäänselvyyksiä.

Eräissä yliopistoissa koepaperin takana on aksioomat, ja tämä on viisasta, eihän sellaisia ole järkevää ryhtyä opettelemaan ulkoa.

Suomennos: Metateoria käsittelee jotain muuta teoriaa. Teoria on inhimillinen käsitys jostain asiasta.

Geometrian aksioomat

Hilbertin aksioomat

8.4.2010

Hilbertin aksioomat on 20 (alun perin 21:n) oletuksen sarja, jonka matemaatikko David Hilbert julkisti vuonna 1899.

Alla Suomessa laajalle levinnyt versio ilman Hilbertin (ja Rolf Nevanlinnan) ryhmittelyä. Alla olevat aksioomat käsittelevät tasogeometriaa. Tässä kirjassa käsitellään myös avaruusgeometriaa.

(H1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora l, joka kulkee sekä P:n että Q:n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on pisteet C, D ja E siten, että C*A*B, A*D*B ja A*B*E.

(H4) Jos A*B*C, niin A, B ja C ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja C*B*A.

(H5) Jos A ja B ovat eri pisteitä, suoralla AB on pisteet C, D ja E siten, että C*A*B, A*D*B ja A*B*E.

(H6) Jos A, B ja C ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa: A*B*C, A*C*B tai B*A*C.

(H7) Olkoot l suora sekä A, B ja C pisteitä, joiden kautta suora l ei kulje. Tällöin on voimassa:

(i) jos ABl ja BCl, niin ACl ja
(ii) jos AlB ja BlC , niin ACl.

(H8) Jos A ja B ovat eri pisteitä ja PQ on mielivaltainen säde (puolisuora), on olemassa yksi ja vain yksi piste R∈PQ siten, että AB≅PR.

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos A*B*C, A'*B'*C*, AB≅A'B' ja BC≅B'C', niin AC≅A'B'.

(H11) Olkoon ∠ABC kulma, DE puolisuora ja P piste, joka ei sisälly suoraan DE. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora DF siten, että FPDE ja ∠ABC≅∠FDE.

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot ΔABC ja ΔDEF kolmioita siten, että ∠A≅∠D, AB≅DE ja AC≅DF. Tällöin ΔABD≅ΔDEF.

(AA) (Arkhimedeen aksiooma) Olkoot AB ja CD janoja. Tälloin on olemassa n ∈ N ja piste E siten, että C ∗ D ∗ E ja CE ∼ n · AB.

(DA) (Dedekindin aksiooma) Olkoon suora, l = {P P sisältyy suoraan l} sen kaikkien pisteiden joukko ja D₁ ja D₂ ⊂ l siten, että D₁ ja D₂ toteuttavat Dedekindin ehdot. Tällöin on olemassa tasan yksi piste P ∈ l siten, että kaikille Q, R ∈ l pätee Q ∗ P ∗ R, jos ja vain jos Q ∈ D₁ ja R ∈ D₂ tai Q ∈ D₂ ja R ∈ D1.

Toinen seuraavista:

(PAR) (Euklidinen aksiooma) Jos l on suora ja P piste, joka ei sisälly suoraan A, niin P :n kautta kulkee korkeintaan yksi l:n kanssa yhdensuuntainen suora.

(HYP) (Hyperbolinen aksiooma) On olemassa suora ja piste P suoran ulkopuolella siten, ettaä P :n kautta kulkee ainakin kaksi eri l:n suuntaista suoraa.

Selityksiä:

ABl tarkoittaa, että pisteet A ja B ovat samalla puolella suoraa ja merkintä AlB tarkoittaa, että pisteet A ja B ovat eri puolilla suoraa. Aksiooma H7 on hyödyllinen perusteltaessa Paschin päätelmää ja Hilbertin puomipäätelmää joten kumpaakaan niistä ei tarvitse asettaa perusoletukseksi (aksioomaksi).

Merkki ≅ tarkoittaa yhtenevyyttä.

Oswald Veblenin aksioomat

20.4.2010

Aksioomien muodollistamisella tarkoitetaan luonnollisen kielen poistamista ja korvaamista erilaisilla merkeillä (symboleilla).

Esimerkkinä tällaisesta muodollistamisesta (formalisoinnista) esitämme joukon Veblenin aksioomia (sanalliset aksioomat ensin).

Oswald Veblenin väitöskirja (1904) "A System of Aksioomas for Geometry", Trans. Amer. Math. Soc., 5, 343-384 on toistaiseksi maksullinen, mutta julkaisija on luvannut lähitulevaisuudessa artikkelin ilmaiseksi Internetiin.

Esitän seuraavassa joukon Veblenin aksioomia siinä muodossa, jossa H. M. S. Coexter esittää ne teoksessaan Introduction to Geometry, second edition, John Wiley ans Sons Inc., 1969 ss. 177-187.

Olen muuttanut merkinnät 20.4.2010 alempana olevien aksioomajärjestelmien mukaisiksi.

A*B*C tarkoittaa, että piste B on pisteiden A ja B välissä.

On olemassa vähintään kaksi pistettä. ∃(A)∃(B){(A∈AB) ∧ (B∈AB)}.
Jos A ja B ovat kaksi pistettä, on olemassa ainakin yksi piste C, joka on niiden välissä.{(A∈AB) ∧ (B∈AB)} ⇒∃(C)A*B*C.
Jos B on A:n ja C:n välissä, A ja C ovat eri pisteitä. A*B*C ⇒ (A≠ C)
Jos B on A:n ja C:n välissä, niin B on C:n ja A:n välissä, mutta C ei ole B:n ja A:n välissä. A*B*C ⇒ {C*B*A ∧ ¬B*C*A]}.
Jos C ja D ovat eri pisteitä suoralla AB, silloin A on suoralla CD. {(C≠D)∧(C∈AB)∧(D∈AB)}⇒(A∈CD).
Jos AB on suora, on olemassa piste C, joka ei kuulu tähän suoraan. AB ⇒∃(C)(C∉AB).
Jos ABC on kolmio, C on B:n ja D:n välissä ja E on C:n ja A:n välissä, suoralla DE on piste F, joka on A:n ja B:n välissä. {ΔABC ∧ B*C*D ∧ C*E*A} ⇒ ∃(F){(F∈DE) ∧ A*F*B}.
Kaikki pisteet ovat samassa tasossa. ∀(P)(P∈ABC).
Jos ABC on taso, on olemassa piste D, joka ei kuulu tähän tasoon. ABC ⇒ ∃(D)(D∉ABC).
Kaikki pisteet ovat samassa avaruudessa. ∀(P)(P∈ABCD).
Jos ABCD on avaruus, on olemassa piste E, joka ei ole tässä avaruudessa. ABCD ⇒ ∃(E)(E∉ABCD).
Kaikille suoran pisteiden osituksille kahteen eityhjään luokkaan siten, että mikään toisen luokan piste ei ole toisen luokan pisteiden välissä, on olemassa ensimmäisen luokan piste joka sijaitsee jokaisen muun ensimmäisestä luokasta otetun pisteen ja minkä tahansa toisesta luokasta otetun pisteen välissä. {(CD=OA∪OB)∧(OA∩OB=∅)∧(P∈OA)}⇒
{(∀(Q)∀(R){(Q∈OA)∧(R∈OB)}
⇒ R*P*Q}}.
Kaikille pisteille A ja kaikille suorille l pisteen A ja suoran l määräämässä tasossa, missä l ei kulje A:n kautta, on olemassa enintään yksi sellainen suora m, joka kulkee A:n kautta eikä leikkaa suoraa l. Seuraava muoto on hieman vahvennettu. Muotoile harjoituksena heikompi muoto. ∀(A)∀(l)∃!(m)(A∉l ∧ A∈m ∧ (l ∩ m = ∅)).
Jos A, A', B, B', C C' ja O ovat seitsemän eri pistettä siten, ja jos AB on yhdensuuntainen A'B':n kanssa ja BC on yhdensuuntainen B'C':n kanssa,niin CA on yhdensuuntainen C'A':n kanssa. (AB || A'B' ∧ BC || C'C') ⇒ (CA|| C'A').

Alfred Tarskin aksioomat

15.4.2010

Eilen Internetiin laittamassani Internetistä kopioidussa versiossa oli painovirheitä.

Olen kirjoittanut tänään tämän osion uudestaan varustaen sen kuvilla, jotka toivottavasti ovat karsineet painovirheet.

Alfred Tarski oli se filosofi, joka väitti, että väite "sataa" on tosi, jos sataa.

Valitettavasti filosofit eivät ole vieläkään päässeet yksimielisyyteen siitä, onko tämä Tarskin väite tosi.

Tarskin ja Givantin artikkelissa käytetään pisteiden merkkeinä pieniä akirjaimia a, b, c, jne.

Tämä on mahdollista siitä syystä, ettei aksioomissa käytetä ollenkaan käsitettä "suora". Kaikki perusoliot ovat pisteitä. Alla olevassa esityksessä kirjaimet a, b, c jne. on muutettu kirjaimiksi A, B, C jne, koska suomalaiset ovat tottuneet merkitsemään pisteitä isoilla kirjaimilla.

Eiloogisia merkkejä Tarskilla on vain kaksi, ≡ eli pisteiden välimatka ja B(a,bc), mitä tarkoittaa, että b on pisteiden a ja c välissä. Seuraavassa olen muuttanut merkinnän B(abc) merkinnäksi A*B*C, koska Suomessa tähtimerkintä on suosiossa.

Alfred Tarskin aksioomat tämän oppikirjan kielelle käännettynä ovat seuraavat:

Yhtenevyysaksioomat

1. A:n ja B:n välimatka on sama kuin B:n ja A:n välimatka:

AB≡BA.

2. Jos AB on yhtä pitkä kuin CD ja AB on yhtä pitkä kuin EF, niin CD on yhtäpitkä kuin EF:

(AB≡CD∧AB≡EF)⇒CD≡EF.

3. Jos AB on sama kuin CC, A ja B ovat sama piste:

AB≡CC ⇒ A=B.

Janan jatkaminen toisella janalla

4. Janaa QA voidaan jatkaa janalla BC:

∃X (Q*A*X ∧ AX=BC).

Viisi janaa:

5. Jos neljä janaa ovat alla olevissa kuvioissa samat, viidennet janat DC ja C'D' ovat samat.

(A≠B ∧ A*B*C ∧ A'*B*'C' ∧ AB≡A'B'∧
BC≡B'C'∧ AD≡A'D' ∧ BD≡B'D') ⇒ CD≡C'D'.

5'. Muunnos edellisestä:

A≠ B∧ B≠ C∧ A*B*C ∧ A'*B*'C' ∧ AB≡A'B'∧
BC≡B'C'∧ AD≡A'D' ∧ BD≡B'D') ⇒ CD≡C'D'.

Saman pisteen välissä

6. Jos B on kahden A -nimisen pisteen välissä, niin A = B.

A*B*A⇒A=B.

Ensimmäinen muoto Paschin aksioomaa

7a. (A*P*C ∧ B*Q*C)⇒∃X (P*X*B ∧ Q*X*A).

Toinen muoto Paschin aksioomaa

7b. (A*P*C ∧ Q*C*B)⇒∃X (A*X*Q ∧ B*P*X).

Edellisen muunnos

7b'. (A*P*C ∧ Q*C*B)⇒∃X (A*X*Q ∧ X* P*B).

Heikko muoto Paschin aksioomaa

7c. (A*T*D ∧ B*D*C)⇒∃X ∃Y (A*X*B ∧ A*Y*C ∧ Y*T*X).

Alempi 1-ulotteinen aksiooma

8.a On olemassa kaksi eri pistettä.

∃A ∃B (A≠B)

Alempi 2-ulotteinen aksiooma

8b. On olemassa kolme pistettä siten, että mikään niistä ei ole muiden välissä.

∃A ∃B ∃C [¬A*B*C ∧¬B*C*A ∧¬C*A*B]

Alempi n-ulotteinen aksiooma

8n. Edellinen aksiooma muotoiltuna niin, että muuttujia on n kappaletta. Tämä muotoilu jätetään harjoitustehtäväksi, koska paperille on helpompi piirtää tarpeellisia merkkejä.

Alempi nollaulotteinen aksiooma

9.0 Nollassa ulottuvuudessa kaikki psiteet ovat samoja eli on olemassa vain yksi piste.

A = B.

Ylempi 1-ulotteinen aksiooma

9.1. Kolme pistettä on aina samalla suoralla.

A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B

Ylempi 2-ulotteinen aksiooma

9.2. Ylempi 2-ulotteinen aksiooma sanoo, että jos kolme A, B ja C ovat yhtä etäällä pisteistä P₁ ja P₁, niin A, B ja C ovat samalla suoralla.

(AP₁≡AP₂ ∧ BP₁≡BP₂ ∧ CP₁≡CP₂ ∧ P₁≠P₂)
⇒(A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B.

Ylempi n-ulotteinen askiooma

9.n. Edellinen aksiooma muotoiltuna niin, että muuttujia on n kappaletta. Tämä muotoilu jätetään harjoitustehtäväksi, koska paperille on helpompi piirtää tarpeellisia merkkejä.

Vaihtoehtoinen muoto ylemmälle 2-ulotteiselle aksioomalle

9.2.b. Tämän vaihtoehdon etuna on, että se on muotoiltu ilman käsitettä välimatka.

∃Y{([X*Y*A ∨ Y*A*X ∨ A*X*Y] ∧ B*Y*C)
∨([X*Y*B ∨ Y*B*X ∨ B*X*Y] ∧ C*Y*A)
∨([X*Y*C ∨ Y*C*X ∨ C*X*Y] ∧ A*Y*B)

Ensimmäinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.1.a Minkä tahaqnsa kulman BAC sisäpisteen T kautta on olemassa suora XY, joka leikkaa kulman molempia kylkiö pisteissä X ja Y.

A*D*T ∧ B*D*C ∧ A≠D)⇒
∃X ∃Y (A*B*X ∧ A*C*Y ∧ X*T*Y).

Ensimmäisen yhdensuuntaisuusaksiooman muodon muunnos

10.1.b Tässä on välissäolo käännetty edelliseen verrattuna.

(A*D*T ∧ B*D*C ∧ A≠D)⇒
∃X ∃Y (A*B*X ∧ A*C*Y ∧ Y*T*X).

Toinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.2. Toinen muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa sanoo, että kaikille ei-degeneroituneille kolmioille ABC on olemassa piste X, joka on yhtä kaukana kolmion kärjistä.

A*B*C ∨ B*C*A ∨ C*A*B ∨ ∃X [AX≡BX ∧ AX≡CX].

Kolmas muoto yhdensuuntaisuusaksioomaa

10.3. Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdistysjana on kolmannen suuntainen ja puolet siitä.

Tämä on yhtäpitävä sen kanssa, että kolmion kulmien summa on kaksi suoraa kulmaa (oikokulma).

[A*B*F ∧ AB≡ BF ∧ A*D*E ∧ AD≡DE ∧ B*D*C ∧ BD≡DC] ⇒ BC≡FE.

Jatkuvuusaksiooma

11. a. Jos pistejoukot X ja U ovat sellaiset, että kaikki X:n alkiot edeltävät kaikkia Y:n alkioita jonkin pisteen A suhteen, on olemassa piste B, joka erottaa niitä.

∃A∀U∀V[U∈X∧V∈Y⇒A*U*V]⇒
∃B∀U∀V[U∈X∧V∈Y ⇒ U*B*V] .

Jatkuvuusaksioomakaavio

11.b. Alla olevassa kaaviossa α ja β ovat mitä tahansa ensimmäisen kertaluvun kaavoja, joista α ei sisällä vapaina muuttujina A:ta B:tä ja V:tä ja β ei sisällä vapaina muuttujina A:ta, B:tä ja U:ta. Muuttujat ovat vapaita, jos niitä ei ole sidottu merkeillä ∃ ja ∀.

∃A∀U∀V [α ∧ β ⇒ A*U*V] ⇒
∃B∀U∀V[α∧β⇒U*B*V].

Itsensä välissä oleminen

12. Piste B on itsensä ja A:n välissä.

A*B*B.

13. Jos A:n ja B:n välimatka on nolla, B on A:n ja A:n välissä.

A=B ⇒ A*B*A.

Välissäolon symmetrisyys

14. A*B*C ⇒ C*B*A.

Välissäolon sisäinen siirrännäisyys (transitiivisuus)

15. Jos B on A:n ja D:n välissä ja C on B:n ja D:n välissä, niin B on A:n ja C:n välissä.

A*B*D ∧ B*C*D ⇒ A*B*C

Välissäolon ulkoinen siirrännäisyys

16. A*B*C ∧ B*C*D ∧ A≠ B ⇒ A*B*D

Välissäolon sisäinen liitännäisyys

17. A*B*D ∧ A*C*D ⇒ [A*B*C ∨ A*C*B]

Välissäolon ulkoinen liitännäisyys

18. A*B*C ∧ A*B*D ∧ A≠ B ⇒ [A*C*D ∨ A*D*C]

19. A=B ⇒ AC≡BC.

Kolmion luomisen yksikäsitteisyys

20. Samalla puolella janaa AB ei voi olla kahta eri pistettä C ja C' siten, että kolmiot ovat yhtenevät.

[AC≡AC' ∧ BC≡BC' ∧ A*D*B ∧ AD'B ∧ C*D*X ∧ C'*D'*X ∧ D≠X ∧ D'≠X] ⇒ C=C'.

Kolmion luomisen yksikäsitteisyys, muunnos

20'. Tämä muunnos väittää, että C ja C' ovat samalla puolella janaa AB.

Yhtenevän kolmion olemassaolo

21. Kaikille kolmioille A'B'C' ja kaikille janoille AB ≡ A'B' on olemassa piste C tietyllä puolella janaa AB siten, että kolmiot ABC ja A'B'C ovat yhtenevät.

AB≡A'B' ⇒ ∃C∃X (AC≡A'C' ∧ BC≡B'C' ∧ C*X*P ∧
[A*B*X ∨ B*X*A ∨ X*A*B]

Välissäolon tiheysaksiooma

22. X≠ Z ⇒ ∃Y[X≠ Y ∧ Z≠Y ∧ X*Y*Z.

(A≠C ∧ AC≡AC' ' ∧ BC≡BC' ∧ B*D*C') ∧
[A*D*C ∨ A*C*D]) ⇒ C=C'.

Yhtenevät janat

23. [X*Y*Z ∧ X*'Y*'Z' ∧ XZ ≡X'Z' ∧ YZ≡Y'Z'] ⇒ XZ≡X'Z'.

24. [X*Y*Z ∧ X*'Y*'Z' ∧ XZ ≡X'Z' ∧ YZ≡Y'Z'] ⇒ XY≡X'Y'.

Päätelmiä

AB≡CC ⇔ A=B ⇔ A*B*C.

A*A*B.

A*B*C ⇒ C*B*A.

(A*B*F ∧ B*C*F) ⇒ A*B*C.

(A*B*F ∧ A*C*F) ⇒ (A*B*C ∨ A*C*B).

≤ voidaan määritellä seuraavasti:

AB≤CD ⇔ ∀E(CE≡DE ⇒ ∃F(AF≡BF ∧ BF≡DE)).

Välissäolo voidaan määritellä seuraavasti:

A*B*C ⇔ ∀D(DA≤AB ∧ DC≤CB ⇒ D=B.

Mistä saat artikkelin

Artikkeli on vapaasti imuroitavissa ps - muodossa. Pääset lukemaan sitä napauttamalla tästä.

Kalifornian osavaltion aksioomat

13.5.2010

Kalifornian osavaltiossa on laadittu osavaltion käyttöön geometrian aksioomat:

SMSG -aksioomat 1960 -luvulla. Nämä aksioomat löydät napauttamalla tästä.

Muita USA:n aksioomia

10.10.2010

UCSMP -aksioomat vuonna 1983 Näiden aksioomien pohjana ovat olleet sekä George Birkhoffin että Saunders McLanen aksioomat. Chicagssa on hyvin toimiva julkinen liikenne mutta maksulliset aksioomat.

Gerard A. Veneman aksioomat 2006

13.5.2010

Gerard A. Veneman ajatukset katsoin siinä määrin tärkeiksi, että tilasin Amazon.co.uk:lta käytetyn kappaleen oppikirjasta The Foundations of geometry, Pearson Prentice Hall 2006.

Veneman aksioomat yrittävät luovia professorisekoilijain ja opettajasekoilijain välissä.

Suoraan määrittelemättömät käsitteet

Perusolioita ovat piste, suora, välimatka, puolitaso, kulman mitta ja pinta-ala.

Puolueettoman geometrian aksioomat

Olemassaolo: Kaikkien pisteiden joukko on eityhjä joukko jossa on vähintään kaksi pistettö. Joukosta käytetään nimitystä P.

Osumisaksiooma: Jokainen suora on pistejoukko. Kahta eri pistettä A ja B vastaa yksi ja vain yksi suora l = AB siten, että A, B ∈ l.

Viivainaksiooma: Jokaiselle pisteparille P ja Q on olemassa luku PQ. jota kutsutaan P:n ja Q:n väliseksi etäisyydeksi. Jokaista suoraa l vastaa ykjsi yhdelle kuvaus f suoran pisteiden joukolta r reaalilukujen joukolle R siten, että jos x = f(P) ja y = f(Q) niin

PQ = |x-y|.

Tason erotteluaksiooma: Jokaiselle tason suoralle l pisteet, jotka eivät ole suoralla l muodostavat kaksi eityhjää joukkoa H₁ ja H₂, joita kutsutaan puolitasoikai, joita l rajoittaa siten, että jos P∈H₁ ja Q∈H₂, PQ leikkaa l:ää.

Astelevyaksiooma: Jokaista kulmaa BAC vastaa reaaliluku (BAC), jota kutsutaan kulman ∠BAC mitaksi ja jolla on ominaisuudet

0 ≤μ(ABC) ≤ π;
(μ(ABC) = 0) ⇒ AB = BC.

Kulman muodostamisaksiooma:

∀r∈R: 0<r<π ja kaikille puolitasoille H joita AB rajoittaa, on olemassa säde AE siten, että E∈H ja μ(∠BAE) = r.

Kulmien yhteenlaskuaksiooma: Jos säde AD on kahden säteen AB ja AC välissä, niin

μ(∠BAD) + μ(∠DAC) = μ(∠BAC).

SAS (sivu-kulma-sivu) -aksiooma: Jos kaksi kolmiota ΔABC ja ΔDEF ovat sellaiset, että AB = DE, BC = EF ja ∠ABX = ∠DEF, niin ΔABC on yhtenevä ΔDEF:n kanssa.

Yhdensuuntaisuus

Euklidinen: Jokaiselle suoralle l ja jokaiselle suoran ulkopuolella olevalle pisteelle P on olemassa tasan yksi suora m siten, että m || l.

Elliptinen: Kaikille suorille l ja kaikille suoran ulkopuolella oleville pisteille P ei ole yhtään sellaista suoraa m, että m || l.

Hyperbolinen: Jokaiselle suoralle l ja jokaiselle suoran ulkopuolella olevalle pisteelle on vähintään kaksi sellaista suoraa m ja n, että P on molemmilla suorilla m ja n ja että m || l ja n || l.

Pinta-ala-aksioomat

Puolueeton pinta-ala-aksiooma: Jokaiseen monikulmioalueeseen R liittyy einegatiivinen reaaliluku α(R), jota kutsutaan monikulmion alaksi ja jolla on ominaisuudet:

(Yhtenevyys) Jos kaksi kolmiota ovat yhtenevät, niiden pinta-alat ovat samat.
(Yhteenlaskettavuus) Jos R = R₁ U R₂ ja R₁ ja R₂:n leikkaus on tyhjä, niin α(R₁) + α(R₂) = α(R).

Euklidinen pinta-ala-aksiooma: Jos R on suorakulmio, α(R) = pituus(R) x korkeus(R).

Peilausaksiooma

Jokaiselle suoralle l on olemassa muunnos ρ_l:P → P siten, että

Jos P∈l, niin ρ_l(P) = P.
Jos P∉l niin ρ_l(P) sijaitsee suoran toisella puolella.
ρ_l säilyttää välimatkan, suorat ja kulmat.

Aksiomaattisille järjestelmille esitettyjä vaatimuksia

Ristiriidattomuus, täydellisyys ja ratkaistavuus

Tarski ja Givant ovat osoittaneet, että alkeisgeometria on

Ristiriidaton
Täydellinen: Kaikki alkeisgeometrian lauseet voidaan päätellä aksioomista.
Ratkeava: On olemassa menetelmä, jolla voidaan päätellä, onko jokin päätelmä johdettavaissa aksioomista.

Tarski, Alfred; Givant, Steven (1999), "Tarski's system of geometry", The Bulletin of Symbolic Logic 5 (2): 175–214, MR1791303, ISSN 1079-8986

Harjoitus: Perustele Tarskin aksioomajärjestelmällä viisi alkeisgeometrian päätelmää.

Riipumattomuus

13.5.2010

Givant ei ole tarkastellut neljättä aksioomajärjestelmiltä usein vaadittua ominaisuutta eli riippumattomuutta.

Määritelmä: Aksioomajärjestelmä on riippumaton, jos mitään aksioomaa ei voida päätellä muista aksioomista.

Riippumattomuuden tekee mielenkiintoiseksi se, että maailman matematiikanerot pohtivat kaksituhatta vuotta sitä, onko euklidisen geometrian yhdensuuntaisuusaksiooma riippumaton muista euklidisen geometrian aksioomista.

Epäeuklidisen geometrian synty ratkaisi tämän ongelman: yhdensuuntaisuusaksiooma (tai sitä vastaava muu aksiooma) on riippumaton muista euklidisen geometrian aksioomista.

Mainittakoon, että epäeuklidisen geometrian keksimisen jälkeenkin on esiintynyt liikoja aksioomia tai epätietoisuutta siitä, jokin aksiooma riippumaton muista saman järjestelmän aksioomista.

Tämän kirjoittajan eläessä on selvinnyt, että ns. valinta-aksiooma (jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta) on muista joukko-opin aksioomista riippumaton.

Presburgerin aritmetiikka

10.6.2010

Presburgerin aritmetiikka (1929), joka sisältää pelkästään yhteenlaskun, on

ristiriidaton,
täydellinen ja
ratkeava

Presburgerin aritmetiikka sisältää seuraavat aksioomat:

¬(0 = x + 1)
x + 1 = y + 1 ⇒ x = y
x + 0 = x
(x + y) + 1 = x + (y + 1)
Olkoon P(x) ensimmäisen kertaluvun kaava jossa x on vapaa muuttuja (ja mahdollisesti muita vapaita muuttujia). Tällöin seuraava kaava on aksiooma:

(P(0) ∧ ∀x(P(x) ⇒ P(x + 1))) ⇒ P(y).

Ongelmat alkavat Peanon aritmetiikasta, joka sisältää kertolaskun. Useimmille ihmisille matematiikan ongelmat taitavat alkaa kertolaskusta.

Presburgerin aritmetiikkaa lienee suomen kielellä esitellyt vain Heikki Partanen omakustanteessaan Presburgerin ja Gödelin aritmetiikat, 2001, ISBN 952-91-3464-9. Heikki Partasella ei ole mitään hätää, koska hän peri varallisuutta vuorineuvosisältään, mutta hänen elämäntarinansa on surullinen kertomus ns. tieteen sisäisestä tilasta.

Presburgerin aritmetiikka ja tietokoneet

10.6.2010

1960 -luvun kaupalliset tietokoneet eivät tunteneet kertolaskua eli ne toimivat Presburgerin aritmetiikalla.

Sen ajan assembler -kielisessä ohjelmoinnissa kertolaskut suoritettiin yhteenlaskuina käyttäen aliohjelmia, joita sanottiin makroiksi.

Kuitenkin näille koneille oli olemassa FORTRAN -kääntäjä, jolla normaali matematiikka toimi hyvin. Tilasin työpaikkani ensimmäisen FORTRAN -kääntäjän Yhdysvalloista ja myös käytin sitä, koska olen ollut aina laiska laskemaan.

Jo siihen aikaan yliopiston tietokoneessa oli kerto- ja jakolasku, ja nykyään kaikissa tietokoneissa on sisäänrakennettuina kerto- ja jakolasku.

Kalkyylit

UI - kalkyyli

Yllä on erästä aksioomajärjestelmää kuvaava puu. Tällaisia voi luoda Inkscapella.

Walter R. Fuchs (Walter R. Fuchs: Matematiikka, Kirjayhtymä,1968) on havainnollistanut merkkipeliä eli kalkyyliä seuraavalla esimerkillä:

Peruskuvio (aksiooma)
Klemmari
U

Päättelysääntö 1:
Klemmarin molemmin puoli saa asettaa tulitikun, esimerkiksi
IUI
on johdettavissa.

Päättelysääntö 2:
Kuvion (lauseen) perään saa asettaa klemmarin, esimerkiksi
UU
on johdettavissa.

Ristiriidattomuus tarkoittaa merkkipeleissä sitä, että kaikkia mahdollisia kuvioita ei voida johtaa annetuilla päättelysäännöillä peruskuvioista tai tyhjästä kuviosta.

Esimerkkimerkkipelissämme kuviota
IU
ei voida johtaa peruskuviosta annetuilla kahdella päättelysäännöllä, joten merkkipeli on ristiriidaton.

Puuna merkkipelimme alkaa seuraavasti:

Aksiooma:

Päätelmiä:

IUI

IIUII

IUIU

IUUI

UUU

IIIUIII

IIUIIU

IIUIUI

IUIUU

IIUUII

IUUIU

IUUUI

UUUU

Jos tikkujen ja klemmarien sijaan käytetään ykkösiä ja nollia, voidaan konstruoida erilaisia lukujoukkoja (kokeile!).

Yllä olevalle on sukua MIU -kalkyyli, joka on esitetty Douglas R. Hofstadlerin teoksessa Gödel, Escher. Bach, an Eternal Golden Braid, Basic Books, ISBN 0-465-02656-7.

Harjoitus: Olkoon ainia aksiooma 1 ja olkoon esnimmäinen sääntö että kuvion perään saa lisätä 0 ja olkoon toinen sääntö, että kuvion perään saa lisätä 1. Tee tästäkalkyylista puu.

Millainen kalkyyli tulisi alkeisgeometriasta

Surkastumien kielto

22.4.2010

Alkeisgeometrian vaikeudet kalkyylinä ilmenevät esimerkiksi Tarskin aksioomissa. Mielestäni ongelmana ovat surkastuneet oliot kuten yhden pisteen jana, kahden pisteen kolmio ja kolmen pisteen nelitahokas. Yritän seuraavassa muotoilla kalkyylin niin, ettei surkastumia sallita.

Surkastumien kielto tarkoitta sitä, etteivät merkinnät PP, PPP, PPPP ole sallittuja.

Aksioomakaaviot

22.4.2010

Alkeisgeometriaan pitänee laittaa aksioomien sijasta niin sanottuja aksioomakaavioita.

Edellä on Tarskin aksioomien yhteydessä esitetty yksi aksioomakaavio, jossa α:n ja β:n paikalle saa sijoittaa mitä tahansa vapaista muuttujista koostuvia ilmauksia.

Pisteiden A, B, C jne sijasta käytän seuraavassa muuttujia X, Y, Z jne, joiden tilalle voi sijoittaa.

Ensimmäinen kaavio olisi nollaulotteisen geometrian kaavio:

X

X:n tilalle saa sijoittaa minkä tahansa pisteen.

Tässä tapauksessa ei tarvita surkastumisen estoa.

Seuraava kaavio olisi yksiulotteisen geometrian kaavio:

XY

X:n ja Y:n tilalle saa sijoittaa pisteen.

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä.

Seuraava kaavio olisi kaksiulotteisen geometrian kaavio:

XYZ

X:n, Y:n ja Z:n tilalle saa sijoittaa pisteet.

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, niin Z:n tilalle ei saa sijoittaa kumpaakaan pisteistä P ja Q.

Seuraava kaavio olisi kolmiulotteisen geometrian kaavio:

XYZU

Olkoon A kaikkien käytettyjen pisteiden nimien joukko. Jos X:n tilalle sijoitetaan P niin Y:n tilalle ei saa sijoittaa P:tä. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, niin Z:n tilalle ei saa sijoittaa kumpaakaan psiteistä P ja Q. Jos X:n tilalle sijoitetaan P ja Y:n tilalle sijoitetaan Q, ja Z:n tilalle R, niin niin U:n tilalle ei saa sijoittaa mitään pisteistä P, Q ja R.

Samuuden merkkinä käytetään merkkiä ≡.

Samuuden siirrännäisyysaksiooma:

Δ₁ ≡ Δ₂ ∧ Δ₂ ≡Δ₃ ⇒ Δ₁≡Δ₃

Kahden pisteen vaihdannaisuusaksiooma:

XY ≡ YX

Päätelmiä:

XYZ ≡ XZY

XYZ ≡ ZXY

XYZ ≡ ZYX

XYZ ≡ YZX

XYZ ≡ ZYX

Koska 3! = 1.2.3 = 6, yllä on kaikki kolmen kirjaimen yhdeistelmät.

Vastaavasti neljän kirjaimen yhdistelmiä saadaan 1.2.3.4 = 24.

Harjoitustehtävä: Luetteloi kaikki mahdolliset neljän kirjaimen yhdistelmät.

Tähtien lisääminen ja poisto

XY - X*Z*Y

XY - X*Y*Z

XY - Z*X*Y

Ongelma:

3.5.2010

Kaksiulotteisuuden ja kolmiulotteisuuden toteuttaminen tapahtuisivat helpoimmin, jos kalkyylin merkit voisi esittää kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa.

Tietokoneelle tämä ei ole mikään ongelma, sillä kaikki matriisit ja puut ovat yksiulotteisessa muistissa olevia tietorakenteita. Lyijykynällä kirjoittavalle matemaatikolle tämä on iso ongelma.

Tarskin geometriaa vastaavia menetelmiä on kehitetty, mutta valitettavasti ne ovat vielä monimutkaisempia kuin tavalliset matriisi- ja puumallit.

jatkuu...

Kuuluisia kalkyylejä

1.6.2010

Esimerkkejä

Tietosanakirjasivistys ei tunne enää muita kalkyyjejä kuin lambda -kalkyylin.

Logiikan lausekalkyyli ja ns. predikaattikalkyylit ovat kuitenkin mitä ilmeisimmin kalkyylejä.

Tietotekniikka

Mitä tulee tietotekniikkaan, logiikkaohjelmointia varten on kehitetty joukko kieliä, joista kuuluisin on prolog.

Sisäisesti tietokone käyttää mm. ja, tai ja ei -portteja. Ja -portti päästää virtaa läpi vain, jos molemmista syötejohdoista tulee virtaa. Tai -portti päästää läpi virtaa, jos molemmista tai toisesta syötejohdosta tulee virtaa. Ei -portti tekee johtimeen virtaa silloin, kun syötejohdosta ei tule virtaa.

Portin on toteutettu kähinnä transistoreilla ja diodeilla.

Kaikki laskutoimitukset on toteutettu edellä luetelluilla porteilla.

Tietokoneiden ohjelmointikielissä käytetään myös sanona "ja", "tai" ja "ei". Vanhemmissa ohjelmointikielissä käytetään englanninkielen sanoja, C- sukuisissa kielissä (kuten C, C++, Java ja C#) käytetään ja -sanan merkinä kahta ja - merkkiä &&, tai -sanan merkkinä kahta putken merkkiä eli pystysuoraa viivaa || ja ei -sanan merkkinä huutomerkkiä !.

Merkilliset merkit johtivat siitä, että C -kielen kehittäjät halusivat käyttää normaalinäppäimistöltä löytyviä merkkejä.

Logiikka

2.5.2010

Jos yksinkertaisuuden mittana pidetään aksioomien vähyyttä, yksinkertaisin logiikan kalkyyli on Patrick Suppesin järjestelmä, jossa on pelkkiä sääntöjä eikä lainkaan aksioomia. Helpoimmin pääset tutustumaan tähän järjestelmään hankkimasta jostain Seppo K. Miettisen kirjan Logiikan perusteet, osa I, II korjattu painos, Ylioppilastuki ry 1971. Suppesin järjestelmää on esitelty sivuilla 37-...

Jos yksinkertaisuuden mittana käytetään merkkien määrää, Shefferin viiva | riittää koko lausekalkyyliin.

Shefferin viiva luetaan "ei molemmat".

Kuten lukemistavasta näkyy, Shefferin viiva on yhdeitelmä sanoista "ei" ja "ja" (joskus merkitään "nand"). Miltä tuntuisi laskea seuraavilla aksioomilla?

(x | x) | (y | x) = x
x | (y | (x | z)) = ((z | y) | y) | x

Hilbert - tyyppisiksi sanotaan aksioomajärjestelmiä, joissa on muutamia normaalikielellä ymmärrettäviä aksioomia. Esitän esimerkkinä yhden. Se on peräisin Prologin oppikirjasta Logic for Applications, Anil Nerode and Richard A. Store, Springer, second edition, 1996, s. 127.

α, β ja γ ovat mitä tahansa kaavoja kaikkien kaavojen joukossa L.

(α⇒(β⇒α)
((α⇒((β⇒γ))⇒((α⇒β)⇒β)⇒(α⇒γ)))
((¬α)⇒(α⇒β))
(∀x)α(x)⇒α(t) kaikille niille t, jotka on sijoitettavissa α:aan.
(∀x)(α⇒β)⇒(α⇒(∀x)β) jos α ei sisällä x:n vapaita esiintymiä.

Esiintymä on sidottu jos sitä sitovat kvanttorit ∀ ja ∃.

Päättelysääntöjä on kaksi:

Modus ponens: Jos α ja α⇒β niin β.
Yleistys: Jos (∀x)α niin α.

Jos haluat opiskella logiikkaa tästä eteenpäin, etsi jostain esimerkiksi Seppo K. Miettisen kirja. Siitä on tiettävästi uudehkoja painoksia:

Miettinen, Seppo K.: Logiikka, perusteet, Gaudeamus 2009, 249 sivua, 3. painos, ISBN 9516628656

Aksioomat ja suorat määritelmät

Ovatko aksioomat "perussääntöjä"

Rolf Nevanlinnan teoksen "Geometrian perusteet, WSOY, 1972, sivulla IX kutsutaan aksioomia perussäännöiksi.

Tämä käsitys on oikean suuntainen mutta virheellinen. On aksiomaattisia järjestelmiä kuten esimerkiksi Patrick Suppesin logiikka (Introduction to Logic. Dover, 1999 (1957)), joissa tullaan toimeen pelkillä säännöillä, mutta yleensä aksioomiksi ei kutsuta näitä sääntöjä vaan kalkyylien ns. peruskuvioita.

Siinä Nevanlinna on oikeassa, että aksioomat ja säännöt määrittelevät kalkyylin perusrakenteen.

Suorat määritelmät

Luettelen seuraavassa joukon Oswald Veblenin suoria määritelmiä. H. M. S. Coexter esittää ne teoksessaan Introduction to Geometry, second edition, John Wiley ans Sons Inc., 1969 ss. 177-187.

Jos A ja B ovat eri pisteitä, jana on niiden pisteiden P joukko, jotka ovat A:n ja B:n välissä.
Väli AB on niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat jana AB ja sen päätepisteet.
Saman suoran pisteet ovat samasuoraisia (kollineaarisia).
Kolme ei-samasuoraista (ei-kollineaarista) pistettä määräävät kolmion ABC, joka koostuu janoista AB, BC tai CD (kolmion sivut) tai ovat kolmion kärkiä A, B tai C.
Jos A, B ja C ovat kolme ei-samasuoraista (ei-kollineaarista) pistettä, taso on kaikkien niiden pisteiden joukko, jotka ovat samasuoraisia (kollineaarisia) sellaisten pisteparien kanssa, jotka ovat yhdellä tai kahdella kolmion ABC sivuista.
Jos piste O on janalla AB, O jakaa suoran kahteen säteeseen OA ja QB.
Kulma koostuu pisteestä O ja kahdesta eisamasuoraisesta (ei-kollineaarisesta) säteestä. O on nimeltään kulman kärki ja säteet OA ja OB kulman kylkiä.

Aksiooman ja suoran määritelmän välinen ero on liukuva

10.6.2010

On mahdollista, että Eukleideen geometria voidaan täsmentää ilman nykyistä aksiomatiikkaa. Mielestäni tarvitsee vain muuttaa muutamien tavallisten päätelmien (teoreemojen) nimet aksioomiksi.

En kuitenkaan ryhdy tähän tehtävään, mutta toivon, että tieteen osakkeenomistajat sallisivat jonkun nuoren matemaatikon paneutua tähän tehtävään.

Millä tavalla tämä oppikirja eroaa Eukleideen - Hilbertin geometriasta?

13.5.2010

Oleellisin ero näihin geometrioihin verrattyna on se, että tämä oppikirja on mitallista (metristä) geometriaa. Tässä geometriassa oletetaan kahden pisteen välimatka tunnetuksi ja pinta-ala ja tilavuus määritellään pisteiden välimatkojen perusteella suoraan.

Tällöin säästytään hankalilta yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuustarkasteluilta ja vaikeuksilta janojen, kulmien, alueiden ja kappaleiden mittojen laskutoimitusten tarkasteluissa.

Harpilla ja asteikottomalla viivaimella tehtäviä piirroksia on tarkasteltu, mutta niitä ei ole pyritty perustelemaan, vaan perustelut voi jokainen lukija halutessaan löytää muualta tästä oppikirjasta. Tietysti ne voi löytää myös melkein kaikista Eukleideen kirjoja käsittelevistä oppikirjoista.

Tämän oppikirjan käsitteistön rakenteesta

20.3.2010

Peruskäsitteet jana, kolmio ja nelitahokas on määritelty kahdeksi eri pisteeksi, kolmeksi, janasta riippumattomaksi eri pisteeksi ja neljäksi, janasta ja kolmiosta riippumattomaksi pisteeksi.

Käsite janan pituus on määritelty d(X,Y):si, kolmion pinta-ala on määritelty Heronin kaavan avulla ja nelitahokkaan tilavuus on määritelty Heronin kaavan yleistyksen avulla. Nämä kaavat ovat erikoistapauksia Cayley-Mengerin determinantteihin perustuvista kaavoista.

Peruskäsitteistä riippuvina käsitteinä on määritelty janasto (entinen suora), kolmiosto (entinen taso) ja nelistö (entinen avaruus).

Janan, pinnan ja kappaleen määritelmät on irroitettu niiden varsin mutkikkaista topologisista määritelmistä (tämän kirjoittaja on kyllä suorittanut topologian kurssin yliopistossa).

Virheetöntä geometriaa ei ole

16.3.2010

En ole nähnyt yhtään virheetöntä geometrian oppikirjaa. Tämäkään kirja ei ole virheetön, sillä sellaista en osaisi tehdä eikä osaisi kukaan muukaan nykyihminen. Visuaaliset mielikuvat ja yhteydet ovat niin sitkeästi ihmislajin päässä, että todennäköisesti tarvittaisiin uusi eläinlaji rakentamaan virheetön geometria.

En väitä, että geometrian kirjoissa esitetyt lauseet olisivat sinänsä virheellisiä, vaan väitän, että näiden lauseiden perustelut eivät ole ole täydellisisiä vaan riippuvat ihmislajin aivojen kyvystä käsitellä visualisoitavissa olevia asioita.

Geometrian osa-alueita

Projektiivinen geometria

Projektiivisen geometrian aksioomat:

Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, on ainakin yksi suora l, joka sisältää molemmat.
Jos A ja B ovat kaksi tason eri pistettä, vain yksi suora l sisältää molemmat pisteet.
Kaikilla tason suorilla on ainakin yksi yhteinen piste (mikä saattaa olla äärettömyyspiste)
Tasossa on ainakin yksi suora.
Jokainen suora sisältää tasossa ainakin kolme pistettä.
Kaikki tason pisteet eivät kuulu samaan suoraan.

Lähde:
Veblen, O. and Young, J. W. Projective Geometry, 2 vols. Boston, MA: Ginn, 1938.
Kasner, E. and Newman, J. R. Mathematics and the Imagination.
Redmond, WA: Microsoft Press, pp. 150-151, 1989.

Neliöjuuren merkitseminen

Neliöjuuri a on usein ilmaistu potenssina a^½ koska ½ löytyy suoraan tietokoneen näppäimistöltä. Siis esimerkiksi kakkosen neliöjuurta merkitään 2^½.

Joissakin tapauksissa neliöjuurta on merkitty myös √(....). HTML:ssä neliöjuuren merkki on √.

Kreikkalaiset aakkoset ja matemaattiset merkit

html ja Inkscape

15.3.2010

Koska kreikkalaisten aakkosten käyttö mutkistaisi esimerkiksi kuvien tekoa vektorigrafiikalla, kreikkalaisia aakkosia ei ole yleensä käytetty.

HTML:ssä kreikkalaisia aakkosia saadaan esimerkisi seuraavasti: α Α β Β jne.

Kompozerissa ja Composerissa kreikkalaisia aakkosia saa (kuten edellä on mainittu) suoraan valikosta Format/Font/Aplha-beta.

abcdefghiklmnopqrstu...ABCDEFGHI

Inkscapessa voidaan käyttää kreikkalaisia aakkosia seuraavasti:

Valitse tekstin kirjoittaminen.
Siirrä kohdistin paikkaan, johon haluat kirjoittaa kreikkalaisen aakkosen.
Paina Ctrl + U
Kirjoita kreikkalaisen aakkosen Unicode -merkki HEX - muodossa.
Paina Enteriä.

Unicode -karttoihin pääset napauttamalla tästä.

Samasta paikasta löydät myös matemaattiset merkit

Esimerkki: Haluat kirjoitta kreikkalaisen aakkosen alfa Inkscape -kuvaan.

Valitse tekstin kirjoittaminen.
Siirrä kohdistin paikkaan, johon haluat kirjoittaa kreikalaisen aakkosen.
Paina Ctrl + U.
Kirjoita 03B1.
Paina Enteriä.

Unicode -merkkejä voidaan siis käyttää HEX - muodossa Inkscapessa.

Vihje

Laita yllä oleva Unicode -merkkien sivu selaimesi kirjainmerkkeihin.

Yleiskäsite mitta (measure)

8.4.2020

Sigma-algebra

Määritelmä: Olkoon Ω mielivaltainen epätyhjä joukko.

Sigma-algebra perusjoukolla Ω (omega) on sen osajoukkojen (subset) joukkoperhe F, joka toteuttaa ehdot:

∅∈F ,
jos A ∈F, niin A^c ∈F,
jos A_k ∈ F kaikilla k ∈ K, missä K on numeroituva joukko, niin ∪A_k ∈F.

Suomennos:

Tyhjä joukko kuuluu sigma-algebraan.
Jos joukon A pisteet kuuluvat sigma-algebraan, niin silloin siihen kuuluvat myös kaikki ne pisteet, jotka eivät kuulu A:han.
Jos numeroituva joukko joukkoja kuuluu sigma-algebraan, niin niiden yhdiste kuuluu sigma-algebraa. Yhdiste tarkoittaa joukkoa, johon kuuluvat samat pisteet kuin kaikkiin yhdistettäviin joukkoihin, mutta mitään pistettä ei lasketa kahdesti.

Nimitys sigma-algebra johtuu eräiden matemaatikoidet tavasta merkitä sigma-algebraa σ(F), missä σ on kreikankielen pieni kirjain sigma.

Numeroituvassa joukossa on enintään yhtä paljon olioita (alkioita) kuin kokonaislukujen joukossa.

Mitta

Määritelmä: Oletetaan, että X on joukko ja A on jokin joukon X sigma-algebra.

Sanomme, että funktio μ : A ⇒ [0,∞] on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

Tyhjän joukon mitta on nolla, eli μ(∅) = 0
Jos joukot A_i ∈A, i ∈ N, ovat erillisiä (pistevieraita), niin μ(∪A_i)= Σμ(A_i).

μ (myy) tulee sanasta mitta.

Suomennos:

Tyhjän joukon mitta on nolla.
Jos joukot ovat sellaisia, ettei niissä ole samoja pisteitä (pistevieraita joukkoja), niin joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa.

Pistevieraus takaa sen, ettei samoja pisteitä mitata kahdesti.

Huoimautus: Mitta ei ole puhtaan geometrian käsite.

Birkhoffin janamitta

Birkhoff määrittelee yksi-yhteen vastaavuuden reaalilukujen ja pisteiden välille: Pisteitä A ja B vastaavat reaaliluvut x siten, että |x_b-x_a| = d(A,B) (Postulaatti 1).

Me emme tätä mittaa tarvitse.

Geometrian mittoja

Yksiulotteisia mittoja

10.6.2010

Yksiulotteisia mittoja ovat mm.

Välimatka d(P,Q).
Pituus |PQ|.
Paksuus t(A).

Kaksiulotteisia mittoja

Kaksiulotteisia miittoja ovat mm.

Pinta-ala A.

Kolmeulotteisia mittoja

Kolmiulotteisia mittoja ovat mm.

Tilavuus V.

Huomaa, että välimatkaa ei määritellä tässä oppikirjassa toisin kuin analyyttisen geometrian oppikirjoissa. Välimatkat oletetaan tunnetuiksi reaaliluvuiksi.

Pinta-ala ja tilavuus määritellään myöhemmin välimatkan avulla.

Pisteen määritelmä

10.6.2010

Pisteellä on mm. seuraavat ominaisuudet:

Piste ei ole tyhjä joukko {P} ≠ ∅
Piste on yhden alkion joukko n{P} = 1.
Pisteen kaikki mitat ovat nollia μ(P) = 0.

Huomaa, että tämä on vain osittainen määritelmä.

Harjoituksia

Tee geometria, jossa pisteillä on eri värit.
Mitä seuraa siitä, että samassa paikassa voi olla erivärisiä pisteitä?
Milaisen geometrian saat RGB -väreillä?
Millaisen geometrian saat CMYK -väreillä.
Millaisen geometrian saat väreillä, joihin on lisätty ultravioletti ja infrapunainen?

Muoto (form)

11.2.2010

Määritelmä: Kahdella pistejoukolla on sama muoto, jos ne ovat yhdenmuotoiset (tämä käsite määritellään alempana).

Sanaa "muoto" käytetään matematiikassa myös laajemmassa merkityksessä, on muotoluokkia kuten suorakulmiot, suorakulmaiset särmiöt, monikulmiot, jne.

Luokan pistejoukoilla on yhteisiä ominaisuuksia.

Esimerkiksi suorakulmiot ovat nelikulmioita, joiden kaikki neljä kulmaa ovat suoria.

Suure (magnitude)

11.2.2010

Suure on fysiikan käsite.

Geometriassa käytetään suureiden sijasta reaalilukuja.

Geometrian tehtävissä voidaan käyttää fysiikan SI -järjestelmän mukaisia suureita, joista tärkeimmät ovat m, m² ja m³ eli metri, neliömetri ja kuutiometri.

Paikka (place, kr. topos)

11.2.2010

Tässä geometriassa ei käytetä käsitettä "paikka". Analyyttisessä geometriassa paikka on pisteen sijainti ns. koordinaatistossa.

Kuvio (figure)

6.6.2010

Muotoa, piirrosta yms. esitystä sanotaan usein kuvioksi.

Määritelmä: Tässä geometriassa kuvio on pistejoukko.

Huomautus: Kuvio voi olla myös täysin satunnainen pistejoukko.

Välimatka (distance)

Mitallinen avaruus

16.3.2010

Perusoletus: Kirjaimia A, B, C, D jne. kutsutaan pisteiksi.

Pisteet piirroksissa: Pisteet piirroksissa ovat täpliä tai pieniä rasteja, ja niitä merkitään usein myös P, Q, R, ...

Määritelmä: Pistekaksikolla (duo) on ominaisuutena pisteiden välimatka d (distance), joka on reaaliluku (real number). Merkitään kahden pisteen A ja B välimatkaa (distance) seuraavasti: d = d(A,B) = |A,B|. Alempana pilkku ja d jätetään pois eli pisteiden A ja B välimatkaa merkitään |AB|.

Välimatka on einegatiivinen reaaliluku eli |AB| ≥0.
Välimatka |AB| on nolla silloin ja vain silloin, kun A=B.
Välimatka on vaihdannainen eli |AB| = |BA|.
Välimatkat noudattavat kolmioepäyhtälöä

|AB| + |BC| ≥ |AC|.

Pisteet A ja B ovat siis eri pisteitä, jos ja vain jos d|AB| > 0.

Näiden ehtojen mukaisista oliojoukoista E käytetään nimitystä metrinen eli mitallinen avaruus.

Lähde; J. Dieudeonné: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960, s. 27. Löytyy myös teoksen Seymouer Lipschuz: General Topology, Schaum, 1965 sivulta 111.

Päätelmä: |AB| ≥ |AC| - |BC|

Perustelu: |BC| on siirretty epäyhtälön puolelta toiselle ja samalla on vaihdettu sen merkki.

Huomautus: Välimatka reaalilukuna ei ole ns. puhtaan geometrian käsite.

Harjoitus: Osoita, että välimatka on olemassa.

Pisteiden lukumäärä

14.5.2010

Monissa oppikirjoissa tarkastellaan äärellisiä geometrioita, joissa on vain muutamia pisteitä. Muutaman pisteen geometriassa riittää usein, että vain muutama yhdensuuntainen tai kohtisuora on olemassa.

Koska tässä geometriassa käsitellään keskipistejanaa, kulman puolittajaa, ympyrää jne. pistejoukkoina, pisteitä voi olla mielivaltainen tai ääretön määrä.

Kun tässä geometriassa käytetään reilusti mittaa eikä vain pelkkää yhdenmuotoisuutta tai järjestystä, oletamme, että kaikilta etäisyyksiltä löytyy riittävästi pisteitä. Eiväthän nämä pisteet meille mitään maksa.

Ulottuvuusoletukset

6.6.2010

Yksiulotteisuusoletus: (Annetulla etäisyydellä oleva piste)

Kaikille pisteille P ja kaikille reaaliluvuille a'>0 on olemassa piste Q, jonka etäisyys pisteestä P on a'. Tässä tapauksessa etäisyydellä ei ole ala- eikä ylärajaa ellei alarajana pidetä pisteen etäisyyttä itsestään.

∀P∀(a'∈R)∃Q (d(P,Q) = a').

Vaihtoehtoinen yksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Λ (jossa on vähintään kolme eri pistettä) on janasto (suora) jos ja vain jos kaikille kolmelle Λ:n pisteille A, B, ja C :

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

missä d(A,B)≠0 tai d(B,C)≠0.

Esimerkki 1

Tarkastellaan pisteitä A, B ja C, joille d(A,B) =1, d(B,C) = 1 ja d(A,C) = 1.

Octavella determinatti lasketaan seuraavasti:

octave:1> A = [
> 0 1 1 1
> 1 0 1 1
> 1 1 0 1
> 1 1 1 0 ]
A =

   0   1   1   1
   1   0   1   1
   1   1   0   1
   1   1   1   0

octave:2> det(A)
ans = -3
octave:3>

Koska determinatti ei ole nolla, pisteet A, B ja C eivät ole samassa janastossa (samalla suoralla.

Esimerkki 2

Tarkastellaan pisteitä A, B ja C, joille d(A,B) =1, d(B,C) = 2 ja d(A,C) = 3.

Etäisyyksien neliöt ovat

d(A,B)² =1, d(B,C)² = 4 ja d(A,C)² = 9.

Octavella determinatti lasketaan seuraavasti:

octave:5>

A =

>0   1   9   1
>1   0   4   1
>9   4   0   1
>1   1   1   0

octave:6> det(A)
ans = -7.9936e-15
octave:7>

Nyt determinatti on laskutarkkuden rajoissa nolla ja pisteet ovat samassa janastossa (samalla suoralla).

Tietysti Octaven voi panna laskemaan neliöt esimerkiksi seuraavasti:

octave-3.2.4:29> AB = 1
AB = 1
octave-3.2.4:30> BC = 2
BC = 2
octave-3.2.4:31> AC = 3
AC = 3
octave-3.2.4:32> A = [
> 0 AB*AB AC*AC 1
> AB*AB 0 BC*BC 1
> AC*AC BC*BC 0 1
> 1 1 1 0]
A =

   0   1   9   1
   1   0   4   1
   9   4   0   1
   1   1   1   0

octave-3.2.4:33> det(A)
ans = -7.9936e-15
octave-3.2.4:34>

Harjoituksia

Millainen geometria saadaan jos d(A,B)≠d(B,A)
Tee oma suhteellisuusteoria, jossa d(A,B)≠d(B,A).

Kaksiulotteisuusoletus: (Kahdesta eri pisteestä annetuilla etäisyyksillä oleva piste)

Kaikille pisteille P ja Q ja kaikille niille reaaliluvuille a'>0 ja b'>0, joille a' + b' ≥ d(P,Q) on olemassa piste R, jonka etäisyydet pisteistä P ja Q ovat a' ja b'.

∀P ∀Q ∀(a'∈R) ∀(b'∈R) ∃R {(P≠Q) ∧(a'+b' ≥d(P,Q)) ⇒ [(d(P,R)=a')∧(d(Q,R)=b')]}.

Vaihtoehtoinen kaksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Π (jossa on vähintään neljä eri pistettä), on kolmiosto (taso) jos ja vain jos kaikille Π:n pisteille A, B, C ja D:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Π:n kolmikot eivät ole samalla janastolla (suoralla).

Esimerkki 1: Olkoot kaikki kuusi pisteiden välimatkaa 1 (säästytään neliöinniltä). Tällöin

octave-3.2.4:4> A = [
> 0 1 1 1 1
> 1 0 1 1 1
> 1 1 0 1 1
> 1 1 1 0 1
> 1 1 1 1 0]
A =

   0   1   1   1   1
   1   0   1   1   1
   1   1   0   1   1
   1   1   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:5> det(A)
ans = 4
octave-3.2.4:6>

Kun determinantti on 4, pisteet eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa), vaan ne itse asiassa muodostavat säännöllisen yksikkönelitahokkaan, josta puhutaan toisaalla.

Tämän nelitahokkaan tilavuus voidaan laskea determinantin arvosta 4 kaavalla

V = √(D/2)/12 = √(4/2)/12 = √(2)/12.

Jos säännöllisen nelitahokkaan särä on d, tästä saadaan säännöllisen nelitahokkaan tilavuudella kaava

V = d³√(D/2)/12,

sillä kuten toisalla esitetään, tilavuus on suoraan verrannolinen mittakaavan kuutioon.

Esimerkki 2: Laitetaan esimerkin 1 ykkösistä yksi etäisyys nollaksi.

octave-3.2.4:10> A = [
> 0 1 1 0 1
> 1 0 1 1 1
> 1 1 0 1 1
> 0 1 1 0 1
> 1 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   1   0   1
   1   0   1   1   1
   1   1   0   1   1
   0   1   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:11> det(A)
ans = 0
octave-3.2.4:12>

Nyt neljäs piste on kolmion kärjessä ja determinantti on nolla.

Esimerkki 3: Olkoot kuusi etäisyyttä seuraavat

AB =1, BC = 1, CD=1, AC = √(2) ja BD = √(2).

Neliöt ovat

AB² = 1, BC² = 1, CD² = 1 AC² = 2, BD² = 2.

Octavella saadaan seuraava tulos

octave-3.2.4:1> A = [
> 0 1 2 1 1
> 1 0 1 2 1
> 2 1 0 1 1
> 1 2 1 0 1
> 1 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   2   1   1
   1   0   1   2   1
   2   1   0   1   1
   1   2   1   0   1
   1   1   1   1   0

octave-3.2.4:2> det(A)
ans = -1.1844e-15
octave-3.2.4:3>

Koska determinantti on mittaustarkkuuden rajoissa nolla, pisteet ovat samassa kolmiostossa (tasossa), jos joku pistekolmikko muodostaa kolmion.

Tarkastellaan pistejoukkoa ABC.

Siinä

AB =1, BC = 1, ja AC = √(2)

AB² = 1, BC² = 1, ja AC² = 2.

Octavella saadaan tulos

octave-3.2.4:3> A = [
> 0 1 2 1
> 1 0 1 1
> 2 1 0 1
> 1 1 1 0
> ]
A =

   0   1   2   1
   1   0   1   1
   2   1   0   1
   1   1   1   0

octave-3.2.4:4> det(A)
ans = -4
octave-3.2.4:5>

eli pisteet A, B ja C muodostavat kolmion.

Itse asiassa pisteet A, B, C ja D muodostavat yksikköneliön, jonka lävistät ovat √(2).

Harjoitus: Piirrä esimerkkiä 3 vastaava kuva.

Kolmiulotteisuusoletus: (Kolmesta eri pisteestä annetulla etäisyydellä oleva piste)

Kaikille pisteille P, Q ja R, joille d(P,Q)=a, d(Q,R)=b ja d(R,P)=c kaikille niille reaalilivuille a', b' ja c', joille

V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 ≥0

on olemassa piste S siten, että sen etäisyydet pisteistä P, Q ja R ovat a', b' ja c'.

∀P ∀Q ∀R ∀(a'∈R) ∀(b'∈R) ∀(c'∈R) ∃S
{[(P≠Q) ∧ (P≠R) ∧ (R≠Q) ∧ (V² ≥0)]⇒
[(d(P,S)=a') ∧ (d(Q,S)=b') ∧ (d(R,S)=c')]}.

Vaihtoehtoinen kaksiulotteisuusoletus Cayley-Mengerin determinantilla:

Joukko Φ (jossa on ainakin viisi eri pistettä) is nelistö (avaruus>) jos ja vain jos kaikille Φ:n pisteille, A, B, C, D ja E:

$\det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\ d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 & 0 & d(DE)^2 & 1 \\ d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0,$

mutta kaikki Φ:n nelikot eivät ole samassa kolmiostossa (tasossa).

Harjoitustehtävä:

Olkoot A, B, C, D, E, F, H ja H kahdeksan pistettä, jotka muodostavat yksikkökuution. (Lävistäjät ovat √(2) ja √(3). Osoita, että Cayley-Mengerin determinantti on nolla.
Osoita, että löytyy neljä pistettä, joille Cayley-Mengerin determinantti ei ole nolla.

Todellisuus (reality)

Todellisuudessa paikkojen (pisteiden karkeistuksia) välimatkoja voidaan mitata.

Mittaukset ovat aina epätarkkoja. Lisäksi välimatkat ja jopa mittausvälineet voivat koko ajan muuttua.

Pisteiden välimatkoja voidaan laskea esimerkiksi muiden välimatkojen ja kulmien suuruuksien avulla.

Eri pisteet (separate points)

10.5.2010

Määritelmä: Kaksi pistettä A ja B ovat eri pisteitä silloin ja vain silloin, kun d(A,B) >0.

∀A∀B [(A≠B) ⇔ (d(A,B)>0)]

Niissä geometrioissa, joissa mitta määritellään myöhemmin, eri pisteet määritellään esimerkiksi seuraavasti:

A ja B ovat eri pisteitä, jos A*B*C, eli jos A:n ja B:n välissä on piste C.

Välissä olemista merkitään useilla tavoilla, esimerkiksi A*B*C, A-B-C ja [ABC] tarkoittavat kaikki, että piste B on pisteiden A ja C välissä.

Periaatteessa viivan "-" luulisi voittavan, koska se tulee suoraan näppäimistön pienten kirjainten näppäimistä. Tähti näyttää kuitenkin olevan tällä hetkellä voitolla.

Topologiaa

Mistä sitä löytyy?

8.8.2010

Topologiasta on suomeksi Jussi Väisälän kirjoittama kaksiosainen oppikirja, jota myy Helsingin yliopiston matemaattisten aineiden opiskelijayhdistys Limes ry. Kirjat maksavat hieman.

Omat suomenkieliset kirjani (ja luentomuistiinpanoni) ovat vanhentuneita, joten käytän alla mainittua lähdettä ja kirjastossani olevia klassikkoja. Vanhoista kirjoista voi löytyä keinoja ilmaista asia hyvin.

Englanniksi on saatavissa suoraan Internetistä pdf - tiedostona laaja topologian alkeiden oppikirja. Tässä kirjassa kaikki määritelmät on varustettu sinisellä pohjavärillä, joten ne löytyvät helposti.

http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topology.htm

Varoitus

Topologian soveltaminen geometriaan ei ole ollenkaan ongelmatonta, mutta tässä kirjassa ongelmiin ei kiinnitetä huomiota.

Mielestäni matematiikka ei ole miltään osin ongelmatonta, joten annan mahdolliset puutteet itselleni anteeksi.

Avoin joukko

Topologian avoin joukko

Olkoon X eityhjä joukko ja T sen osajoukkojen joukko.

Pistejoukon T avoimet joukot täyttävät seuraavat ehdot:

tyhjä joukko ja joukko $T$ itse kuuluvat tähän joukkoon,
kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat tähän joukkoon
kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset (yhteisten pisteiden joukot) kuuluvat tähän joukkoon.

∅⊂T, X ⊂ T
A∈ T ⇒ ∪ A ∈ T
A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T.

Joukkoa T sanotaan X:n topologiaksi.

Mistä tahansa joukosta X voidaan muodostaa määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi ainoastaan joukko X ja tyhjä joukko.

Tällainen topologinen joukko ei ole Hausdorffin joukko, paitsi jos joukkoon X kuuluu vain yksi piste.

Mistä tahansa joukosta X voidaan myös muodostaa T määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi X:n kaikki osajoukot. Tällöin kyseessä on niin sanottu diskreettitopologia, ja muodostettu joukko on Hausdorffin joukko.

Harjoituksia:

Millainen olisi tyhjä pistejoukko?
Miksi geometriassa heti alussa todetaan, että on olemassa ainakin yksi piste?

Euklidisen geometrian avoimet joukot

Alempana on määritelty mm. avoimet janat, avoimet ympyrät, avoimet pallot jne.

Harjoituksia:

Onko jana avoin, jos tarkastellaan kaksiulotteista avaruutta, johon jana kuuluu?
Onko avoin ympyrä avoin, jos tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta, johon ympyrä kuuluu?
Onko avoin pallo avoin, jos tarkastellaan neliulotteista avarutta, johon avoin pallo kuuluu?

Suljettu joukko

Joukko on suljettu, jos sen komplementtijoukko (pisteet, jotka eivät kuulu tähän joukkoon) on avoin.

Muut joukot

Joukko ei välttämättä ole avoin tai suljettu. Esimerkiksi puoliavoin jana ei ole avoin eikä suljettu. Puoliavoimen janan komplemetti ei liioin ole avoin tai suljettu.

Ympäristö

11.2.2010

Pisteen ympäristö on avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen.

Esimerkkejä ympäristöistä: avoin jana, avoin ympyrä, avoin pallo jne.

Huomaa, että ympäristön ei tarvitse olla pyöreä.

Harjoitus: Luettele joukko ympäristöjä, jotka eivät ole pyöreitä. Käsitettä pyöreys on määritelty toisaalla tässä oppikirjassa.

Äärellinen ja ääretön joukko

11.2.2010

Esimerkiksi kahden pisteen joukko on äärellinen pistejoukko, mutta eityhjässä ympyrässä on ääretön joukko pisteitä.

Yhtenäisyys

Pistejoukko on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen.

Vihreällä merkitty pistejoukko on yhtenäinen. Violettien pistejoukkojen yhdiste on epäyhtenäinen.

Epäyhtenäisyys

Pistejoukko M on epäyhtenäinen, jos on olemassa sellaiset M:n avoimet osajoukot A ja B, että

M on joukkojen A ja B yhdiste,
ei A eikä B ole tyhjä joukko
A:n ja B:n leikkaus (yhteinen osa) on tyhjä.

M = A ∪ B
A ≠ ∅ ≠ B
A ∩ B = ∅

Kasautumispiste

Määritelmä: Pistejoukon piste on kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on toinen saman pistejoukon piste.

Irrallinen (erakkopiste, discrete) piste

Määritelmä: Piste on irrallinen, jos se ei ole kasautumispiste.

Irrallinen (discrete) pistejoukko

Määritelmä: Pistejoukko on irrallinen (discrete) jos se ei sisällä yhtään kasautumispistettä.

Sisäpiste

Piste x on joukon A sisäpiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:ssa.

Ulkopiste

Piste x on joukon A ulkopiste, jos x:llä on ympäristö, joka on A:n komplementissa.

Reunapiste

Piste x on joukon A reunapiste, jos se ei ole A:n sisäpiste eikä ulkopiste.

Kosketuspiste

Piste x on joukon A kosketuspiste, jos kaikki x:n ympäristöt sisältävät jonkin A:n pisteen.

Raja-arvo

29.1.2010

Lukujoukon raja-arvo

Järjestetyllä äärettömällä reaalilukujoukolla A = <a₁,a₂,...,a_n,...> on raja-arvona L, jos kaikilla reaaliluvuilla

ε > 0

on olemassa luonnollinen luku n₀ siten, että

| a n - L | < ε

, kun

n > n 0

. Sitä, että järjestetyn lukujoukon a_n raja-arvo on

L

, merkitään

lim a_n = L, kun n kasvaa rajatta.

Tätä rajatta kasvamista merkitään usein n → ∞.

Geometriassa esimerkiksi murtoviivan pituuden raja-arvo voi olla murtoviivasta hieman eroavan pistejoukon pituuden raja-arvo (esimerkiksi ympyrän kehän pituus).

Lausekkeen raja-arvo

Lauseke (expression) on matematiikassa joidenkin sääntöjen mukaan muodostettu joukko matematiikan merkkejä.

Reaalikukulauseke sisältää tiettyjen sääntöjen mukaan muodostetun merkkijonon, jossa voi olla muuttujia, vakioita, laskutoimitusten merkkejä, erilaisia sulkeita ja myös muita ns. reaalianalyysiin kuuluvia merkkejä.

Lausekkeen raja-arvo L, kun jokin muuruja "lähestyy" jotain lukua tai jotkin muuttujat lähestyvät joitakin lukuja, määritellään ensiksi mainitussa tapauksessa seuraavasti:

Lausekkeella

f(x)

on muuttujan x arvolla x₀ raja-arvo

L

, jos kaikilla

reaaliluvuilla ε > 0

on olemassa reaaliluku

δ > 0

siten, että

| f (x) - L | < ε

, aina kun

0 < | x - x 0 | < δ

.
Esimerkki:

Lausekkeen (x² -9)/(x-3) raja-arvo, kun x lähestyy lukua 3, on 6. Todistus löytyy lukion oppimäärästä. Tässä tapauksessa lauseke voidaan supistaa x-3:lla.

x on muuttuja ja 9 ja 3 ovat vakioita.

Piirtämisohjeita

30.3.2010

Alkuhuomautus

Näitä ohjeita voi lukea alempana esitettävien harjoitustehtävien määräämässä tahdissa.

Määritelmä: Suora viiva (line) tarkoittaa alla asteikottomalla viivaimella paperin laidasta laitaan piirrettyä suoraa viivaa. Huomaa, että suora viiva on aina jana, koska meillä on käytettävissämme vain äärellisen kokoisia papereita ja näyttöjä.

Määritelmä: Harppi (compass) on piirtämiseen tai mittaamiseen tarkoitettu työväline. Se on varustettu kääntyvällä mekanismilla, joka yhdistää toisiinsa kaksi vartta. Joissakin harpeissa on myös kiinteä mitta-asteikko, josta näkee piirrettävän ympyrän säteen. Harppia käytetään tavallisesti ympyrän ja kaarien piirtämiseen sekä niiden mittaamiseen.

Määritelmä: Viivain eli viivoitin on suorien viivojen piirtämiseen käytettävä väline. Viivaimessa on usein asteikko, jolla voi mitata etäisyyksiä. Viivaimia tehdään muovista, puusta ja metallista.

Pisteen piirtäminen

Paina kynän kärjellä paperia niin, että siihen jää pieni jälki. Älä käytä sellaista lyijykynää, jota Ylioppilastutkintolautakuntakaan ei salli.

Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille

Janaviivan piirtäminen kahden pisteen A ja B välille.

Aseta viivain niin, että sen sama sivu sivuaa pisteitä A ja B.
Piirrä kynällä viivaimen sivua pitkin viiva pisteestä A pisteedeen B.

Syntynyt viiva on janaviiva AB.

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste ja yksi piste

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja yksi piste P.

Sijoita harpin kärki pisteeseen O ja kynä pisteeseen P.
Piirrä niin, että kärki pysyy paikallaan ja kynä piirtää.

Syntynyt viiva on ympyräviiva.

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen

Ympyräviivan piirtäminen, kun tunnetaan keskipiste O ja jana AB, joka on säteen suuruinen.

Aseta harpin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirrä harppia kulman säilyttäen niin, että kärki on pisteessä P. Kynä olkoon pisteessä D.
Ala kiertää harppia kärjen paikka säilyttäen niin, että kynä piirtää ympyrää.

Saatu viiva on vaadittu ympyräviiva.

Janaviivan piirtäminen annetulle säteelle (puolisuoralle)

On annettu jana AB ja säde (puolisuora) CD. Säteen (puolisuoran) pisteestä A' alkaen on piirrettävä janan AB pituinen janaviiva.

Laitetaan harpin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirretään harpin kärki harpin kulmaa muuttamatta pisteeseen A' ja piirretään ympyrä. Se leikkaa puolisuoran kahdessa pisteessä, joista toinen olkoon B'.

Jana A'B' on vaadittu janaviiva.

Janaviivan kahtia jakaminen ja kohtisuora (perpendicular) janaviva

Janaviiva AB jaetaan kahtia seuraavasti:

Piirretään jana AB.
Piirretään toisiaan leikkaavat ympyrät, joiden keskipisteinä ovat A ja B.
Piirretään viivaimella jana joka kulkee ympyröiden leikkauspisteiden kautta.

Samalla saadaan kohtisuora janaviiva janaviivaa AB vastaan janaviivan keskipisteen kautta.

Yllä olevassa kuvassa näkymättömissä olevat ympyräviivojen osat kannattaa piirtää ja näkyvissä olevat kannattaa jättää piirtämättä. Itse en osannut tehdä tätä paremmin Inkscapella.

Kohtisuora annetun janaviivan keskipisteen kautta

Katso edellistä kohtaa.

Kohtisuora annetusta pisteestä

Olkoon annettu viivaimella piirretty säde ja sen ulkopuolella oleva piste P, josta on piirrettävä kohtisuora sädettä vastaan.

Piirretään P keskipisteenä ympyrä, joka leikkaa sädettä esimerkiksi pisteissä A ja B.
Sitten jatketaan kuten edellisessä kohdassa.

Kulman puolittaminen

Olkoon annettu kulma ABC. Erotetaan harpilla kulman kyljistä BA ja BC yhtä pitkät janaviivat BD ja BE. Piirretään toisiaan leikkaavat ympyräviivat D ja E keskipisteinä. Yhdistetään ympyräin leikkauspiste F kulman kärkeen B.

Huomautus: Ympyröiden molempia leikkauspisteitä voidaan käyttää, mutta tarkuuden kannalta on viisainta käyttää sitä leikkauspistettä, joka on kauempana kulman kärjestä.

Kulman kanssa yhtenevän kulman piirtäminen

On annettu kulma ABC ja puolisäde XY. Puolisäteen pisteeseen P on piirrettävä kulma, jonka suuruus on ABC.

Piirretään kulman ABC kärki B keskipisteenä ympyrä.
Piirretään samansäteinen ympyrä piste P keskipisteenä.
Ympyrä leikkaa XY:n pisteessä Q.
Erotetaan pisteestä Q lähtien piirretystä ympyrästä janaa (jännettä) ED vastaava kaari QR.
Piirretään puolisäde PR.

Kulma RPQ on vaadittu kulma.

Huomautus: XY:n ja ympyrän kahdesta leikkauspisteestä lähtien voidaan erottaa kaikkiaan neljä kaarta eli ratkaisuna on neljä kulmaa, joista yllä on esitetty yksi.

Janaviivan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 1

On annettu janasto AB ja sen ulkopuolella oleva piste P. AB:n kanssa yhdensuuntainen janviivaa pisteen P kautta piirretään seuraavasti:

Pisteestä P piirretään aikaisemmin esitetyllä tavalla kohtisuora AB:tä. vastaan. Tämä kohtisuora leikkaa AB:n pisteessä Q.
Pisteeseen P piirretään aikaisemmin esitetyllä tavalla kohtisuora PQ:ta vastaan.

Kuvassa CD on vaadittu janasto.

Janan AB kanssa yhdensuuntaisen janaston piirtäminen janaston AB ulkopuolella olevan pisteen P kautta tapa 2

Lähde: K. Väisälän teoksen Geometria sivu 21.

On annettu jana AB ja sen ulkopuolinen piste P.

Piirretään pisteen P kautta mielivaltainen suora viiva, joka leikkaa janastoa AB.
Piirretään suoran ja janaston leikkauspiste keskipisteenä ympyrä. Suoran ja janaston väliin muodostuu ympyränkaaria. Olkoon lyhempi näistä DC.
Siirretään harpin kärki pisteeseen P ja piirretään harpin kulma säilyttäen ympyrä.
Erotetaan samalta puolelta leikkaavaa suoraa pisteestä P alkaen DC:n suuruinen ympyrän kaari FE.
Piirretään suora viiva pisteiden P ja E kautta.

Janasto PE on vaadittu AB:n kanssa yhdensuuntainen janasto.

Janaviivan jakaminen yhtäsuuriin osiin

On annettu janaviiva AB ja se on jaettava kolmeen yhtäsuureen osaan.

Piirretään A:sta lähtevä säde AC, joka ei kulje B:n kautta.
Säteeltä AC erotetaan A:sta alkaen harpilla kolme yhtäsuurta osaa AD, DE ja EF.
Yhdistetään pisteet B ja F.
Piiretään aikaisemman kohdan mukaisesti E:n kautta FB:n suuntainen jana EF'.
Piirretään D:n kautta BF:n suuntainen jana DD'.

Pisteet D' ja E' jakavat janaviivan AB kolmeen yhtäsuureen osaan.

Kolmion ABC piirtäminen, kun on annettu sivut a, b ja c

On annettu kolme janaviivaa a, b ja c. On piirrettävä kolmio, jonka sivut ovat näiden janaviivojen suuruiset.

Piirretään suora viiva.
Erotetaan siltä piste, kuvassa C.
Erotetaan samalta suoralta viivalta harpilla jana a ja olkoon janan toinen päätepiste B.
Piirretään C keskipisteenä c -säteinen ympyrä ja b keskipisteenä c -säteinen ympyrä. Olkoon näiden ympyröiden eräs leikkauspiste A.
Yhdistetään piste A pisteisiin B ja C.

ABC on vaadittu kolmio.

Huomautus: Jos ympyrät piirretään kokonaan, saadaan myös toinen leikkauspiste D. Kolmio BCD on tehtävän toinen ratkaisu. Kolmiot ovat nelistössä (avaruudessa) yhtenevät ja kolmistossa (tasossa) kääntäen yhteneviä eli toistensa peilikuvia. Periaatteessa samat toistensa kolmiostossa (tasossa) peilikuvat saadaan valitsemalla mikä tahansa janoista aloitusjanaksi.

Tasasivuisen ja tasakylkisen kolmion piirtäminen

Tasasivuinen kolmio piirretään yllä olevalla tavalla valitsemalla a:ksi, b:si ja c:ksi sama jana s.

Tasakylkinen kolmio piirretään valitsemalla a:ksi ja b:ksi sama jana ja c:ksi eri jana.

Kolmion piirtäminen, kun tunnetaan kulma ja sen viereiset sivut

On annettu kulma XYC ja kolmion kaksi kulman Y viereistä sivua a ja b. Kolmio piirretään seuraavasti.

Kopioidaan kulma XYZ oikeaan paikkaan edellä esitetyllä tavalla.
Olkoon kulman kärki C. Kulman sivuilta erotetaan harpilla janat a ja b.

Syntynyt kolmio ABC on vaadittu kolmio.

Huomautus: Riippuen siitä kummalta kyljeltä jana a erotetaan saadaan eri kolmiot, jotka ovat kolmiostossa (tasossa) kääntäen yhtenevät ja nelistössä (avaruudessa) yhtenevät.

Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne

Ympyrän kehällä olevaan pisteeseen on piirrettävä annetun janaviivan pituinen jänne.

Asetetaan harpin kärki janan toiseen päätepisteeseen ja kynä janan toiseen päätepisteeseen.
Harpin kärki siirretään harpin kulma säilyttäen ympyrän pisteeseen P.
Tämä keskipisteenä piirretään ympyrä, joka leikkaa annettua ympyrää pisteissä Q ja R.

Janaviivat PQ ja PR ovat vaadittuja jänteitä.

Huomaa, että jana ei saa olla ympyrän halkaisijaa suurempi.

Samansuuruisten kaarien piirtäminen

Samansuuruisten kaarien piirtäminen perustuu siihen, että samansäteisissä ympyröissä samansuuruisia jänteitä vastaavat samansuuruiset kaaret.

Olkoon annettu kaksi samansäteistä ympyrää. Toisesta on annettu kaari AB (pienempi kaari, segmenni on väritetty). Toisesta ympyrästä on annettu piste P, josta lähtien AB:n suuruiset kaaret on piirrettävä.

Aseta harpoin kärki pisteeseen A ja kynä pisteeseen B.
Siirrä harpin kärki pisteeseen P harpin kulmaa muuttamatta.
Piirräympyrä. Se leikkaa oikeanpuoleisen ympyrän pisteissä ER ja Q.

Kaaret PR ja PQ (joiden segmentit on väritetty), ovat vaaditut kaaret.

Välissä (between)

Määritelmä

Määritelmä: Jos Piste C sijaitsee niin, että |AC| + |CB| = |AB|, missä kaikki kolme lukua ovat >0, sanotaan, että piste C on pisteiden A ja B välissä eli A*C*B.

Päätelmä: Piste C on pisteiden A ja B välissä silloin ja vain silloin, kun

d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)

ja kaikki etäisyydet ovat positiivisia (edellä olevat määritelmät).

Perusoletus: (Välissä olevan pisteen olemassaolo) Kaikille pisteille A ja B on olemassa piste C siten, että d(A,B) = d(A,C) + d(C,B) eli

∀A∀B∃C [(A≠B) ⇔ (d(A,B) = d(A,C) + d(C,B))].

Toisin merkinnöin:

∀A∀B∃C [(A≠B) ⇔ (A*C*B)].

Huomautus: Tässä geometriassa kahden eri pisteen välissä on aina vähintään yksi piste (vastaa Veblenin oletusta, että on olemassa vähintään kolme pistettä E₀, emt. s.18, pistejoukkojen muut laajennukset E₁, E₂ ja E₃ on esitetty sivulla 21).

Birkhoffilla on PII seuraava: Yksi ja vain yksi suora sisältää mielivaltaiset kaksi pistettä A:n ja B:n.

Päätelmä: Jos jokin pisteistä A, B ja C on muiden välissä, pisteen etäisyydet kahdesta pisteestä määräävät yksikäsitteisesti kolmannen pisteen.

Välissäoloa merkitään nykyään A*B*C tai A-B-C tai [ABC]. Tarski merkitsi tätä B(abc)

Päätelmä: Välissä olon määritelmästä seuraa, että jos A*C*B niin B*C*A.

Perustelu: d(A,C) + d(C,B) = d(B,C) + d(C,A) = d(A,B) sillä d(A,B) = d(B,A) ja d(C,B) = d(B,C).

Päätelmä: Välissä olon määritelmästä seuraa, että jos A*C*B niin ei ole, että C*B*A tai B*A*C.

Perustelu: d(A,C) + d(C,B) = d(A,B) ei ole d(C,B) + d(C,A) = d(C,A)

Harjoitus: Perustele päätelmän toinen osa.

Päätelmä: Kahden eri pisteen välissä on äärettömän monta pistettä.

Perustelu annetaan harjoitustehtäväksi.

Huomautus: Kirjallisuudessa esiintyvien eri esitysten vertailun helpottamiseksi esitämme tässä eräitä Veblenin oletuksia:

Ainakin kaksi pistettä, esimerkiksi A ja B, on olemassa.
A:n ja B:n välissä on ainakin yksi piste.
Jos B on A:n ja C:n välissä, A ja C ovat eri pisteitä.
Jos B on A:n ja C:n välissä, C ei ole B:n ja A:n välissä mutta C on B:n ja A:n välissä.

Jo aikaisemmin on esitetty oletukset 1 ja 2.

Oletus 3 on pääteltävissa pisteiden erillisyyden edellä olevasta määritelmästä.

Oletus 4 on pääteltävissä edellä olevasta välissäolon määritelmastä, sillä jos

|AC| + |CB| = |AB| ,

niin

|AC| = |AB| - |BC|,

(missä kaikki luvut ovat >0).

Pisteiden etäisyys on sama mitattiin se kumpaan suuntaan tahansa.

Reaalilukujen verrannot

Määritelmä

6.6.2010

Koska jopa yliopistojen opiskelijoille opetetaan geometrian yhteydessä reaalilukujen verrantoja, seuraavassa esitetään lyhyt yhteenveto verrannoista.

Verrannot on pääteltävissä edellä esitetyistä reaalilukujen aksioomista ja niistä johdetuista päätelmistä.

Määritelmä: Verranto tarkoittaa yhtälöä

a/b = c/d,

missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja.

Verrannon muunnokset

Ristiin kertominen:

Yhtälö saäilyy, kun sen molemmat puolet kerrotaan samalla einollalla luvulla. Verranto

a/b = c/d

sisältää saman tiedon kuin yhtälö

ad = bc.

Esimerkki:

1/2 = 6/12.

Nimityksiä: a on verrannon ensimmäinen jäsen, b toinen, c olmas ja d neljäs.

Verrantojen muunnokset:

Kääntäminen:

b/a = d/c.

Perustelu: Jos luvut ovat yhtäsuuret, myös niiden käänteisluvut ovat yhtäsuuret.

Vuorottaminen:

a/c = b/d.

Perustelu:

Yhtälö säilyy, jos sen molammet puolet jaetaan samalla nollasta eroavalla luvulla.

Tulosta ad = bc saadaan jakamalla molemmat puolet luvulla cd:

a/c = b/d.

Yhdistäminen:

(a + b)/b = (c + d)/d.

Perustelu: Yhtälö säilyy, jos sen molempiin puoliin lisätään sama luku. Yllä oleva yhtälö saadaan lisäämällä molempiin puoliin 1 ja sieventämällä.

Erottaminen:

(a - b)/b = (c - d)/d.

Perustelu: Yhtälö säilyy, kun molemmista puolista vähennetään sama luku. Yllä olevassa on vähennetty molemmista puoliusta 1 ja sievennetty.

Suoraan verrannollisuus:

a/c = b/d.

Yllä olevassa tapauksessa on tapana sanoa, että luvut ovat suoraan verrannolliset.

Kääntäen verrannolliset:

Luvut ovat kääntäen verrannolliset, jos

a/b = (1/c):(1/d).

Verrantoyhtälöt

6.6.2010

Verrantoyhtälöiksi sanotaan sellaisia yhtälöitä, jotka ovat muotoa

f(x)/g(x) = h(x)/i(x),

missä f, g, h ja i ovat muuttujan (esimerkiksi x:n) lausekkeita.

Esimerkki 1:

x/(2 x - 1) = (x + 3)/(2 x + 1).

Verrantoyhtälöiden ratkaisut (juuret) on aina tarkistettava, koska verrantoyhtälöissä esiintyy nimittäjiä, jotka voivat olla nollia.

Aloitetaan ns. ristiinkertomisella

x(2x + 1) = (2x - 1)( x + 3).

Suoritetaan sievennykset ja laskutoimitukset.

2 x² + x = 2 x² + 6 x - x - 3.

Vähennetään molemmista puolista 2 x².

x = 6 x - x - 3.

Siiretään x:ää sisältävät lausekkeet vasemmalle puolelle.

x - 6 x + x = - 3 ⇔

- 4 x = - 3 ⇔

x = 3/4.

Tutkitaan nimittäjien nollakohdat:

2 x - 1 = 0 ⇔

2 x = 1 ⇔

x = ½.

2 x + 1 = 0 ⇔

2 x = -1 ⇔

x = -½.

Koska x:n arvo x = 3/4 ei ole kumpikaan nimittäjien nollakohdista, se kelpaa, ja yhtälön ratkaisu on

x = 3/4.

Verrantoepäyhtälöt

10.5.2010

Verratoepäyhtälöitä ratkaistaessa on viisasta käyttää merkkikaavioita. Huomaa, että nimittäjien nollakohdat eivät kelpaa ratkaisujoukkoon.

Jana ja janaviiva (duo, line segment)

Määritelmä

Määritelmä: Jana on kahden eri pisteen A ja B muodostama joukko. Janaa merkitään AB.

Määritelmä: Niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kaksi eri pistettä A ja B (d(A, B)>0) ja kaikki niiden välissä olevat pisteet, on nimeltään (suljettu) janaviiva, ja sitä merkitään AB. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

AB = {A,B} U {P: A*B*C}.

= on logiikan samuusmerkki. Merkkiä ∈ käyttäen määritelmä on seuraava:

(X ∈ AB) ⇔ [X=A ∨ X=B ∨ A*X*B]

P∈AB luetaan tässä kirjassa kahdella tavalla:

Piste on janaviivalla.
Janaviiva kulkee pisteen kautta.

Joukko-opin merkki ∈ luetaan "kuuluu" (sen muistaa sanoista "kuu" ja "luu").

Jos halutaan korostaa sitä, että jana on suljettu (päätepisteet kuuluvat janaan), merkitään [AB].

Harjoitus: Piirrä janaviiva.

Janaviiva on esimerkki viivasta

6.6.2010

Toisaalla tässä oppikirjassa määritellään käsite viiva. Jana on eräs esimerkki viivasta. Janasta käytetään myös nimitystä suora viiva.

Kielenkäyttö

Kun alempana puhutaan janoista, tarkoitetaan sekä pistepareja että janaviivoja.

Janan päätelmiä

27.5.2010

Päätelmä: Jos A ja B ovat kaksi pistettä, on olemassa jana AB.
Perustelu: Jana on määritelty edellä kahden pisteen joukoksi.

Päätelmä: Jos A ja B ovat kaksi eri pistettä, ne eivät määrää enempää kuin yhden janan.

Perustelu: A ja B eivät määrää muita pisteitä kuin A:n ja B:n, joten AB on yksikäsitteinen.

Päätelmä: Jokaisella janaviivalla on ainakin kolme pistettä.

Perustelu: Edellä on tehty perusoletus, että janan päätepisteiden A ja B välissä on kolmas piste, joka kuuluu janaviivaan.

Päätelmä: On olemassa ainakin yksi jana.

Perustelu: Edellä on tehty perusoletus, että on olemassa ainakin kaksi pistettä A ja B, joten jana AB on olemassa.

Huomautus:

Veblenin oletus A1: Jos A ja B ovat eri pisteitä, on olemassa ainakin yksi suora, joka kulkee pisteiden A ja B kautta.

Veblenin oletus A2: Jos A ja B ovat eri pisteitä, niiden kautta ei kulje useampia kuin yksi suora.

Veblenin oletus E₀: Jokaisella suoralla on ainakin kolme pistettä.

Veblenin oletus E₁: On olemassa ainakin yksi suora.

Janan pituus

8.7.2010

Määritelmä: Janan AB pituus eli suuruus |AB| >0 on sama kuin pisteiden A ja B välimatka d(A,B). Janoja ja niiden pituuksia voidaan merkitä kirjaimilla a, b, c jne.

Perusmääritelmä: Janan pituus on janan mitta.

μ(AB) = |AB| = d(A,B).

Perusoletus: Janan pituudella ei ole ylärajaa.

Janojen yhteenlasku ja vähennyslasku

Janan pituus on mitta. Janojen yhteenlasku tapahtuu yleisen mitan ehtojen mukaan.

Harjoitus: Mikä on janan paksuus?

Koska janan suuruus on mitta,

μ(AB ∪ BC) = μ(AB) + μ(BC).

Määritelmä: Jos A, B ja C ovat eri pisteitä ja piste B on pisteiden A ja C välissä, janojen AB ja BC summa on AC.

AB + BC = AC.

Huomaa, että tällöin

|AB| + |BC| = |AC|

eli B on pisteiden A ja C välissä.

A*B*C ⇒ AB + BC = AC.

Määritelmä: Jos |AB| + |BC| = |AC|, janojen AC ja AB erotus on

AC - BC = AB.

Huomaa, että tällöin

|AC| - |BC| = |AB|

eli B on pisteiden A ja C välissä.

A*B*C ⇒ AC - BC = AB.

Huomautus: Janojen yhteenlasku sisältää Hilbertin geometriassa joukon aksioomia. Tässä geometriassa riittävät suorat määritelmät.

Harjoitus:

Suorita harpilla ja viivaimella kahden janan vähennyslasku. Viisainta on yrittää vähentää pienempi jana suuremmasta.
Suorita vähennyslasku myös täysin erillisillä janoilla.

Janaston määritelmä

4.10.2010

Tässä geometriassa käytetään suorien sijasta janastoja, jotka ulottuvat piirroksissa kuvioiden laitoihin ja voivat olla kuinka pitkiä tahansa. Perusjanoista käytetään kirjaimia l, m, n jne.

Määritelmä: Janasto AB on kaikkien niiden janojen PQ joukko, joille

AB + BP = AP
ja
AB + BQ = AQ

tai
AB + AP = BP
ja
AB + AQ = BQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB - BQ = AQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB + AQ =BQ

tai
AB - BP = AP
ja
AB + BQ = AQ.

Lisäksi joukkoon kuuluu jana AB itse.

Janasto on joukko janoja. Koska jokainen jana on joukko pisteitä, janasto on joukkojen joukko.

Määritelmä: Piste P kuuluu janastoon AB jos se kuuluu johonkin janaston janoista.

Määritelmä: Jana PQ on janasta AB riippuva, jos se kuuluu janastoon AB.

Puhetapa: Janastojen janoihin kuuluvia pisteitä sanotaan yksinkertaisuuden vuoksi janaston pisteiksi.

Päätelmä: Janasto ja sen pisteet vastaavat standardigeometrian käsitettä suora,

Harjoitus:

Mittaa edellisessä tehtävässä piirtämäsi janan pituus jollain SI- järjestelmään kuuluvalla mittausvälineellä.
Mikä on suurin jana SI - yksiköissä, joka mahtuu edessäsi olevalle paperille?
AB = CD. Osoita, että AC = BD.

Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikköjanaa

10.4.2010

Janan pituus voi tässä geometriassa olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku, joten myös janoja, joille |AB| on 1 on olemassa. Mistä tahansa janasta AB>0 saadaan yksikköjana seuraavasti:

AC = AB/|AB|.

Janojen yhtenevyys

14.5.2010

Määritelmä: Janat ovat yhtenevät jos ja vain jos niillä on sama pituus.

AB = BC ⇔ |AB| = |BC|

Huomautus: Kuten olet huomannut, yhtenevyysmerkkinä käytetään kirjoittajan laiskuudesta johtuen merkkiä =.

Janan keskipiste (midpoint)

27.5.2010

Määritelmä: Janan AB keskipiste on sellainen pisteiden A ja B välissä oleva janan AB piste C, että |AC| = |CB|.

Koska C on A:n ja B:n välissä, |AC| + |CB| = |AB| = 2|AC|.

Jana

AC = ½AB.

Päätelmä: Janan keskipiste on olemassa.

Perustelu: Edellä on esitetty perusoletus, jonka mukaan kahdesta pisteestä annetuilla etäisyyksillä a' ja b' oleva piste Q on olemassa, jos a' + b' ≥ |AB|. Koska a' = b' = ½AB, keskipiste on olemassa.

Päätelmä: Janan keskipiste on yksikäsitteinen

Perustelu: Oletetaan, että janalla AB on kaksi keskipistettä C ja C'.

Ne ovat eri pisteitä silloin ja vain silloin, kun |CC'|>0.

Olkoon |CC'| = c. Tälläin janan pituus olisi
½AC + c + ½C'B, mikä on suurempi kuin janan pituus, mikä on mahdotonta.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella jana ja sen keskipiste.

Janan päätepisteet (endpoint)

Määritelmä: Pisteitä A ja B sanotaan janan AB päätepisteiksi.

Päätelmä: Janan päätepisteiden välimatka on janan pituus.

Perustelu: d(A,B) = |AB| (määritelmä).

Määritelmä: Janaa, joka sisältää päätepisteensä, kutsutaan suljetuksi väliksi ja sitä merkitään [AB].

Janaviivan sisäpisteet (interior point)

Määritelmä: Piste C∈ AB on janaviivan sisäpiste, jos ja vain jos se on päätepisteiden A ja B välissä eli A*C*B.

Määritelmä: Janaviivan sisäpisteiden joukkoa merkitään ]AB[ ja siitä käytetään nimitystä avoin väli.

Janaympäristö

Määritelmä: Jos piste P kuuluu avoimeen väliin ]AB[, avointa väliä ]AB[ sanotaan pisteen P janaympäristöksi.

Määritelmä: Välit ]AB], jossa A ei kuulu ja B kuuluu väliin, ja [AB[, jossa A kuuluu ja B ei kuulu väliin, ovat puoliavoimia välejä.

Harjoitus:

Piirrä janaviiva ja siihen viisi sisäpistettä niin, että janaviiva jakautuu yhtä suuriin osiin.
Piirrä avoin janaviiva.
Osoita, että avoin janaviiva on olemassa.

Janan sisäjana

Määritelmä: Janan AB sisäjana XY on jana, jonka päätepisteet X ja Y ovat pisteiden A ja B välissä eli

A*X*B ∧ A*Y*B ∧ |XY|>0.

Harjoitus: Piirrä annetun janan AB sisäjana CD

Järjestetty jana

Määritelmä: Jana on järjestetty, jos sen toista päätepistettä sanotaan alkupisteeksi ja toista loppupisteeksi.

Järjestettyjä janoja merkitään <A,B> tai lyhyesti <AB>.

Useimmissa nykyisissä oppikirjoissa suunnattua janaa merkitään kirjoittamalla esim. AB:n päälle nuoli. Tämä onnistuu helposti LaTeX -sukuisilla ladontajärjestelmillä, mutta koska tätä kirjoitetaan html:llä, nuolta janan merkin päällä ei voida käyttää (ellei käytetä grafiikkaa, mikä sotkee asiakirjan rumasti).

Tämä on kuva:

Määritelmä: Pistettä A sanotaan järjestetyn janan alkupisteeksi ja pistettä B sanotaan järjestetyn janan loppupisteeksi.

Järjestetyn janan pituus

Määritelmä: Järjestetyn janan <AB> pituus on sama kuin janan AB pituus eli |AB|.

Janaviivan pisteiden järjestys

13.5.2010

Suhde (relaatio) "välissä" määrää janaviivan pisteiden järjestyksen.

Esimerkiksi A*B*C määrää järjestetyt pistejoukot

<A,B,C> ja <B,C,A>.

Huomautus: Järjestyksen määräämiseksi tarvitaan välissaolosuhteiden lisäksi tieto suunnistuksesta. Matematiikassa suoraviivaisen suunnistuksen ajatellaan usein kulkevan vasemmalta oikealle.

Janan sisäpiste jakaa janaviivan pisteet kahteen joukkoon

13.5.2010

Päätelmä: Olkoon AB jana ja C sen sisäpiste. C jakaa janaviivan pisteet kahteen luokkaan, niihin, jotka ovat A tai A:n ja C:n välissä ja niihin, jotka ovat B tai B:n ja C:n välissä.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Samalla puolella ja eri puolilla

Kaksi A:sta eroavaa pistettä voivat olla samalla puolella pistettä A tai eri puolilla pistettä A.

Määritelmä: Pisteet X ja Y ovat samalla puolella pistettä A jos ja vain jos A ei kuulu janaan XY = YX.

Määritelmä: Pisteet X ja Y ovat eri puolilla pistettä C, jos ja vain jos C kuuluu janaan XY.

Symmetria

28.4.2010

Määritelmä jätetään harjoitustehtäväksi. Samoin harjoitustehtäväksi jätetää sanan "symmetria" suomentaminen.

Tulokset haulle symmetrian määritelmä (ilman lainausmerkkejä):

Pisteen peilikuva eli peilaus (reflection) pisteen suhteen

Määritelmä: Jos C on janan AB keskipiste, sanotaan, että B on A:n peilikuva pisteen C suhteen ja että A on B:n peilikuva pisteen C suhteen.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella piste, toinen piste ja toisen pisteen peilikuva ensimmäisen pisteen suhteen.

Pistejoukon peilikuva pisteen suhteen eli puolikierto (half turn) eli pistepeilaus

Määritelmä: Pistejoukon A peilikuva A' pisteen P suhteen on pistejoukko A', johon kuuluu jokaisen A:n pisteen peilikuva pisteen P suhteen.

On tapana puhua pistesymmetriasta.

Todellisuudessa pisteiden peilikuvia voidaan likimäärin muodostaa harpilla ja viivaimella piirtelemällä.

Pallo ja ympyrä ovat omien pisteidensä peilikuvia keskipisteen suhteen.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja asteikottomalla viivaimella kolmion ABC peilikuva pisteen P suhteen.
Suorita vastaava tehtävä Inkscape - ohjelmalla. Tallenna tulos png -tarkenteisena tiedostona, koska sellainen vie hyvin vähän tilaa ja sellainen voidaan hakea suoraan html - tiedostoon, kun taas svg - tiedosto tarvitsee embed - tagin.Olkoon A annettu kuvio ja P annettu piste.
Osoita että A:n peilikuva pisteen P suhteen on olemassa.

Kiintopiste

1.5.2010

Määritelmä: Pistettä, joka säilyy kuvauksessa tai muunnoksessa, kutsutaan kiintopisteeksi.

Päätelmä: Pistepeilauksessa on kiintopiste.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Janan ulkojana

Määritelmä: Janan AB ulkojana on on jana CD siten, että janan päätepisteet A ja B ovat pisteiden C ja D välissä ja |CD|>0.

eli

C*A*D ja C*B*D ja |CD|>0.

Harjoitus:

Piirrä janan AB ulkojana CD.
Osoita, että ulkojana on olemassa.

Osajanat

Perusmääritelmä: Jos janan AB pituus on a>0 ,ja jos luku 0<b<a, janalla AB on piste X siten, että

|AX| = b.
tai
|XB| = b.

∃A∀B [(d(A,B) = a >0) ∧ (0<b<a)] ⇒
∃(X ∈ AB)(|AX| = b ∨ |XB| = b).

Määritelmä:

Jos

|AX| = b.
tai
|XB| = b
tai
XY on AB:n sisäjana janaa kutsutaan janan osajanaksi.

Harjoitus:

Piirrä jana ja sen osajana.
Pirrä jana ja sen sisäjana.

Jatkettu jana

28.5.2010

Määritelmä: Alkoot AB jana. Jana AC on pisteestä B jatkettu jana, jos B on A:n ja C:n välillä. Jana DA on pisteestä A jatkettu jana, jos A on D:n ja A:n välillä.

Perusoletus: Jatkettu jana on olemassa.

∀(AB)∃C∃D [(A*B*C) ∧ (D*A*B)].

Päätelmä: Janan ulkojana on kahden jatketun janan yhdiste.
Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Peräkkäiset janat

Määritelmä: Kahta (>0) janaa AB ja BC, joilla on yksi ja vain yksi yhteinen piste, joka on päätepiste B sanotaan peräkkäisiksi janoiksi.

AB ∩ BC = {B}

Harjoitus: Piirrä kaksi peräkkäistä janaa.

Perusoletus: Jos peräkkäiset janat AB ja BC eivät noudata yhtälöä |AB| + |BC| = |AC| , on olemassa jana AC', joka noudattaa yhtälöä |AB| + |BC| = |AC|.

Määritelmä: Janan AC' määrittämistä kutsutaan murtoviivan oikaisuksi.

Harjoitus: Oikaise kolmio harpilla ja viivaimella.

Perusoletus: Jos peräkkäiset janat AB ja BC eivät noudata yhtälöä |AB| + |BC| = |AC| ja |AB| > |BC|, on olemassa jana AB', jonka pituus on janojen AB ja BC pituuksien erotus.

Janojen kertominen ja jakaminen reaaliluvuilla

11.2.2010

Määritelmä: Reaaliluku k > 0 kertaa jana AB tarkoittaa janaa, jonka pituus on reaaliluku k kertaa janan pituus.

|k AB| = k |AB|

Määritelmä: Jana jaetaan reaaliluvulla k siten, että se kerrotaan luvun käänteisluvulla 1/k.

AB/k = (1/k)AB (k>0).

Harjoitus:

Jaa jana harpilla ja viivaimella viiteen yhtäsuureen osaan.
Voidaanko jana harpilla ja asteikottomalla viivaimella kertoa millä tahansa reaaliluvulla?

Janojen suuruusjärjestys

13.5.2010

Kaksi janaa ovat joko yhtäsuuret tai erisuuret. Tämä johtuu siitä, että reaaliluvut ovat hyvin järjestetty joukko.

Jos janat ovat erisuuret, toinen janoista on suurempi ja toinen pienempi kuin toinen. Tämäkin johtuu siitä, että reaaliluvut ovat hyvin järjestetty joukko.

Jos AB = k BC,

janat ovat yhtäsuuret silloin ja vain silloin, kun k = 1,
jana AB on suurempi kuin jana BC silloin ja vain silloin, kun k < 1,
jana AB on pienempi kuin jana BC silloin ja vain silloin, kun k > 1.

Janojen pituuksien suhteet

22.2.2010

Koska janojen pituudet ovat reaalilukuja, voidaan muodostaa janojen pituuksien suhteita (ratio), esimerkiksi

|AB|/|CD| = 2/3

tai

|AB|/|BC| = |BC|/|CD|

Jos ei ole vaaraa epäselvyydestä, voidaan kirjoittaa

AB/BC.

Näin on tehty etenkin Internetistä lainatuissa päättelyketjuissa.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella janat, joiden pituuksien suhde on 2/3.

Yksikäsitteisyyden meemi

16.5.2010

Kun muslimi- ja kristittymatematiikkanerot olivat pari tuhatta vuotta miettineet, miten Eukleideen yhdensuuntaisuusaksiooma (suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee yksi ja vain yksi tämän suoran suuntainen suora) todistetaan muiden Eukleideen aksioomien avulla, matemaatikot innostuivat kovasti yksikäsitteisyydestä.

Oletetaan, että on olemassa vähintään yksi piste. Juuri näin monet aksiomaattisen geometrian oppikirjat alkavat.

Miten todistetaan, että tämä piste on yksikäsitteinen?

Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Vihje: Tällainen piste oletettiin olemassaolevaksi. Muita pisteitä ei vielä oletettu olemassaoleviksi.

Raja-arvo

29.1.2010

Lukujoukon raja-arvo

Järjestetyllä äärettömällä reaalilukujoukolla A = <a₁,a₂,...,a_n,...> on raja-arvona L, jos kaikilla reaaliluvuilla

ε > 0

on olemassa luonnollinen luku n₀ siten, että

| a n - L | < ε

, kun

n > n 0

. Sitä, että järjestetyn lukujoukon a_n raja-arvo on

L

Lausekkeen raja-arvo

f(x)

on muuttujan x arvolla x₀ raja-arvo

L

, jos kaikilla

reaaliluvuilla ε > 0

on olemassa reaaliluku

δ > 0

siten, että

| f (x) - L | < ε

, aina kun

0 < | x - x 0 | < δ

Funktio ja käänteisfunktio (function and inverse function)

Funktio eli kuvaus (mapping)

14.2.2010

Määritelmä:

Olkoot A ja B kaksi ei-tyhjää joukkoa. X olkoon joukon A alkio ja Y ja Z olkoon joukon B alkioita. Alkioiksi kutsutaan olioita, jotka kuuluvat joukkoon.

Käsitettä "olio" ei määritellä tässä oppikirjassa.

Pari <X,Y> kuuluu funktoon F jos ja vain jos jokaisella alkiosta Y poikkeavilla alkioilla Z pari <X,Z> ei kuulu funktioon F.

Ison kirjaimen F sijasta käytetään usein pientä kirjainta f. Myös muuttujien nimistä käytetään usein pieniä kirjaimia x, y ja z ja järjestettyä paria <X,Y> merkitään usein (x,y).

Tällöin on usein tapana merkitä y = f(x). Tosiasiassa funktion alkioita ovat parit (x,f(x)), jossa x kuuluu määrittelyjoukkoon M_f ja f(x) kuuluu arvojoukkoon A_f.

Perinteisessä matematiikassa on tapana merkitä:

y = f(x)

Monilla tärkeillä funktioilla on nimiä kuten sin x, cos x ja tan x. Merkitään

y = sin x

tai lukuparina

(x, sin x)

Yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella käytetään usein lauseketta (expresion). Näin on laita esimerkiksi sinin ja kosinin määritelmisssä.

Lauseke on esimerkiksi

x² + x + 1,

missä x² = x x x

Esimerkki yksinkertaisesta reaali(luku)funktiosta:

y =2 x²

tai lukuparina

(x, x²).

Harjoituksena voit laskea lukupareja taskulaskimella.

Käänteisfunktio

21.2.2010

Määritelmä: Käänteisfunktion f^-1 määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

f^-1(f(x)) = x kaikilla x funktion f määrittelyjoukossa.

f(f^-1(y)) = y kaikilla y funktion f arvojoukossa.

Esimerkiksi eksponenttifunktio (x, e^x) ja logaritmifunktio (x, ln x) ovat toistensa käänteisfunktioita.

Harjoitus: Laske lukiolaisen taskulaskimella lukupareja (x, e^x) ja (x, ln x). Huomaa, että ln x:ää voidaan merkitä myös muuten (esim log x, näin on laita Ubuntun laskimessa).

Funktion jatkuvuus

14.5.2010

f

on jatkuva muuttujan arvolla

x

jos

∀ ε > 0 ∃ δ >0;
d(x,z) < δ ⇒ d'(f(x),f(z)) < ε.

Funktio on jatkuva välillä [a,b], jos se on jatkuva jokaisessa $välin$ pisteessä.

Kasvava ja vähenevä funktio

6.6.2010

Funktio on määrittelyjoukossaan (tai sen osajoukossa)

kasvava, jos x₁ < x₂ f(x₁) f(x₂),
aidosti kasvava, jos x₁ < x₂ f(x₁) < f(x₂),
vähenevä, jos x₁ < x₂ f(x₁) f(x₂),
aidosti vähenevä jos x₁ < x₂ f(x₁) > f(x₂).

Funktio on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Kasvavilla ja vähenevillä funktioilla on merkitystä geometriassa sikäli kuin geometriassa käytetyt funktiot voidaan osoittaa kasvaviksi tai väheneviksi.

Kolmiosto (trinity)

17.3.2010

Kolmen pisteen määräämä kolmiosto (taso)

28.4.2010

Määritelmä:

Kolme eri pistettä A, B ja C, joille |AB| + |BC| > |AC|, määräävät pistejoukon ABC, jota kutsutaan kolmiostoksi (tasoksi) T (Hilbert s. 2).
Piste D kuuluu kolmiostoon,

jos se on A, B tai C
jos se on janastoissa AB, AC ja BC
jos se on janastosta, jonka kaksi edellisten kohtien eri pistettä määräävät.

Veblenin oletus E2: Kaikki pisteet eivät ole samalla suoralla.

Päätelmä: Pisteen etäisyydet kolmesta pisteestä, joista mikään ei ole kahden muun välissä, määräävät pisteen yksikäsitteisesti.

Perustelu: Etäisyydet a', b' ja c' määräävät pisteen yksikäsitteisesti, jos

[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 = 0

ja a, b ja c ovat alkuperäisten pisteiden väliset etäisyydet.

Huomaa, että yksikäsitteisyyteen tarvitaan etäisyys kaikista kolmesta pisteestä.

Kolmioston (tason) yhteyksiä muihin pistejoukkoihin käsitellään alempana.

Harjoitus:

Etsi edellä olevista aksioomajärjestelmistä aksiooma, joka liittyy tähän määritelmään.

Kolmioston (tason) oliot

17.3.2010

Jotta esitys säilyisi yhdenmukaisena muiden geometrian oppikirjojen kanssa, kolmioston (tason) olioissa käytetään silloin tällöin etuliiteettä taso, esimerkiksi tasokulma. Mikäli otsikossa on mainittu sana "taso", otsikon alla esitetyt oliot ovat taso-olioita.

Kolmiosto on esimerkki pinnasta

6.6.2010

Toisaalla tässä oppikirjassa määritellään pinta. Kolmiosto on esimerkki suorasta pinnasta.

Tavallinen kolmioston kulma (angle)

Kulman suuruus ei riipu kulman sivujen (side) pituudesta, vaan niiden välisestä aukeamasta.

K. Merikoski

Kolmioston tavallinen kulma

Määritelmä: Pistekolmikkoa <A,B,C> kutsutaan kolmioston tavalliseksi kulmaksi. Kulman suuruus on reaaliluku (tässä > 0). Tavallisesti pilkut jätetään pois ja kulmaa merkitään ∠ABC. usein on tapana sanoa "kulma ABC".

Huomaa, että kulma <A,B,C> on -<C,B,A>.

Tavallisesti puhutaan kuitenkin kulmien suuruuksien itseisarvoista eli tavallisesti ABC = BCA. Jos kyse on järjestetyistä kulmista, tämä mainitaan erikseen.

Kolme pistettä määrä useitakin kulmia eli ∠ABC, ∠ACB ja ∠BAC. Vaikka nämä kulmat ovat joskus yhtäsuuria (esimerkiksi tasasivuisessa kolmiossa) ne ovat yleensä erisuuria.

Jos on mahdollista, että kulma sekaantuu merkkiin "pienempi kuin", käytetään merkkiä ∠, joka saadaan html:ssä kirjoittamalla lähdetekstiin &ang;.

Kun etäisyydet |AB|, |BC| ja |AC| tunnetaan, kulman ∠ABC suurus |∠ABC| eli ∠ABC voidaan laskea (kosinilauseella, joka esitetään hieman alempana).

Birkhoff määrittelee kulman järjestetyksi pistekolmikoksi AOB, missä A ≠O ja B ≠O ja jokaista kulmaa ∠AOB vastaa reaaliluku m(∠AOB) (mod 2π). Viimeksi mainittu tarkoittaa, että kulman jaksona on 2π.

Me emme käytä kirjainta m emmekä hienompaa kirjainta μ. Kulman suuruus on myöhempänä ∠AOB.

Birhoffin PIII:ssa säteisiin l ja m liitetään yksi ja vain yksi reaaliluku |a_m-a_n| = m(AOB), missä A∈l ja B∈m (mod 2π).

Pistekolmikko määrää itse asiassa kaksi kulmaa, mutta, mutta sikäli kuin ei toisin mainita, kulmalla tarkoitetaan näistä kahdesta mahdollisesta kulmasta pienempää (suoran kulman tapauksessa molemmat ovat yhtä suuria).

Huomaa, että kulmaa ja kulman suuruutta merkitään usein samalla tavalla, mutta tämä käytäntö on matematiikassa yleinen.

Kosinilauseen (alempana esiteltävä aksiooma eli perusoletus) mukaan tavallisille (tässä > 0) kulmille ∠ABC = ∠CBA, ∠BAC = ∠CAB ja ∠BCA = ∠ACB.

Ellei toisin mainita, tässä artikkelissa puhutaan tavallisista (>0) kulmista.

Todellisuudessa kulmia vastaavia olioita voidaan likimäärinmitata.

Tavallisissa geometrian oppikirjoissa yllä olevan kuvan BA:ta sanotaan kulman vasemmaksi kyljeksi ja janaa BCsanotaan kulman oikeaksi kyljeksi.

Ihminen erottaa piiroksista vasemman ja oikean (useimmiten sen jälkeen, kun on oppinut puhumaan), mutta matemaattisesti on sama, mikä valitaan vasemmaksi ja mikä oikeaksi. Olennaista on, että kulmalla on kaksi kylkeä (jotka voivat erikoistapauksissa yhtyä).

Harjoitus:

Piirrä viivaimella tavallinen kulma.
Pohdi miksi kulman käsitettä ei välttämättä löydy alkeisgeometrian aksioomajärjestelmistä?
Osoita, että kulmia on olemassa.

Huomautus: Monet lähteet (mm. Matti Lehtisen em. teos s. 7) määrittelevät kulman kahden säteen (eli puolisuoran, esitelty alempana) yhdisteeksi ts.

∠ABC = AB U AC.

Kulmien merkitsemisestä

Tavallisia vastapäiväisiä (positiivisia) kulmia merkitään seuraavassa lyhyesti ∠ABC.

Määritelmä: Keskimmäistä pistettä B sanotaan kulman kärjeksi (vertex).

Mikäli toisin ei ole sanottu, merkinnöissä on noudatettu vastapäiväistä (positiivista) kiertosuuntaa.

Määritelmä: Pistepareja {A,B} ja {B,C} sanotaan kulman ∠ABC kyljiksi (angle side).

Kulma nimetään usein kärkipisteen mukaan, esimerkiksi kulmaa ∠ABC merkitään usein ∠B tai pelkästään B.

Jos Internetistä on lainattu kaavoja, kulmia merkitään myös x, y, z jne.

Joskus myös pieniä kreikkalaisia aakkosia kuten α, β, γ (α β γ jne. käytetään.

Harjoitus: Piirrä tavallinen kulma ∠ABC ja nimeä sen vasen kylki ja oikea kylki. Kummasta kyljestä pidät enemmän?

Kulman suuruus

Perusmääritelmä: Kulmaan liittyy reaaliluku, jota sanotaan kulman suuruudeksi. Kulman suuruus lasketaan kosinilauseella (alempana esiteltävä aksiooma eli perusoletus).

Kulman suuruus on mitta.

Todellisuudessa kulmia voidaan (likimäärin) mitata.

Harjoitus: Pohdi, mitä kulma mittaa.

Suoraviivainen kulma

6.6.2010

Koska kolmiosto on suoraviivainen pinta, kolmioston kulmaa voidaan sanoa suoraviivaiseksi kulmaksi.

Käyräviivainen kulma on kahden ei-suoraviivaisen viivan eli käyrän välinen kulma.

Vektorit (vectors)

Määritelmä

Määritelmä: Usein järjestettyjä janoja, joilla on suuruus ja suunta kutsutaan vektoreiksi.

Tässä on huomattava, että kaikki vektorit, joilla on sama suuruus ja sama suunta, ovat saman vektorin eri ilmentymiä.

Huomaamyös, että sama vektori voidaan merkitä peräkkäin itsensä kanssa kerrottaessa vektoria kokonaisluvuilla.

Tässä geometriassa vektoreita ei käytetä juuri mihinkään, joten sellaisia käsitteitä kuten "suuntainen" ei tässä yhteydessä ryhdytä tarkemmin määrittelemään.

Harjoituksia:

Keksi hyvä suomennos sanalla "vektori".
Osoita, että vektoreita on olemassa.

Vektorin kertominen reaaliluvulla

Vektoreista käytetään usein lihavia kirjaimia, esimerkiksi vektoria <AB> voidaan merkitä kirjaimilla a tai AB.

Määritelmä: Vektori k a, missä k on nollasta eroava reaaliluku, on vektorin <AB> suuntainen, kun k>0 ja vektorin <BA> suuntainen, kun k<0. Vektorin k <AB> pituus on |k| |AB|.

Vektorin pituus

21.7.2010

Vektorilla a on pituus, jota merkitään |a| tai a.

Vektorin pituus on alkupisteen ja loppupisteen välimatka eli jos a = AB, niin

|a| = |AB|.

Vektorien yhteenlasku

Vektorien <AB> ja <BC> summa määritellään
vektoriksi <AC>

Summavektorin pituus (kosinilause)

Perusoletus: Vektorien a ja b summavektorin c pituus lasketaan kaavalla

|c| = (|a|²+|b|²-2 |a| |b| cos C)^½

eli alempana esitettävällä kosinilauseella, joka tässä geometriassa on eräs perusoletuksista (sillä sidotaan kolmion kulmien suuruus kolmion sivujen pituuksiin).

Kosinin määritelmä

Perusmääritelmä: cos C lasketaan kosinin sarjakehitelmällä:

cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

Laskin ja tietokone laskevat kosinin silmänräpäyksessä.

Kosini on parillinen

cos(-x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ....= cos (x)

eli

cos (-x) = cos x

On tapana sanoa, että kosini on parillinen.

Kosinin sarjakehitelmä on siis tässä geometriassa kosinin määritelmä.

Vektorin vastavektori

Määritelmä: Vektorin a =<AB> vastavektori - a = <BA>.

Nollavektori

Määritelmä: Nollavektori on vektori <AA>, ja sitä merkitään 0 (onko nollavektorilla suntaa?).

Vektorien pistetulo

21.7.2010

Vektorien a ja b pistetulo a⋅b määritellään yhtälöllä:

a⋅b = ab cos (a,b),

missä (a,b) on vektorien a ja b välinen kulma.

Huomaa, että vektorien pistetulo on pelkkä reaaliluku.

Vektorien ristitulo

2.7.2010

Vektorien a ja b ristitulo axb määritellään yhtälöllä:

axb = ab sin (a,b) u,

missä u on opikean käden peukalosäännön mukaiseen suuntaan osoittava a:ta ja b:tä vastaan oleva ykkösen pituinen vektori.

Toisaalla on esitetty, että A = ½ ab sin C on sellaisen kolmion pinta-ala, jossa kaksi sivua ovat a ja b ja niiden välinen kulma on C.

Säde (ray, puolisuora)

Yhdenmukaistettu muiden oppikirjojen mukaiseksi 21.3.2010

Määritelmä: Säde (ray, half-line, puolisuora) AB_½ on niiden janaston AB (A≠B) pisteiden P joukko, jotka ovat janalla AB tai joille B on janalla AP. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

P∈AB_½ ⇔ A*B*P ∨ A*P*B.

Tämä voidaan ilmaista myös seuraavasti:

P∈AB_½ ⇔ AB U {P: A*B*P}

P∈BA_½⇔ B*A*P ∨ B*P*A.

Huomautus: Huomaa, että säde on oikeastaan sädeviiva.

Määritelmä: Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat oikokulman, jos niiden välinen kulma on π. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

Määritelmä: Kaksi O:sta alkavaa sädettä muodostavat suoran kulman, jos niiden välinen kulma on +π/2 tai -π/2. Tämä määritelmä on sama kuin Birkhoffilla.

Huomautus: Jotkut katsovat säteen AB alkupisteen A kuuluvan säteeseen (suljettu säde).

Säteet siis alkavat jonkin janan päätepisteestä ja janan pisteiden järjestys märää, kumpaan suuntaan säde suuntautuu.

Tavallisissa geometrian kirjoissa säde merkitään siten, että sen alkupiste merkitään kuten janan alkupiste A ja toinen piste B, joka määrää säteen suunnan, merkitään säteen viereen.

Säteeseen saatetaan merkitä myös nuoli, joka osoittaa sen suuunnan.

Määritelmä: Säteet AB ja BA ovat vastakkaisia (opposite).

Huomautus: Jos kahden pisteen A ja B kautta kulkeva suora S halutaan määritellä tässä geometriassa, se on

S = AB½ U BA½

Harjoitus:

Kuinka pitkä säde on?
Etsi yksi aksioomajärjestelmä, jossa alkupiste kuuluu puolisuoraan ja yksi aksioomajärjestelmä, jossa alkupiste ei kuulu puolisuoraan. Pohti, miten tällaiset erot ovat mahdollisia.
Osoita, että säteitä on olemassa.

Kulman suuruuden laskeminen (magnitude of the angle)

Funktiot

Kulman suuruus lasketaan tässä esityksessä muiden olioiden suuruuksista käyttäen kosinilausetta ja funktioita

sin A, cos A, arcsin A ja arccos A.

Tässä tarvitsee tietää vain, että sin, cos, arccos ja arcsin lasketaan sarjakehitelmillä, jotka löytyvät esimerkiksi Wikipedian artikkelista Trigonometriset funktiot.

Nimitys arc sin x tulee merkinnästä arc(sin x) missä arcus tarkoittaa kaarta.

Funktioista arcsin ja arccos käytetään myös merkintöjä

sin^-1 ja cos^-1php - ohjelmointikielessä näistä funktioista käytetään nimityksiä

asin ja acos.

Sinin määritelmä

Määritelmä: Sini lasketaan sarjakehitelmällä

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Merkintä 7! tarkoittaa 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7.

Merkintä x⁵ tarkoittaa x x x x x x x x x.

Sini on pariton

sin (-x) = -x + x³/3! - x⁵/5! + x⁷/7! + ...= - sin (x).

eli

sin (-x) = - sin(x).

On tapana sanoa, että sini on pariton funktio

Arcusfunktiot

Sinin ja kosinin käänteisfunktiot arc sin x eli sin^-1 x ja arc cos x eli cos^-1x eivät ole yksikäsitteisiä, mutta tässä esityksessä ei pohdita tätä asiaa tämän tarkemmin. Lisätietoa saa Internetistä.

Käytännössä laskimet ja tietokoneohjelmat laskevat arkusfunktiot sarjakehitelmillä:

arcsin(x) = x + 1/2 (x³/3) + (1/2)(3/4)(x⁵/5) +
(1/2)(3/4)(5/6)(x⁷/7) + ...

arccos(x) = ½π - arcsin(x).

π (lue: pii) on vakio, jonka mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan laskea sarjakehitelmillä.

Tietokone laskee sarjakehitelmät suurella tarkkuudella alle silmänräpäyksen.

Radiaani (radian) ja aste (degree)

7.4.2010

Kulmien yksiköinä käytetään tässä esityksessä radiaania ja astetta. Astetta merkitään ⁰. Radiaania merkitään rad.

Määritelmä: Radiaani on se yksikkö, joka antaa kulman suoraan sarjakehitelmän likiarvona.

Määritelmä kompleksilukujen ystäville:

e^it = cos t + i sin t
missä t on kulma radiaaneissa.

Jos kulma on x radiaania, se on (180⁰ x)/π astetta.

Laskelmissa asteet on muutettava radiaaneiksi lausekkeella (πx)/180⁰.

Useimmat lukiolaisen laskimet ja tietokoneiden ohjelmointikielet tuntevat tämän vakion likiarvon melko suurella tarkkuudella (englanniksi: pi, html:ssä π) .

Harjoitus: Muunna lukiolaisen laskimella asteissa mitattuja kulmia radiaaneiksi. Jos sinulla ei ole lukiolaisen laskinta, käytä tietokoneesi käyttöjärjestelmän mukana tulevaa laskinohjelmaa.

Ubuntussa valitse Apuohjelmat / Laskin ja ota käyttöön Tiedetila.

Ubuntussa käänteisfunktiot tulevat näkyviin, kun pannaan rasti ruutuun Inv sanasta inverse = käänteinen.

Säteiden välissäolo

14.5.2010

Kulman muodostamisaksiooma (Venema):

∀r∈R: 0<r<π ja kaikille puolitasoille H joita AB rajoittaa, on olemassa säde AE siten, että E∈H ja μ(∠BAE) = r.

Määritelmä: Säde AD on säteiden AB ja BC välissä silloin ja vain silloin, kun on olemassa pisteet X, Y ja Z siten, että mikään näistä pisteistä ei ole a, X kuuluu AB:hen, Y kuuluu BC:hen ja Z kuuluu AD:hen ja X*Y*Z.

Tällainen säde jakaa kulman kahteen osaan.

Merkintä: Jos säde AD on säteiden AB ja BC välissä, merkitään AB * AD * AC.

Saman kolmioston (tason) peräkkäiset eli vierekkäiset kulmat

8.2.2010

Määritelmä: Olkoot ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 saman kolmioston (tason) kulmia, joilla on yhteinen kärki (vertex) P ja yhteinen (eriniminen) kylki PB. Tällöin kulmia ∠APB ja ∠BPC sanotaan peräkkäisiksi tai perättäisiksi tai vierekkäisiksi kulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Olkoot AOB ja BOC kaksi kulmaa, joiden yhteinen kärki on O ja yhteinen sivu on QB.

Kulmat ovat peräkkäisiä tai perättäisiä tai vierekkäisiä kulmia, jos on olemassa pisteet A', B' ja C' puolisäteiltä OA, OB ja OC tai niiden vastasäteiltä niin, että mikään pisteistä ei ole O ja A'*B'*C'.

Saman kolmioston (tason) kulmien yhteenlasku ja vähennyslasku

23.2.2010

Päätelmä: Koska kulman suuruus on mitta,

μ(∠ APB) ∪ (∠BPC) = μ(∠APC).

Venemalla tämä on aksiooma, koska hän käyttää ns. koordinaatistofunktiota välimatkojen laskemiseen. Me käytämme johdonmukaisesti sekä välimatkaa että kulman suuruutta eri keinoin todellisuudesta hankittavina reaalilukuina.

Määritelmä: Olkoot ∠ABP > 0 ja ∠BPC > 0 kolmioston peräkkäisiä kulmia. Kulmien ∠ABP ja ∠BPC summa on

∠ APB + ∠BPC = ∠APC

ja

|∠APB| + |∠BPC| = |∠APC|.

Määritelmä: Olkoot ∠ABP > 0 ja ∠BPC > 0 peräkkäisiä kulmia ja olkoon |∠APC| > |∠BPC|. Kulmien ∠APC ja ∠BPC erotus on

∠ APC - ∠BPC = ∠APB

ja

|∠APC| - |∠BPC| = |∠APB|

Kolmittain nämä pisteet muodostavat kolmioita (määritellään myöhemmin).

Kulmia mitattaessa pelkkä säde AD saa mitakseen nolla, ja jos mikään pisteistä A, B ja C ei ole muiden välissä ja pisteet ovat eri pisteitä

∠BAC > 0.

Huomautus: Kulmien yhtenevyys ja laskutoimitukset sisältävät aksioomia.

Harjoitus:

Piirrä viivaimella kaksi kulmaa ja suorita harpilla ja viivaimella kulmien yhteenlasku.
Piirrä viivaimella kaksi kulmaa ja suorita harpilla ja viivaimella kulmien vähennyslasku.

Kulmien yhtenevyys

14.5.2010

Määritelmä: Kulmat ∠ABC ja ∠DEF ovat yhtenevät silloin ja vain silloin, jos ne ovat yhtäsuuret.

∠ABC = ∠DEF ⇔ |∠ABC| = |∠DE|

Järjestetty kulma

Matematiikassa käytetään kiertosuuntia.

Määritelmä: Todellisuuden kiertosuunnista on sovittu siten, että vastapäivään on vastapäiväinen (positiivinen, counterclocwise) kiertosuunta

ja myötäpäivään on myötäpäiväinen (negatiivinen, clockwise) kiertosuunta.

Jos vastapäiväinen (positiivinen) kiertosuunta on A:sta C:hen, järjestettyä kulmaa merkitään +∠A,B,C. Jos kiertosuunta on C:stä A:han, kulmien suuruksille on voimassa: ∠C,B,A = - ∠A,B,C.

Huomaa, että käytämme järjestettyjen kulmien tapauksessa pilkkuja.

Ihminen erottaa ympäristössään myötäpäivään ja vastapäivään -käsitteet, mutta matemaattisesti on tärkeää vain se, että on kaksi kiertosuuntaa.

Huomaa, että miinusmerkkinen eli negatiivinen kulma voi syntyä myös kulmien vähennyslaskussa, kun yllä oleva järjestysehto ei ole voimassa.

Harjoitus: Pohdi miksi kiertosuunta on vain kaksi.

Kulman kertominen ja jakaminen reaaliluvulla

Määritelmä: Koska kulman ∠ABC > 0 suuruus |∠ABC| > 0 on reaaliluku, voidaan laskea kulman k∠ABC suuruus, joka on k |∠ABC|.

Määritelmä: Kulma jaetaan reaaliluvulla k>0 siten, että se kerrotaan k:n käänteisluvulla 1/k (k ei saa olla nolla).

Se, miten tällaisia kulmia muodostetaan, on tekninen kysymys.

Harpilla ja viivaimella kulmia voidaan helposti kaksinkertaistaa tai jakaa kahdella.

Harpilla ja viivaimella kulmaa ei voida jakaa kolmeen osaan, mutta muilla tekniikoilla se onnistuu. Eräille erikoiskulmille kolmijako on mahdollinen.

Harjoitus:

Piirrä kulma ja jaa se harpilla ja viivaimella kahteen osaan (Vihje: Jako on esitetty em. Valistuksen mittausopin sivulla 13.).
Piirrä kulma ja kerro se harpilla ja viivaimella kolmella.
Tarkista tulokset aste- tai radiaanilevyllä.
Jaa suora kulma harpilla ja viivaimella kolmeen yhtäsuureen osaaan.

Kulmien kertominen keskenään

10.4.2010

Koska kulman suuruus on reaaliluku, kulmia voidaan jopa kertoa keskenään, ilmaus

∠ABC ⋅∠DEF

on täysin mielekäs.

Esimerkiksi π² on täysin sallittu kulma (mod 2π).

Neliöidessä pienet kulmat pienenevät, esimerkiksi π/4 = 0,785398163 ja (π/4 )² = 0,616850275.

Laskelmat on tehty Ubuntun laskimen oletustarkkuudella.

Harjoitustehtävä: Laske π² likiarvo.

Kulmien kertominen keskenään ei ole erityisen muodikasta, koska hakukone kysyy "tarkoititko enkelien kertomista" (angel = enkeli ja angle = kulma).

Harjoitustehtävä napakoordinaattien ystäville:

Piirrä käyrä r = π^t. missä t kulma ja r on etäisyys kiinteästä pisteestä O ja piirtäminen aloitetaan jostakin janasta OB, mikä esittää kulmaa 0.

Miksi tässä oppikirjassa ei ole yksikkökulmaa

10.4.2010

Koska kulmien suuruudet ovat reaalilukuja, kulma voi saada arvon 1.

Jos tunnetaan kulman ∠ABC kärkipiste B, piste P kyljeltä BA ja piste C kyljeltä BC, kulman suuruus voidaan laskea kosinilauseella.

Kosinilause antaa kulman suuruuden yksiköissä, josta käytetään nimitystä radiaani. Radiaanille ei käytetä mitään merkkiä kuten asteelle.

Periaattessa yksikkökulma on

∠BAC/μ(∠BAC),

mutta emme käytä täällä mitan merkkiä vaan μ(∠BAC) kirjoitetaan ∠BAC.

Kolmioston kulmien luokittelu (angles of the trinity)

Välinen (included)

Esimerkiksi välinen kulma tai välinen sivu.

Terävä kulma (acute angle)

Määritelmä: Jos kulma on >0 ja alle π/2 radiaania (eli 90⁰), kulmaa sanotaan teräväksi.

Harjoitus: Piirrä terävä kulma. Miten voit varmistua siitä, että piirtämäsi kulma on varmasti terävä?

Tylppä kulma(obtuse angle)

Määritelmä: Jos kulma on yli π/2 radiaania eli 90⁰ mutta alleπ radiaania eli 180⁰, kulmaa sanotaan tylpäksi.

Harjoitus: Piirrä tylppä kulma. Miten voit varmistua siitä, että piirtämäsi kulma on varmasti tylppä?

Suora kulma (right angle)

Määritelmä: Jos kulma on π/2 radiaania eli 90⁰ , kulmaa sanotaan suoraksi.

Mitattomassa geometriassa (esim. Eukleideen geometria) kulma on suora, jos se on yhtä suuri kuin oma vieruskulmansa. Yllä olevassa kuvassa ∠APB ja ∠BPC ovat toistensa vieruskulmia.

Harjoitus: Piirrä harppia ja viivainta käyttäen suora kulma.

Vihje: Menetelmä on esitetty K. Merikosken Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille Otava, Helsinki, 1923 sivulla 9.

Kohtisuoruus (perpendicular)

Määritelmä:

Janat AB ja BC ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa eli A ⊥ B, jos niiden välinen kulma on ½π eli 90⁰ eli suora.
Jos tarkastellaan janoja AB ja CD, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, janat AB ja CD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos on olemassa piste E siten, että janan AB ulkojana FE ja janan CD ulkojana GH ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Koska kulmat ovat reaalilukuja, kulman suuruus ½π on mahdollinen.

Harjoitus:

Piirrä harppia ja viivainta käyttäen AB ja sitä vastaan kohtisuora BC.
Ota selvää, millaisella välineellä rakennustyöläiset mittaavat suoria kulmia.

Vihje: Menetelmä on esitetty K. Merikosken Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille Otava, Helsinki, 1923 sivulla 9

Oikokulma (straight angle)

Määritelmä: Jos kulma on π radiaania eli 180⁰ , kulmaa sanotaan oikokulmaksi.

Harjoitus: Piirrä viivainta käyttäen oikokulma.

Oikokulma ja välissä oleminen

9.3.2010

Oikokulma ja välissä oleminen liittyvät toisiinsa siten, että jos ∠ABC on oikokulma, B on pisteiden A ja B välissä.

Kovera (concave) kulma

Määritelmä: Kulma ∠ABC > 0 on kovera, jos sen mitta on alle π radiaania (alle 180^o) eli oikokulmaa pienempi. Koverat kulmat jaetaan teräviin, suoriin ja tylppiin.

Täysi kulma (full agnle)

Määritelmä: Jos kulma on 2π eli 360⁰, sitä sanotaan täydeksi kulmaksi.

Kupera (convex) kulma

Määritelmä: Kulma on kupera jos se on yli π radiaania eli jos sen asteluku ylittää 180⁰

Komplementtikulmat (complementary angles)

Määritelmä: Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa komplementtikulmia, jos niiden summa ∠APC on π/2 eli 90⁰.

Täydennyskulmat (suplement angle)

Määritelmä: Saman kolmioston kulmat ∠APB > 0 ja ∠BPC > 0 ovat toistensa täydennyskulmia, jos niiden summa ∠APC on π eli 180⁰.

Myöhemmin osoitetaan, että jos α ja β ovat täydennyskulmat, niin:

$α + β = π$
$sinα = sinβ$
$cosα = - cosβ$

Harjoitustyö:

26.1.2010

Laadi astelevyä vastaava radiaanilevy. Hae tälle levylle patentti Yhdysvalloista.

Vihje: Käytä Inkscapen valintaa Laajennokset/Hahmonna/Polaarinen ruudukko.

Eksplementtikulmat

Eksplementtikulmilla tarkoitetaan saman kolmioston kulmaparia jossa kulmien summa on 2π eli 360⁰.

Myöhemmin osoitetaan, että eksplementtikulmille α ja β pätee

α + β = 2π

cosα = cosβ

sinα = − sinβ

Kolmioston murtoviiva (broken line)

Määritelmä

Olkoon

A = <A₁,A₂,...,A_n>

Järjestety kolmioston (tason) pistejoukko, jossa on n > 3 eri pistettä.

Määritelmä: Kolmioston janat A₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n ja kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-2A_n-1A_n muodostavat murtoviivan:

A₁A₂ U A₂A₃ U....U A_n-1A_n

Murtoviiva pyritään myöhemmin määrittelemään yllä olevaa täsmällisemmin.

Huomautus: Monissa oppikirjoissa murtoviivoiksi kutsutaan vain niitä murtoviivoja, jotka ovat topologisesti ekvivalentteja janan kanssa.

Kolmioston murtoviivan pituus

14.2.2010

Määritelmä: Kolmioston murtoviivan pituus on murtoviivan eri janojen pituuksien summa

ΣA_nA_n+1

kun n saa arvot 1:stä n-1:een.

Kreikankielen (iso sigma) Σ tarkoittaa summaa.

Yllä olevassa kuvassa Inkscape on laskenut murtoviivan pituuden näytön pisteissä.

Kolmioston murtoviivan oikaiseminen (rectifying)

8.3.2010

Määritelmä: Kolmioston murtoviivan oikaisuksi nimitetään sellaista janaa, jonka pituus on murtoviivan eri janojen pituuksien summa.

Harjoitus: Piirrä kolmio ja piirrä jana, joka on oikaistu kolmio.

Kolmiostomonikulmio (polygon)

Määritelmä

Määritelmä: Olkoon

A = <A₁,A₂,...,A_n>

kolmioston järjestety pistejoukko, jossa on n eri pistettä.

JanatA₁A₂, A₂A₃,....,A_n-1A_n, A_nA₁ ja niiden väliset kulmat ∠A₁A₂A₃ ...∠A_n-1A_nA₁ muodostavat kolmioston monikulmion.

Formaali määritelmä:
Monikulmio on

P = A₁A₂ ∪ A₃A₄ ∪ ...A_n-1A_n ∪ A_nA₁.

Huomautus: Monikulmio pyritään myöhemmin määrittelemään yllä olevaa täsmällisemmin. Tavallisesti monikulmion on oltava topologisesti ekvivalentti ympyrän kanssa.

Nimitys "monikulmio" johtuu siitä, että monikulmiossa on monta kulmaa. Yksinkertaisin monikulmio on kolmio, jossa on kolme kulmaa. Kaksikulmiota ei ole oikeasti olemassa, vaikka janaa voisi pitää kaksikulmiona, jonka molemmat kulmat ovat nollia.

Huomaa, että monikulmio voi olla kuinka moniulotteinen tahansa. Kolmiulotteisen murtoviivan määritelmässä tarvitaan kaarevuuskulmat ja kierevyyskulmat.

Tavallisen kolmiostomonikulmion pisteet ovat samassa (kolmen pisteen määräämässä) kolmiostossa (tasoessa).

Lisäksi usein oletetaan, että tavallinen kolmiostomonikulmio on Jordan -käyrän (määritellään myöhemmin) rajoittama ja janat (monikulmion sivut) eivät leikkaa toisiaan muualla kuin kolmiostomonikulmion kärkipisteissä.

Määritelmä: Takaisin taipunut monikulmio (reflex polygon) on monikkulmio, joka leikkaa itsensä kahdessa tai useammassa pisteessä.

Seuraavassa kolmiostomonikulmiota sanotaan monikulmioksi.

Harjoitus: Miksi yhdistettä ∪ käytettäessä ei ole mainittu kulmia?

Sisäkulma (interior angle)

Määritelmä: Sisäkulma (interior angle) on monikulmion kärkikulma (kärjen viereisten sivujen välinen kulma).

Yllä olevassa monikulmiossa esimerkiksi punaisella ja vihreällä merkityt kulmat ovat sisäkulmia.

Harjoitus: Piirrä monikulmio ja väritä sen sisäkulmat.

Kupera

11.4.2010

Määritelmä: Joukko K on kupera (convex) jos kaikille A, B ∈ K, AB ⊂ K.

Suomeksi: Pistejoukko on kupera, jos se sisältää kaikki janat, joiden päätepisteet kuuluvat pistejoukkoon.

Kolmioston (tason) erotteluaksiooma

11.4.2010

Kolmioston (tason) erotteluaksiooma. Olkoon l kolmioston (tason) P janasto (suora). Tällöin

P - l = H₁ ∪ H₂ ,

missä

S1. H1 , H₂ ovat kuperia joukkoja

S2. H₁ ∩ H₂ = Ø (pistevieraita joukkoja).

S3. Jos A ∈ H₁ ja ∈ H₂ silloin janasto (suora) leikkaa janan AB.

Kuperia joukkoja H₁ ja H₂ kutsutaan janaston (suoran) määräämiksi puolitasoiksi. Huomaa, ettei suora l kuulu puolitasoon.

Tämä vastaa suunnilleen Hilbertin aksioomaa H7.

Harjoitus: Ota tyhjä paperiarkki. Piirrä siihen viivaimella laidasta laitaan ulottuva suora viiva. Muodosta kaksi puolitasoa leikkaamalla paperi viivaa pitkin kahtia.

Kupera tavallinen monikulmio

Määritelmä: Jokainen kuperan (konveksin = convex) monikulmion sisäkulma on korkeintaan π radiaania eli 180⁰.

Kovera

7.4.2010

Määritelmä: Pistejoukko S on kovera, jos se ei ole kupera.

Huomautus: Tavallisesti käsitteitä kupera ja kovera käytetään yhtenäisistä (määritellään myöhemmin) pistejoukoista.

Kovera tavallinen monikulmio

Määritelmä: Tavallinen monikulmio, joka ei ole kupera (konveksi), on nimeltään kovera (konkaavi = concave) monikulmio. Koveran (konkaavin) monikulmion jokin sisäkulma on yli π radiaania eli 180⁰.

Tasasivuinen (equilateral) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on tasasivuinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

Yllä olevaa tasasivuista monikulmiota sanotaan tasasivuiseksi kolmioksi.

Tasakulmainen (equiangular) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on tasakulmainen, jos sen kulmat ovat yhtä suuret.

Yllä olevaa tasakulmaista monikulmiota ABCD sanotaan suorakulmaiseksi.

Harjoitus: Voiko tasakulmainen monikulmio olla kovera?

Säännöllinen (regular) monikulmio

Määritelmä: Monikulmio on säännöllinen, jos se on sekä tasasivuinen että tasakulmainen.

Harjoitus: Piirrä harppia ja viivainta käyttäen säännöllinen kuusikulmio.

Monikulmion lävistäjät (diagonal)

Määritelmä: Niitä monikulmion kärkien välisiä janoja, jotka eivät ole monikulmion sivuja, sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

Kuperassa monikulmiossa, jossa on n kärkeä, on ½n(n-3) lävistäjää.

Harjoitus: Perustele yllä oleva lävistäjien lukumäärän kaava.

Kolmioviiva ja kolmioalue (triangle)

Määritelmä: Kolmioviiva on tavallinen monikulmio, jossa on kolme kulmaa.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Kolmio on kolme pistettä, joista mikään ei ole muiden välsissä.

Määritelmä: Suljettu kolmioalue on niiden pisteiden joukko, jotka ovat kolmioviivalla tai kahden kolmioviivan pisteen välissä.

Muut monikulmiot koostuvat kolmioista.

Määritelmä: Koostuvat tarkoittaa sitä, että monikulmion pinta-ala saadaan laskemalla yhteen tai vähentämällä toisistaan kolmioiden pinta-aloja.

Harjoitus:

Piirrä viivaimella kolmio.
Voiko kolmio olla kovera?

Nelikulmio (tetragon = quadrilateral)

Määritelmä: Nelikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on neljä kulmaa.

Viisikulmio (pentagon)

Määritelmä: Viisikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on viisi kulmaa.

Kuusikulmio (hexagon)

Määritelmä: Kuusikulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kuusi kulmaa.

Seitsenkulmio (heptagon)

Määritelmä: Seitsenkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on seitsemän kulmaa.

Kahdeksankulmio (octagon)

Määritelmä: Kahdeksankulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kahdeksan kulmaa.

Yhdeksänkulmio (nonagon)

Määritelmä: Yhdeksänkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on yhdeksän kulmaa.

Kymmenkulmio (decagon)

Määritelmä: Kymmenkulmio on tavallinen monikulmio, jossa on kymmenen kulmaa.

Harjoitus: Piirrä monikulmiot yksitoistakulmiosta kaksikymmenkulmioon.

Vihje: Piirtämistä helpottaa, jos käytät sekä koveria että kuperia kulmia.

Janastot (set of line segments)

17.3.2010

Janaston pisteet

Alla olevassa janastossa AB pisteitä on merkitty lyhyillä pystysuorilla viivanpätkillä. Pisteitä voi siis olla välillä AB ja välin AB ulkopuolella. Huomaa, että janaston pisteet ovat aina äärettömän monien janojen päätepisteitä.

Janaston AB janojen pisteet muodostavat pistejoukon, jonka pisteitä sanotaan yksinkertaisuuden vuoksi janaston pisteiksi (suoran AB pisteiksi).

Kuvissa janastoja esitetään janastojen edustajilla eli janoilla. Menetelmä on sama kuin piirrettäessä vektorin edustajia.

Vihje: Jos useita janoja kuuluu janastoon, kannattaa ensin piirtää suora viiva ja sitten on helppo merkitä siihen janaston janoja.

Harjoitus: Mikä ero on janastolla ja suoralla?

Samalla puolella ja eri puolilla

Määritelmä: Jos pisteet P ja Q eivät kuulu janastoon AB, ne ovat eri puolilla janastoa AB, jos janalla PQ on jokin janaston janan piste X.

Jos tällaista pisteettä X ei ole, pisteet P ja Q ovat samalla puolella janastoa.

Kahdesta pisteestä P ja Q voidaan sanoa, että ne joko ovat eri puolella janastoa tai ovat samalla puolella janastoa (tämä on eräs aksioomia).

Puolikolmiosto

7.4.2010

Määritelmä: Puolikolmiosto (puolitaso) on niiden kolmioston pisteiden joukko, jotka ovat samalla puolella janastoa.

Harjoitus: Piirrä puolikolmiosto.

Janasta riippumaton piste

8.3.2010

Määritelmä: Piste P on janasta AB riippumaton, jos se ei kuulu janastoon AB

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.

Jo edellä on oletettu, että jos AB on jana, on olemassa AB:n janastoon kuulumaton piste C (Veblenin E₂).

Määritelmä: Pisteen P on janastoon AB kuulumaton (ulkopuolella) jos ja vain jos |AP|+|PB|>|AB|.

eli jos mikään seuraavista ei ole voimassa:

P*A*B, A*P*C, A*B*P.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella jana AB ja janaston ulkopuolella oleva piste P.
Millä aksioomilla janastoon kuulumaton psite määritellään?

Riippumattomat janastot

9.3.2010

Määritelmä: Kolmioston eri janastot l ja m ovat toisistaan riippumattomia jos ja vain jos on olemassa sellainen piste P, joka kuuluu janastoon l mutta ei kuulu janastoon m.

Toisiaan leikkaavat (intersecting) janastot

Määritelmä: Kaksi kolmioston janastoa l ja m leikkaavat toisiaan, jos niillä on yksi ja vain yksi yhteinen piste P.

l ∩ m = {P}.

Harjoitus:

Kuinka moneen osaan kaksi toisiaan leikkaavaa janastoa jakaa kolmioston?
Miten näiden osien suuruutta voidaan mitata?

Yhteensattuvat (concurrent) janastot

2.5.2010

Määritelmä: Kolme tai useampia janastoja ovat yhteensattuvia, jos ne ovat eri janastoja mutta niillä on yksi yhteinen piste P.

l ∩ m ∩ n = {P}.

Harjoitus:

Piirrä viisi yhteensattuvaa janastoa.
Kuinka todennäköistä on, että viisi janastoa yhteensattuu?

Janaston osajoukkoja

Janaston osajoukkoja ovat mm. janaston pisteet, janaston janat (suljetut välit), janaston avoimet välit ja janaston vektorit.

Janaston osajoukkoja ovat myös erilaiset yhdisteet ja leikkaukset yllä mainituista osajoukoista.

Kohtisuorat (perpendicular) janastot

18.3.2010

Määritelmä: Kaksi kolmioston toisiaan leikkaavaa janastoa l ja m ovat kohtisuoria jos ja vain jos on olemassa janaston l jana AC ja janaston m jana BD, jotka leikkaavat toisiaan pisteessä P ja kulma ∠CPB on suora.

l ⊥ m ⇔
∃(AC∈l)∃(BD∈m)(P∈AC ∧ P∈BD ∧ PC⊥PB).

Harjoitus: Vertaa suuruudeltaan toisiinsa niitä kolmioston osia, joihin kaksi kohtisuoraa janastoa jakaa kolmioston.

Keskipistekohtisuora eli janan keskinormaali (perpendicular bisector of the line segment)

Alla olevassa kuvassa on yhtä pitkiä janoja AE ja EB merkitty yhdellä vinoviivalla.

21.3.2010

Määritelmä: Janan AB keskipistekohtisuora (keskinormaali) CD on pistejoukko, jonka pisteet ovat yhtä etäällä janan päätepisteistä A ja B.

Siis jos X on janan keskipistekohtisuoran piste, niin

|AX| = |BX|.

Keskipistekohtisuoraan kuuluvat janan keskipiste E ja janan ulkopuolisia pisteitä.

Päätelmä: CD kuuluu janastoo l, jolle pätee

l on kohtisuorassa janastoa AB = m vastaan,
l kulkee janan AB keskipisteen kautta.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella jana AB ja sen keskipistekohtisuora (keskinormaali):

Etäisyyksiä ja välimatkoja

Pisteen etäisyys pistejoukosta

Määritelmä: Pisteen P etäisyys pistejoukosta A on lyhin etäisyyksitä |PX|, missä X kuuluu A:han. Jos P kuuluu A:han, tämä etäisyys on nolla.

Vaihtoehtoinen määritelmä (em. teoksesta General Topology):

Olkoon d metriikka joukossa X. Joukon X pisteen p etäisyys eityhjästä X:n osajoukosta A on

d(p,A) = inf {d(p,a): a ∈ A}.

Harjoitus: Mittaa pöydän ja tuolin välinen etäisyys SI -yksiköissä.

Pisteen etäisyys janastosta

Määritelmä: Pisteen P lyhin etäisyys janastosta AB on sen janan pituus, joka on lyhin janoista PX, missä X on janaston piste.

Harjoitus: Mittaa kynän kärjen etäisyys lattiasta.

Kahden pistejoukon välinen etäisyys

Määritelmä: Kahden pistejoukon A ja B välinen etäisyys on lyhin etäisyyksistä |XY|, missä X kuuluu A:han ja Y kuuluu B:hen.

Kahden pistejoukon etäisyys voi olla myös nolla.

Vaihtoehtoinen määritelmä (em. teoksesta General Topology):

Kahden eityhjän X:n osajoukon A ja B välinen etäisyys on

d(A,B) = inf {d(a,b): a ∈ A, b ∈ B}.

Harjoitus: Piirrä kaksi pistejoukkoa, joiden etäisyys on nolla.

Kahden janaston välimatka

Määritelmä: Kahden janaston l ja s välimatka on pienin luvuista |XY|, missä X kuuluu l:ään ja Y kuuluu s:ään.

Kahden janaston välimatka voi olla myös nolla.

Harjoitus: Piirrä kaksi janastoa ja mittaa niiden lyhin välimatka.

Janan ulkopiste

Ulkopiste

Määritelmä: Piste P on janan AB ulkopiste, jos se kuuluu janastoon AB mutta ei kuulu janaan AB.

P*A*B ∨ A*B*P.

Harjoitus: Olkoon AB eräs pöytäsi särmä jana. Piirrä seinään janan ulkopiste P.

Laajennettu kulma

18.3.2010

Määritelmä: Kulmaan ∠ABC liittyvä laajennettu kulma ∠ABC on niiden pisteiden joukko, johon kuuluvat kulman ∠ABC kärki B, säteet (kyljet) BA_½ ,BC_½ sekä kaikki ne pisteet, jotka ovat BA_½:lta ja BC_½:lta otettujen mielivaltaisten pisteiden A ja C välissä.

(X∈∠ABC) ⇔ X∈AB ∨ X∈BC ∨ [(Y∈BA ∧ Z∈ BC ∧ Y*X*Z) ⇒ X∈∠ABC)]

Seuraavassa ei erikseen eritellä, onko kyseessä kulma vai laajennettu kulma, koska jokaista kulmaa vastaa yksi ja vain yksi laajennettu kulma ja päin vastoin.

Määritelmä: Kulman sisäosa (interior, aukeama) on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat laajennettuun kulmaan mutta eivät kuulu kulman kylkiin eivätkä kärkeen.

Yllä olevassa kuvassa sisäosan pisteet on merkitty vihreällä.

Harjoitus: Tutki, millaisia erilaisia kulman määritelmiä on esitetty.

Sisäosalause

Määritelmä: Piste P kuuluu kulman BAC sisäosaan, jos

P on samalla puolella sivua AB kuin C ja
P on samalla puolella sivua AC kuin B.

Päätelmä: Olkoon l janasto (suora) ja P sen piste. Olkoon Q piste, joka ei ole janastossa (suoralla) l. Tällöin kaikki säteen PQ pisteet P:tä lukuunottamatta ovat samalla puolella janastoa (suoraa) l.

Perustelu: Olkoot P1 ja P2 kaksi säteen PQ:n pistettä, joista kumpikaan ei ole P ja jotka ovat vastakkaisilla puolilla janastoa (suoraa) l. Tällöin säteen päätepiste P olisi kahden säteen pisteen välissä, mikäon mahdotonta.

Harjoitus: Ota selvää, miten kulman sisäosa on määritelty eri aksioomajärjestelmissä.

Kolmioston koveran tavallisen kulman puolittaja (angle bisector)

18.3.2010

Määritelmä: Kolmioston koveran kulman ∠ABC puolittaja BD on niiden pisteiden P joukko, jotka ovat yhtä etäällä koveran kulman kyljistä BA ja BC.

P ∈ BD ⇔ d(P,BA) = d(P,BC)

Tavallisen (kolmioston) kulman puolittajaan kuuluvan vain ne pisteet, jotka kuuluvat myös laajennettuun kulmaan.

Päätelmä: Säde BD on kulman ∠ABC puolittaja silloin ja vain silloin, kun ∠ABD = ∠DBC ja ∠ABD + ∠DBC = ∠ABC.

Harjoitus:

Määrittele kuperan kulman puolittaja.
Piirrä harpilla ja viivaimella kulma ja sen puolittaja.
BF on kulman ∠ABC puolittaja. ∠ABD = ∠CBE. Osoita, että ∠DBF = ∠EBF.

Kolmio (triangle)

Määritelmä

Kolmio, kolmioviiva ja kolmioalue

Perusmääritelmä: Jos |AC| + |CB| > |AB|, missä kaikki etäisyydet ovat >0, sanotaan, että pisteet A, B ja C muodostavat kolmion

Veblen määrittelee kolmion sellaiseksi janojen joukoksi, jossa C ei ole A:n ja B:n määräämässä janastossa ja joka muodostuu janoista AB, BC ja CA. Myös Birkhoffilla kolmio on kolme janaa AB, BC ja CA.

He määrittelevät kolmioviivan, eivät tämän oppikirjan kolmiota, joka on kolme eri pistettä siten yllä esietyllä ehdolla.

Kolmion merkkinä käytetään tarvittaessa merkkiä Δ (html:ssä Δ).

Määritelmä: Suljettu kolmioviiva on suljettu käyrä, joka koostuu kolmesta janasta AB, BC ja CD, joilla on kaksittain yhteiset päätepisteet eli kärjet A, B ja C.

Määritelmä: Suljettu kolmioalue on niiden pisteiden joukko, jotka ovat kolmioviivan pisteitä tai ovat kahden saman kolmioviivan pisteen välissä.

Harjoitus:

Ota selvää siitä, miten kolmio esiintyy eri aksioomajärjestelmissä.

Nimityksiä

Kolmion kärjet

Määritelmä: Pisteitä A, B ja C sanotaan kolmion kärjiksi (vertex, monikko vertices).

Harjoitus: Miksi pisteitä A, B ja C sanotaan kolmion kärjiksi?

Kolmion sivut

Määritelmä: Avoimet välit ]AB[, ]BC[ ja ]CA[ ovat nimeltään kolmion ΔABC sivut (side).

Kolmiossa ΔABC väliä ]AB[ voidaan merkitä kirjaimella c, väliä ]AC[ kirjaimella b ja väliä ]BC[ kirjaimella a.

Kolmion ΔABC sivut ovat siis a, b ja c. Yksinkertaisuuden vuoksi a, b ja c tarkoittakoot seuraavassa myös sivujen pituuksia.

Huomautus: Kolmion ΔABC sivuiksi saatetaan kutsua myös janoja AB, BC ja CA.

Harjoitus: Piirrä kolmio ja mittaa sen sivujen pituudet SI -yksiköissä.

Kolmioviivan pituus (kolmion piiri, perimeter)

Määritelmä: Piiri (perimeter) eli ympärysmitta (circumference) tarkoittaa suljetun viivan pituutta. Monikulmion tapauksessa piiri on sivujen pituuksien summa. Ympyrän piiriä kutsutaan kehäksi.

Määritelmä: Kolmion ΔABC piiri on kolmioviiva (sen muodostavat janat AB, BC ja CA).

Kolmioviivan eli piirin pituus p (perimeter) lasketaan kaavalla p = |AB| + |BC| + |CA| eli p = a + b + c.

Määritelmä: Puolipiirin pituus (semiperimeter)

s = ½(a + b + c).

Harjoitus: Piirrä kolmioviiva ja mittaa sen piiri SI -yksiköissä.

Kolmion kulmat

Merkinnät: Kolmion ΔABC sivujen a, b ja c vastaisia kulmia merkitään isoilla kirjaimilla A, B ja C. Siis A on sivun a vastainen kulma.

Sivun a vastaista kulmaa saatetaan merkitä myös kreikkalaisella kirjaimella α (α) sivun b vastaista kulmaa kirjaimella β (β)ja sivun c vastaista kulmaa kirjaimella γ (γ).

Harjoitus: Piirrä kolmioviiva ja mittaa sen kulmat SI - järjestelmän yksiköissä. Laske saatujen kulmien summa.

Avoin kolmio ja kolmion sisäosa (interior)

Määritelmä: Pisteet Z, jotka eivät kuulu kolmioviivaan (kolmion ΔABC piiriin), mutta jotka ovat kolmioviivan (kolmion piirin erillisten) pisteiden X ja Y välissä, muodostavat avoimen kolmion Δ]ABC[, jota kutsutaan kolmion sisäosaksi.

Huomaa, että kolmion kärjet eivät kuulu avoimeen kolmioon.

Yllä olevassa kuvassa avoin kolmio Δ]ABC[ on väritetty keltaisella (piiri on väritetty mustalla).

Määritelmä: Piste P on kolmion sisäpuolella, jos se kuuluu kolmion sisäosaan.

Määritelmä: Jos piste ei kuulu klmioviivaan (kolmion piiriin) eikä sisäosaan, se on kolmion ulkopuolella.

Suljettu kolmio

Määritelmä: Suljettuun kolmioon Δ[ABC] kuuluvat kolmioviiva (kolmion piiri) ja kolmion sisäosa.

Yllä olevassa kuvassa sekä keltainen että musta osa kuuluvat kolmioon Δ[ABC].

Kolmion sisäosan pisteiden määräämä janasto

Määritelmä: Janasto XY on kolmion sisäosan pisteiden määrämä janasto, jos X ja Y ovat kaksi kolmion sisäosan Δ]ABC[ eri pistettä.

Kolmion sisäosan määräämää janastoa kutsutaan seuraavassa kolmion määräämäksi janastoksi.

Harjoitus: Miten tämä määritelmä esitetään eri aksioomajärjestelmissä?

Yleinen kielenkäyttö

Yleisessä kielenkäytössä kolmioksi kutsutaan usein kolmioviivaa (kolmion piiriä) P = AB U BC U CA. Joskus kolmioksi kutsutaan myös suljettua kolmiota.

Huomaa, että |P| = p = a + b + c ja puolipiiri s = ½p.

Harjoitus:

Miten kolmio määritellään eri aksioomajärjestelmissä?
Miksi kolmio on tavallisesti vain kolme pistettä, joista mikään ei ole muiden välissä?

Kolmiosto

Päätelmä: Koska jokaiseen kolmioon liittyy kulmia, mikä tahansa kolmen pisteen avulla annetuista kolmion kulmista, esimerkiksi A, B ja C, määrää kolmioston ΔABC (>0).

Kolmioston pisteet kolmion avulla

Päätelmä: Kolmion määräämän janaston pisteet ovat kolmioston (tason) pisteitä.

Yhdensuuntaisuus

Vieruskulmat (linear pair)

Määritelmä: Jos kolmiossa ΔABC piste D on sivun AB pisteiden A ja B välissä, kulmia ∠ADC ja ∠CDB kutsutaan toistensa vieruskulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Vierekkäiset kulmat ∠ADC ja ∠CDB ovat vieruskulmia silloin ja vain silloin, kun A*D*B.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kulma ja sen vieruskulmat.

Vieruskulmalause (linear pair theorem)

5.4.2010

Päätelmä: Jos kulmat ∠CDA ja ∠CDB ovat vieruskulmia, niiden summa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π.

Perustelu: Vieruskulman määritelmän mukaan vieruskulmien summa on oikokulma.

Käänteinen vieruskulmalause

6.6.2010

Päätelmä: Jos kahden saman kolmioston kulmille on voimassa ∠CDA + ∠CDB = ∠ADB = π niin kulmat ovat vieruskulmia.

Perustelu: Vieruskulman määritelmän mukaan kulmat ovat toistensa vieruskulmia.

Paschin päätelmä: Janasto ja kolmio

18.03.2010

Päätelmä: (Pascin aksiooma) Olkoon l janasto (suora), joka leikkaa yhden kolmion sivun sen sisäpisteen kautta eikä kulje vastakkaisen kärjen kautta. Tällöin janasto (suora) leikkaa toista sivua sen sisäpisteessä.

Perustelu:

Tarkastellaan kolmiota ABC. Oletetaan, että janasto (suora) kulkee sivun AB sisäpisteen D ∈ AB kautta.

Tällöin se jakaa tason kahteen puolitasoon H₁ and H₂ , missä A ∈ H₁, B ∈ H₂ .

Nyt sovelletaan Dirichlet'in periaatetta:

Olkoon meillä kaksi venettä ja kolme kalastajaa. Tällöin on olemassa laiva, jossa on vähintään kaksi kalastajaa.

Meidän tapauksessamme veneet ovat H₁ jaH₂ and kalastajat ovat pisteet A, B ja C.

Toinen puolitasoista sisältää kaksi pistettä.

Erotamme tapaukset:

1. A ∈ H₁ ja B, C ∈ H₂. Tässä tapauksessa A:ta ja C:tä erottaa janasto (suora) l ja S3:sta seuraa, että se leikkaa AC:tä. H₂:n kuperuuden perusteella jana BC sisältyy H₂:een and eikäleikkaa l:ää.

2. A, C ∈ H₁ ja B ∈ H₂ . Tässä tapauksessa janasto (suora) l erottaa A:n ja B:n ja S3:n perusteella janasto (suora) leikkaa janaa BC. Kun A, C ∈ H₁ , kuperuuden perusteella jana AC kuuluu H₁:een eikä janasto (suora) l leikkaa sitä.

Huomaa, että puolitasoja erottava janasto (suora) l ei kuulu kumpaankaan puolitasoon. Tästä syystä amerikkalaiseen esitykseen oli lisättävä ehto, jonka mukaan l ei kulje C:n kautta.

Puomi (crossbar)

5.4.2010

Koveran kulman BAC kyljillä olevien pisteiden B ja C välistä janaa sanotaan puomiksi (crossbar) (katso alla olevaa kuvaa).

Kulman sisäosa

Hilbertin puomilause

26.3.2010

Hilbertin puomilause: Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA.

Perustelu: Olkoon ABC kolmio. Jos D kuuluu kulman BAC sisäosaan, säde AD leikkaa sivua BA.

Olkoon A' piste, jolle A'*A*C. Mikä tahansa piste AC:lle vastakkaiselta säteeltä kelpaa. Janasto (suora) AD leikkaa uuden kolmion A'BC pisteessä A. Paschin lauseen mukaan sen on leikattava jompi kumpi sivuista A'B tai BC.

Seuraavaksi tarkastellaan AD:lle vastakkaista puolisädettä AD'. Voisiko se leikata jomman kumman sivuista A'B ja BC?

Koska D kuuluu kulman BAC sisäosaan, se on samalla puolella AC:tä kuin B.

Sisäosalauseen (esitetty edellä) mukaan kaikki A'B:n ja BC:n pisteet (lukuunottamatta pisteitä A' ja B) ovat samalla puolella AC:tä kuin D. Koska janasto (suora) AD leikkaa AC:tä A:ssa, kaikki vastakkaisen säteen AD' pisteet ovat eri puolella AC:tä. Tästä syystä AD' ei voi leikata A'B:tää tai BC:tä.

Osoittaaksemme, että säde AD leikkaa BC:tä meidän on suljettava pois se mahdollisuus, että se leikkaisi A'D:tä.

Huomaa, että A' ja C ovat vastakkaisilla puolilla janastoa (suoraa) AB, kun taas C ja D ovat samalla puolella janastoa (suoraa) AB.

Erotteluaksiooman mukaan A':n ja D:n on oltava janaston (suoran) AB eri puolilla. Tässä tapauksessa kaikkien A'B:n pisteiden (lukuunottamatta pistettä A') on oltavatoisella puolella AB:tä ja kaikkien säteen AD pisteiden (A:ta lukuunottamatta), toisella puolella.

Koska A ≠ B. säde AD ei voi laikata A'B:tä. Tästä syystä se leikkaa BC:tä.

Janojen välijanat

11.4.2010

Määritelmä: Alkoot AB ja BC kaksi janaa. Niiden mahdollista leikkauspistettä merkitään E:llä. Jos valitaan janalta AB piste F, joka ei ole E ja janalta CD piste F, joka ei ole E , janaa GF kutsutaan janojen välijanaksi.

Harjoitus: Piirrä kaksi janaa ja mittaa janojen suurin ja pienin välimatka.

Janan viereiset kulmat (adjacent angles)

11.4.2010

Määritelmä: Olkoot ABCD kolmioston murtoviiva. Kulmia ABC ja BCD sanotaan janan BC viereisiksi kulmiksi, kun kulmat ovat samalla puolella murtoviivaa.

Harjoitus:

Piirrä neljän pisteen murtoviiva ja mittaa kahden keskimmäisen pisteen viereiset kulmat.
Määrittele käsite "samalla puolella murtoviivaa".

Janojen yhdensuuntaisuus (parallel line segments)

11.4.2010

Määritelmä: Janat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin, kun kaikille välijanoille EF, missä E ∈ AB ja F ∈ CD, janan EF vierekkäisten kulmien summa on π.

Tavallisesti yhdensuuntaisuutta ei määritellä janoille vaan suorille.

Birkhoff määrittelee yhdensuuntaisuuden tavalliseen tapaan: Janastot (Suorat) ovat yhdensuuntaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Lisäksi janasto (suora) katsotaan yhdensuuntaiseksi itsensä kanssa.

Meidän yhdensuuntaisuuden määritelmämme vastaa yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa yhtäpitävää oletusta, jonka mukaan l ja m ovat yhdensuuntaiset, jos samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret, kun n leikkaa l:ää ja m:ää.

Me emme ole ottaneet samankohtaisuutta määritelmäämme mukaan, koska en ole keksinyt, miten määrittelisin samankohtaisuuden niin, ettei se aiheuta sekaannuksia (on vaikeuksia suunnistuksen kanssa).

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi yhdensuuntaista janaa.

Janastojen yhdensuuntaisuus

Janastot AB ja CD ovat yhdensuuntaiset, jos ne eivät ole sama janasto ja jos janat AB ja CD ovat yhdensuuntaiset.

Janastojen väliset sisäkulmat (interior angles)

14.5.2010

Määritelmä: Olkoot l ja m kaksi yhdensuuntaista janastoa ja olkoon n janasto, joka leikkaa niitä (transversal).

Kulmia AHG, BHG, CHH ja DGH kutsutaan sisäkulmiksi (interior angles), koska jana GH on janastojen (suorien) välinen jana.

Muita kulmia kutsutaan ulkokulmiksi (exterior angles).

Huomaa, että toisin kuin eräissä kirjoissa väitetään, tämä pätee vain yhdensuuntaisiin suoriin. Alla on esimerkki suorista, jotka eivät ole yhdensuuntaiset.

Tässä tapauksessa sisäkulmia ovat vain kolmion ABC sisisäkulmat ABC, BCA ja CAB, kaikki muut ovat ulkokulmia.

Yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus

27.4.2010

Päätelmä: Koska kulmat α ja π - α voivat olla yhtäsuuret eli α = π - α = π/2, on olemassa yhdensuuntaisten janastojen välijana, joka on kohtisuorassa molempia suoria vastaan.

Päätelmä: Jos eri kaksi m ja n janastoa on kohtisuorassa samaa janastoa l vastaan, nämä kohtisuorat janastot ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Perustelu: Ensimmäisen kohtisuoran m ja janaston l välinen kulma on π/2 ja samoin toisen kohtisuoran n ja janaston l välinen kulma on π/2.

Koska näiden kulmien CAB ja ACD summa on π, välijanan vierekkäisten kulmien summa on π ja nämä kohtisuorat janastot (suorat) ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Vuorokulmalause

7.4.2010

Päätelmä: Olkoot janastot DC ja AB yhdensuuntaisia ja olkoon kulma ∠BAD = α. Tällöin kulma ∠ADC = π - α. Olkoon F janaston DC piste siten, että D on F:n ja C:n välissä(F*D*C). Olkoon E janaston AB piste siten, että A on pisteiden E ja B välissä (E*A*B). Tällöin kulmat ∠FDA ja ∠DAB ovat yhtäsuuret ja suuruudeltaan α.

Perustelu: Kulma ∠FDA on kulman ∠ADC vieruskulma.

Päätelmä: Jos kulmat FDA ja DAB ovat yhtäsuuret, janastot ovat yhdensuuntaiset.

Perustelu: Kulman FDA vieruskulma ∠ADC = π - α.

Kulmia BAD ja ADF sanotaan joskus vastakulmiksi.

Harjoitus:

Piirrä kaksi yhdensuuntaista janaa ja mittaa niiden välinen kulma.
Määrittele vastakulmat.

Yhdensuuntaisuuden siirtyvyys (transitiivisuus)

11.4.2010

Päätelmä: Jos AB || CD ja CD || EF, niin AB || EF.

Perustelu: Olkoon AB || CD ja CD || EF.

Valitaan EF:ltä piste G, CD:ltä piste H ja AB:ltä piste I.

G, C ja I voivat olla samalla janastolla (suoralla) tai ne voivat muodostaa kolmion GCI.

Tapaus 1

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa GCI on kolmio.

Säde HD tai sille vastakkainen (opposite) säde HC on kulman GCI aukeamassa. Muuten CD yhtyisi janastoon CG tai janastoon HI, mikä on vastoin sitä oletusta, että GC ja HI ovat yhdensuuntaisten janastojen (suorien) välijanoja.

Hilbertin poikkipuomilauseen mukaan kärjen H jautta kulkeva janasto CD leikkaa kärjen vastaisen sivun pisteessä J.

Janojen AB ja CD yhdensuuntaisuusehdosta seuraa, että jos BIJ = α, niin IJD = π - α. IJD:n vieruskulmana GCD = α. Janojen CD ja EF yhdensuuntaisuudesta seuraa, että kulma JGF = π - α. Nyt kulmien GIB ja IGF summa on π ja janastot (suorat) AB ja EF ovat yhdensuuntaiset.

Tapaus 2

Tässä tapauksessa GI toteuttaa suoraan saman tehtävän kuin edellisessä kohdassa.

Samankohtaiset kulmat

13.5.2010

Ensin ajattelin, että en tässä oppikirjassa käytä käsitettä "samankohtaiset kulmat". Koska käsite esiintyy kaikessa eläkeläiselle helposti saatavissa olevissa aineistoissa, olen seuraavassa yrittänyt määritellä käsitettä "samankohtainen kulma".

Määritelmä: Samankohtaisiksi kulmiksi sanotaan kulmaa α ja sen vuorokulman ristikulmaa.

Yhdensuuntaisuuden määrittelemisestä ja ominaisuuksista

8.4.2010

Yhdensuuntaisuusaksiooma sanoo:

Janaston (Suoran) ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee yksi ja vain yksi tämän janaston (suoran) suuntainen janasto (suora).

Sen kanssa yhtäpitäviä ovat mm. seuraavat määritelmät:

Janasto (Suora), joka leikkaa toisen kahdesta keskenään yhdensuuntaisesta jasastosta (suorasta), leikkaa toisenkin.
On olemassa suoria, jotka ovat kaikkialla yhtä kaukana toisistaan.
Kolmion kulmien summa on oikokulma.
Kaikkien kolmioiden kulmien summa on sama.
Jokaiselle kolmiolle on olemassa sen kanssa yhdenmuotoinen kolmio, joka ei ole sen kanssa yhtenevä.
Millä tahansa kahdella yhdensuuntaisella janastolla (suoralla) on yhteinen kohtisuora.
Kolmen pisteen, jotka eivät ole samalla janastolla (suoralla), kautta kulkee ympyrä.
Jos kaksi janastoa (suoraa) ovat yhdensuuntaisia kolmannen kanssa, ne ovat myös keskenään yhdensuuntaisia.
Saccherin suorakulmaoletus on voimassa. Saccheri tarkastali nelikulmiota, jossa kaksi viereistä kulmaa olivat suoria ja suorien kulmien välistä sivua vastaan kohtisuorat sivut olivat yhtä pitkät. Jos tämä nelikulmio oletetaan suorakulmioksi, on esitetty yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa yhtäpitävä aksiooma.
Playfairin aksiooma on voimassa. Jos a on janasto (suora) ja A piste (ei a:n piste), niin on olemassa vain yksi janasto (suora) b, jolle A kuuluu ja joka on yhdensuuntainen a:n kanssa.
On olemassa suorakulmioita.
Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa.
Jos janasto (suora) leikkaa kahta yhdensuuntaista janastoa (suoraa),niin ns. samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret.
Kaikille pisteille annetun kulman sisäosassa on olemassa janasto (suora), jolla tämä piste on ja joka leikkaa kulman kylkiä eikä kulje kulman kärjen kautta.

Jätän lukijain mietittäväksi, miten nämä aksioomat ilmenevät tässä oppikirjassa.

Harjoitus:

Keksi yllä olevassa luettelossa mainitsematon aksiooma, joka on yhtäpitävä yhdensuuntaisuusaksiooman kanssa.
Kuinka monta janastoa (suoraa) janaston (suoran) ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee?

Kolmion pinta-ala (area)

Pinta-alakäsite

18.4.2010

Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille ja muinaisissa oppikoulun geometrian oppikirjoissa pinta-alaa määriteltiin ruudukon avulla.

Tässä oppikirjassa pinta-alan perusyksikkönä ei ole neliö, suorakulmio tai differentiaali jossain pinnassa vaan kolmio, jonka pinta-ala määritellään Heronin kaavalla.

Muut pinta-alat johdetaan erilaisilla menetelmillä tästä kaavasta.

μ(A) = ΣA_i.

Mitta- ja integraaliteoriaa (josta tämän kirjoittaja on tehnyt pro gradu -tutkielman), ei käytetä tässä oppikirjassa.

Jouduin ensimmäistä kertaa pinta-alojen mittaamisen kanssa tekemisiin, kun minun oli pakko rahoittaa opiskeluajan elämää. Minun piti mitata pinta-aloja Turun sataman kartasta.

Tein työtä jonkin aikaa kolmiomittauksella, mutta sitten äkykkäät insinöörit keksivät hakea kokeiltavaksi planimetrin, jolla suoritin loput mittaukset.

Mekaanisia planimetrejä saa parilla sadalla mutta jos mukana on eletroniikkaa, planimetri voi maksaa lähes tuhat euroa. Planimetri ei ole vieläkään mikään leikkikalu. Planimetrin toiminnan selittäminen tapahtuu integraalilaskennan avulla.

Ensimmäistä kertaa integraalien avulla suoritettavien mittausten kanssa jouduin tekemisiin, kun tohtori Erkki Pesonen antoi minulle harjoitustyöksi laskea eräiden jakaumien ns. häntiä.

Tilasin Yhdysvalloista Fortran - kääntäjän ja tein ohjelman, jonka piti laskea integraaleja numeerisesti. Silloinen IBM:n kaupallinen reikäkortteja syövä tietokone ei pystynyt tekemään laskelmaa.

Varsin yleisesti ajatellaan, että pinta-alat lasketaan Valistuksen mittausopissa maalaiskansakouluille mainittuja lukuunottamatta integraalilaskennalla. Valitettavasti integraalilaskennallakin suoritettavat laskelmat tehdään oikeissa käytännön tilanteissa usein numeerisesti, sillä tunnettujen integroituvien funtioiden joukko on rajallinen.

Harjoitus:

Piirrä ruudulliselle paperille suljettu käyrä ja arvioi sen pinta-alaa laskemalla ruutuja.
Tarkista pinta-ala planimetrillä (sellaisen voi lainata kokeiltavaksi planimetrejä myyvästä kaupasta).
Laske käyrän sisään jäävien ruutujen määrä ja viivaa koskettavien ruutujen määrä. Miten voit näistä saada arvion pinta-alalle ruuduissa mitattuna?

Kolmion pinta-alan määritelmä

6.6.2010

Perusmääritelmä: Kolmiolle ΔABC, jonka sivut ovat a, b ja c, määritellään pinta-alaksi Heronin kaavan antama reaaliluku:

A = [s(s - a)(s - b)(s - c)]^1/2

missä

s = ½(a + b + c) = ½p.

Kun s:n tilalle sijoitetaan ½(a + b + c), saadaan

A = (1/4)([(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^½

Koska neliöjuuren alla ei saa olla mitään negatiivista, saadaan seuraavat mahdollisuudet
1.
(-a+b+c)>0 ja
(a-b+c)>0 ja
(a+b-c)>0

tai
2.
(-a+b+c)<0 ja
(a-b+c)<0 ja
(a+b-c)>0

tai
3.
(-a+b+c)>0 ja
(a-b+c)<0 ja
(a+b-c)<0

tai
4.
(-a+b+c)<0 ja
(a-b+c)>0 ja
(a+b-c)<0

Nämä antavat kolmioiden sivuille seuraavia epäyhtälöitä:
1.
b+c>a ja
>a+c>b ja
a+b>c

Tässä tapauksessa kolmion kahden sivun summa on suurempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
2.
b+c<a ja
a-b<c ja
a+b>c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
3.
b+c>a ja
b+c<a ja
a+b<c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).
4.
b+c<a ja
a+c>b ja
a+b<c

Tämä on mahdoton, koska kolmion kahden sivun summa ei voi olla pienempi kuin kolmas sivu (kolmioepäyhtälö).

Kaikkien neljän tulon tekijän on siis oltava positiivisia.

Tietokone tekee laskelman alle silmänräpäyksen.

Joidenkin mielestä kolmion pinta-alan määritteleminen Heronin kaavan avulla voi tuntua omituiselta.

Pinta-alan määritelmäksi voidaan valita mikä tahansa sellainen kaava, jolla kolmion pinta-ala voidaan laskea, mutta yksinkertaisinta on antaa kolmion pinta-ala jo siinä vaiheessa, jossa kolmiosta tunnetaan vain sivujen pituudet.

Mainittakoon, että Heronin kaava on erikoistapaus myöhemmin esitettävästä nelitahokkaan tilavuuden kaavasta.

Liitutaulusidonnaisia käsitteitä "kanta" ja "korkeus" ei tarvitse määritellä tässä vaiheessa.

Jos kaava antaa kolmion alaksi nollan, kolmion kärkipisteet ovat samassa janastossa.

Jos alaksi tulee kompleksiluku (neliöjuuren alle tulee jotain miinusmerkkistä), janat eivät muodosta kolmiota.

Kolmion olemassaolon voi tarkistaa ennen laskelmaa siten, että jos kahden eri janan summa on pienempi tai yhtäsuuri kuin kolmas sivu, kolmiota ei ole olemassa.

Tarkistuksen voi suorittaa myös piirtämällä (On erilaisia viivaimia, joissa on erilaisia asteikkoja.).

Harjoitustyö: Kirjoita html:llä ja php:llä ohjelma, joka laskee kolmion alan, kun kolmion sivut on annettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kulmien sitominen kolmion sivujen suuruuksiin

Kosini

Perusmääritelmä: Kolmioissa ΔABC, jossa sivut ovat a, b ja c, sini ja kosini sidotaan kolmion sivujen suuruuksiin seuraavasti.

cos A = (b² + c² -a²)/2bc.

(kosinilause, esitetty edellä)

Sini

sin A =(-a⁴- b⁴- c⁴ + 2b²c² + 2c²a² +2 a²b²)^½/2bc

Itse kulmat saadaan funktioilla arccos ja arcsin, eli cos^-1 ja sin^-1, joiden sarjakehitelmät löytyvät em. Wikipedian artikkelista.

Todettakoon, että tavallinen koululaisen laskin laskee näiden ns. funktioiden arvot alle silmänräpäyksen.

Ubuntun laskimessa nämä funktiot saadaan laittamalla rasti ruutuun Inv.

Huomautus: Abstraktissa lineaarialgebrassa kulma määritellään periaatteessa kosinilauseella. Näin tehdään esimerkiksi W. H. Greubin oppikirjassa Linear algebra, Springer 1963 ss. 162-163.

Sinilause

Sinin kaavalla kolmiossa voidaan muodostaa osamäärä sinA/sinB, ja osamäärästä supistuu melkein kaikki pois eli jäljelle jää a/b.

Päätelmä: Näin on saatu sinilause eli

sin A/sin B = a/b,

sin B/sin C = b/c ja

sin C/sin A = c/a.

Tavallisesti sinilause esitetään muodossa

(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c = 1/k. (sinilause)

missä k = a sin A.

Kolmion alan merkitseminen

5.4.2010

Kolmion alaa merkitään joissakin lähteissä area(ΔABC), mutta tässä oppikirjassa kolmion alaa merkitään samalla tavalla kuin kolmiota itseään eli ΔABC.

Kahden toisiaan leikkaavan janaston välisen kulman laskeminen

18.3.2010

Edellä on todettu, että kaksi janastoa l ja m leikkaavat toisensa, jos niillä on yhteinen piste P eivätkä ne ole sama janasto eli on olemassa P:stä eriävät pisteet A ja B, joista A kuuluu ensimmäiseen janastoon ja B kuuluu toiseen janastoon.

Janastojen PA ja PB välinen kulma ∠APB lasketaan kosinilauseella kolmiosta ΔAPB

Tavallisesti janastojen väliseksi kulmaksi kutsutaan mahdollisista kulmista pienempää.

Harjoitus: Piirrä kaksi janastoa ja laske niiden välinen kulma pisteiden ja niiden välimatkojen avulla

Teräväkulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio ΔABC on teräväkulmainen, jos sen kaikki kulmat ovat alle π/2 eli 90⁰.

Yllä olevassa kolmiossa kaikki kulmista ∠A, ∠B ja ∠C ovat teräviä.

Harjoitus:

Piirrä teräväkulmainen kolmio.
Tarkista teräväkulmaisuus mittaamalla.
Osoita, että on olemassa teräväkulmaisia kolmioita.

Tylppäkulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio ΔABC on tylppäkulmainen, jos yksi sen kulmista on tylppä.

Yllä olevassa kolmiossa kulma ∠B on tylppä.

Harjoitus:

Piirrä tylppäkulmainen kolmio ja jaa se harpilla ja viivaimella kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Vihje: Kannattaa piirtää melko iso kolmio.
Osoita, että on olemassa tylppäkulmaisia kolmioita.

Suorakulmainen kolmio

Määritelmä

Määritelmä: Kolmio ΔABCon suorakulmainen, jos yksi sen sisäkulmista on suora eli π/2 radiaania eli 90⁰.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella suorakulmainen kolmio.
Osoita, että on olemassa suorakulmaisia kolmioita.

Kateetit (legs) ja hypotenuusa (hypotenuse)

Määritelmä: Suorakulmaisen kolmion suoran kulman viereisiä sivuja a ja b kutsutaan suorakulmaisen kolmion kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua c kutsutaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi.

Jostain syystä näitä sanoja ei ole ei ole tiettävästi yritetty suomentaa.

Ehdotus: Käytetään hypotenuusassta nimitystä pitkis ja kateeteista nimitystä lyhis.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella suorakulmio, jonka kateetit ovat 3 ja 4 SI -yksikköä. Mittaa kuinka pitkä on hypotenuussa.

Pythagoraan lause

Päätelmä: Kosinilauseen perusteella suorakulmaisessa kolmiossa

a²+ b²= c²(Pythagoraan lause).

Kun a²+ b²sijoitetaan kosinilauseessa c²:n paikalle saadaan

cos A = b/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman kosini on viereisen kateetin suhde (rate) hypotenuusaan.

Tällä tavalla kosini määriteltiin ennen vanhaan koululaisille. Ilmeisesti vanhaa tapaa jatketaan yhä.

Nollakolmiossa a + b = c.

Kun a + b sijoitetaan kosinilauseessa c:n paikalle saadaan

(a + b)² = a² +b² -2ab cos C eli

a² + b² + 2ab = a² + b² -2ab cos C, mistä kosinille cos C saadaan arvo -1 eli C = π eli C on 180⁰.

Nollakolmion erityistapaus on se, jossa a ja b ovat samat (piste C on sivun keskipiste).

Määritelmä: Pythagoralaiset luvut (Pythagorean triple) ovat lukuja, jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen, esimerkiksi 3, 4 ja 5.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio, jonka sivujen suhde on 3:4:5.
Ota selvää, kuka keksi Pythagoraan lauseen.

Sini ja kosini suorakulmaisessa kolmiossa

Kuten edellä on määritelty, kolmio on suorakulmainen, jos yksi sen kulmista on suora eli π/2 radiaania eli 90 astetta.

Tämän kulman sini on sarjakehitelmän mukaan 1 ja tämän kulman kosini on sarjakehitelmän mukaan nolla.

Kuten edellä on määritelty, suoran kulman viereisiä sivuja a ja b kutsutaan suorakulmaisen kolmion kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua c kutsutaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi.

Päätelmiä: Suorakulmaisessa kolmiossa kulman π/2 eli 90⁰ sini on 1. Jos suora kulma on kulma ∠C, saadaan seuraava tulos:

(sin A)/a = (sin B)/b = 1/c.

Tästä saadaan

sin A = a/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuussaan.

sin B = b/c

eli suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan.

Tällä tavalla sini määriteltiin ennen vanhaan koululaisille. Ilmeisesti samaa käytäntöä jatketaan.

Koska suorakulmaisessa kolmiossa

sin A = a/c

ja

cos A = b/c, saadaan

(sin A)² + (cos A)²
= a²/c² + b²/c²
= (a² + b²)/c² = c²/c²
=1.

Saadaan kaava, joka usein esitetään muodossa

sin²A + cos²A =1.

Koska A voi olla mikä terävä kulma tahansa, kaava pätee ainakin teräville kulmille.

Kolmion ala sinin avulla

Heronin kaavasta ja yllä olevasta sinin määritelmästä voidaan johtaa mielivaltaisen kolmion ΔABC alalle kaava

A = ½ bc sin A

(katso esim H. M. S. Coexter, Introduction to Geometry, second edition, Wiley & Sons, 1980, s. 12).

Harjoitus: Piirrä kolmio, mittaa kaksi sivua ja niiden välinen kulma ja laske kolmion pinta-ala.

Suorakulmaisen kolmion ala

Suorakulmaisen kolmion ΔABC pinta-ala saadaan seuraavasti. Olkoot a ja b suoraulmaisen kolmion kateetit. Kateettien välinen kulma ∠C on suora.

A = ½ bc sin C = ½ bc.

Harjoitus: Piirrä suorakulmainen kolmio, mittaa sen sivut ja laske sen pinta-ala.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetti

9.3.2010

Päätelmä: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa c on suurempi kuin molemmat kateetit a ja b.

Perustelu: kun c² = a² + b², niin c²≥a² ja c²≥b², mistä seuraa, että c≥a ja c≥b (a, b ja c ovat janoina ei-negatiivisia).

Huomaa, että toinen perustelu tälle päätelmälle on esitetty alempana. Geometriassa on yleistä, että sama päätelmä voidaan perustella ei tavoin.

|sin A| ≤ 1 ja |cos A| ≤ 1

4.5.2010

Tämä seuraa kaavasta (sin x)² + (cos x)² = 1.

Olen tänään käynyt läpi Ubuntun funktioiden piirtämisohjelmia, ja Octave on se, josta voi suoraan tallentaa tavallisimpin muotoihin (esim. png ja jpg). Alla olevassa kuvassa on kaksi jaksoa funktiosta y = sin x. Asteikko on radiaaneissa.

Alla olevassa kuvassa on kosinifunktion kuvaaja:

Tangentti

20.2.2010

Trigonometrinen funktio tangentti määritellään sarjakehitelmällä.

tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + ...

Voidaan osoittaa, että

tan A = sin A/cos A.

Huomautus: Tavallisesti tangentti määritellään sinin ja kosinin osamääränä. Sen osoittaminen, että nämä määritelmät ovat yhtä hyviä, ei kuulu tämän suppean geometrian oppikirjan alaan.

Tästä voidaan päätellä, että

tan (-A) = - tan A

eli tangentti on pariton funktio.

Tangentin käänteisfunktio on

arctan eli tan^-1 eli atan.

Kolmioiden käsittelyssä syntyy helposti sinin ja kosinin osamääriä, esimerkiks suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a = c sin A ja b = c cos A. Näiden osamäärä on

a/b = tan B.

Näin on saatu perinteisen geometrian päätelmä:

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin.

Tätä päätelmää voidaan käyttää geometriassa runsaasti.

Harjoitus:

Etsi Internetistä tangenttifunktion kuvaaja. Mitkä ovat sen nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat?
Etsi Internetistä tangenttifunktion kuvaaja. Mitkä ovat sen nollakohdat ja epäjatkuvuuskohdat?

Vanhan ajan trigonometrisia funktioita

20.2.2010

Lähde: L. Neovius-Nevanlinna: Trigonometria, WSOY 1918, s. 21.

cot A = 1/(tan A),

sec A = 1/(cos A),

cosec A = 1/(sin A).

Kuten määritelmistä on nähtävissä, toimeen tullaan sinillä, kosinilla ja tangentilla.

Ensimmäisen kaavan perusteella voidaan päätellä, että

cot (-A) = - cot A

eli että kotangentti on pariton funktio.

Trigonometria on suomeksi kolmiomittaus.

Harjoitus: Tutki, mitä suorakulmaisen kolmion suhdetta kuvaa

sekantti
kosekantti

Kolmiot (jatkoa)

Kolmioepäkäs (scalene triangle)

2.5.2010

Määritelmä: Kolmioepäkäs on kolmio, jonka kaikki sivut ovat eripitkiä.

Harjoitus: Piirrä kolmio, jonka kaikki sivut ovat eripitkiä.

Uusi kaava kolmion alalle

9.4.2010

Määritelmä: Kolmion ABC kärjestä lähtevä korkeus (altitude) sivua c vastaan, kun muut sivut ovat a ja b ja kulmat ovat A, B ja C, on

h_c = b sin A.

Päätelmä: Kolmion pinta-ala on puolet kolmion sivun pituuden ja vastakkaisesta kärjestä lähtevän korkeusjanan pituuden tulosta

Merkitään kaavassa

A = ½ bc sin A

suuretta

b sin A

kirjaimella h. Kolmion alalle saadaan kaava

A = ½ ch.

Tavallisesti kaavassa käytetään c:n sijasta kirjainta a ja suuretta h kutsutaan kolmion korkeusjanaksi.

A = ½ah.

Alempana on esitetty, että tämä kaava saadaan Heronin kaavalla ja Pythagoraan lauseella.

Kaikkia sivuja vastaavat omat korkeusjanat:

h_a, h_b ja h_c.

_{Miksi
h:ta kutsutaan korkeusjanaksi}

9.4.2010
_{Yllä
olevassa kolmiossa jana h, joka on sekä b sin α että a cos β, näyttää
niin kovasti korkeusjanalta, että sitä kutsutaan korkeusjanaksi.

Myös koko kolmion ala näyttää erehdyttävästi kahden suorakulmaisen
kolmion alojen summalta eli

A = ½dh +½eh = ½h(d + e) = ½hc = ½ ch.

Yllä olevassa kolmion pinta-ala näyttää kahden suorakulmaisen kolmion
pinta-alojen erotukselta.

A = ½(d+e)h - ½eh = ½ch.}

Kolmion sivut ja korkeusjanat

3.4.2010

Olkoot kolmion sivut a, b ja c ja niiden vastaiset korkeusjanat h_a, h_b ja h_c.

Kolmion alan kaavalla saadaan yhtälöt

A = ½ah₁ = ½bh₂ = ½ch₃.

Tästä saadaan verranto:

a : b : c = (1/h_a) : (1/h_b) : (1/h_c)

Kolmion korkeusjana

Kolmion korkeusjana Heronin kaavalla

9.3.2010

Lähde: Niilo Kallio - Bruno Malmio: Geometria II, Lukioluokkien oppimäärä, Otava 1939 s. 141.

Kun kolmion ala A on laskettu, korkeusjana h_a sivua a vastaan voidaan laskea kaavalla (Laskelma perustuu kolmion pinta-alan kaavaan A = ½ah).

h_a = (2 A)/a.

Kun A:n paikalle sijoitetaan Heronin kaavan antama pinta-ala, korkeusjanan pituudelle saadaan seuraava kaava:

h_a= {b² -[(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½.

Harjoitustehtävä: Tee html:llä ja php:llä ohjelma, joka laskee kolmion sivun a vastaisen korkeusjanan, kun kolmion sivujen pituudet on annettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion korkeusjana ilman Heronin kaavaa

7.5.2010

Olkoon ABC kolmio ja olkoot sen sivut a, b ja c. Olkoon sivun c vastainen korkeusjana h. Korkeusjana jakakoon pisteessä D sivun C jakteen osaan siten, että BD = l ja DC = m.

Muodostetaan yhtälöitä, joissa kuvion janojen pituudet esiintyvät ja pistetaan lopuksi apumuuttujat l ja m.

a = l + m.

b² = h² + l² Pythagoraan lauseella.

c² = h² + m² Pythagoraan lauseella.

Vähentämällä nämä yhtälöt toisistaan saadaan

b² - c² = l² - m².

Kun molemmat puolet jaetaan lausekkeella a = l + m, saadaan

l - m = (b² - c²).

Kun lisätään molemmille puolille l + m = a, saadaan

l = (a² + b² - c²)/(2a).

Edellä oli todettu, että

b² = h² + l²,

mistä l² = b² - h².

Kun l esitetään kahdella tavalla ja merkitään lausekkeet yhtäsuuriksi, saadaan

b² - h² = [(a² + b² - c²)/(2a)]²,

mistä

h = {b² - [(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½ .

Joissakin oppimateriaaleissa Heronin kaava johdetaan tällä kaavalla, mutta tässä oppikirjassa Heronin kaava on aksiooma.

Harjoitus: Johda kolmion korkeusjanan kaavasta ja Heronin kaavasta kaava A = ½ah.

Kolmion keskijana (median)

9.3.2010

Lähde: Niilo Kallio - Bruno Malmio: Geometria II, Lukioluokkien oppimäärä, Otava 1939 s. 49.

Kolmion ΔABC kärjestä A sivulle BC ulottuva keskijana on jana AD, missä |BD| = |BC|.

Jos merkitään keskijanaa kirjaimella m_a, saadaan kolmiosta ACD kosinilauseella

b² = m_a² +(a/2)² - 2 m_a (a/2) cos ADC ja

ja kolmiosta ΔADB

c² = m_a² +(b/2)² - 2 m_a (b/2) cos ADB.

Koska kulmien ∠ADC ja ∠ADB summa on oikokulma, kulmien kosinit ovat toistensa vastalukuja,

[cos(π-A)=-cos A],

joten laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan

b² + c² = 2m_a² + (a/2)².

Kun tästä ratkaistaan m, saadaan kaava:

m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Huomautus: Kaava [cos(π-A)=-cos A] perustellaan alempana tästä päättelystä riippumattomalla tavalla.

Harjoitustehtävä: Tee html- ja php- ohjelma, joka laskee kolmion mediaanien pituudet.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon

9.1.2010

Päätelmä: Kolmion keskijana jakaa kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen kolmioon.

Perustelu: Kolmioiden ABX ja AXC sivut BX ja XC ovat yhtä suuret, koska X on sivun BC keskispiste. Kolmioiden korkeudet ovat samat, koska A:n etäisyys pisteiden B ja C määräämästä janastosta on h ja kolmioiden pinta-alat ovat |BX| h/2 ja |XC| h/2.

Eri kolmiot, joilla on sama pinta-ala

Samankantaiset kolmiot

Määritelmä: Siitä kolmion sivusta, jonka vastainen korkeus tunnetaan, käytetään nimitystä kanta (base). Myös tasakylkisen kolmion erisuuresta sivusta käytetään nimitystä kanta (base).

Kaavasta ala = ½ kertaa kanta (base) kertaa korkeus nähdään, että kolmioilla, joilla on sama sivu AB ja tämän sivun vastainen korkeus h, on kulmista riippumatta sama pinta-ala.

Tästä voidaan päätellä vinojen (suunnikas, neljäkäs) nelikulmioiden pinta-alat.

Tämän periaatteen yleistys esitetään myöhemmin nelitahokkaille ja vältetään Cavalierin oletuksen käyttö vinojen nelistöolioiden (suuntaissärmiö, vino särmäkartio jne) käsittelyssä.

Harjoitus: Muunna mielivaltainen kolmio harppia ja viivainta käyttäen suorakulmaiseksi kolmioksi.

Carpet'in lause

7.5.2010

Päätelmä: Olkoot ABC ja ABD samankantaisia ja samankorkuisia kolmioita. Niiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Kun kummankin kolmion pinta-alasta vähennetään yhteinen osa ABE, jäljelle jääneet osat eli AEC (sininen) ja BDE (punainen) ovat pinta-alaltaan yhtäsuuret.

Harjoitus: Mitä syntyy, kun kyseessä on useampia kolmioita?

Pinta-alan yhteenlaskettavuus

8.5.2010

Jotta pinta-ala olisi mitta, sen on oltava yhteenlaskettava eli

Jos joukot A_i ∈A, i ∈ N, ovat erillisiä (pistevieraita), niin μ(∪A_i)= Σμ(A_i).

Yllä olevan kuvan tapauksessa on ilmiselvää, että μ(ABC)+μ(BDC) = μ(ADC), sillä kolmioilla ABC, DBC ja ADC on sama korkeus ja pinta-alat ovat

½|AB| h + ½|BD| h = ½(|AB| + |BD|)h = ½|AD| h.

Olkoot ABC ja ADE kaksi mielivaltaista kolmiota, joiden yksi sivu on samassa janastossa AB.

Olkoon AE pienempi kuin AB. Tälläin kolmioilla AEC ja AED on yhteinen sivu, joten niiden pinta-alojen summa on

½|AE| h₁ + ½|AE| h₂ = ½|AE|(h₁ + h₂)

Kolmioiden AED ja CEB alojen summa on

½|AE| h₁ + ½|EB| h₁ = ½h₁(|AE| + |EB|) = ½h₁|AB|.

Kolmioiden ABC ja ADE alojen summa on

μ(ADE )+ μ(AEC) + μ(CEB) =

½|AE| h₂ + ½|AE| h_{1 +}½|EB| h_{1 =}½|AE| h_{2 +}½h₁|AB|.

Päätelmä: Mielivaltaisten kolmioiden, joilla on sivu samassa janastossa, pinta-alat siis voidaan laskea yhteen.

Kolmion sivut ja korkeudet

Päätelmä: Kolmiossa on suurimman sivun vastainen korkeus pienin.

Perustelu: Kolmion pinta-ala on puolet sivun ja sitä vastaavan korkeuden tulosta. Jos otetaan pienempi sivu, korkeuden on vastaavasti oltava suurempi.

Kuperan pistejoukon litteys

8.8.2010

Litteys määritellään alempana vain kuperille pistejoukoille. Näille pistejoukoille litteys on ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde sisään piirretyn ympyrän säteeseen.

Tämä käsite ei siis sovi ollenkaan koverille pistejoukoille kuten esimerkiksi symmetrisille tähdille.

Tämä käsite on suunniteltu kuvaamaan lähinnä sellaisten pistejoukkojen kuin kolmio, suunnikas, ellipsi jne. erästä ominaisuutta.

Litteyden mitta on varsin karkea ja jokainen voi kehitellä erikoistapauksia varten tarkempia mittoja.

Harjoitus: Kehitä kolme uuutta litteyden mittaa, jotka ovat soissain erikoistapauksissa tarkempia kuin yllä esitetty.

Kolmion litteys

1.8.2010

Edesmennyt dosentti Pertti Lindfors kertoi professori emeritus Raimo Tuomelan kysyneen häneltä, että mitä uutta sinä olet keksinyt.

Siitä lähtien olen miettinyt, mitä minä vastaisin tuohon kysymykseen.

Kun on parasta keksiä tuo uusi omalta alaltaan, olen päätynyt määrittelemään litteyttä.

Valitettavasti määritteleminen on osoittautunut vaikeaksi.

Viime päivinä esittämistäni määritelmäehdotuksista olen valinnut lopulliseksi määritelmäksi seuraavan:

Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde r on

r = 2A/(a+b+c),

missä A on kolmion ala ja a, b ja c ovat kolmion sivut.

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on

R = (abc)/(4A).

Määritelmä: Kolmion litteys Λ on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde kolmion sisään piirretyn ympyrän säteeseen eli

R/r = [(abc)/(4 A²)]/[A/((a+b+c)/2)]

Λ = [(abc)(a+b+c)]/(8 A²)

Perusteluja: Tarkasteltaessa muita pistejoukkoja havaitaan, että ympyrän litteys on pienin eli 1. On perusteltuna pitää ympyrää, palloa jne. vähiten litteinä pistejoukkoina.

Säännöllisen monikulmion ala

27.4.2010

Päätelmä: Säännöllinen monikulmio koostuu yhtenevistä kolmioista.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Säännöllisen monikulmion pinta-ala on

A = ½pa,

missä p on monikulmion piiri ja a on mnikulmion symmetriakeskuksen etäisyys monikulmion sivusta s.

Perustelu: Yksittäisen kolmion ala on ½sa, miissä s on monikulmion sivu ja a (apoteema) on symmetriakeskuksen etäisyys monikulmion sivusta. Sivujen a summa on p.

Vivianin päätelmä

26.4.2010

Päätelmä: Tasasivuisen kolmion sisällä tai sivulla olevan pisteen etäisyydet kolmion sivuista ovat yhteensä kolmion korkeus.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Pistejoukkojen yhdenmuotoisuus (similarity)

Miten yhdenmuotoisuus pitäisi määritellä?

20.3.2010

Jotkin geometrian pistejoukot ovat oman luokkansa sisällä keskenään yhdenmuotoisia kuten janat, ympyrät, pallot jne.

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, jos toisen kolmion sivut saadaan toisen kolmion sivuista kertomalla ne reaalilukuvakiolla.

Monikulmioissa pitää ottaa huomioon joko kulmien säilyttäminen tai myös monikulmion lävistäjät.

Periaatteessa yhdenmuotoisuuden määritelmän voi rakentaa osista tai voi tyytyä yleiseen määritelmään.

Tässä oppikirjassa on määritelty yleinen yhdenmuotoisuus, mutta siitä ei ole erikseen johdettu kolmioiden yhdenmuotoisuutta, vaan kolmioiden yhdenmuotoisuus on määritelty erikseen.

Yleinen yhdenmuotoisuus (similarity)

20.3.2010

Määritelmä: Pistejoukot A ja B ovat yhdenmuotoiset,

jos jokaista pistejoukon A pisteparia {X,Y} ja välimatkaa |XY|vastaa yksi ja vain yksi pistejoukon B pistepari {Z,U} siten, että |XY| = k |ZU| missä k on reaali(luku)vakio ja
jokaista pistejoukon A kulmaa ∠XYZ vastaa pistejoukon B kulma ∠X'Y'Z' siten, että ∠XYZ=∠X'Y'Z'.

Funktiokäsitettä käyttäen yleinen yhdenmuotoisuus voidaan muotoilla seuraavasti:

d(f(X), f(Y)) = k d(X,Y)

ja

∠f(A)f(B)f(C) = ∠A'B'Z'.

missä d on edellä määritelty välimatka ja k on reaaliluku, joka ei ole negatiivinen.

A ∼ B luetaan A on yhdenmuotoinen B:n kanssa. html:ssä yhdenmuotoisuuden merkki on &sim;.

Janojen yhdenmuotoisuus

AB ∼ BC ⇔ |AB| = k |BC|

Kulmien yhdenmuotoisuus

∠ABC ∼ ∠A'B'C' ⇔ ∠ABC = ∠A'B'C'.

Yleinen venytys (litistys)

25.4.2010

Määritelmä: Yleinen venytys on kuvaus, joka säilyttää janastot (suorat) janastoina (suorina).

Alempana esitetään hyvin monenlaisia venytyksiä. Ensimmäisenä niistä esitellään yhdenmuotoisuuskuvausta.

Huomaa, että kaikki venytykset eivät säilytä kulmia.

Pisteen venytys pisteen suhteen ilman kiertoa (homotetia)

Määritelmä: Piste X' on pisteen X venytys pisteen P suhteen, jos

|PX'| = k |PX| ja
X on pisteiden P ja X' välissä, jos k > 1,
X' on pisteiden P ja X välissä, jos k> 0 ja k<1,
P on pisteiden X ja X' välissä, jos k < 0.

Pistejoukon venytys pisteen suhteen (homotetia)

Määritelmä: Pistejoukko A' on pistejoukon A venytys mittakaavassa k pisteen P suhteen, jos jokainen A' piste on jonkin A:n pisteen venytys mittakaavassa k ja jokainen A:n piste on jonkin A':n pisteen venytys mittakaavassa 1/k.

Homotetia eli skaalaus tarkoittaa yhdenmuotoisuuskuvausta, missä kukin kuvion piste saadaan, kun mitataan sen etäisyys homotetiakeskuksesta ja kerrotaan se homotetiassa annetulla vakiolla.

Tällöin annettu avaruuden piste A kuvautuu pisteen P ja homotetiakeskuksen O kautta kulkevalle janastolle (suoralle).

Jos homotetiakerroin on positiivinen ja P:n kuva homotetiassa on A, pysyvät P ja A samalla puolella pistettä O. Jos homotetiakerroin on negatiivinen, sijaitsee O P:n ja A:n välissä.

Kiintopiste venytyksessä pisteen suhteen

1.5.2010

Päätelmä: Piste O, jonka suhteen pistevenytys suoritetaan, on kuvauksen kiintopiste.

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

20.3.2010

Päätelmä: Kolmiot ΔABC ja ΔDEF ovat yhdenmuotoiset eli ΔABC ∼ ΔDEF, jos ja vain jos |AB| = k|DE|, |BC| = k|EF| ja |CA| = k|FD|.

Birkhoff ottaa tässä vaiheessa mukaan myös kulmat (PIV), mutta kun meillä on jo takataskussa kosinilause, emme tätä lisäystä tarvitse.

Perustelu esitetään alempana.

Huomautus: Niissä oppikirjoissa, joissa ei määritellä yleistä yhdenmuotoisuutta, jokin yhdenmuotoisuuspäätelmistä on otettu aksioomaksi. Esimerkiksi Hilbertillä ja Venamalla aksioomana on alempana esitetty yhtenevyyspäätelmä sks.

Jos kolmioiden sivut ovat a, b ja c sekä a', b' ja c', verrannollisuussuhdetta a/a' kutsutaan mittakaavaksi ja merkitään a/a'=k.

Tästä käytetään myös lyhennettä sss.

Määritelmä: Jos vastinkulmien kiertosuunta on kolmioston yhdenmuotoisissa kolmioissa sama, niitä kutsutaan suoraan yhdenmuotoisiksi ja jos se ei ole, sama kääntäen yhdenmuotoisiksi.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi keskenään yhdenmuotoista kolmiota, jotka on saatu toisistaan venytyksellä.

Yhdenmuotoisten kolmioiden kulmat

Päätelmä: Jos kolmioiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret, kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja kääntäen, jos kolmiot ovat yhdenmuotoiset,niissä on pareittain yhtäsuuret kulmat.

Perustelu: Jos kolmioissa ΔABC ja ΔA'B'C' kulmat ovat samat, kulma ∠A =∠A', kulma ∠B =∠B' ja kulma ∠C =∠C'. Tällöin sin A = sin A', sin B = sin B' ja sin C = sin C'.

Jos komioiden sivut ovat a, b ja c sekä a', b' ja c', sinilausella voidaan päätellä, että

sin A / sin B = sin A' / sin B'.

Toisaalta sin A / sin B = a/b ja sin A'/sin B' = a'/b'.

Saadaan verranto a/b = a'/b'. Muille sivuille saadaan pareittain samanlaiset verrannot.

Ristiin kertomalla saadaan ab' = ba'.

Jakamalla yhtälön molemmat puolet tulolla a'b' saadaan

a/a' = b/b´. Muille sivupareille saadaan samanlaiset tulokset ja voidaan tehdä seuraava johtopäätös:

Päätelmä: Jos kolmioiden kulmat pareittain yhtäsuuret, kolmioiden sivut ovat verrannolliset eli kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Päätelmä: Koska kolmion kaksi kulmaa määräävät kolmannen kulman, kolmiot ovat yhdenmuotoiset, jos niissä on kaksi pareittain yhtäsuurta kulmaa (kk).(Toisaalla on esitetty tästä riippumatta, että kolmion kulmain summa on 180⁰.)

Käänteinen päätelmä

Yhdenmuotoisissa kolmioissa

a' = ka,
b' = kb
c' = kc.

Kun sijoitetaan a', b' ja c' kosinilauseseen

c² = a² +b² -2ab cos C

saadaan

(kc')² =(ka')² +(kb')² -2ka'kb' cos C

ja jaetaan molemmat puolet vakiolla k>0, saadaan

c'² =a'² +b'² -2a'b' cos C,

mistä päätellään, että kulma ∠C' on kulma ∠C.

Vastaavat päätelmät voidaan tehdä myös kolmioiden muista kulmista.

Päätelmä: Jos kolmiot ovat yhdenmuotoiset, niiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella yhdenmuotoiset kolmiot, jotka eivät ole homoteettiset.

Yhdenmuotoisten alueiden pinta-alojen suhde

3.4.2010

Koska kolmion pinta-ala on

A = ½ bc sin C

ja yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinkulmat ovat yhtä suuret, saadaan, kun

A' = ½ b'c' sin C, että

A/A' = bc/b'c' = (b/b')(c/c') = k².

Yhdenmuotoisten alueiden suhde määrätään sen sisältäminen kolmioiden avulla ja se on:

A/A' = k²

Sanallisesti: Yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

Tässä oppikirjassa muut alueet kuin kolmiot voidaan jakaa kolmioihin, joten päätelmä mittakaavan neliöstä pätee kaikille alueille.

Vastinosat (corresponding parts)

28.4.2010

Määritelmä: Kun kuvio kuvataan toiseksi kuvioksi, määrittelyjoukon ja arvojoukon toisilleen kuvautuvia osia sanotaan vastinosiksi.

Esimerkiksi vastinkulma on kulma, joka on toisen kuva ja vastinsivu on sivu, joka on toisen kuva.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuspäätelmiä

12.2.2010

Päätelmä: Jos kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia vastinsivuihin toisessa kolmiossa ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtäsuuret, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Lähde: Kallio-Malmio: Geometria II, Otava 1939, s. 13.

Olkoon kolmioiden yhteinen kulma ∠C ja olkoot ensimmäisen kolmion kulman viereiset sivut a ja b.
Toisen kolmion kulman ∠C viereiset sivut ovat silloin a' = ka ja b' = kb.

Olkoot kolmioiden kolmannet sivut c ja c'.

Kosinilausella saadaan, että

c² = a² +b² -2ab cos C

ja

c'² = k²a² + k²b² - 2 ka kb cos C =

k²(a² +b² -2ab cos C)

eli c' / c = k

eli kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Tästä käytetään lyhennettä sks.

Harjoitus: Osoita, että jos D on kolmion ΔABC sivun AC keskipiste ja E sivun BC keskipiste, syntynyt kolmio CDE on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion kanssa mittakaavassa ½..

Yhdenmuotoisten kolmioiden korkeusjanat

Päätelmä: Kolmion korkeusjana CD on kolmion kärjen C etäisyys vastakkaisen sivun AB määräämästä janastosta.

Päätelmä: Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinkorkeudet ovat verrannolliset sivujen pituuksiin ja keskenään.

Lähde: Kallio-Malmio: Geometria II, Otava 1939, s. 14.

Perustelu: Olkoot ΔABC ja ΔA'B'C yhdenmuotoiset kolmiot. Olkoon CD sivun AB vastainen korkeus ja olkoon C'D' sivun A'B' vastainen korkeus.

Kolmion kulmien suuruudesta riippuen pisteet D ja D' ovat joko janoilla AB ja A'B' tai niiden jatkeilla.

CD ja C'D' muodostavat korkeusjanoina suoran kulman AB:n ja AB':n kanssa. Syntyneistä suorakulmaisista kolmioista löytyy aina suoran kulman lisäksi toinen yhtäsuuri kulmapari, joten suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosina verrannolliset keskenään ja vastinsivuihin.

lman kiertoa pistevenytetty kolmio

11.4.2010

Päätelmä: lman kiertoa pistevenytetty A'B'C' kolmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen ABC kolmion kanssa.

Perustelu:

Kolmiot OAC ja OA'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).
Kolmiot OAB ja OA'B'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).
Kolmiot OBC ja OB'C' ovat yhdenmuotoiset (sks).

Yhdenmuotoisen kolmioiden vastinosina
AC ∼ A'C'.
AB ∼ A'B'.
BC ∼ B'C'.

Kolmiot, joiden kaikki sivut ovat pareittain yhdenmuotoiset, ovat yhdenmuotoiset.

Yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä (homotetiassa)

11.4.2010

Päätelmä: Pistevenytys ilman kiertoa kuvaa yhdensuuntaiset janat yhdensuuntaisiksi.

Perustelu: AB || CD. Kolmiot ja OAB ja OA'B' ovat yhdenmuotoiset, joten niiden kulmat ovat yhtäsuuret. Kulmat BAA' ja AA'B' ovat toistensa täydennyskulmia joten AB || A'B'.

Vastaavalla tavalla saadaan, että DC || C'D'.

Yhdensuuntaisuuden siirtyvyydestä (transitiivisuudesta) seuraa, että A'B' || C'D'.

Harjoitus: Mitä muuta kuin yhdensuuntaisuus säilyy pistevenytyksessä.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeusjana

Päätelmä: Suorakulmaisen kolmion ΔABC hypotenuusan AB vastainen korkeusjana CD jaka suorakulmaisen kolmion kahteen suorakumaiseen kolmioon ΔADC ja ΔCBD, jotka ovat keskenään yhdenmuotoiset. Lisäksi |AD|/|CD| = |CD|/|DB| eli |CD|² = |AD||DB|.

Perustelu: Kolmio ΔADC on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion ΔACB kanssa. koska niissä on yhteisenä kulmana ∠A ja molemmat kolmiot ovat suorakulmaisia (kk).

Kolmio ΔBDC on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion ΔACB kanssa. koska niissä on yhteisenä kulmana ∠B ja molemmat kolmiot ovat suorakulmaisia.

Yhtenevien komioiden vastinosina kulmat ∠BCD ja ∠A ovat yhtäsuuret eli myös kolmiot ΔBDC ja ΔADC ovat yhdenmuoiset.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosat ovat verrannolliset eli AD/DC = DC/DB.

Koska |CD| = √(|AD||DB|),

CD on janojen AD ja DB keskiverto (geometric mean).

Huomautus: Keskiverto ei siis tarkoita aritmeettista keskiarvoa päin vastoin kuin tlelevision uutisten lukijat väittävät.

Harjoitus: Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3,0 cm ja 4,0 cm. Laske hypotenuusan vastainen korkeusjana.

Kulmat määräävät yhdenmuotoisten kolmioiden joukon

17.1.2010

Kaksi kulmaa ∠A ja ∠B määräävät, yhdenmuotoisten kolmioiden joukon.

Oikeastaan tulisi puhua suurennoksista ja pienennöksistä (zoomauksista, skaalauksista).

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja kaksi sen kanssa yhdenmuotoista kolmiota.

Päätelmä: Osoita, että yhdenmuotoisten monikulmioiden vastinkolmiot ovat yhdenmuotoisia.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Janan harmoninen (sopusointuinen) jako

8.5.2010

Tämä asia on esitetty Kalle Väisälän Geometrian sivuilla 115-119. Seuraavassa on lyhyt yhteenveto tästä esityksestä.

Määritelmä: Jos piste X on janan AB sisäosassa ja AX/XB = p : q, sanotaan, että piste X jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa p : q.

Määritelmä: Jos piste Y on janan AB ulkopiste ja AY/BY = p : q, sanotaan, että piste Y jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa p : q.

Määritelmä: Pisteet X ja Y jakavat sanan AB harmonisesti suhteessa p : q, jos

AX/XB = AY/BY = p : q.

Päätelmä: Jos pisteet X ja Y jakavat janan AB harmonisesti suhteessa p : q, niin

AX = pa/(p+q)

BX = qa/p+q)

AY = pa/(p-q)

BY = qa/(p-q).

Määritelmä: Apolloniuksen ympyrä on ympyrä, jonka kahdesta pisteestä laskettujen etäisyyksien suhde p:q on vakio. Jos nämä pisteet ovat janan AB päätepisteet, Apolloniuksen ympyrä leikkaa janaston AB pisteissä X ja Y, jotka jakavat janan AB harmonisesti suhteessa P ja Q.

Harjoituksia:

Perustele yllä olevat neljä yhtälöä käyttäen edellä esitettyja verrantojen muunnoksia.
Piirrä harpilla ja viivaimella Apolloniuksen ympyrä.
Jaa jana harpilla ja viivaimella harmonisesti suhteessa p:q. Vihje: katso alla olevaa apukuvaa.

Pistejoukkojen yhtenevyys (congruence)

Yleinen yhtenevyys

20.3.2010

Määritelmä: Pistejoukot ovat yhtenevät,

jos pisteparin {A,B} pisteiden A ja B etäisyys |AB| on yhtäsuuri kuin vastinpisteparin {A',B'}pisteiden A ja B etäisyys |A'B'| ja
kulmille on ∠ABC = ∠A'B'C'.

Yhtenevyys on siis yhdenmuotoisuutta mittakaavassa yksi (1).

Funktiokäsitettä käyttäen yleinen yhtenevyys voidaan muotoilla seuraavasti:

d(f(X), f(Y)) = d(X,Y)

ja

f(A)f(B)f(C) = ∠ABC

missä d on edellä määritelty välimatka.

A ≅ B luetaan A on yhdenmuotoinen B:n kanssa, merkki on html:ssä &cong;.

Birkhoff määrittelee yhtenevyyden lyhyesti yhdenmuotoisuudeksi mittakaavassa 1.

Yhtenevyyskuvauksen sanotaan olevan isometrinen (isometry), koska se säilyttää etäisyydet.

Yhtenevyyskuvaus määritellään myös ortogonaaliseksi lineaarikuvaukseksi.

Fysiikassa yhtenevyyskuvauksen sovellus on jäykän kalppaleen liike (rigid motion).

Harjoitus: Ota selvää, mitä tarkoittavat ortogonaalinen ja lineaarikuvaus.

Janojen yhtenevyys (congruence)

Päätelmä: Kaksi eri janaa ovat keskenään yhtenevät AB ≅ A'B', jos niillä on sama pituus eli d(A,B) = d(A',B'). (Tämä vastaa yhtä Hilbertin aksioomista.)

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kaksi keskenään yhtenevää janaa.

Pistejoukon siirto

11.4.2010

Määritelmä: Pistejoukon J siirto janan k verran on pistejoukko J', jossa, kun A' on A:n kuvapiste ja B' on B:n kuvapiste ja

A'B' || AB,
AA' || BB'
d(A,A') = k > 0.

Harjoitus:

Suorita harpilla ja viivaimella kolmion siirto.
Osoita, että siirto on yhtenevyyskuvaus.

Pisteen kolmiostokierto (rotation) pisteen suhteen

Määritelmä: Pisteen X kolmiostokiertokierto pisteen P suhteen kulman K verran on piste X' siten, että |PX| = |PX'| ja ∠PXP' = ∠K.

Harjoitus: Piirrä paperille kaksi eri pistettä P ja K. Kierrä harpilla ja viivaimella pistettä K kulman π/4 verran.

Pistejoukon kolmiostokierto (rattation) pisteen suhteen

Määritelmä: Pistejoukon J kolmiostokierto pisteen P suhteen kulman ∠K verran on pistejoukko J' siten, että jokaista J:n pistettä X vastaa yksi ja vain yksi J':n piste X' siten, että X:n kolmiostokierto pisteen P suhteen kulman ∠K verran on X' ja jokaista joukon J' pistettä X' vastaa yksi ja vain yksi pistejoukon J piste X siten, että X on pisteen X' kolmiostokierto kulman ∠-K verran.

Määritelmä: Sitä pistettä, joka pysyy kierrossa muuttumattomana, sanotaan kierron kiintopisteeksi (center of rotationa) eli pyärähdyskeskukseksi.

Päätelmä: Pistejoukon kolmiostokierrolla on kiintopiste P.

Harjoitus:

Piirrä paperille pistettä P ja jana AB. Kierrä harpilla ja viivaimella janaa AB kulman π/4 verran.
Mitä ominaisuuksia säilyy kolmiostokierrossa?

Kiertosymmetria

26.3.2010

Pistejoukko on kiertosymmetrinen, jos kuvio on sama tietyn kierron jälkeen.

Harjoitus: Piirrä Inkscapella tähti, tee tähdestä kopio ja kierrä kopiota sitä niin, että se on samassa asennossa kuin alkuperäinen.

Kolmioiden yhtenevyys

11.4.2010

Päätelmä: Kolmiot ovat yhtenevät, jos niissä on pareittain yhtäsuuret sivut (sss).

Perustelu: Jos kolmiosta tunnetaan sivut, kosinilausella voidaan laskea kulmat eli jos sivut ovat yhtäsuuret, myös kulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää sss (kaikki sivut tunnetaan).

Määritelmä: Kolmiostossa kolmiot ovat suoraan yhtenevät, jos kulman kärkien kiesrtosuunta säilyy ja muutoin kolmiot ovat käänteäen yhtenevät.

Päätelmä: Kosinilauseen perusteella saadaan suoraan yhtenevyyslause "kolmiot ovat yhtenevät, jos kaksi sivua ovat yhtäsuuret ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtäsuuret(sks).

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa yhtäsuuria on merkitty punaisella.

Kosinilauseella saadaan yhtälöt:

a² = b² + c² - 2 bc cos A.

a'² = b² + c² - 2 bc cos A.

Tästä saadaan

a² = a'², ja koska a>0 ja a'>0, a = a'. (sss)

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää sks (kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan).

Päätelmiä:

Yhtenevät kolmiot ovat yhdenmuotoiset
Yhtenevien kolmioiden kulmat ovat yhtäsuuret. Tämä seuraa kosinilauseesta. Vastinkulmille saadaan samat kosinit.

Jos kahdessa yhdenmuotoisessa kolmiossa yksi vastinsivu on sama eli a = a', kolmiot ovat yhtenevät, sillä mittakaava a/a' =1. Tästä voidaan päätellä seuraava kolmioiden yhtenevyyspäätelmä:

Päätelmä: Jos kahdessa kolmiossa yksi pari vastinsivuja ovat yhtäsuuret, ja viereiset vastinkulmat ovat yhtä suuret, niin kolmiot ovat yhtenevät (ksk).

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa yhtäsuuria on merkitty punaisella.

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk).

Yhdenmuotoisuusuhde on a : a = 1 eli kolmiot ovat yhtenevät.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella annetun kolmion kanssa yhtenevä kolmio käyttäen yhtenevyyspäätelmää ksk (kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnetaan).

Päätelmä: Suorakulmaisille kolmioille pätee yhtenevyyslause ssk (koska yksi kulma on aina suora).

Perustelu: Kun suorakulmaisesta kolmiosta tunnetaan kaksi sivua, kolmas voidaan aina laskea Pythagoraan lauseelle joten sss on suoraan voimassa.

Mittakaavoista

Koska yhtenevien kolmioiden sivut ovat yhtä pitkät, sivujen suhde on a/a = 1 eli mittakaava on yksi.

Alojen suhde on mittakaavan neliö eli 1²= 1.

A/A' = 1 ali A = A'.

Kun kahden olionalojen suhde on 1,alat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Millä ehdoilla yhtenevyyslause ssk pätee ei-suorakulmaisille kolmioille?

Päätelmä: Jos kolmion yhdestä pisteestä lähtevät sivut ja keskijana ovat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhtenevät (sms).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava keskijanan kaava:
m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Kun keskijanat ja niiden viereiset sivut a ja b ovat yhtäsuuret, kolmansien sivujen on pakko olla c eli yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja sen keskijana. Mittaa keskijanan viereiset sivut ja keskijana. Lisäksi laske keskijana edellä annetulla kaavalla ja vertaa tulosta mitattuun.

Päätelmä: Jos kolmion korkeusjanat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (hhh).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava korkeusjanan kaava:

h_a= {b² -[(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½.

Korkeusjanoista saadaan kolme yhtälöä, joissa on kolme muuttujaa a, b ja c. Ne voidaan ratkaista ja silloin kaikki vastinsivut ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen korkeusjanat.

Päätelmä: Jos kolmion keskijanat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (mmm).

Perustelu: Aikaisemmin on johdettu seuraava keskijanan kaava:
m_a = ½[2(b²+c²)-a²]^½

Keskijanoista saadaan kolme yhtälöä, joissa on kolme muuttujaa a, b ja c. Ne voidaan ratkaista ja silloin kaikki vastinsivut ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen keskijanat.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan pistepeilauksella, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan siirrolla, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Kolmiot, jotka saadaan toisistaan kierrolla pisteen suhteen, ovat yhtenevät.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Jos kolmion kulmanpuolittajat yhtäsuuret kuin toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (ppp).

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio josta tunnetaan vain sen kulmanpuolittajat.

Keskipistekolmio

24.2.2010

Olkoon ΔABC kolmio. Olkoon A' sivun BC keskipiste, B' sivun AC keskipiste ja C' sivun AB keskipiste.

Tällä tavalla saamme neljä yhtenevää kolmiota ΔA'B'C', ΔAB'C', ΔA'BC' ja ΔA'B'C, joissa kulmien summa on sama kuin kolmiossa ΔABC.

Kolmiot ΔCAB ja ΔCA'B' ovat yhdenmuotoiset, koska niillä on yhteinen kulma ∠C ja viereisten sivujen suhde on 2:1.

Vastaavasti A -kärkinen pikkukolmio ΔAB'C' ja B - kärkinen pikkukolmio BA'C ovat ison kolmion kanssa yhdenmuotoisia suhteessa 2:1.

Nämä kolme pikkukolmiota ovat yhteneviä, koska niissä on yksi sama kulma ja samat kulman viereiset sivut (yhtenevyyspäätelmä sks).

Pikkukolmiossa ΔA'B'C' on yhteinen sivu jokaisen muun pikkukolmion kanssa, joten tämä pikkukolmio ΔA'B'C' on yhtenevä muiden pikkukolmioiden kanssa (sss).

Kolmio jakaantuu näin neljään keskenään yhtenevään kolmioon.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio ja sen keskipistekolmio.

Kolmion kulmain summa on oikokulma π

3.3.2010

Päätelmä: Kolmion kulmain summa on π eli 180 astetta.

Perustelu: Keskipistekolmiossa ΔABC kolmiot ΔAB'C, ΔAC'B ja ΔBA'C ovat nollakolmioita, joten kulmat ∠AB'C, ∠AC'B ja ∠BA'C ovat π eli 180 astetta.

π = AC'B' + B'C'A+ A'C'B = CAB + ACB + ABC.

Yhtenevien kolmioiden vastinkulmilla

α + γ + β = π.

Harjoitus: Kolmion kaksi kulmaa ovat π/3 ja π/4. Laske kolmion sivujen suhteet.

Janasto leikkaa yhdensuuntaisia

Päätelmä: Jos janasto l leikkaa janastoa m ja l ≠ m, janastot eivät ole yhdensuuntaiset.

Perustelu: Jos janastot olisivat yhdensuuntaiset ja leikkaisivat toisiaan esimekiksi pisteessä X, janastoilla olisi välijana AB, joka muodostaisi janastojen kanssa kulmat α ja π - α, muodostuisi kolmio ABX, konka kulmain summa olisia > π mikä on mahdotonta.

Päätelmä: Jos janasto leikkaa toista yhdensuuntaisista janastoista, se leikkaa toistakin.

Perustelu: Olkoot l || m, l ≠ m ja olkoon s janasto, joka leikkaa janasto l.

Perustelu: Jos se ei leikkaisi janasto m, se olisi yhdensuuntainen janasto m kanssa, mistä seuraa yhdensuuntaisuuden sirrännäisyyden vuoksi, että se olisi yhdensuuntainen myös janaston l kanssa, mikä on vastoin tehtyä oletusta.

Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π

Päätelmä: Nelikulmion kulmain summa on täysi kulma 2π eli 180⁰.

Perustelu: Kovera, kupera ja ristinelikulmio nelikulmio voidaan jakaa kolmioihin siten, että nelikulmion kulmien summa on kahden kolmion kulmien summa yhteensä eli 2π.

Harjoitus: Osoita, että mielivaltaisen n-kulmion kulmien summa on 2π (n-2).

Kolmion sivujen pituudet määräävät kolmiojoukon

17.1.2010

Kolme reaalilukua a, b ja c määräävät kolmiojoukon. Jos A, B ja C ovat kolme pistettä siten, että a = |BC|, b = |AC| ja c = |AB|, kolmiota ABC sanotaan lukujen a, b ja c määräämän kolmiojoukon alkioksi.

Saman kolmiojoukon kolmioita voidaan kutsua toistensa kopioiksi. Tavallisesti niitä kutsutaan yhteneviksi, mutta mielestäni parempi sana olisi "kopio".

Harjoitus: Piirrä kolmio ja kaksi kopiota siitä harpilla ja viivaimella.

Ulkokulma (exterior angle)

28.4.2010

Määritelmä: Kolmion kulman vieruskulmaa sanotaan kolmion ulkokulmaksi.

Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma (exterior angle theorem)

Päätelmä: (Vieruskulmalause) Kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma.

Perustelu: Olkoon ΔABC kolmio ja ΔA'B'C' sen keskipistekolmio.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosina kulma ∠AB'C' on kulma ∠B'CA' eli kulmien ∠AC'B' ja ∠B'AC summa on kulman ∠A'C'B vieruskulma, joka on sama kuin ∠B'AC'. Kuvan merkinnöin

α + γ = α + γ
α + β = α + β
γ + β = γ + β

Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat (The exterior angle theorem)

Päätelmä: (Ulkokulmalause) Kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat.

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa (keskipistekolmiossa) kolmion jokainen kulma on osa kummankin muun kulman vieruskulmaa.

Kolmion kulmista voi vain yksi olla suora tai tylppä

Päätelmä: Jos yksi kulmista on tylppä, molempien muiden summa on alle suora kulma.

Perustelu: Jos yksi kulmista on suora, muiden kulmien summa on ½π.

Vieruskulmien summa on π

Päätelmä: Vieruskulmien summa on π.

Perustelu: Koska kolmion ΔADC kulmien ∠DAC ja ∠ACD summa on kolmannen ∠ADC vieruskulmakulma vieruskulmien summa on oikokulma eli π eli 180^o.

Vieruskulmat ovat siis täydennyskulmia.

Ristikulmat (vertical angles)

Määritelmä: Olkoon C janan AB sisäpiste ja olkoon C myös janan DE sisäpiste. Kulmia ∠ACD ja ∠BCE sanotaan toistensa ristikulmiksi.

Vaihtoehtoinen määritelmä: Kulmat ∠ACD ja ∠BCE ovat ristikulmia silloin ja vain silloin, kun A*C*B ja D*C*E.

Ristikulmalause

6.6.20120

Päätelmä: Koska nämä kulmat ovat saman kulman ∠ACE vieruskulmia, ne ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Piirrä ristikulmat.

Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman

Päätelmä: Ristikulmien puolittajat muodostavat oikokulman π eli 180⁰.

Perustelu: Olkoot ristikulmat suuruudeltan α. Niiden yhteinen vieruskulma on π - α.

Puolikkaat ristikulmasta ovat suuruudeltaan α/2.

Kun lasketaan yhteen α/2 + α/2 + π - α saadaan π eli puolittajat muodostavat oikokulman.

Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

Päätelmä: Vieruskulmain puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Perustelu: Olkoot vieruskulmat α ja β, niiden summa on π.

Vieruskulmien puolittajat ovat suuruudeltan α/2 ja β/2 eli ½(α + β) = ½π.

Kohtisuorat kulmien kyljet

28.4.2010

Päätelmä: Jos kahden koveran kulman samannimiset kyljet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu: Syntyy yhdenmuotoiset kolmiot (kuvassa BEF ja ADF), joissa on suorat kulmat ja ristikulmat samat.

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk) ja niiden vastinkulmina kulmat (kuvassa FBA ja ADF) ovat yhtäsuuret.

Yhdensuuntaiset kulmien kyljet

28.4.2010

Päätelmä: Jos kahden koveran kulman samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu jätetään yllä olevan kuvan mukaisesti harjoitustehtävänä suoritettavaksi.

Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret

14.5.2010

Päätelmä: Kahden yhdensuuntaisen janaston yhdensuuntaiset välijanat ovat yhtäsuuret

Perustelu: Olkoot AB ja CD yhdensuuntaiset janastot, ja olkoot GE ja HF yhdensuuntaiset välijanat, missä E ja F kuuluvat AB:hen ja G ja H kuuluvat CD:hen.

Kolmiot EGH ja EHF ovat yhdenmuotoiset, sillä yhdensuuntaisuudesta johtuen ja vieruskulmista johtuen kaikki kolmioiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Koska kolmioilla on yhteinen sivu, kolmiot ovat yhdenmuotoiset mittakaavassa 1 eli yhtenevät.

Yhtenevien kolmioiden vastinosina välijanat GE ja HF ovat yhtäsuuret.

Suorakulmaisen kolmion ratkaiseminen

Suorakulmaisen kolmion kulmat

Koska suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on π/2 eli 90 astetta, kahden muun summa on π - π/2 = π/2.

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma β voidaan laskea kaavalla

β = π/2 - α,

kun toinen terävä kulma α on tunnettu.

Harjoitus: Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 0,23 ja toinen kateetti on 5,0 cm. Laske kolmion pinta.ala.

Suorakulmaisen kolmion puuttuva osa

20.2.2010

Lähde: Kalle Väisälä: Trigonometria, WSOY 1969 ss. 12-13.

Suorakulmaisen kolmion puuttuva osa voidaan laskea, jos kolmiosta tunnetaan

hypotenuusa ja terävä kulma,
kateetti ja terävä kulma,
hypotenuusa ja kateetti,
kateetit.

Hypotenuusa c ja terävä kulma A

Kaavat: B = (π/2 - A), a = c sin A, b = c cos A.

Kateetti a ja terävä kulma A

Kaavat: B = (π/2 - A), b = a (cos A / sin A),
c = a/(sin A).

Hypotenuusa c ja kateetti a

Kaavat: A = sin⁻²(a/c), b = c cos A, B = (π/2 - A).

Kateetit

Kaavat: c =(a² + b²)^½, b = c cos A, a = c cos B.

Harjoitustehtävä: tee html- ja php -ohjelma, joka laskee suorakulmaisen suorakulmaisen kolmion puuttuvat osat.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Mielivaltaisen kolmion ratkaiseminen

Kolmion kulmien laskeminen

16.2.2010

Jos kolmion sivut tunnetaan, kulmat voidaan laskea kosinilauseella. Kannattaa laskea terävät kulmat, jos kolmiossa on tylppä kulma, ja kolmas kulma saadaan vähentämällä piistä terävät kulmat.

Huomaa, että erilaiset kolmion peilikuvat katsotaan tässä oppikirjassa samoiksi kolmioiksi.

Harjoitus: Leikkaa paperista kaksi täysin samanlaista kolmiota. Käännä toinen ylösalaisin.
Mitä havaitset?

Harjoitustyö: Tee html- ja php -ohjelma, joka laskee kolmion kulmat, kun kolmion sivujen pituudet on annettu.

Vihje: php:ssä kosinin käänteisfunktio on acos, ja vakiota pii voidaan merkitä M_PI.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma

18.2.2010

Jos kolmiosta tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kolmas sivu voidaan laskea kosinilauseella.

Harjoitustehtävä: Tee html- ja php- ohjelma, joka laskee kolmion kolmannen sivun, kun kaksi sivua ja niiden välinen kulma on tunnettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Kolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu

Puuttuvat osat

3.3.2010

Jos kolmiosta tunnetaan kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu, loput osat voidaan laskea (ksk).

Puuttuva kulma lasketaan vähentämällä oikokulmasta annetut kulmat.

Puuttuvat kaksi sivua voidaan laskea sinilauseella.

Harjoitustehtävä: Tee html- ja php- ohjelma, joka laskee kolmion kolmannen kulman, ja puuttuvat sivut, kun kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu on tunnettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Pinta-ala

15.6.2010

Jos tässä tapauksessa tarvitsee laskea vain pinta-ala, se saadaan kaavalla

A = ½b² tan α tan β /(tan α + tan β)

Harjoitus: Johda tämä kaava. Vihje: Korkeusjana h jakaa b:n kahteen osaan, joita voidaan merkitä x ja b-x. Sitten johdetaan h:lle kaava poistamalla muuttuja x ja sijoitetaan h kaavaan A = ½ bh.

Kolmion kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu

15.6.2010

Puuttuvat osat

Puuttuvien osien laskemisessa tämä palautuu tapaukseen, jossa tunnetaan kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu, sillä kolmas kulma saadaan vähentämällä piistä kaksi tunnettua kulmaa.

Pinta-ala

15.6.2010

Pinta-ala voidaan laskea myös suoraan.

Pinta-ala saadaan kaavalla:

A = ½ a² sin β sin(α +β)/(sin α).

Harjoitus: Johda yllä oleva kaava. Vihje: Eräs korkeusjana h = a sin β. Merkitse α:n ja β:n välisen sivun näin syntyviä osia x:llä ja y:llä. Ratkaise x ja y ja muodosta x + y, jolloin kolmion ala A = ½(x+y)h.

Kolmion kaksi sivua ja toisen vastainen kulma

4.3.2010

Lähde: L. Neovius-Nevanlinna: Trigonometria, toinen painos 1918, WSOY, ss 82-83.

Kun kaksi sivua ja toisen vastainen kulma tunnetaan, tarpeellinen toinen kulma ratkaistaan sinilauseella.

Tässä tapauksessa saadaan yksiselitteinen ratkaisu vain suorakulmaisille kolmioille, joiden ratkaiseminen on esitetty ylempänä.

sin B = (b sin A)/a.

1) b sin A > a.

sin B:n arvoksi saadaan luku, joka on suurempi kuin 1. ∠B -kulmalla ei voi olla mitään reaalilukuarvoa, ja kolmio on tässä tapauksessa mahdoton.

2) b sin A = a.

sin B on 1, jolloin ∠B on suora kulma ja ∠C = π/2 - A ja jotta kolmio olisi mahdollinen, ∠A:n on oltava terävä.

Tällä edellytyksellä saadaan tasan yksi ratkaisu.

3) b sin A < a.

sin B < 1. Sinin käänteisfunktio antaa yhden kulman, vaikka ratkaisuja on yllä olevan kuvan mukaan kaksi.

Jos sin B = (b sin A)/a

B = arcsin((b sin A)/a.)

ja kaikki mahdolliset ratkaisut ovat

x= B +n

2π v x= π - B +n

2π,

missä v (vel) tarkoittaa matematiikan sallivaa tai -sanaa.

Ratkaisut kolmiossa ovat siis ∠B ja π - ∠B.

Harjoitustehtävä: Tee html- ja php- ohjelma, joka laskee kolmion puuttuvat osat, kun kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu on tunnettu.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Lisää harjoituksia löytyy em. L. Neovius-Nevanlinnan kirjasta ss. 81-88.

Erikoiskolmioita

Tasakylkinen (isosceles) kolmio

Pons asinorum (aasinsilta)

7.6.2010

Määritelmä: Kolmio ΔABC on tasakylkinen, jos sen kaksi AB ja AC sivua ovat yhtä pitkät.

Thaleen kantakulmalause yhtenevyyslauseella:

Päätelmä: Jos kolmiossa on kaksi yhtäsuurta sivua, kolmion kantakulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu:

Olkoot kolmion ABC sivut AB ja AC yhtäpitkät.

Tällöin kolmiot ABC ja ACB ovat yhtenevät (sks) ja yhtenevien kolmioiden vastinosina kulmat ABC ja ACB ovat yhtäsuuret.

Thaleen kantakulmalauseen käänteislause:

Päätelmä: Jos kolmiossa on kaksi yhtäsuurta kulmaa, yhtäsuurten kulmien vastaiset sivut ovat yhtäsuuret.

Perustelu: Olkoot kulmat ABC ja ACB yhtäsuuret.

Tällöin kolmiot ABC ja ACB ovat yhtenevät, onhan niissä esimerkiksi kaksi kulmaa ABC ja ACB sekä yhteäsuuret niiden välinen sivu BC yhteinen (ksk).

Määritelmä: Tasakylkisen kolmion yhtäsuuria kulmia sanotaan kantakulmiksi.

Tämä nimityskäytäntö on saanut alkunsa siitä, että on ollut tapana piirtää kolmion yksi sivu alimmaksi ja vaakasuoraan.

Huomautus: Edellä olevat kaksi lyhyttä todistusta ovat peräisin Gerard A. Veneman oppikirjasta Foundations of Geometry, s. 88. Kosini- ja sinilauseeseen perustuvat todistukset on siirretty harjoitustehtäviksi.

Harjoitus:

Perustele tasakylkistä kolmiota koskevat lauseet kosinilausella ja sibilauseella.
Piirrä tasakylkinen kolmio harpilla ja viivaimella.
Tasakylkisen kolmion yhtäsuurien sivujen välinen kulma on π/6 ja tämän kulman vastainen sivu on 2,0 cm. Laske annetun kulman viereisen sivun pituus.

Tasasivuinen kolmio

Määritelmä: Kolmio on tasasivuinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

Päätelmä: Tasasivuisen kolmion kulmat ovat yhtäsuuria.

Perustelu: Tasasivuisen kolmioon voidaan soveltaa kahdesti pons asinoriumia, jolloin saadaan kaikki kulmat yhtäsuuriksi.

Koska kolmion kaikki sivut ovat a, kosinilause antaa kolmion kaikille kulmille saman arvon.

Tasakylkisen kolmion litteys on ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde sisäänpiirretyn ympyrän säteeseen eli 2.

Harjoitus: Piirrä tasasivuinen kolmio harpilla ja asteikottomalla viivaimella.

Tasakulmainen kolmio

7.6.2010

Päätelmä: Tasakulmainen kolmio on tasasivuinen.

Perustelu: Tasakulmainen kolmio voidaan osoittaa tasasivuiseksi soveltamalla siihen kahdesti pons asinorumin käänteislausetta.

Harjoitus:

Piirrä tasakulmainen kolmio ja mittaa sen sivujen pituudet.
Kirjoita perustelu sille, että tasakulmainen kolmio on tasasivuinen.

Erisivuinen kolmio

6.6.2010

Määritelmä:

Jos kolmio ei ole tasasivuinen eikä tasakylkinen, se on erisivuinen.

Harjoitus:

Piirrä erisivuinen kolmio ja varsmista harpilla, että se on erisivuinen.
Osoita, että erisivuisen kolmion sivut ovat eripitkät.

Koululaisen kolmio

Päätelmä: Jos D on tasasivuisen kolmion ΔABC sivun AB keskipiste, syntyy kaksi kolmiota ΔADC ja ΔBCD, joita kutsutaan koululaisen kolmioiksi siitä syystä, että Pythagoraan lauseella sivujen suhteiksi saadaan

a : 2a: a^½ eli 1: 2 : 3^½.

Perustelu: h² + a² = (2 a)²

h² = 3a²

h= a 3^½.

Huomautus: Edellä on osoitettu, että janalla on aina keskipiste.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella koululaisen kolmio.
Koululaisen kolmion korkeusjana on 3,0 cm. Laske kolmion hypotenuussa.

Kolmion sivut ja kulmat

14.2.2010
Lähde: K. Väisälä, Geometria, ESOY, Povoo, 1968, ss. 82-84

Huomautus: Tässä tulee esille joitain asioita, joita on käsitelyu jo ylempänä.

Suuremman sivun vastainen kulma...

Päätelmä: Kolmiossa on suuremman sivun vastainen kulma suurempi kuin pienemmän sivun vastainen kulma.

Perustelu: Olkoon kolmiossa ΔABC |CA| < |CB|.

Tällöin kolmion kyljellä CB on piste D siten, että |CD|= |AC|.

Kolmio ADC on tasakylkinen, ja sen kantakulmat ∠CAD ja ∠CDA ovat yhtä suuret.

∠ CBA < ∠CDA, koska kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden vieruskulmat. ∠CAB > ∠CAD, koska kulman osa on pienempi kuin kulma.

Koska ∠CAD = ∠CDA, ∠CBA < ∠CDA.

Koska reaalilukujen järjestys on siirrännäinen (transitiivinen), ∠CBA < ∠CAB.

Siirrännäisyys: jos a<b ja b<c, niin a<b.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kolmio, jonka kaikki sivut ovat erisuuria.Esitä perustelu sille, että kolmiosi sivut ovat todella erisuuria.

Yhtäsuurien sivujen vastaiset kulmat

Päätelmä: Kolmiossa ovat yhtä suurien kulmien vastaiset sivut yhtä suuretyhtäsuuret.

Perustelu: Edellä on osoitettu, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtäsuuret.

(Tämä seuraa myös suoraan kosinilauseesta.)

Harjoitus: Piirrä kolmio jonka kaikki kulmat ovat erisuuria. Esitä perustelöu sille, että kulmat ovat todella erisuuria.

Suuremman kulman vastainen sivu...

Päätelmä: Kolmiossa on suuremman kulman vastainen sivu suurempi kuin pienemmän kulman vastainen sivu.

Perustelu: Olkoon ∠A > ∠B.
Jos CA < CB tai CA = CB, edellisten päätelmien mukaan olisi kulma ∠A < ∠B tai ∠A = ∠B, mikä on vastoin oletusta ∠A > ∠B. (Epäsuora todistus.)

Harjoitus: Piirrä kolmio, mittaa sen sivut ja laske sen kulmat.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetit

Päätelmä: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on suurempi kuin kateetit.

Perustelu: Koska suora kulma on suurempi kuin suorakulmaisen kolmion terävät kulmat, hypotenuusa on suurimman kulman vastaisena sivuna suurin.

Harjoitus: Piirrä suorakulmainen kolmio, mittaa sen sivut ja laske sen terävät kulmat.

Tylppäkulmaisen kolmion tylpän kulman vastainen sivu on suurin

Päätelmä: Tylppäkulmaisen kolmion tylpän kulman vastainen sivu on suurin

Perustelu: Koska kolmion kulmain summa on π, muut kuolmat ovat teräviä ja siis pienempiä kuin tylppä kulma, joka on suurempi kuin ½π.

Koska tylppä kulma on suurin kulma, sen vastainen sivu on suurin.

Kohtisuoran janaston olemassaolo

14.5.2010

Perusoletus: Kaikille P ja kaikille k on olemassa piste Q siten, että d(P,Q) = k.

Päätelmä: Olkoot l janasto. On olemassa sille kohtisuora janasto m.

Perustelu: Janaston määritelmän mukaan janastossa on vähintää kaksi eri pistettä A ja B.

Edelleen juuri esitetyn perusoletuksen mukaan on olemassa piste P siten, että |AP| = |PB|.

Edelleen on olemassa piste Q siten, että |AQ| = |QB| ja |AQ| + |QB| > |AB|.

Tällöin P ja Q ovat eri pisteitä ja PQ = m on kohtisuorassa l:ää vastaan, koska kolmiot APQ ja BPQ ovat yhteneviä ja vieruskulmat APQ ja BPQ ovat yhtäsuuret.

Pisteen lyhin etäisyys janastosta

Päätelmä: Pisteen P lyhin etäisyys janastosta l on kohtisuora etäisyys. Välijana suurenee, kun sen janastolla (suoralla) oleva päätepiste liikkuu kohtisuoran ja janaston (suoran) leikkauspisteestä poispäin.

Perustelu: Olkoon PA pisteen P kohtisuora etäisyys janastosta l. Olkoon PB jokin muu etäisyys, B ei ole A. Tällöin PB > PA, koska suorakulmaisen kolmion hypotenuussa PB on suurempi kuin kateetti PA.

Olkoon piste C siten, että B on A:n C:n välissä.

PC > PB, sillä kulma ∠PBC on tylppä, ja tylpän kulman vastainen sivu PC on suurempi kuin tylpän kulman viereinen sivu PB.

Harjoitus: Piirrä paperille suora viiva ja sen ulkopuolella oleva piste. Mittaa pisteen etäisyys suorasta viivasta. Miten voit laskemalla tarkistaa mittaustuloksesi?

Kolmion kahden sivun summa ja erotus

Päätelmä: Kolmioepäyhtälön mukaan kolmion kahden sivun summa on suurempi kuin kolmas sivu eli

a + b > c.

Päätelmä: Kolmion kahden sivun erotus on pienempi kuin kolmas sivu.

Perustelu: Koska a + b > c niin c - b < a.

Trigonometrian kaavoja

21.2.2010

Tavalliset matemaatikot

Tavalliset matemaatikot johtavat triginometrian peruskaavat kompleksilukujan avulla.

Kun puhtaasti geometrinen johtaminen on mahdollinen ilman kuvia (mutta ei ilman pistekuvioita) ja kompleksilukuja, tämä geometrinen johtaminen esitetään tässä.

Pythagoraan lauseesta johtuu

Edellä on todettu, että:

sin²A + cos²A =1

mistä

sin²A = 1 - cos²A

ja

cos²A = 1 - sin²A.

Kaksinkertaisen kulman kosini

Kolmioiden yhdenmuotoisuuteen perustuen voidaan johtaa trigonometrian peruskaavat. Tämä ensimmäinen esimerkki on tarpeeton, koska se saadaan alempana olevasta yhteenlaskukaavasta, mutta tämä esimerkki on hyvää harjoitusta vaikeamman esimerkin ymmärtämiseen.

Mainittakoon, että tämä esimerkki on oppikirjassa Veli Repo - Yrjö Repo: Trigonometrian oppikirja, Weilin & Göös, 1972, ss. 28-29.

Olkoon ΔAOB tasakylkinen kolmio, jonka kärki on O ja sivut OA ja OB ovat pituudeltaan 1. Olkoon kulma ∠AOB = 2∠A.

Olkoon kolmas sivu suuruudeltaan 2y ja olkoon sivun keskipiste C, jolloin AOC ja AOB muodostavat suorakulmaiset kolmiot ΔAOC ja ΔCOB, joiden kateetit ovat x = cos A ja Y = sin A.

Koko kolmiossa on kosinilauseen perusteella

(2x)² = 1 + 1 + 2 cos2A,

2x² = 1 + cos 2A.

cos 2A = 2 x² - 1

cos 2A = 2 cos² A - 1.

Muita muotoja:

cos 2A = 1 - sin² A

cos 2A = cos² A - sin² A.

Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavasta saadaan kaavalla

sin²2A + cos²2A = 1

kaava

sin 2A = 2 sin A cos A.

Kaksinkertaisen kulman sinin ja kosinin kaavoista saadaan, koska

tan A = sin A/cos A

kaava

tan 2 A = (2 tan A)/(1 - tan² A)

Lähde: Veli Repo - Yrjö Repo: Trigonometrian oppikirja, Weilin & Göös, 1972, ss. 28-29.

Kaksinkertaisten kulmien kaavoista saadaan puolen kulman kaavat:

cos 2A = 1 - 2 sin² A

cos A = 1 - 2 sin² ½a

sin ½A = √(½(1 - cos A))

Vastaavasti saadaan puolen kulman kosinille ja tangentille kaavat:

cos ½A = √(½(1 + cos A))

ja

tan ½A = √((1 - cos A)/1 + cos A)

Kahden kulman summan ja erotuksen sini ja kosini

Helppo tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)

4.5.2010

Lähde:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/SinCosFormula.shtml

Tutkittuani muutamia kuukausia erilaisia tapoja perustella sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat olen löytänyt seuraavan, joka pitäisi olla kaikkien eläkeläismatemaatikoiden ymmärrettävissä.

Olkoon ABC mielivaltainen komio, jonka kaksi sivua ovat c ja d. Kolmas sivu on c sin x + d sin y, kun x ja y ovat korkeusjanan viereiset kulmat. Korkeusjana on joko

c cos x

tai

d cos y.

Koko kolmion ala on

A = ½ cd sin (x+y).

Korkeusjanan erottamien kolmioiden alat ovat

A1 = ½ c sin x c cos x = ½ c sin x d cos y.

A2 = ½ d sin y d cos y = ½ c sin y d cos x.

Koska A = A1 + A2, saadaan

½ cd sin (x+y) = ½ cd sin x cos y + ½ cd sin y cos x

ja jakamalla molemmat puolet ½ cd:llä saadaan

sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x.

Kahden kulman erotuksen sini saadaan edellä olevasta kaavasta sijoittamalla siihen y:n paikalle -y.

sin(x+(-y))
= sin x cos(-y) + cos x sin (-y)
= sin x cos y - cos x sin y

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y.

Tässä on käytetty hyväksi tietoja

cos(-y) = cos y (kosinin parillisuus)

ja

sin (-y) = - sin y (sinin parittomuus)

Kun sijoitetaan sin(x-y):n kaavaan x:n paikalle π/2 ja y:n paikalle x saadaan:

sin (π/2 - x) = sin (π/2) cos x - cos (π/2) sin x

sin (π/2 - x) = cos x.

Kun tässä sijoitetaan x:n paikalle π/2 - x, saadaan

sin [π/2 - (π/2 - x)] = cos (π/2 - x)

eli

cos (π/2 - x) = sin x.

Sanallisesti nämä kaavat ovat:

Komplementtikulman sini on kosini.

Komplementtikulman kosini on sini.

Viimeksi mainittuja kahta kaavaa käytetään hyväksi seuraavassa.

Kahden kulman summan kosini saadaan seuraavasti:

cos (x + y) = sin [π/2 - (x + y)] = sin [(π/2-x) - y]

= sin (π/2-x) cos y - cos(π/2-x) sin y

= cos x cos y - sin x sin y.

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

Kahden kulman erotuksen kosini saadaan edellä olevasta kaavasta sijoittamalla siihen y:n paikalle -y.

cos(x + (-y))
= cos x cos (-y) - sin x sin -y
= cos x cos y + sin x sin y.

cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y.

Tässä on käytetty hyväksi tietoja

cos(-y) = cos y (kosinin parillisuus)

ja

sin (-y) = - sin y. (sinin parittomuus)

Perinteinen tapa saada sin(x+y), sin(x-y), cos(x+y) ja cos(x-y)

22.2.2010

Lähde: http://www.jimloy.com/geometry/trig.htm

Olkoon ΔAOD suorakulmainen kolmio, jossa kulma ∠AOD = X ja kulma ∠ADO on suora.

Olkoon ΔAOB suorakulmainen kolmio, jossa kulma ∠ABO = Y ja kulma ∠OAB on suora.

Kolmioilla ΔAOD ja ΔAOB on yhteinen sivu AO.

Olkoon BE jana, joka on kohtisuorassa janaa AD tai sen jatketta vastaan. (toisaalla osoitetaan, että tällainen on mahdollista.)

Olkoon AC jana, joka on kohtisuorassa janaa BE vastaan.

Toinen kuva näyttää tilanteen, jossa kulmat ovat suurempia.

sin(x + y) = BE/OB
= (BC+CE)/OB
= (BC+AD)/OB
= AD/OB + BC/OB
= (AD/OB)×(OA/OA) + (BC/OB)×(BA/BA)
= (AD/OA)×(OA/OB) + (BC/BA)×(BA/OB)
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

Kun annetaan y:lle arvo n2π, saadaan yhteenlaskukaavasta

sin(x+n2π)
= sin x cos n2π + cos x sin n2π
= sin x

Sini on siis jaksollinen funktio jaksolla 2π.

Sama tulos saadaan alempana esitetyllä kosinin yhteenlaskukaavalla kosinille.

Koska tangentti ei ole määritelty kosinin nollakohdissa, sen jakso ei voi olla 2π.

Tangentin yhteenlaskukaavalla saadaan tangentin perusjaksoksi π.

Yhteenlaskukaavasta voidaan päätellä, että

sin(2x)=2 sin x cos x,

mikä johdettiin edellä yksinkertaisemmasta kuviosta.

Kahden kulman erotuksen sini saadaan edellä olevasta kaavasta sijoittamalla siihen y:n paikalle -y.

sin(x+(-y))
= sin x cos(-y) + cos x sin (-y)
= sin x cos y - cos x sin y

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y.

Tässä on käytetty hyväksi tietoja

cos(-y) = cos y

ja

sin (-y) = - sin y

Kun annetaan x:lle arvo π/2, saadaan

sin(π/2 - y)
= sin π/2 cos y - cos π/2 sin y
= 1.cos y - 0. sin y
eli

Kosini on komplementtikulman sini.

Laskemalla puolittain yhteen sinin yhteenlaskukaava ja sinin vähennyslaskukaava saadaan

sin (x + y) + cos (x + y ) = 2 cos x cos y.

Sijoittamalla (x + y):n paikalle x ja (x-y):n oaikalle y saadaan kaava:

sin x + sin y =2 sin((x+y)/2)) cos((x-y)/2))

Vastaavalla tavalla käyttäen alempana olevia kaavoja saadaan:

sin x - sin y = 2 sin((x - y)/2) cos((x + y)/2) ,

cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x -y)/2),

cos x - cos y = -2 sin((x + y)/2) sin((x - y)/2).

cos(x+y) sadaan samasta kuviosta seuraavasti:

cos(x+y) = OE/OB
= (OD-DE)/OB
= (OD-AC)/OB
= OD/OB - AC/OB
= (OD/OB)×(OA/OA) - (AC/OB)×(BA/BA)
= (OD/OA)×(OA/OB) - (AC/BA)×(BA/OB)
cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y

Yhteenlaskukaavasta voidaan päätellä, että

cos 2x = cos²x - sin²x.

Kahden kulman erotuksen kosini saadaan edellä olevasta kaavasta sijoittamalla siihen y:n paikalle -y.

cos(x + (-y))
= cos x cos (-y) - sin x sin -y
= cos x cos y + sin x sin y.

cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y.

Tässä on käytetty hyväksi tietoja

cos(-y) = cos y

ja

sin (-y) = - sin y.

Kun annetaan x:lle arvo π/2, saadaan

cos(π/2 - y)
= cos π/2 cos y + sin π/2 sin y.
= 0.cos y + 1. sin y
eli

cos(π/2 - y) = sin y

eli sini on komplementtikulman kosini.

Harjoitus: Se, että kolmion kulmain summa A + B + C =π, voidaan osoittaa myös trigonometrialla osoittamalla, että tämän väitteen kanssa yhtäpitävä väite

cos(A + B + C) = -1 on johdettavissa trigonometriasta.

Tarvitaan myös sini- ja kosinilausetta.

Perustele yllä oelva väite.

Lähde: Radu Mironin ja Dan Brânzein teos Backgrounds of Arithmetic and Geometry, s. 85.

Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion trigonometriaa

21.2.2010

Tarkastellaan tasakylkistä suorakulmaista kolmiota, jonka kateetit ovat 1. Pythagoraan lauseen perusteella hypotenuusa on √2.

Tällöin terävät kulmat ovat 45^o eli π/4.

sin(π/4) = 1/√2

ja

cos(π/4) = 1/√2

sin(x + π/4)
=sin x cos π/4 + cos x sin π/4
=(1/√2)(sin x + cos x)

eli

cos x + sin x = √2(sin(x + π/4))

Vastaavalla tavalla saadaan kaavat:

cos x - sin x = √2(sin(x - π/4)),

Vaihtamalla merkki + merkkiin - saadaan kaavat:

cos x + sin x = √2(cos(x - π/4))

ja

cos x - sin x = √2(cos(x + π/4)).

Trigonometriset yhtälöt

9.5.2010

Johdantoa ja määritelmiä

Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää usein muunlaisten yhtälöiden kuten polynomiyhtälöiden ratkaisutaitoa. Lisäksi trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää käsitteiden ulkofunktio ja sisäfunktio ymmärtämistä.

Kun vuosikymmeniä sitten opetin pitkään näitä yhtälöitää, päätin kaikesta huolimatta ottaa tähän kirjaan suppean esityksen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Yhtälön f(x) = 0 ratkaisemisella tarkoitetaan niiden x:n arvojen löytämistä, joilla yhtälö on tosi. Niitä x:n arvoja, joilla yhtälö on tosi, kutsutaan yhtälön ratkaisuksi tai yhtälön ratkaisujoukoksi.

Esimerkiksi yhtälön x + 2 = 0 ratkaisujoukkoon kuuluu luku 2.

Yhtälön määrittelyjoukolla tarkoitetaan niiden x:n arvojen joukkoa, jotka ovat yleensä mahdollisia.

Esimerkiksi yhtälön

(x²-4)/(x-2) = 0 määrittelyjoukkoon (lähtäjoukkoon) ei voi kuulua x:n arvo 2, koska silloin nimittäjä x - 2 on nolla.

Funktion arvojoukkoon (maalijoukkoon) kuuluvat kaikki ne y:t, jotaka saadaan antamalla x:lle eri arvoja yhtälössä y = f(x).

Esimerkiksi funktion y = 2x + 1 arvojoukkoon kuuluvia lukuja saadaan, kun x:lle annetaan eri arvoja lausekkeessa 2x + 1. Kun x = 0, 2 x 0 + 1 = 1, kun x = 1, 1 x 2 + 1 = 3 jne

Funktiossa f(x) = sin(2x + 1) esiintyy ulkofunktiona sini ja sisäfunktiona 2x + 1.

Olkoon trigonometristen ulkofunktioiden nimenä F, G, jne ja sisäfunktioiden niminä f, g, jne..

Joukkoon F kuuluvat funktioista sin f, cos f, tan f ja cot f.
muodostetut funktiot, esimerkiksi F(f,g) = sin f + cos g

Joukkoon f voi kkuulua mitä tahansa funktiota, mutta seuraavassa käsitellään vain sellaisia tapauksia, jossa f on hyvin yksinkertainen polunomi, esimerkiksi 2x.

Seuraavassa tarkastellaan kolmen tyyppisiä yhtälöitä:

F(x) = k, missä k on vakio,
F(f,g,h) = k, missä k on vakio,
F(f,g,h)= G(f,g,h).

Tyyppi F(x) = k

Esimerkki 1

sin x = ½.

Perustieto: sin x = sin(π - x).

Ubuntun laskin antaa (sin^-1 (½))arvon

x = 0,523598776

Kun yhtälöön sijoitetaan perustietoon nojaten

π - 0,523598776,

saadaan myös sinin arvoksi ½.

Lisäksi on huomioitava, että sinillä on jaksina 2 π.

Ratkaisujoukko on:

x = 0,523598776 + 2πn tai x = π - 0,523598776 + 2πn.

Muinaisen ylioppilastutkintolautakunnan vaatimusten mukainen ratkaisU:

Piirretään kolmio, jossa sini on ½:

Kyseessä on koululaisen kolmio, jonka sivujen suhteet ja kulmat abiturientin piti osata ulkoa.

Ratkaisujoukko näillä "tarkoilla arvoilla" on:

x = π/6 + 2πn tai x = -(5π/6) + 2πn

Esimerkki 2:

Perustieto: cos x = cos(-x).

cos x = 0,523598776.

Nyt ei ilmeisesti tarvitse huolia tarkoista arvoista.

Ubuntun laskin antaa (cos^-1(0,523598776) arvon

x = 1,019726743.

Ratkaisujoukko on

x = 1,019726743 + 2πn tai x = -1,019726743 + 2π.

Esimerkki 3:

10.5.2010

tan x = -1

Perustieto: Tangentin jakso on π.

Ubuntun laskin antaa (tan^-1(-1)) arvon

x = −0,785398163.

Tässä tapauksessa on syytä epäillä jotain ns. muistilkolmioista.

Piirretään kolmio, jossa tangentti on ½.

Ilmiselvästi kyseessä on tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka terävät kulmat ovat π/4.

Ratkaisujoukko on "tarkoin arvoin":

x = π/4 + n π.

Esimerkki 4:

cot x = 0,567.

Koska Ubuntun laskimessa ei ole kotangenttia, tehtävä on palautettava tangenttiin tiedolla

cot x = 1/(tan x).

Tehtävä palautuu muotoon:

tan x = 1/0,567 eli

tan x = 1,76366843.

Tästä tehtävän ratkaisu jatkuu kuten esimerkissä 3.

Tyyppi F(f,g,h) = k

10.5.2010

Esimerkki 1:

cos 3x = 3^½/2.

f(x) = 3x.

cos f = 3^½/2.

Nyt on jälleen kyse koululaisen kolmiosta:

Nyt saadaan

f = π/6 + 2πn tai f = -π/6 + 2πn.

Koska f(x) = 3x, saadaan

x = ( π/6 + 2πn)/3 tai x = (-π/6 + 2πn)3 eli

x = π/18 + (2/3)πn tai x = -π/18 + (2/3)πn.

Esimerkki 2:

sin 2x - cos 2x = 0.

f(x) = 2x.

sin f - cos f = 0 |: cos f

tan f - 1 = 0.

tan f = -1

Tangentti on pariton funktio joten tan (-f) = 1.

Koska on kyseessä tasasivuinen suorakulmainen kolmio,

-f = π/4 + n π.

f = -π/4 + n π.

Huomaa, että miinusmerkkiä ei tarvitse laittaa kohtaan nπ, koska n voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Koska f(x) = 2x, x:n arvoiksi sadaan:

x = (-π/4 + n π)2 eli

x = -π/8 + n π/2.

Tyyppi F(f,g,h)= G(f,g,h)

Esimerkki 1:

sin 2x = sin 3x.

Nyt voidaan siirtyä yhtälöihin

2x = 3x + 2nπ tai 2x = -3x + 2nπ,

koska cos x = cos x ja cos x = cos (-x).

2x - 3x = 2nπ tai 2x + 3x = 2nπ.

-x = 2nπ tai 5x = 2nπ.

x = -2nπ tai x = (2/5)nπ.

Esimerkki 2:

tan 3x + tan x = 0.

tan 3x = - tan x.

Koska tan x on pariton funktio, -tan x = tan -x.

3x = -x + nπ.

4x = nπ.

x = (1/4) nπ.

Tarkistus: Koska tangentti ei ole määritelty kaikilla x:n arvoilla, ratkaisujoukosta on poistettava ne x:n arvot, jotka eivät kuulu määrittelyjoukkoon.

Tangentti ei ole määritelty arvoilla ½π + nπ.

(tan x = (sin x) / (cos x), tangentti ei ole määritelty, kun cos x=0.)

Ratkaisut ½π + nπ eivät kelpaa, joten kelvollisiksi ratkaisuiksi jäävät

x = nπ tai x = (1/4) n + ½πn.

Vastaava jarkistus on suoritettava aina, kun yhtälön jokin lauseke ei ole määritelty. Tämä pätee kaikkiin yhtälöihin, ei pelkästään trigonometrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 3:

4 sin x + 5 cos x = 0 | : 4 cos x

tan x + 5/4 = 0.

tan x = - 5/4.

Nyt eivät kelpaa kosonin nollakohdat x = ½π + nπ.

x = -0,896 + πn.

Trigonometriset yhtälöt, joita on sievennettävä trigonometrian kaavoilla

Esimerkki 1:

3 sin x = 2 cos² x.

3 sin x = 2 (1 - sin² x).

2 sin² x + 3 sin x - 2 = 0.

Tämä yhtälö on muotoa

2 f² + 3 f - 2 = 0.

f voidaan ratkaista toisen asteen yhtälän ratkaisukaavalla:

x =[ - b ± √(b² - 4ac)](2a).

Tässä tapauksessa a = 2, b = 3 ja c = -2.

f = ½ tai f = - 2.

f = -2 ei kelpaa, koska sini ei voi olla pienempi kuin -1.

sin x = ½.

Edellä olevasta esimerkistä nähdään, että

x = π/6 + 2πn tai x = (5/6)π + 2πn.

Esimerkki 2:

sin x + cos x = sin x cos x.

Tämä yhtälö on muotoa

sin f ± cos f = g.

Kun tämän yhtälön molemmat puolet korotetaan neliöön, saadaan

sin² f + cos² f ± 2 sin f cos f = g².

Koska sin² f + cos² f = 1, saadaan yhtälö muotoon

1 ± 2 sin f cos f = g².

Koska mukaan voi tulla vieraita juuria (vastalukujen neliöt ovat samat), on aina suoritettava tarkistys.

Edellä oleva yhtälö saa muodon:

1 + 2 sin x cos x = sin² x cos² x.

Kun nyt f(x) = sin x cos x,

1 + 2f = f².

f² - 2f - 1 = 0.

Tämä voidaan ratkaista edellä esitetyllä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, ja saadaan:

f =[ -2 ± √(4 + 4)]/2 eli

f = -1 ± √2.

f = sin x cos x = ½(sin 2x)

½(sin 2x) = -1 ± √2.

sin 2x = -2 ± 2 √2.

Tästä nähdään ilman laskutoimituksia, että - merkki antaa sinille pienemmän arvon kuin -1, joten se ei kelpaa.

Lasketaan likiarvo lausekkeelle -2 + 2 √2 ja saadaan

0,828427125.

2 x = 0,828427125 + 2nπ
tai 2x = (π-0,828427125)+nπ eli

x = -0,488 + nπ tai x = -1,083 + nπ.

Melkoisella laskutyöllä päädytään tulokseen, jonka mukaan alkuperäisen yhtälönratkaisuksi kelpaavat vain

x = 2,654 +2nπ tai x = -1,083 + 2nπ.

Esimerkki 3:

sin x - cos x = cos 2x.

Koska cos 2x = cos² - sin² x,

sin x - cos x = cos² x - sin² x.

Oikea puoli voidaan jakaa teḱijöihin kaavalla

a² - b² = (a + b)(a - b) ja saadaan

sin x - cos x = (cos x + sin x)(cos x - sin x).

Molemmat puolet voidaan jakaa lausekkeella

sin x - cos x,

mutta koska tämä voi olla nolla, myös yhtälön

sin x - cos x = 0 ratkaisut on otettava ratkaisujoukkoon.

Jäljelle jää

-1 = cos x + sin x eli

cos x + sin x = -1.

Ratkaistaan ensin

sin x - cos x = 0 | cos x

tan x - 1 = 0.

tan x = 1.

x = π/4 + πn.

Ratkaistaan sitten

cos x + sin x = -1.

Kosinin vähennyslaskukaavalla on aikaansaatavissa kaava:

cos(x - π/4) =(1/√2)(cos x + sin x).

eli yhtälö cos x + sin x = -1 saa muodon

cos(x - π/4) = -(1/√2).

x - π/4 = ± (3/4)π +2nπ

x = π + 2nπ tai x = -½π + 2nπ.

Yloppilastutkintolautakunnan ohjeen mukaan ratkaisujouko on vielä kopioitava loppuun:

x = π/4 + πn tai x = π + 2nπ tai x = -½π + 2nπ.

Esimerkki 4:

2 sin x + cos x = 1.

Vakio 1 voidaan usein poistaa sijoittamalla jonkin lausekkeen tilalle jotain, joka sisälttää ykkösen.

Esimerkiksi

cos 2x = 1 - sin² x

eli

cos x = 1 - 2 sin² (½x)

Sijoittamalla tämä kosinin paikalle alkuperäiseen yhtälöön saadaan:

2 sin x + 1 - 2 sin²(½x) = 1

ja nyt ykkänen voidaan vähentää molemmista puolsita ja saadaan yhtölö

2 sin x - 2 sin²(½x) = 0.

Vastaavasti sin x:ään voidaan sovetaa yhtälöä:

sin 2x = 2 sin x cos x

eli

sin x = 2 sin (½x) cos (½ x).

Kun sin x:n paikalle yehdään tämä sijoitus, saadaan

4 sin (½x) cos (½ x) - 2 sin²(½x) = 0.

sin (½x) voidaan ottaa tekijäksi eli

sin (½x) = 0

ja jäljelle jää tekijä

2 cos (½x) - sin (½x) = 0

Ratkaistaan ensin

sin (½x) = 0.

½x = πn

x = 2πn.

Ratkaistaan sitten

2 cos (½x) - sin (½x) = 0.

tan (½x) = 2.

x = 2,21 + 2πn.

Lopuksi kopioidaan rataksujoukko ylioppilastutkintolautakunnan ohjeiden mukaan loppuun:

x = 2πn tai x = 2,21 + 2πn.

Esimerkki 5:

Muotoa

a cos x ± b sin x = c

olevat yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä apukulmaa ja kaavoja.

a = r cos α,

b = r sin α

eli

tan α = b/a,

r = a/(cos α).

Alkuperäinen yhtälö saadaan muotoon:

r cos α cos x ± r sin α sin x = c

eli aikaisemman perusteella

cos (x -/+ α) = c/r.

Ratkaisuja ei ole, jos |c/r| > 1.

Muut trigonometriset yhtälöt

Usein kaavoilla ja sievennyksilla löytyy ratkaisuja.

Eräs nopeasti eteen tuleva ongelma on, että yhtälön asteluku nousee niin suureksi, ettei yhtälölle ole ratkaisukaavaa.

Jos kyse on yhtälöstä

a₀ +Σ a_n cos nx+Σ b_n sin nx = 0,

missä n saa arvot nollasta N:ään, eli trigonometristen polynomien nollakohdista, tehokkaita tietokoneohjelmia löytyy.

Jos sisäfunktiot f(x), g(x) jne. ovat yksinkertaisia, sini ja kosini voidaan aina muuttaa toisikseen, tangentti voidaan muuttaa sinin ja kosinin osamääräksi ja kotangentti kosinin ja sinin osamääräksi ja ratkaisu ei ole vaikeaa.

Tällöin eräs nopeasti eteen tuleva ongelma on, että yhtälön asteluku nousee niin suureksi, ettei yhtälölle ole ratkaisukaavaa.

Harjoituksia:

3 tan³(x) – 3 tan²(x) – tan(x) + 1 = 0
2 sin(x) - 2√3 cos(x) - √3 tan(x) + 3 = 0
cos 6x - sin 5x + sin 3x + cos 2x = 0
6 + 4 tan x =5/(sin²x)
cos x = 2 (1 + 2 cos x) sin x.

Huomautus: Kaikkia MAOL:in taulukoissa olevia trigonometrian kaavoja saa käyttää, vaikka niitä ei oleisi tässä oppikirjassa perusteltukaan.

Koska tätä taulukkokirjaa kustantaa Otava, sitä ei ole Internetissä.

Tämän oppikirjan suomalaisille käyttäjille suosittelen alla olevan linkin mukaisia taulukkoja.

http://www.taulukot.com/

Trigonometriset epäyhtälöt

10.5.2010

Esimerkkejä

Esimerkki 1:

sin x + cos x > 1.

Tämä epäyhtälö ratkaistaan alla malliksi ilman merkkikaaviota.

sin x + cos x > 1.

cos (π/2 - x) + cos x > 1.

Sovelletaan kaavaa

cos x + cos y = 2 cos [(x + y)/2] cos [(x + y)/2].

saadaan alkuperäiselle epäyhtälölle:

2 cos (π/4) cos ((π/4) - 1) > 1.

cos ((π/4) - x) > 1/√2.

-π/4 + 2πn < x - π/4 < π/4 + 2πn. |+π/4

2πn < x < π/2 + 2πn.

Muistaakseni tämä ratkaisutapa ei ollut oppilaista erityisen helppotajuinen.

Näin ratkaistaessa on vättämätöntä tarkistaa ratkaisu.

Esimerkki 2:

(1 - cos x)/(1+sin x) < 1.

Siirretään 1 toiselle puolelle ja vaihdetaan sen merkki.

(1 - cos x)/(1+sin x) - 1 < 0.

Suoritetaan vähennyslasku:

(1 - cos x - 1 - sin x)/(1+sin x) < 0.

(- cos x - sin x)(1+sin x) < 0.

Kerrotaan molemmat puolet -1:llä ja vaihdetaan epäyhtäläisyysmerkin suunta:

( cos x + sin x)(1+sin x) > 0.

Selvitetään osoittajan nollakohdat:

cos x + sin x = 0 |:sin x

tan x + 1 = 0.

tan x = -1.

x = - π/4 + 2πn tai x = (3/4)π + 2πn.

Selvitetään nimittäjän nollakohdat:

1 + sin x = 0.

sin x = -1.

x = -½π + 2πn.

Tehdään merkkikaavio, jossa on sekä osoittajan että nimittäjän merkit. Osamäärän merkkisäännöllä selvitetään osamäärän merkki.

Osamäärä on positiivinen, jos sekä osoittaja että nimittäjä ovat samanmerkkisiä.

Osamäärä on negatiivinen, jos osoittaja ja nimittäjä ovat erimerkkisiä.

Tässä tapauksessa jakso on 2Πn.

Merkit saadaan laskemalla osamäärän arvo neljässä eri kohdassa. Laskelman voi tehdä laskimella.

Ratkaisuksi saadaan:

-Π/4 + 2Πn < x < 3Π/4 + 2Πn

Esimerkki 3:

2 sin² x + 2 cos 2x + sin x > 2.

Ensin on poistetava cos 2x.

2 sin² x + 2(1 - 2 sin² x) + 2 sin² x > 2.

-2 sin² x + sin x < 0.

Saattaa olla helpompaa ratkaista tämä yhtälö muuttamalla molempien puolten merkit ja kääntämällä epäyhtäläisyysmerkin suunta.

2 sin² x - sin x > 0.

Merkitään f = sin x.

2 f² - f > 0.

Ratkaistaan ensin yhtälö:

2 f² - f = 0.

Tämä on toisen asteen yhtälö, mutta koska siitä puuttuu ns. vakiotermi, yhtälön ratkaisussa ei tarvita toisen asteen yht6älön ratkaisukaavaa vaan yhtälö voidaan ratkaista jakamalla vasen puoli tekijöihin.

f (2 f - 1) = 0.

f = 0 tai 2 f - 1 = 0.

f = 0 tai f = ½.

Tehdään merkkikaavio.

Koska sin x voi saada vain välin [-1,1] arvoja, ratkaisujoukkoa on rajoitettava eli

-1 < f < 0 tai ½ < f < 1.

Kun f:n paikalle sijoitetaan sin x, saadaan

- 1 < sin x < 0 tai ½ < sin x < 1.

Kun nämä epäyhtälöt ratkotaan, saadaan:

Π/6 + 2Πn< x < 5Π/6 +2Πn

tai

Π + 2Πn < x < 2Π + 2Πn.

jatkuu...

Kertausharjoituksia

25.9.2010

Kahden eri kolmion sivut ovat a, b, c ja a, b, d. Kulmien C ja D summa on Π. Osoita, että kolmioilla on sama pinta-ala.

Kolmioston ja nelistön sisäiset koordinaatistot

Sisäiset koordinaatistot yleensä

11.7.2010

Usein käytetään erilaisia suhteellisia etäisyyksisä esimerkiksi kolmion sivuista tai nelitahokkaan tahkoista.

Myös ns. painopistekoordinaateja käytetään erilaisissa fysiikan teorioissa.

Tässä esityksessä pysytellään ei-analyyttisessä geometriassa ja tästä syystä on otettu käyttöön täysin oma koordinaattijärjestelmä.

Kolmioston sisäiset koordinaatistot

1.15.2010

Janakoordinaatisto (two points coodinates)

Kun tunnetaan yksi kolmioston kolmio, muut saman kolmioston pisteet voidaan ilmaista ilmoittamalla niiden etäisyydet kolmion kolmesta kärkipisteestä

Kuten muualla tässä esityksessä on todettu, kolmas näistä etäisyyksistä on tarpeen vain kahden vaihtoehdon erottamiseksi toisistaan.

Tämä kolmas piste siis riippuu vahvasti kahdesta ensimmäisestä, ja esitystä voidaan yksinkertaistaa seuraavasti.

Jos on annettu kolme kolmioston pistettä, kaksi niistä määrää janaston l. Kolmas piste määrää yhdessä janaston kanssa sen puolikolmioston, jossa se sijaitsee.

Riittää ilmoittaa etäisyydet kahdesta pisteestä, esimerkiksi A ja B ja se, kuuluuko piste janastoon AB, samaan puolikolmiostoon kuin C vai eri puolikolmiostoon kuin C.

Jos piste kuuluu janastoon AB, koordinaatteja merkitään AB(x,y). Jos piste kuuluu samaan puolitasoon kuin C, koordinaatteja merkitään C(x,y) ja jos piste kuuluu eri puolitasoon kuin C, koordinaatteja merkitään -C(x,y).

Jos janat a, b ja c on annettu, voidaan käyttää mitä tahansa janoista a, b ja c koordinaatiston perusjanana.

Kulmakoordinaatisto

Janojen sijasta voidaan käyttää kahta kulmaa ABX ja BAX. Myös nyt tarvitaan tietää se, onko piste janastossa AB vai jommassa kummassa AB:n ja C:n määräänistä puolikolmiostoista.

Harjoitus: Tee tästä mallista yhtä täsmällinen kuin janakoordinaatistosta.

Napakoordinaatisto (polar coordinates)

Jos käytetään yhtä pistettä A, tuntemattoman pisteen X ja A:n muodostaman janan AX ja AB:n välistä kulma kiertosuunnassa, jonka AB:stä katsottuna määrää C, saadaan tavanomainen napakoordinaatisto.

Lineaarialgebran koordinaatisto

Jos valitaan kaksiulotteisen lineaarialgebran kanatavektoreiksi AB ja AC, saadaan tavallinen lineaarialgebran koordinaatisto.

Jos AB ja AC ovat kohtisuorassa, saadaan tietysti tavalinen suorakulmainen karteesinen koordinasatisto.

Miksi suorakulmaisia koordinaatistoja käytetään

15.7-2010

Syyt ovat yksinkertaisia:

Ihminen elää painovoiman vaikutuksessa.
Ihminen elää melkein tasaisella pinnalla.
Ihminen liikkuu enimmäkseen hyvin hitasti.

Tämän seurauksena mm.

Ihmisten rakennelmissa on vaaka- ja pystysuoria tasoja.
Mittaukset ovat helpoimpia, kun käytetään suorakulmaista koordinaatistoja.
Rakennuspiirustuksissa on viisasta käyttää suorakulmaisia koordinaatteja.

Ihmisen elinolosuhteet tekevät siis tietyn tyyppisen matematiikan tarpeelliseksi.

Myös ihmisten aisteilla ja tekniikalla on vaikutuksia koordinaatistojen valintaan. Esimerkiksi tietokoneen näytön rakentaminen on tapahtunut suorakulmaiseen koordinaatistoon perustuen.

Tässä kirjassa ei erityisemmin välitetä ihmisen matematiikan tarpeista. Pikemmin tässä kirjassa pyritään esittämään kaikenlaista sellaista, mitä tulee vain harvoin ajatelleeksi.

Karteesinen koordinaatisto

20.7.2010

Karteesisessa kolmiostokoordinaatistossa pistettä vastaa järjestetty lukupari. Kahden toisiaan vastaan janaston x ja y leikkauspistettä merkitään (0,0):lla.

Ns, ensimmäisessä neljänneksessä (koillisessa neljänneksessä) pisteen ensimmäinen luku (koordinaatti) on etäisyys suorasta y ja toinen luku (koordinaatti) on etäisyys suorasta x.

Toisessa neljänneksessä (luoteisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on etäisyys suorasta x.

Kolmannessa neljänneksessä (lounaisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta x.

Neljännessä neljänneksessä (kaakkoisneljänneksessä) ensimmäinen koordinaatti on etäisyys suorasta y ja toinen koordinaatti on miinus etäisyys suorasta x.

Harjoitus:

Piirrä ruudulliselle paperille karteesinen koordinaatisto ja mekitse siihen rastilla pisteet (3,4), (-½,2), (-3,-½) ja (½,-2).
Ota selvää, millaisessa koordinaatistossa pörssikurssit esitetään.

Vektorit karteesisessa koordinaatistossa

21.7.2010

Kohtisuorat kantavektorit

Karteesisessa koordinaatistossa vektoria A(0,0)B(1,0) merkitään kirjaimella i ja vektoria A(0,0)B(0,1) merkitään kirjaimella j.

Vektori A(0,0)C(2,3) on tällöin 2i + 3j.

Yleisesti paikkavektoria eli vektoria pisteestä (0,0) pisteeseen (x,y) merkitään:

r = x i + y j.

i x i ja j x j ovat nollia, koska sin 0 on nolla.

Koska i ja j ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa ja sini on joko 1 tai -1, i x j = k ja j x i = -k, missä k on yksikkövektori, joka on kohtisuorassa vektoreita i ja j vastaan.

+ merkki tulee oikean käden peukalosäännöllö ja - merkki tulee vasemman käden peukalosäännöllä.

Kahden vektorin v₁ = x₁ i + y₁j ja v₂ = x₂i + y₂j tulolle saadaan laskemalla kaava

v₁ x v₂ = (x₂y₁ - x₁y₂₎ k.

Vektoreiden ristitulon edellä esitetty määritelmä oli

v₁ x v₂ = v₁ v₂ sin (v₁,v₂) u.

Koska k = u,

v₁ v₂ sin (v₁,v₂) = (x₂y₁ - x₁y₂₎.

Paikkavektorin pituus

Yllä olevasta kuvasta nähdään, että paikkavaketorin O(0,0)B(x,y) pituus on suoraan Pythagoraan lauseella

|OB| = √(x² + y²).

Kahden paikkavektorin erotuksen pituus on

|v₂ - v₁| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²].

Harjoitus: Perustele viimeinen yhtälö laskemalla. Laskelmasi voit tarkistaa esimerkiksi lukion matematiikan oppikirjoista.

Kartioleikkaukset sisäisissä jana -koordinaatistoissa

23.10.2010

Kuvien piirtämisestä

Alla olevien kuvien piirtämisessä on annettu periksi helppoudelle.

Ubuntussa on suoraan asennettavissa oppimisohjelma GeoGebra, joka piirtää karteesiseen koordinaatistoon ympyrän, kun on annettu keskipiste ja yksi kehän piste.

Ellipsin GeoGebra piirtää, kun annetaan polttopisteet ja yksi ellipsin piste.

Hyperbelin GeoGebra piirtää karteesisella hyperbelin yhtälöllä, esim y = 1/x.

Paraabelin GeoGebra piirtää karteesisella paraabelin yhtälöllä, esim. y = x².

Ympyrä

Ympyrä on niiden kolmioston pisteiden joukko, joiden etäisyydet yhdestä kolmioston pisteestä (esimerkiksi A) ovat vakion r suuruiset.

Ellipsi

Ellipsi on niiden kolmioston pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta kolmioston pisteestä (esimerkiksi A ja B) on vakio k.

Ellipsin litteys on on ellipsin ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde ellipsin sisäänpiirretyn ympyrän säteeseen eli isoakselin pituuden suhde pikkuakseliin. Huomaa, että ellipsin litteys on ero asia kuin ellipsin eksentrisyys.

Hyperbeli

Hyperbeli on niiden kolmioston pisteiden joukko, joiden etäisyyksien erotus kahdesta kolmioston pisteestä (esimerkiksi A ja B) on vakio k.

Paraabeli

Paraabeli on niiden kolmioston pisteiden joukko joiden etäisyys kolmioston kahden pisteen A:n ja B:n määräämästä janastosta ja kolmioston pisteestä C on sama.

Harjoitus: Mitkä kappaleet syntyvät, kun nelistössä käytetään yllä olevia kartioleikkausten määritelmiä?

Determinantti

8.8.2010

Lauseketta a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ merkitään matematiikassa

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Merkintää kutsutaan kaksiriviseksi determinantiksi.

n-rivinen determinantti on muotoa

a₁₁ a₁₂ a₁₃
...
a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃
...
a_2n

a₃₁
a₃₂
a₃₃
...
a_3n

...
...
...
...
...

a_n1
a_n1
a_n3
...
a_nn

n-rivisen determinantin laskemiseen löytyy suuri määrä valmiita tietokoneohjelmia, ja esimerkiksi ilmainen Octave laskee niitä vaikka näytön rinnakkaisessa ikkunassa.

Esimerkki:

octave: > A = [ 1, 2; 2, 1 ]
A =
  1  2
  2  1

octave: > det( A )
ans = -3

Huomaa, että Octavea voidaan käyttää esimerkiksi Ubuntussa GNU -Terminal -tilassa.

(x₂y₁ - x₁y₂₎ = det(v₁,v₂).

Koska vektorien a ja b muodostaman kolmion pinta-ala on

A = ½ v₁ v₂ sin (v₁,v₂), voidaan kirjoittaa

A = ½ det(v₁,v₂).

Jos kolmion kolmas kärki ei ole pisteessä (0,0) vaan pisteessä (x₀,y₀) ja v₀ = x₀ i + y₀ j, alan kaava saa muodon:

A = ½ det(v₁-v₀,v₂-v₀).

Toisaalla on esitetty tämän kaavan yleistys, joka pätee nelitahokkaille jne...

Tämän oppikirjan puitteisiin ei kuitenkaan mahdu kyseisen kaavan johtaminen, varsinkaan kun sitä ei ole edes kaikissa lineaarialgebran oppikirjoissa.

Determinantteja on aikoinaan käytetty matemaatikkojen musteen käytön vähentämiseksi, mutta nykyiset matematiikkaohjelmat hyödyntävät determinanteille kehitetyn lineaarialgebran.

Kolmio ja koordinaatistot

20.7.2010

Kolmion kolme sivua (a, b ja c) määräävät kyllä joukon koordinaatistoja kuten kolme janakoordinaatistoa ja kolme napakoordinaatistoa.

Asettamalla yksi kärkipiste pisteeksi (0,0) saadaan kolme karteesista koordinaatistoa.

Ottamalla jokin muu kolmion piste peruspisteeksi, saadaan ääretön määrä koordinaatistoja.

Jos halutaan, että toinen karteesisen koordinaatiston pisteistä on 0, koordinaatiston peruspisteeksi kannattaa ottaa kolmion yhden sivun ja vastakkaisesta kärjestä lähtevän korkeusjanan leikkauspiste.

Jos kolmiossaq on tylppä kulma, alla oleva pätee suoraan, jos otetaan tylpästä kulmasta piirretty korkeusjana.

Jos kolmion sivut ovat a, b ja c ja kulmat A, B ja C,
kolmion kärkipisteiden kartrrsisiksi koordinaateiksi saadaan esimerkiksi

A(0,-b cos A), B(0,a cos B) ja C (0,b sin A).

Harjoitus: Mitkä ovat muut vaihtoehdot?

Kulmat A ja B saadaan kolmion sivuista a, b ja c kosinilauseella.

Pisteet sisältävät saman määrän tietoa kuin kolmion sivujen pituudet a, b ja c.

Jos merkitään A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ja C(x₃,y₃) nähdään, että muuttujia on kuusi, mutta kolmiossa on tietoa vain kolmen muuttujan a, b ja c verran.

Jos karteesisessa koordinaatistossa on annettu kolme pistettä muodossa A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ja C(x₃,y_3),kolmion sivut saadaan tunnetulla analyyttisen geometrian kaavalla (perustuu suoraan Pythagoraan päätelmään tai paikkavektorien erotuksen pituuteen):

|AB| = √[(x₂-x₁)²-(y₂-y₁)²].

Sen jälkeen kolmion sibut tunnetaan ja voidaan käyttää jotain muuta koordinaatistoa.

Harjoitus: Kolmion kärkipisteet ovat karteesisessa koordinaatistossa (1,2), (3,4) ja (5,6). Laske kolmion sivujen pituudet ja laske koordinaatit myös muodossa
A(0,-b cos A), B(0,a cos B) ja C (0,b sin A).

Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)

20.7.2010

Painopistekoordinaatteja käsitellään tässä lähinnä siksi, että ne liittyvät kolmioon ja niihin törmää mitä ihmeellisimmissä yhteyksissä.

Olkoon P mielivaltainen kolmion sisäpiste.

On mahdollista sijoittaa kolmion kärkispisteisiin A, B ja C massat siten, että P on kolmion (joka ei muuten paina mitään) painopiste.

Näitä kolmea massaa (yksikköä vaille) kutsutaan pisteen P painopistekoordinaateiksi kolmiossa ABC.

Koska painopiste saadaan aikaan lisäämällä tai vähentämällä massoja, painopistekoordinaatit eivät ole yksikäsotteiset.

Usein massat jaetaan massojen summalla, jolloin pätee

W_A + W_B +W_C = 1.

Harjoitus: Miten pisteen P sijainti kolmiossa ABC määritetään, jos on annettu kolmion sivut a, b ja c sekä kolmion sisällä olevan pisteen painopistekoordinaatit. Vihje: Cevan päätelmästä voi olla apua.

Nelistön sisäiset koordinaatistot

11.7.2010

Harjoitus: Laadi samanlaiset koordinaatistot nelistöön.

Koodinaatistojen sisältämä ylimäärä (redundanssi)

18.7.2010

Kuten yllä olevista esimerkeistä ilmenee, koordinaatistoissa käytetään usein ylimääräistä dataa pelkän suunnistuksen takia.

Kouluissa opetettava tavallinen suorakulmainen koordinaatistokin sisältää ylimääräistä.

Vaikka kolmioston piste ilmaistaan lukukaksikkona, oletuksena on, että lukukaksikko ilmoittaa etäisyydet kahdesta tunnetusta toisiaan vastaan kohtisuorasta suorasta.

Kolmiostossa puhutaan usein "suoraan yhtenevyydestä" ja "kääntäen yhtenevyydestä".

Kun esimerkiksi kolmiota tarkastellaan nelistössä, "suoraan yhtenevyys" ja "kääntäen yhtenevyys" kolmioiden suhten katoavat. Kolmio, jonka sivujen pituudet on annettu, voidaan aina muntaa toiseksi kolmioksi, jolla on samat sivujen pituudet.

Nelistössä kiertoja voidaan tehdä niin, että tämä on mahdollista.

Harjoitustehtävä: Onko nelitahokkaiden yhtenevyys viisistössä käsiteltävissä samalla tavalla kuin kolmioiden yhtenevyys nelistössä?

Viisistö

19.7.2010

Viisistö on viisikärjen (4-simpleksin) määrittelemä pistejoukko. Nelistö jakaa viisistön kahtia.

Jos neljäntenä ulottuvuutena pidetään euklidista aikaa, jokainen ajankohta sisältää yhden nelistön.

Harjoitus: Johda viisikärjelle (4-simpleksille) tilavuus, jossa nelikärki on pohjana ja etäisyys pohjasta viidenteen kärkeen on korkeus.

Nelistön (kolmiulotteisen avaruuden) kolmiostot

Oletuksia

Oletus 1: On olemassa ainakin neljä pistettä A, B, C ja D siten, että mikään näistä pisteistä ei ole kahden muun välissä.

Oswald Veblenin E3: Kaikki pisteet eivät ole samassa tasossa.

Päätelmiä: Mitkä tahansa kolme näistä pisteistä (esimerkiksi A, B ja C) määrävät kolmioston

Oletus 2: On mahdollista, että jäjelle jäänyt piste (D) ei kuulu kolmen pisteen määrämään kolmioston Silloin on tapana sanoa, että tämä piste on kolmioston ulkopuolella.

Nelitahokas (generalized tetrahedron)

8.10.2010

Määritelmä: Olkoot A, B, C ja D neljä pistettä. Olkoot niiden välimatkat seuraavat:
|AB|=c,
|AC|=b,
|BC|=a,
|AD|=a',
|BD|=b' ja
|CD|=c'.

Jos

V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144 ≠ 0,

pisteet A, B, C ja F muodostavat nelitahokkaan, jonka tilavuus on V.

Sanonta: D on A:n, B:n ja C:n määräämän kolmioston ulkopuolella.

Määritelmä: Pisteiden A, B, C ja D välisiä janoja kutsutaan nelitahokkaan särmiksi (edge).

Määritelmä: Pisteitä A, B C ja D sanotaan nelitahokkaan kärjiksi.

Määritelmä: Pistekolmikkojen muodostamia kolmioita kutsutaan nelitahokkaan tahkoiksi.

Määritelmä: Nelitahokasviiva on nelitahokkaan särminen muodostama viiva.

Määritelmä: Nelitahokaspinta on nelitahokkaan tahkojen muodostama pinta.

Määritelmä: Olkoon X erään nelitahokkaan avoimen tahkon piste ja olkoon Y toisen nelitahokkaan avoimen tahkon piste. Pisteiden X ja Y välissä olevat pisteet kuuluvat avoimeen nelitahokaskappaleeseen ]ABCD[.

Määritelmä: Suljettuun nelitahokaskappaleeseen [ABCD] kuuluvat avoimen nelitahokkaan pisteiden lisäksi nelikulmion kärjet, särmät ja tahkot.

Neljä pistettä voivat olla siten, että kaikki muut ovat kahden pisteen välissä, jolloin muodostuu vain janoja.

Jos vain yksi piste on kahden muun välissä, janoista muodostuu kolmio.

Harjoitus: Leikkaa ja liimaa paperista nelitahokas. Vihje: Piirrä ensin paperiin nelitahokkaan särmät ja leikkaa vasta sitten.

Nelistö

8.10.2010

Määritelmä:

Nelistöön kuuluu nelitahokas ABCD (tetraedri), jonka tilavuus ei ole nolla.
Nelistöön kuuluvat kaikki ne pisteet, jotka

ovat nelitahokkaan ABC pisteitä
kuuluvat niihin janastoihin, jotka kaksi nelitahokkaan eri pistettä määräävät.

Perusmääritelmiä

11.7.2010

Seuraavat perusmääritelmät eivät päde korkeammissa (>3) ulottuvuuksissa:

Kaksi kolmiostoa ovat joko yhdensuuntaiset tai ne leikkaavat toisiaan.
Janasto joko on yhdensuuntainen kolmioston kanssa, leikkaa sitä yhdessä pisteessä tai kuuluu kolmiostoon.
Kaksi janastoa, jotka ovat kohtisuorassa samaa tasoa vastaan, ovat yhdensuuntaiset.
Kaksi kolmiostoa, jotka ovat kohtisuorassa samaa janastoa vastaan, ovat yhdensuuntaiset.

Kolmiostoa kutsutaan nelistön aliavaruudeksi.
Janastoa kutsutaan kolmioston aliavaruudeksi.

Kappale (spacebody, solid)

Määritelmä

8.10.2010

Pistejoukko on kappale (nelistökappale), jos

Pistejoukko on yhtenäinen.
Pistejoukon pisteiden välisellä etäisyydellä d(A,B) on suurin yläraja, joka on äärellinen.
Pistejoukkoon kuuluu ainakin yksi nelitahokas, jonka tilavuus ei ole nolla.

Kappaleen tilavuus (volume)

20.3.2010

Kappaleessa on vähintään neljä pistettä, joiden muodostaman nelitahokkaan tilavuus on suurempi kuin nolla.

Tämä on kappaleen tilavuuden ensimmäinen arvio.

Seuraava arvio saadaan, kun otetaan mukaan viides piste, tällöin kappaleen tilavuusarvio on kahden nelitahokkaan tilavuuksien summa tai erotus.

Jos pisteiden lisäystä jatkettaessa tilavuuksilla on raja-arvo, tätä raja-arvoa sanotaan nelistökappaleen tilavuudeksi.

Kappaleen pinta-ala

20.3.2010

Käsite pinta esitellään alempana.

Kappaleen pinta-alan määritys aloitetaan kolmella pintaan kuuluvalla kolmion pisteellä. Tämän kolmion pinta-ala on kappaleen pinta-alan ensimmäinen arvio. Kun mukaan otetaan neljäs pinnan piste, toinen kappaleen pinta-alan arvio on kahden kolmion pinta-alan summa tai erotus.

Jos pisteitä lisättäessä kolmioiden pinta-alojen summa lähestyy raja-arvoa (jos sellainen on olemassa), raja-arvoa sanotaan kappaleen pinta-alaksi.

Monitahokas

23.4.2010

Määritelmä: Monitahokkas on nelistön (kolmiulotteisen avaruuden) kappale, jota rajaavat kolmiostopinnat (tasopinnat). Pinnat ovat monitahokkaan tahkot (faces); nämä leikkaavat toisensa pitkin särmiä, joiden päätepisteet ovat monitahokkaan kärkiä.

Yllä olevassa kuvassa ovat kaikki Platonin monitahokkaat. Platonin monitahokkaat ovat ainoat säännölliset kuperat monitahokkaat.

Monitahokasta sanotaan kuperaksi, jos kaikki sen kärkiin muodostuvat sopet ovat kuperia.

Kupera monitahokas on säännöllinen, jos sen tahkot ovat yhteneviä säännöllisiä monikulmioita ja sopet ovat yhteneviä.

Koska soppien sivuina olevien kulmien summa on 2π, niin voi olla olemassa vain yllä olevat säännölliset kuperat monitahokkaat.

Olen ottanut yllä olevan esimerkin mukaan, koska 1980 - luvulla osallistuin graafisen tietojenkäsittelyn laudaturkurssin harjoitustyöhön, jossa käsiteltiin Platonin monitahokkaita.

Internetistä löydät varmaan Platonin monitahokkaita oikein valaistuina, varjostettuina, kiiltävinä ja pyörivinä. Tosin niitä ei ole tehty C-kielellä, kuten kaukaisessa muinaisuudessa.

Platonin kappaleiden ominaisuuksia

kuutio kuusitahokas 6 neliötä

tetraedri nelitahokas 4 kolmiota

dodekaedri kaksitoistatahokas 12 viisikulmiota

ikosaedri kaksikymmentahokas 20 kolmiota

oktaedri kahdeksantahokas 8 kolmiota

Kappaleiden käsittely tietokoneen näytöllä

23.4.2010

Tietokoneen näytön pisteitä käsitellään pääasiassa niin, että katsojan näkökulmasta näytön vasen yläkulma on piste (0,0) ja sitten lasketaan pisteitä (pixels, px) oikealla ja vasemmalle.

Kolmiulotteinen matriisi

a₁₁	a₁₂	a₁₃
b₂₁	b₂₂	b₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

ja funktiot sin x ja cos x

ovat tärkeimmät työvälineet.

Graafisessa tietojenkäsittelyssä käytetään siis pikemmin ns. lineaarialgebraa eli viivallista algebraa kuin geometriaa.

Kappaleiden geometristen ominaisuuksien tunteminen on kuitenkin välttämätöntä, jotta tietokonegrafiikkaa osaisi tehdä.

Geometrian tuntemus on tärkeää myös siksi, että varsinainen laskenta on jo olemassa valmiina aliohjelmina.

Kun piirrän kuvia Inkscapella, oleellista on varsinainen piirtäminen, ohjelma suoritaa laskennan eikä minun edes tarvitse tuntea ohjelman käyttämää matematiikkaa (vaikka sen sattuneesta syystä satun tuntemaankin).

Soppi (polyhedral angle)

Kolmisoppi (trihedron)

21.3.2010

Määritelmä: Kolme nelitahokkaan särmää muodostavat yhdessä niiden yhteisen kärjen kanssa sopen(polyhedral angle, tässä tapauksessa kolmisopen (trihedral angle)

Nääritelmä: Kolmisopen nelistökulman suuruus määritellään tässä esityksessä steradiaaneissa kulmaksi

T = ∠X + ∠Y + ∠Z - π,

missä ∠X, ∠Y ja ∠Z ovat sopen sivutahkojen väliset diedrikulmat ja ∠A, ∠B ja ∠C ovat kolmisopen särmien väliset kulmat.

Nämä kulmat voidaan laskea kaavoilla:

∠ X = arccos[(cos A-cos B cos C)/(sin B sin C)]
∠ Y = arccos[(cos B-cos A cos C)/(sin A sin C)]
∠ Z = arccos[(cos C-cos A cos B)/(sin A sin B)]

Perustelu määritelmälle:

Jos kolmisopen kärjestä alkavien särmien väliset kulmat ovat kaikki ½π, myös diedrikulmat ovat ½π ja kolmisopen nelistökulmaksi saadaan

T =½π + ½π + ½π - π = ½π.

Kun kahdeksan tällaista soppea lasketaan yhteen, saadaan 4π, mikä on myös yksikköpallon pinta-ala.

Tämä määritelmä on siis täysin sopusoinnussa SI-järjestelmän johdettujen yksikköjen steradiaanin määritelmän kanssa.

Kaikkien neljän sopen suuruudet voidaan laskea, kun nelitahokkaan särmien pituudet tunnetaan.

Harjoitus: Laadi ohjelma nelitahokkaan diedrikulmien laskemiseen yllä olevilla kaavoilla. Huomaa, että nelitahokkaan kaikkien tahkojen kulmat saat selville kosinilauseella.

Diedrikulma (dihedral angle)

19.3.2010

Määritelmä: Nelitahokkaan kahden viereisen tahkon välinen diedrikulma on kulma ∠QPR, jos ja vain jos.

P on yhdellä särmällä.
Q on toisella särmällä.
R on kolmannella särmällä.
AP on sen särmä osajana, jolla P on.
Kulma ∠QPA on suora.
Kulma ∠RPA on suora.

Olkoon nelitahokkaan kärjet A, B, C ja D.

Neljä tahkoa olkoot nimeltään ABC, ABD, ACD ja BCD.

Harjoitus:

Taita paperiarkki ja mittaa paperin puoliskojen välinen diedrikulma.
Laadi ohjelma nelitahokkaan diedrikulmien laskemiseen yllä olevilla kaavoilla. Huomaa, että nelitahokkaan kaikkien tahkojen kulmat saat selville kosinilauseella.

Määritelmä: Diedrikulman akseli on janasto, johon edellisessä määritelmässä mainittu särmä kuuluu.

Diedrikulman mittaaminen ja laskeminen

9.7.2010

On helppo keksiä mekaanisia ym. menetelmiä diedrikulman mittaamiseen fysikaalisessa todellisuudessa.

Tavallisessa euklidisessa nelistögeometriassa diedrikulma om määrätty ja voidaan helposti laskea, jos on tunnettu seuraava nelitahokas (eli sen särmien pituudet):

Kaksi kärkeä, jotka ovat eri pisteitä diedrikulman akselilla.
Kummastakin tasosta yksi piste, joka ei ole diedrikulman akselilla.

Kosinilauseen yleistys

9.7.2010

Merkitään nelitahokkaan sivutahkojen pinta-aloja
A_ABC = s₁, A_ABD= s₂, A_ACD=s₃ ja A_BCD= s₄

Merkitään nelitahokkaan diedrikulmia θ₁₂, θ₁₃ ,θ₂₃ja θ₁₃.

Tällöin nelitahokkaan sivutahkojen alojen neliöt ja sivutahkojen väliset diedrikulmat noudattavat yhtälöä

s₄² = s₁²+s₂²+s₃²-2s₁s₂cos θ_12-2s₁s₃ cos θ_13-2s₂s₃ cos θ₂₃

Tämä yhtälö on selvästi kosinilauseen yleistys.

Sinilauseen yleistys

Olkoot nelitahokkaan yksi kärki O ja olkoot muut kärjet aakkosjärjestyksessä ja todellisessa järjestyksessä A, B ja C. Tällöin

sin OAB sin OBC sin OCA = sin OAC sin OCB sin OBA

Harjoituksia:

Perustele yllä oleva kosinilauseen yleistys. Perustele yllä oleva sinilauseen yleistys.
Kirjoita html ja php ohjelma, joka laskee nelitahokkaan puuttuvat osat, kun riittävä määrä muita osia on annetu.
Johda kaava nelitahokkaan kolmisoppien laskemiseksi, kun kaikki särmät on tunnettu.
Tee kaavasta html ja php -ohjelma, joka laskee nelistökulmat, kun nelitahokkaan särmät on annettu.

Tilavuus (volume)

17.4.2010

Tilavuus määritellään tavallisesti suorakulmaisten särmiöiden tai kuutioiden avulla. Tässä oppikirjassa tilavuus määritellään ensin nelitahokkaalle ja nelitahokkaan tilavuudesta johdetaan muut tilavuudet.

μ(V) = Σ V_i.

Kun tankkaat autoosi polttoainetta, sen tilavuuden mittaa laite, jolla ei ole mitään tekemistä pienten kuutioiden kanssa.

Kun olin lapsi, tunsin vain harvoja tilavuuden mittaamiseen tarkoitettuja välineitä. Litran mitta meillä oli ja vanha kappa, jota viimeksimainittua ei käytetty mihinkään.

Edelleen kokkien yleisesti käyttämä tilavuuden mitta on ripauksellinen.

Nelitahokkaan tilavuus

20.3.2010

Määritelmä: Nelitahokkaan tilavuus lasketaan yleistetyllä Heronin kaavalla (tietokone tekee laskelman alle silmänräpäyksen).

Yleistetty Heronin kaava löytyyy osoitteesta

http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/tetra.htm

V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²
-c²(a²+b²-c'²)²+
(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144

missä V on nelitahokkaan tilavuus,a ja a', b ja b' sekä c ja c' ovat nelitahokkaan vastakkaisia särmiä.

Voidaan sanoa, että neljä pistettä määräävät nelitahokkaan silloin, kun nelistökappaleen tilavuus V > 0.

Määritelmä: Nelitahokkaan pinta-ala saadaan laskemalla tavallisella Heronin kaavalla nelitahokkaan tahkojen pintalat ja laskemalla ne lopuksi yhteen.

16.2.2010

Harjoitustyö: Tee html- ja php -ohjelma, joka laskee mielivaltaisen nelitahokkaan tilavuuden.

Vihjeitä: a² merkitään php:ssä pow(a,2) ja neliöjuuren merkki on sqrt. Muista laittaa muuttujien nimien eteen dollarimerkit!

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Nelitahokas, jossa yksi särmistä on korkeus

Tällöin nelitahokkaan särmät ovat a, b, h, c', b' ja c'.

Lisäksi

a² + h² = b'²

ja

b² + h² = a'².

Neltahokkaan pohjan muodostavat särmät a, b ja c' ja korkeuden h.

Kun nämä sijoitetaan nelitahokkaan tilavuuden kaavaan, saadaan

V²=h²(2a²b² + 2a²c'² + 2b²c'² -a⁴ - b⁴ -c'⁴)/144.

Eräs muoto Heronin kaavan mukaisesta on (mathworld.wolfram.com:in mukaan):

A = (1/4) √ (2b²c²+ 2a²c²+2b²a² - a⁴ - b⁴ -c⁴)

Kun tähän sijoitetaan c = c' saadaan:

A = (1/4) √ (2b²c'²+ 2a²c'²+2b²a² - a⁴ - b⁴ -c'⁴)

Kun nämä järjestetään aakkosjärjestykseen saadaan:

A = (1/4) √ (2a²b² + 2a²c'²+ 2b²c'² - a⁴ - b⁴ -c'⁴)

Tilavuuskaavan oikealla puolella on siis pohjakolmion pinta-ala.

V = (Ah)/3

eli tämän nelitahokkaan tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus jaettuna kolmella.

Mielivaltaisen nelitahokkaan tilavuus pohjan ja korkeuden avulla

Koska mikä tahansa nelitahokas voidaan muodostaa laskemalla yhteen tai vähentämällä toisistaan nelitahokkaita, joiden yksi särmä on korkeus, on osoitettu ilman Cavalierin oletusta, että minkä tahansa nelitahokkaan tilavuus

V = (Ah)/3,

missä A on yhden tahkon pinta-ala ja h on tämän tahkon vastainen korkeus.

Siis kaikilla niillä nelitahokkailla, joilla on sama pohjan pinta-ala ja korkeus, on sama tilavuus.

Tässä esityksessä on siis vältetty käyttämästä Francesco Bonaventura Cavalieri'n (1598 - 1647) periaatetta:

Jos aina kun kaksi kappaletta leikataan kohtisuoralla tasolla ja syntyvien kuvioiden pinta-alat on samoja, niin kappaleiden tilavuudet ovat myös samoja.

Jos Cavalierin oletusta halutaan käyttää ilman integraalilaskentaa, oletus on syytä ottaa perusoletukseksi.

Eri tavat laskea nelitahokkaan tilavuus

6.8.2010

Yleistetty Heronin kaava voidaan esittää seuraavana matriisilaskennan determinantin avulla:

D =

0	a²	b²	c²	1
a²	0	c'²	b'²	1
b²	c'²	0	a'²	1
c²	b'²	a'²	0	1
1	1	1	1	0

V = √(D/2)/12.

Lähde:

http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf

Toisaalta vektorilaskennassa on teraedrin kärkipisteiden koordinaatteihin perustuva determinattikaava (esitetty toisaalla tässä oppikirjassa) nelitajokkaan tilavuudelle.

Harjoitus: Selvitä näiden kahden kaavan välinen yhteys.

Yllä olevan tyyppisiä determinantteja sanotaan Cayley-Mengerin determinanteiksi, ja niillä voidaan laskea n-kärjen [(n-1) -simpleksin] tilavuus, kun särmät on tunnettu.

Vaikka kaikkea käsitellään yleensä koordinaatistossa, joitakin verkkoja on paras käsitellä suoraan etäisyyksiä käyttäen, ja tällöin näillä determinanteilla on käyttöä.

Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio

3.4.2010

Aikaisemmin on todettu, että yhdenmuotoisten alueiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde määritellään yhdenmuotoisten nelitahokkaiden tilavuuksien suhteena eli

V₁ : V₂ = ((A₁h₁)/2): ((A₂h₂)/2) =(A₁h₁):( A₂h₂)= k²(h₁/h₂) = k³.

V₁ : V₂ = k³.

Nelitahokkaat, joilla on sama pohjan pinta-ala ja korkeus

12.2.2010

Näiden nelitahokkaiden pohjan vastaiset kärjet voivat olla miten vinossa kaukana tahansa pohjasta, kun korkeus säilyy samana.

Säännöllisen nelitahokkaan tilavuus

kun a = b = c = a' = b' = c' saadaan ns. säännöllisen nelitahokkaan tilavuudeksi

V = 2^½ a³ / 12.

Kuperan kappaleen litteys

7.8.2010

Määritelmä: Kuperan kappaleen litteys on pienimmän kappaleen ympäri olevan pallon säteen suhde suurimman kappaleen sisässä sijaitsevan pallon säteeseen.

Kappaleen pyöreys

7.8.2010

Määritelmä: Kappaleen pyöreys on kappaleen litteyden käänteisluku.

Kappaleen pituus

7.8.2010

Määritelmä: Kappaleen pituus on suurin kappaleen kahden pisteen välinen etäisyys.

Harjoitus:

Määrittele kappaleen paikallinen paksuus.
Onko sellaista kuin kappaleen leveys olemassa?

Nelitahokkaan litteys

1.8.2010

Määritelmä: Nelitahokkaan litteys on nelitahokkaan ympäri piirretyn pallon säteen suhde nelitahokkaan sisään piirretyn pallon säteeseen.

Nelitahokkaan ympäri piirretyn pallon säde on

R = A/(6V)

missä A on nelitahokkaan ala ja V on nelitahokkaan tilavuus.

Kun joku vielä kertoisi, mikä on

r = ?.

Seuraavat kaavat löytyvät. Kukahan muokkaisi ne vektorittomaan muotoon?

$r= \frac {6V} {|\mathbf{b} \times \mathbf{c}| + |\mathbf{c} \times \mathbf{a}| + |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| + |(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|} \,$

and the radius of the circumsphere is given by:

$R= \frac {|\mathbf{a^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b^2}(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})|} {12V} \,$

Sitten jonkun pitäisi yleistää ne n-ulotteisiksi.

Kolmion ja nelitahokkaan yleistys: n-kärki (n-1 -simpleksi)

19.7.2010

Vaikka tässä esityksessä ei yleensä tarkastella kolmea olottuvuutta useampia ulottuvuuksia, esitämme kuitenkin n-kärjen (n- 1 -simpleksin) joitain ominaisuuskia.

Käsitteen määrittelemisestä

Sana "simplex" on tehty englannin kieleen panemalla kirjain x sanan "simple" (=yksinkertainen) perään. Tämä johtuu siitä, että englannin kielestä puuttuvat parempaan sanaan johtavat käsitteet.

Suomen kielessä on sana "kärki", joka on riittävän laajamerkityksinen simpleksin suomenkielisen nimen esittämiseen.

2-kärki = jana
3-kärki = kolmio
4-kärki = nelitahokas
5-kärki = 4-simpleksi
.....

Internetistä on kuitenkin vaikea löytää kunnollista määritelmää tälle n-simpleksille.

Lineaarialgebra (mikä sanahirviö) on määritellyt simpleksin pistejoukoksi P₀,P₁,P₂,...P_n,missä vektorit P₀P_i, kun i saa arvot 1:stä n:ään, ovat lineaarisesti riippumattomia.

Joissakin lineaarialgebran kirjoissa simpleksiä ei ole määritelty missään, ja W. H. Greubin toisaalla mainitussa kirjassa se on määritelty vasta sivulla 254.

Tilavuus

23.7.2010

n+1 kärjen (n-simpleksin) tilavuus on

V = (1/n!)det(v₁-v₀, v₂-v_o,... v_n-1-v₀,v_n-v₀),

missä v_o,v₁,... v_n-1,v_n ovat särmävektoreita ja det tarkoittaa determinanttia.

n on ulottuvuusluku eli kolmiolla 2, nelitahokkaalla 3 jne.

Kun (1/n!) jätetään pois, saadaan suuntaissärmiön tilavuus.

(1/n!) kertoo sen, moneenko x-kärkeen (simpleksiin) suunnikas tai suuntaissärmiö voidaan jakaa.

Suunnikas voidaan jakaa kahteen kolmioon, mistä johtuu kolmion pinta-alassa oleva kerroin ½ (2 = 1 x 2 = 2!).

Kolmiulotteinen suuntaissärmiö voidaan jakaa kahteen kolmiosärmiöön, joka voidaan jakaa kolmeen n-kärkeen (simpleksiin). 1 x 2 x 3 = 6 = 3!.

Jos n-kärjellä (n-1 -simpleksillä) on suorakulmainen soppi, Pythagoraan lauseen yleistys pätee.

Lineaarinen riippumattomuus ja determinantti

Kuten yllä edellisestä kohdasta ilmenee,n-kärjellä (n-1 -simpleksillä) on nollasta eriävä tilavuus silloin ja vain silloin, kun mainittu determinantti on nolla.

Se, että mainittu determinantti on nolla, on lineaarialgebran oppikirjojen (esim. Seymour Lipschutzin kirjan Linear Algebra) mukaan yhtäpitävää sen kanssa, että tämä determinantti on nolla.

n pistettä muodostavat n-kärjen silloin ja vain silloin, kun n-kärjen "tilavuus" ei ole nolla.

Esimerkkejä:

Jana on 2-kärki silloin ja vain silloin, kun sen pituue ei ole nolla.

Kolmio on 3-kärki silloin ja vain silloin, kun sen ala ei ole nolla.

Nelitahokas on 4-kärki silloin ja vain silloin, kun sen tilavuus ei ole nolla.
.....
n-kärki in n-kärki silloin ja vain silloin, kun sen tilavuuskäsitteen yleistys ei ole nolla.

Käytännön laskelmat

Kaikki matematiikkaohjelmat, myös ilmainen Octave, laskevat determinantteja kuin tyhjää vaan.

En tiedä, vaaditaakon opiskelijoilta edelleen 3-ulotteisten determinanttien laskutaito.

Harjoitus: Johda koordinaattivapaa kaava 5-kärjen (4-simpleksin) tilavyydelle.

n-kärjen (n-1) -simpleksin ominaisuuksia

29.7.2010

1
2	1
3	3	1
4	6	4	1
5	10	10	5	1
6	15	20	15	6	1
7	21	35	35	21	7	1
8	28	56	70	56	28	8	1
9	36	84	126	126	84	36	9	1

Yllä olevan taulukon ensimmäinen sarake esittää n-kärjen kärkien määrän.

Toinen sarake esittää n-kärjen sämien määrän.

Kolmas sarake esittää n-kärjen 1-tahkojen määrän.

Taulukko syntyy yksinkertaisella yhteenlaskulla.

Tämän kirjan alussa oleva kolmioluku 1 + 2 + ...+36 = 666 on siis erään n-kärjen särmien määrä.

Alue

Määritelmä (region)

7.2.2010

Pistejoukko on alue, jos

Pistejoukko on yhtenäinen.
Pistejoukon pisteiden välisellä etäisyydellä d(A,B) on suurin yläraja, joka on äärellinen.
jokainen pistejoukon piste kuuluu ympyrään, jolla on nollaa suurempi pinta-ala.

Alueen pituus

7.8.2010

Määritelmä: Alueen pituus on suurin kahden pisteen välimatka.

Harjoitus: Määrittele alueen paikallinen leveys.

Alueen kuperuus (covexity)

8.8.2010

Riippumatta siitä, miten alueen litteys on määritelty, alueen kuperuss voitanee määritellä litteyden käänteisluvuksi.

Koska ympyrän litteys on 1, suurin kuperuus on 1/1 = 1.

Ympyrä on siis kuperin mahdollinen alue.

Harjoitus: Mikä on ellipsin kuperuus?

Alueen koveruus (concavity)

8.8.2010

Koveruuden kanssa tekemisiin joudutaan lähinnä tietotekniikassa.

Koveruudelle on erilaisia määritelmiä, joiden käyttökelpoisuus riippuu niiden käyttötarkoituksesta.

Geometrian harrastajia varten koveruus voidaan määritelmä esimerkiksi siten, että kahden ympyränkaaren erottama sirppi on koverampi kuin kuperaksi oikaistu sirppi.

Yksinkertaisessa tapauksessa (kuten sirpin) tapauksessa mittoja voidaan esittää useita ja esimerkiksi tietokonegrafiikassa jokin välimatka saattaa olla sopiva koveruuden mitta.

Geometrian tarpeisiin määrittelemme koveruuden seuraavasti.

Määritelmä: Alueen koveruus on janoilla kuperaksi oikaistun alueen pinta-alan suhde alkuperäisen alueen pinta-alaan.

Nelikulmio (quadrilateral)

Jos mikään neljästä eri pisteesta A,B,C,D ei ole kahden muun välissä, saadaan kaksi tapausta:

Nelitahokas kutistuu nelikulmioksi, jos sen tilavuus on 0.
Nelitahokkaan tilavuus on >0

Neljä pistettä ja nelikulmio

7.6.2010

Neljä pistettä ei välttämättä määrittele yksikäsitteisesti nelitahokasta, minkä voi havaita yllä olevasta kuvasta.

Neljä kolmioston (tason) pistettä voidaan käsittää nelitahokkaan kärkien heijastuksiksi (projektioiksi) tasoon. Tällainen projektio voi olla yllä olevan kuvan näköinen. Kuvaan on merkitty myös nelitahokkaan särmien projektiot.

Jos kärjen projektio on yhden tahkokolmion projektion sisällä, nelikulmio voidaan muodostaa eri tavoin kolmesta kolmiosta:

ABCD, ADBC ja ADBC.

Näin syntyneet nelikulmiot ovat koveria.

Harjoitus:

Laadi sellainen nelitahokkaan määritelmä, joka määrää nelitahokkaan yksikäsitteisesti.
Osoita, että nelikulmio on kovera, jos yksi sen kärjistä on muiden kärkien muodostaman kolmion sisällä.

Määritelmä: Nelitahokasviiva eli nelitahokkaan ABCD piiri on

P=AB U BC U CD U DA.

Ristinelikulmio (crossel)

2.5.2010

Määritelmä: Ristinelikulmio on nelikulmio, jonka kaksi sivua leikkaavat toisensa.

Harjoitus:

Millä tavalla ristinelikulmio eroaa muista nelikulmioista?
Miksi ristinelikulmiota sanotaan nelikulmioksi, vaikka siitä voidaan erottaa kuusi kulmaa?

Kuperan nelikulmion pinta-ala

3.4.2010

Huomaa: sin(π-θ) = sin θ

Olkoot mielivaltaisen kuperan nelikulmion lävistäjät p ja q ja niiden välinen kulma θ.

Jaetaan lävistäjät leikkauspisteen kohdalta kahtia, jolloin p = a + b ja q = c + d.

Neljän pikkukolmion pinta-alat ovat yhteensä:

½(ac + cb + bd + ad) sin θ =

½(a(c+d)+b(c+d))sin θ =

½(a+b)(c+d)sin θ=

½pq sin θ.

A = ½pq sin θ.

Tämä kaava voidaan muuntaa myös muotoon

A = (1/4)√[4p²q² (b² + d² - a² - c²)²].

Jos nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ala on

A = ½pq

Muun kuin ristinelikulmion ala

15.6.2010

Jos nelikulmion sivuta ovat järjestyksessä a, b, c ja d ja jos e on se nelikulmion lävistäjä, joka lähtee a:n ja d:n välisestä kärjestä ja päätyy b:n ja c:n väliseen kärkeen ja koveran nelikulmion tapauksessa päätyy myös koveran kulman kärkeen, nelikulmion ala voidaan laskea käyttämällä kahdesti Heronin kaavaa.

Kokonaiskaavaksi saadaan:

A=0.25 √[(a+b+e) (a+b-e) (b+e-a) (e+a-b)] + 0.25 √[(d+e+c) (d+e-c) (e+c-d) (c+d-e)]

Tämä kaava siis laskee nelikulmion alan, kun tunnetaan sivut ja sopiva toinen lävistäjä.

Harjoitus: Tee htlml- ja php- ohjelma, joka laskee nelikulmion alan tällä kaavalla.

Ratkaisun löydät napauttamalla tästä.

Aja ohjelma suoraan napauttamalla tästä.

Ristinelikulmion ala

15.6.2010

Ristinelikulmion ala on parasta laskea kahden kolmion alan summana (tai mahdollisesti myös erotuksena). Yllä olevan kuvan tapauksessa Heronin kaavaa voidaan soveltaa molempiin kolmioihin erikseen ja laskea saadut alat yhteen.

Kupera nelikulmio osana kolmiota

13.6.2010

Uusi kaava kuperan nelikulmion alalle

Yllä olevasta kolmiosta ABC on erotettu yhdellä janalla DB, missä D on sivulta AB ja E on sivulta AC, nelikulmio EDBC.

Harjoitus: Osoita, että kolmion sivujen AB sisäpisteen D ja sivun AC sisäpisteen E välisen janan kolmiosta erottama nelukulmio on kupera.

Itse asiassa kolmio voidaan muodostaa yhdistämällä kaksi mielivaltaisen kulman kärjestä eriavaa sivun pistettä.

Olkoon AD = a₁, DB = a₂ ja AE = b₁, EC = b₂.

Nelikulmion pinta-ala on kahden kolmion pinta-alan erotus:

A = ½(a₁ + a₂)(b₁ + b₂) sin α - ½a₁a₂ sin α=

½(a₁b₁ + a₁b_{2 +}a₂b₁ + a₂b₂) sin α -
½(a₁b₁) sin α

A = ½(a₁b_{2 +}a₂b₁ +a₂b₂) sin α.

Harjoitus: Piirrä ne kolme kolmiota, joiden summa yllä oleva pinta-ala on. Voidaanko näistä kolmesta kolmiosta muodostaa alkuperäinen nelikulmio?

Verrannollisuustapaus ja kupera nelikulmio

Olkoon yllä olevassa kuvassa a1 : (a1 + a2) = b1 : (b1 + b2) eli iason kolmion ja pienen kolmion kaksi sivua ovat verranolliset.

Verrannosta saadaan myös verranto

a₁:a₂ = b₁:b₂

ja verranto

a₁:b₁ = a₂:b₂.

Harjoitus: Osoita, että kaksi alinmta verrantoa saadaan osion alussa olevasta verrannosta.

Kolmiot ABC ja ADE ovat silloin yhdenmuotoiset (sks).

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret ja koska kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma, saadaan, että BC || DE.

Harjoitus: Johda käänteiset tulokset.

Kuvion muuntaminen toiseksi, jolla on sama pinta-ala

Nelikulmio kolmioksi

Kallio-Malmion kirjassa Geometria II, Otava, 1939 onsivuilla 61-67 harpilla ja viivaimella suoritettavia muunnostehtäviä, joissa jokin kuvio on muutettava pinta-alaltaan yhtäsuureksi toiseksi kuvioksi. Minun kouluaikanani käytetystä painoksesta (1958) rehtori Samuli Apajalahti oli jättänyt harppi- ja viivainmuunnoksen pois ja ottanut tilalle muunnokset, joissa ratkaistaan ensin yksinkertaisia yhtälöitä. Ainoana esimerkkinä on "muunna tunnettu kolmio neliöksi".

Kun edellisessä kohdassa on saatu mielivaltaiselle nelikulmiolle pinta-alakaava

A = ½pq sin θ.

huomataan, että tämä on muodoltaan täsmälleen kolmion pinta.alan kaava eli jos piirretään kolmio, jonka kylkinä ovat p ja q ja kylkien välisenä kulmana θ, saadaan kolmio, jonka pinta-ala on sama kuin mielivaltaisella nelikulmiolla.

Yllä olevassa kuviossa nelikulmion ABCD lävistäjät ovat p ja q ja lävistäjien välinen kulma on θ.

Kulma θ on siirretty kulmaksi CAE ja AE:sta on erotettu A:sta alkaen janan q suuruinen osa. Saatu kolmio AED on vaadittu kolmio.

Harjoitus: Osoita täsmällisesti, että saadulla kolmiolla on vaadittu pinta-ala.

Viisikulmio kolmioksi

Lähde: Kallio-Malmio, Geometria 2, Otava, 1939, s. 65

On annettu kupera viisikulmio ABCDE.

Se on jaettu kolmeen kolmioon lävistäjillä AD ja BD.

Piirretään kärjestä E alkaen lävistäjän DA suuntainen säde EF. Se leikkaa säteen BA pisteessä F. Yhdistetään pisteet D ja F.

Piirretään kärjestä B alkaen lävistäjän DB suuntainen säde BG. Se leikkaa säteen AB pisteessä G. Yhdistetään pisteet D ja G.

Kolmio ΔFGD on vaadittu kolmio.

Harjoitus: Piirrä vastaava kuvio koveralle viisikulmiolle.

Bretschneiderin kaava

10.3.2010

Bretschneiderin kaava

Yleisen nelikulmion ala voidaan tietysti aina laskea kahden kolmion alan summana (kupera nelikulmio) tai erotuksena (kovera nelikulmio. Huomaa, että myös koveran nelikulmion ala voidaan laskea sopivasti valittujen kolmioiden summana.

Kolmiot voidaan lisäksi jakaa kumpikin kahteen suorakulmaiseen kolmioon, jolloin tilanne on sama kuin K. Merikosken Valistuksen mittausoppi maalaiskansakouluille, Otava, 1923 s. 41.

Koska tästä oppikirjasta halutaan tehdä tehokas, nelikulmion pinta-ala annetaan myös suoremmilla kaavoilla.

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää lävistäjät:

A = ¼√{4p²q² - (b²+d²-a²-c²)²}

=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-¼(ac+bd+pq)(ac+bd-pg)}

missä.

s=(a+b+c+d)/2

ja p ja q ovat lävistäjien puolikkaat.

Harjoitus: Tee html ja php -ohjelma, joka laskee yleisen nelikulmion pinta-alan Bretschneiderin kaavalla.

Brahmaguptan kaava

Bretschneiderin kaavalle sukua on Brahmaguptan kaava:

A=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos²[½(A+B)]},

missä ∠A on a:n ja d:n välinen kulma ja ∠B on b:n ja c:n välinen kulma.

Harjoitus: Tee html ja php -ohjelma, joka laskee yleisen nelikulmion pinta-alan Brahmaguptan kaavalla.

Epäkäs ja kaiteet

3.8.2010

Epäkäs yleensä

K. Merikosken Mittausopissa maalaiskansakouluille nelikumiota, joka ei ollut mikään erikoistapaus, kutsuttiin epäkkääksi. Epäkkään erikoistapauksia olivat suorakaide, vinokaide, neliö ja vinoneliö. Mitenkään aliarvioimatta Merkoskien suvun ansiokasta uraa Suomen matematiikan kehittäjinä seuraavassa käytetään kuitenkin myöhemmin vakiintuneita nimityksiä.

Huomautus: Nimitykset ovat itse asiassa peräisin Pekka Aschanin Eukleiden Alkeiden kuuden ensimmäisen kirjan käännöksestä.

Nyt epäkkäälle on löytynyt matemaattista käyttöä. Jos nelikulmion ABCD vastakaiset sivuparit ovat erisuuntaiset, erisuuntaiset suorat leikkavat toisensa kahdessa pisteessä E ja F. Erisuuntaisten vastakkaisten sivuparien väliset kulmat saadaan, kun pisteet yhdistetään epäkkään sivuihin.

Kupera ja kovera epäkäs

Kuvasta huomataan, että jokaista epäkästä ABCD vastaa vastaa toinen epäkäa AECD.

Kuperaa epäkästä vastaa kovera epäkäs ja koveraa epäkästä vastaa kupera epäkäs.

Koveran epäkkään ympäri on helppo piirtää ympyrä siten, että kolme kärkeä on ympyrän kehällä ja yksi kärki on ympyrän sisällä.

Jos kuperan epäkkään ympäri haluaa piirtää ympyrän, kolmeksi kärjeksi kannattaa valita kolme pienintä kulmaa.

Harjoitus: Tee algoritmi, jolla määritetään koveran ja kuperan epäkkään sisään piirretyn ympyrän keskipiste ja säde.

Ristiepäkäs

Se osa koverasta nelikulmiosta, joka ei kuulu kuperaan nelikulmioon, muodostaa ristiepäkkään.

Harjoitus: Määrittele ristiepäkkään litteys.

Itse asiassa kuperan epäkkään lävistäjät jakavat nelikulmion kahteen ristinepäkkääseen.

Harjoitus: Millaisia ristinelikulmioita tulee puolisuunnikkaista, suunnikkaista, suorakulmioista ja neliöistä?

Täydellinen epäkäs (complete quadrangle)

Kun kuvioon lisätään piste g ja muutama suora, kuviota kutsutaan täydelliseksi epäkkääksi (complete quadrangle).

Epäkkään litteys

Epäkkään litteys määritellään pienimmän epäkkään ympäri piirretun ympyrän säteen suhteena suurimmaan epäkkään sisään piirretyn ympyrän säteeseen.

Harjoitus:

On annettu epäkäs ABCD. Piirrä suurin epäkkään sisään mahtuva ympyrä.
Piirrä pienin epäkkään ympäri kulkeva ympyrä.

Nelikulmioiden yhdenmuotoisuus

11.6.2010

Määritelmä: Kaksi nelikulmiota ovat yhdenmutoiset, jos niiden vastinssivut ovat verrannolliset ja vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Kaikkia yllä olevassa määritelmässä mainittuja ehtoa ei tarvita sen varmistamiseen, että nelikulmiot ovat yhdenmuotoiset. Tee nelikulmioiden yhdenmuotoisuuslauseet ja perustele ne.

Nelikulmioden yhtenevyys

11.6.2040

Määritelmä: Nelikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut ovat yhtä suuret ja niiden vastinkulmat ovat yhtäsuuret.

Harjoitus: Kaikkia yllä olevassa määritelmässä mainittuja ehtoa ei tarvita sen varmistamiseen, että nelikulmiot ovat yhtenevät. Tee nelikulmioiden yhdenevyyslauseet ja perustele ne.

Puolisuunnikas (trapezoid)

3.8..2010

Määritelmä: Kaksi nelikulmion kulmaa ovat viereiset, jos niillä on yhteinen kylki.

Yllä olevassa nelikulmiossa viereisiä kulmia ovat A ja B, B ja C, C ja D sekä D ja A.

Määritelmä: Nelikulmion sivut ovat vastakkaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä.

Yllä olevassa nelikulmiossa vastakkaisia ovat sivut AB ja DC sekä BC ja AD.

Määritelmä: Nelikulmio on puolisuunnikas, jos yksi pari sen viereisiä kulmia ovat toistensa täydennyskulmia (suplementtikulmia).

Yllä olevassa nelikulmiossa kulmat α ja β ovat toistensa täydennyskulmia eli α + β = π

Päätelmä: Jos puolisuunnikkaassa vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa täydennyskulmia, niin myös toinen pari γ ja δ ovat toistensa täydennyskulmia eli γ + δ = π.

Perustelu: Koska α + β = π ja nelikulmion kulmain summa on 2 π, kulmien γ ja δ summa on 2 π - π = π.

Päätelmä: Yksi pari puolisuunnikkaan vastaisia sivuja ovat yhdensuuntaiset.

Perustelu: Jos Puolisuunnikkaassa ABCD kulmat BAD ja ADC ovat toistensa täydennyskulmia, sivut AB ja DC ovat yhdensuuntaisia.

Päätelmä: Puolisuunnikkaan kahden erisuuntaisen sivun keskipisteiden yhdistysja on yhdensivuisten sivujen suuntainen ja puolet niiden summasta.

Perustelu jätetään ylläolevan kuvan mukaisesti suoritettavaksi harjoitustehtävänä.

Harjoitus:

On annettu puolisuunnikas ABCD. Piirrä suurin puolisuunnikkaan sisään mahtuva ympyrä. Mitä eri tapauksia saat?
Piirrä pienin puolisuunnikkaan ympäri kulkeva ympyrä. Mitä eri tapauksia saat?

Suunnikas (parallelogram)

1.4.2010+

Määritelmä: Jos puolisuunnikkaassa kolme paria vierekkäisiä kulmia ovat täydennyskulmia, puolisuunnikasta sanotaan suunnikkaaksi.

Päätelmä: Myös suunnikkaan neljäs pari vierekkäisiä kulmia ovat toistensa täydennyskulmia.

Perustelu: Kun nelikulmion kulmien summasta 4 π vähennetään 3 π jäljelle jää π.

Määritelmä: Nelikulmion kulmat ovat vastakkaiset, jos niillä ei ole yhteisiä kylkiä.

Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret

Päätelmä: Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Perustelu: Kun β = π - α ja γ = π - β, γ = α. Vataavalla tavalla osoitetaan toinen pari vastakkaisia kulmia yhtäsuuriksi.

Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovet yhdensuuntaiset

Päätelmä: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovet yhdensuuntaiset.

Perustelu: Yksi pari suunnikkaan vastakkaisia sivuja on yhdensuuntaisia siitä syystä, että suunnikas on puolisuunnikas.

Suunnikas on puolisuunnikas myös toisen sivuparin osalta, joten suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret

8.6.2010

Päätelmä: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret.

Perustelu: Olkoon ABCD suunnikas.

Sen vastakkaiset kulmat ∠DAB ja ∠BCD ovat yhtäsuuret.

Olkoon BD toinen suunnikkaan lävistäjistä.

Olkoon kulma ∠ADB suuruudeltaan β.

Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, vuorokulmalauseen perusteella myös kulma CBD on suuruudeltaan β.

Nyt kolmioissa ΔABD ja BCD on kaksi kulmaa yhtä suuria, joten kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Kun yhdenmuotoisilla kolmioilla on yhteinen sivu BD, kolmiot ovat yhtenevät koska mittakaava on 1.

Yhtenevien kolmioiden vastinosina AB = DC ja AD = BC.

Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret, nelikulmio on suunnikas

2.4.2010

Olkoon nelikulmiossa ABCD AB=DC ja AD = BC. Koska lävistäjä BD on kolmioille ΔABD ja ΔBDC yhteinen, kolmiot ovat yhtenevät, koska niissä ovat vastinsivut yhtäsuuret (sss). Yhtenevien kolmioiden vastinosina kulmilla on yllä olevan kuvan mukaiset suuruudet (Kolmion kulmain summa on π.) . Tästä seuraa, että nelikulmio on suunnikas.

Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahteen yhtenevään kolmioon

Päätelmä: Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahteen kolmioon, jotka ovat yhtenevät.

Perustelu on esitetty edellisessä kohdassa.

Suunnikas ABCD voidaan jakaa kahteen keskenään yhtenevään kolmioon kahdella tavalla:

ΔABD ja ΔBCD.
ΔACD ja ΔCAB.

Suunnikkaan viereisten kulmien summa on π

Päätelmä: Suunnikkaan viereisten kulmien summa on π.

Perustelu: Suunnikkaan kulmat ovat α, π - α, α ja π - α.

Toinen pari nelikulmion vastakkaisia sivuja yhtäsuuuret ja yhdensuuntaiset

Päätelmä: Jos toinen pari nelikulmion vastakkaisista sivuista on yhtäsuuret ja yhdensuuntaiset, nelikulmio on suunnikas.

Perustelu: Olkoot nelikulmion ABCD vastakkaiset sivut AB ja DC yhtäsuuret ja yhdensuuntaiset.

Olkoon BD toinen nelikulmion lävistäjistä. Koska AB || DC, kulmien ∠ABD ja ∠ADC summa on π.

Jos kulma ABC on α ja kulma ADB = β, kulma ∠BDC = π - ∠α - ∠β ja kulma ∠ABD = π - ∠α - ∠β, koska kolmion kulmain summa on π.

Kolmiot ΔABD ja ΔBDC ovat yhtenevät, sillä niissä on kaksi sivua ja niiden välinen kulma yhtäsuuret (sks). Vastinjanoina janat AD ja BC ovat yhtäsuuret, joten nelikulmio on suunnikas, koska sen vastakkaiset sivut ovat yhtäsuuret.

Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa

1.4.2010

Päätelmä: Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa.

Perustelu: Olkoon ABCD suunnikas, AC ja BD sen lävistäjät ja E sen lävistäjien leikkauspiste.

∠AEB = ∠DEC =∠ζ (ristikulmat ovat yhtäsuuret).

∠AED = ∠BED =∠ε (ristikulmat ovat yhtäsuuret).

Kolmiot ΔABD ja ΔBDC ovat yhtenevät (sss), joten yhtenevien kolmioiden vastinosina

∠ABD = ∠BDC =∠γ
ja
∠ADB = ∠DBC =∠δ.

Kolmiot ΔADC ja ΔABC ovat yhteneviä (sss), joten yhtenevien kolmioiden vastinosina

∠CAB = ∠DCA =∠α
ja
∠CAD = ∠ACB = ∠β.

Kolmiot ΔAEB ja ΔDEC ovat yhteneviä (ksk). Yhtenevien kolmioiden vastinosina AE = EC.

Kolmiot ΔBEC ja ΔAED ovat yhteneviä (ksk)
Yhtenevien kolmioiden vastinosina BE = ED.

Suunnikkaan sivut ja lävistäjät

Olkoon a ja b suunnikkaan sivut ja olkoon d₁ ja d₂ suunnikkaan lävistäjät.

Kosinilauseella saadaan
d₁²= a² + b² - 2 ab cos γ
d₂²= a² + b² - 2 ab cos(π-γ)

Kun lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, saadaan

d₁² + d₂² = a² + b².

Harjoitus: Suunnikkaan kaksi sivuia ovat 3,0 ja 4,0 cm ja niiden välinen kulma on radiaaneissa 0,123. Laske suunnikkaan lävistäjät.

Keskipistekolmion suunnikkaat

1.4.2010

Keskipistekolmio A'B'C' määrää kolme suunnikasta, yllä olevassa kuvassa suunnikkaat AB'A'C', B'C'BA' ja CB'C'A'.

Nämä nelikulmiot ovat suunnikkaita, koska niiden vastakkaiset sivut ovat yhtäpitkät (sss, equidistant). Koska suunnikkaiden vastakkaiset janat ovat yhdensuuntaiset, esimerkiksi B'A' || AC'.

Määritelmä: Jos kaksi janaa ovat yhdensuuntaiset, niin myös niiden ulkojanat ovat yhdensuuntaiset.

Päätelmä: Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdistysjana on kannan suuntainen ja pituudeltaan puolet kannasta.

Varignonin suunnikas

26.4.2010

Päätelmä: Jos mielivaltaisen suunnikkaan ABCD sivujen keskipisteet E, F, G ja H yhdistetään, saadaan ns. Varignonin suunnikas.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Suunnikkaiden yhtenevyys

Päätelmä: Kaksi suunnikasta ovat yhtenevät, jos niistä tunnetaan yksi kulma ja sen viereiset sivut (sks).

Harjoitus: Suunnikkaasta on annettu kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Piirrä suunnikas.

Suunnikkaiden yhdenmuotoisuus

Päätelmä: Kaksi suunnikasta ovat yhdenmuotoiset, jos niillä on yksi sama kulma ja jos tämän kulman viereiset sivut ovat verrannolliset (sks).

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Suunnikas ja ulkojanat

1.4.2010

Olkoon ABCD suunnikas.

Olkoon

AB:n ulkojana LG.
DC:n ulkojana KH.
AD:n ulkojana EJ.
BC:n ulkojana FD.

Ristikulmina ja vieruskulmina saadaan joukko kulmia, jotka ovat suuruudeltaan joko ∠α tai ∠β=π-∠α.

Suunnikas määrää kolmioston (tason)

Mikä tahansa edellä mainituista suunnikkaan kolmioista määrää kolmioston (tason).

Suunnikkaan pinta-ala

Jos suunnikkaan pinta-ala halutaan laskea edellä olevilla kaavoilla, tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi toinen lävistäjä tai yksi kulma.

Koska suunnikas jakautuu kahteen yhtenevään kolmioon, kummankin kolmion pinta-ala on ½ah eli kolmioiden pinta-alojen summa on

½ah + ½ah = ah = A

eli suunnikkaan pinta-ala on sivu (kanta) kertaa sivun (kannan) vastainen korkeus.

Harjoituksia: (7.7.2010)

Jaa mielivaltaisen nelikulmion ABCD sivut kolmeen yhtäsuureen osaan. Piirrä suora viiva jokaisen kärjen viereisten jakopisteiden kautta. Osoita, että syntynyt nelikulmio on suunnikas ( F. Wittenbauer (1857-1922)). Huomaa eri tapaukset (kupera, kovera ja ristinelikulmio).
Osoita Weitzenböck'in epäyhtälö: Mille tahansa kolmiolle ABC, jonka sivut ovat a, b ja c sekä ala A, a² + b² + c² ≥ 4A√3.

Suunnikkaan litteys

2.8.2010

Toisaalla tässä kirjassa on johdettu kaava neljäkkään litteydelle.

Mielivaltaisesta suunnikkaasta voidaan erottaa neljäkäs, jonka sisään piirretyn ympyrän säde voidaan laskea toisalla esitetyllä kaavalla. Tämä säde on myös suunnikkaan sisään piirretyn ympyrän säde.

Suunnikkaan ympäri piirretyn ympyrän säde on suuremman lävistäjän puolikas.

Suunnikkaan litteys on suuremman lävistäjän puolikkaan ja sisään piirretyn ympyrän säteen puolikas.

Jos suunnikkaan pienempi korkeus on tunnettu tai se lasketaan annetuista tiedoista, suunnikkaan litteys on suuremman lävistäjän puolikkaan ½d_maxsuhde pienemmän korkeuden puolikkaaseen h_min:

Λ= ½d_max/h_min.

Leija (kite)

27.4.2010

Määritelmä: Leija on nelikulmio, jossa yhden kulman viereiset sivut ovat yhtä pitkät ja tälle kulmalle vastakkaisen kulman viereiset sivut ovat yhtä pitkät.

Yllä kovera leija.

Harjoitus:

Tee luettelo leijan tärkeimmistä ominaisuuksista.
Keksi jotain käyttöä koveralle leijalle.
Tee kaava leijan pinta-alalle.

Melkeinleija (kvasikite)

13.6.2010

Määritelmä: Melkeinleija (kvasikite) on nelikulmio, jossa on kolme yhtäsuurta sivua.

Harjoitus: Tee kaava melkeinleijan pinta-alalle.

Neljäkäs (rhombus)

Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät (vinoneliö).

Harjoitus: Osoita, että neljäkkään pinta-ala on

A = (d₁ d₂)/2,

missä d₁ ja d₂ ovat neljäkkään lävistäjät.

Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

Päätelmä: Neljäkkään lävistäjät jakavat neljäkkään neljään keskenään yhtenevään kulmioon (Luettele kolmiot. Mitkä ovat vastinosat?).

Perustelu: Tällöin lävistäjien välille syntyy yhtäsuuria vieruskulmia, ja koska oikokulman puolikas on suora kulma, neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Määritelmä: Neljäkkään litteys on neljäkkään ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde neljäkkään sisään piittetyn ympyrän säteeseen.

Olkoon a neljäkkään sivu ja b ja c lävistäjien puolikkaat. olkoon a suurempi lävistäjän puolikas. Jos kaksi näistä tunnetaan, yksi voidaan laskea, koska a, b ja c muodostavat suorakulmaisen kolmion. Neljäkkään litteyden laskeminen aloitetaan siis laskemalla puuttuva osa janoista b ja c.

Neljäkkään ympäri piirretyn ympyrän säde on suurempi lävistäjien puolikkaista eli b.

Neljäkkään sisään piirretyn ympyrän säde on a:ta vastaan piirrretty korkeusjana

h_a= {b² -[(a² + b² - c²)/(2a)]²}^½.

Λ = b/h_a

Harjoitus: Kirjoita (php + html) ohjelma, joka laskee neljäkkään litteyden, kun sivu a ja suurin lävistäjä on annettu.

Suorakulmio (rectangle)

Määritelmä: Suorakulmio nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret.

Harjoitus:

Osoita, että kaikki suorakulmion kulmat ovat suoria.

Päätelmä: Suorakulmion alan kaava saadaan suoraan suunnikkaan alan kaavasta korvaamalla korkeus h a:lla tai b:llä.

A = ab

eli suorakulmion ala on erisuurten sivujen tulo.

Suorakulmio ABCD jakautuu kahteen suorakulmaiseen kolmioon, esim. ΔABD ja ΔBCD.

Suorakulmion litteys on suorakulmion ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde suorakulmion sisään piirretyn ympyrän säteeseen eli jos a on suurempi sivu ja b on pienempi sivu, √(a²+b²)/b.

Neliö (square)

Neliö on neljäkäs, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuria.

Edellisen kohdan perusteella neliön ala kanta kertaa korkeus eli

A = aa = a².

Harjoitus: On annettu neliön lävistäjä. Piirrä harpilla ja viivaimella neliö.

Neliön litteys on neliön ympäri piirretyn ympyrän säteen suhde neliön sisään piirretyn ympyrän säteeseen eli √2.

Puolisuorakulmio

13.6.2010

Määritelmä: Puolisuorakulmio on nelikulmio, jossa on tasan kaksi suoraa kulmaa.

Saadaan kaksi tapausta. Vasemmanpuolisessa kuvassa yksi pari nelikulmion vastakkaisia kulmia on suoria.

Tämä nelikulmio jakautuu kahteen suorakulmaiseen kolmioon SAB ja BCD. Kun kolmioiden alat lasketaan yhteen, tälle nelikulmiolle saadaan hauska pinta-alan kaava:

A = (abcd)/2.

Oikeanpuoleisessa puolisuorakulmiossa viereiset kulmat ovat suoria, ja sen pinta-ala on puolisuunnikkaan ala, jonka laskemiseen ei tarvita tässä tapauksessa edes neljättä sivua a vaan

A = ½(b+d)c.

Harjoitus: Keksi puolisuorakulmiolle jotain käyttöä.

Suunnikkaan erikoistapausten ominaisuuksia

26.3.2010

Päätelmä: Neljäkkään vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

Päätelmä: Suorakulmion vastakkaiset sivut ovet yhdensuuntaiset.

Päätelmä: Neliön vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset..

Puolisuunnikkaan pinta-ala

Pinta-ala kolmioiden summana

16.5.2010

Koska puolisuunnikas ABCD jakautuu kahteen kolmioon ABD ja DBC, joilla on sama korkeus h (edellä on osoitettu, että yksi pari puolisuunnikkaan vastakkaisia sivuja a ja b ovat yhdensuuntaisia), suunnikkaan ala on näiden kolmioiden alojen summa eli

A = ½ah + ½bh = ½h(a+b).

A = ½h(a+b).

Muistisääntö: Puolisuunnikkaan pinta-ala on korkeuden ja yhdensuuntaisten sivujen keskiarvon tulo.

Pinta-ala kolmioiden erotuksena

Muutettu 20.3.2010

Olkoon C kolmion ΔABC yksi kärkipiste ja olkoot kolmion sivut a, b ja c.

Olkoon kolmion A'B'C kulma ∠C sama kuin edellisessä kolmiossa ja olkoot b' =|CA'| = k |CA| ja a' =|CB'| = k |CB|.

Olkoon piste A' janastossa AC ja olkoon B' janastossa BC.

Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset. Tällöin myös c' = k c.

Tällöin nelikulmio ABB'A' on puolisuunnikas (kulmat ABB ja AA'B' ovat täydennyskulmia, koska CA'B = CAB).

Puolisuunnikkaan pinta-ala on kolmioiden pinta-alojen erotus.

Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset, niiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

Ensimmäisen kolmion pinta-ala on A = ½ch.

Toisen kolmion pinta-ala on A' = ½c'h'.

Olkoon A' pinta-alaltaan suurempi kuin A.

Tällöin puolisuunnikkaan pinta-ala on

A' - A = ½c'h' - ½ch =
½(c'h' - ch) =
½(c'h' - kch + kch -ch) =
½(c'h' - c'h + ch' - ch) = ½(c' + c)(h' - h)

eli puolisuunnikkaan pinta-ala on kahden sivun keskiarvon ja korkeuden tulo, kun edellä mainitut ehdot ovat voimassa. Näitä ehtoja täsmennetään myöhemmin.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella puolisuunnikas ja piirrä sen kanssa yhtenevä puolisuunnikas.

Kolme pistettä ja neljäs

28.4.2010

Päätelmiä: Kun tunnetaan kolmen pisteen etäisyydet toisistaan, tunnetaan kolmio. Jos tunnetaan neljännen kolmioston pisteen etäisyydet kaikista kolmion kärsistä, neljäs piste määräytyy yksikäsitteisesti.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Kolmas etäisyys kärjistä tarvitaan, jotta valittaisiin kahdesta mahdollisuudesta toinen.

Murtoviiva

20.3.2010

Yhtenäinen joukko nelitahokkaita määrittelee joukon murtoviivoja.

Murtoviiva kolmiostossa (tasossa)

20.3.2010

Yleinen murtoviiva voi sisältää myös kolmiostoja.

Määritelmä: Kolmioston (tason) murtoviivan määräävät päätepisteet, osajanojen pituudet ja osajanojen väliset kulmat. Kulmat voivat olla myönteisiä (positiivisia) tai kielteisiä (negatiivisia). Jos viereiset osajanat ovat AB ja BC, kyseinen kulma on π - ∠ABC.

Pisteiden A ja B välinen murtoviiva voidaan esittää järjestettyinä pistepareina

<a₀,0,>,<a₁,α₁>,<a₂,α₂>, ...

missä α_i on kulma.

Lukuparit voidaan käsittää myös kompleksiluvuiksi, mutta jos halutaan, että kompleksilukujen itseisarvot ovat janojen pituuksia, murtoviiva on esitettävä muodossa

<a₀,0,>,<a₁cos α₁, a₁sin α₁>,<a₁cos α₂, a₁sin α₂>,...

Tällöin

z_i= a_i( cos α_i, sin α_i).

Kolmioston murtoviiva voidaan siis esittää joukkona tavallisia kompleksilukuja.

Harjoitus: Piirrä kaksi pistettä A ja B ja niiden välille murtoviiva. Venytä murtoviivaa pisteestä B Inkscapella.

Nelistön murtoviiva

20.3.2010

Määritelmä: Nelistö on nelitahokkaan, V > 0, määräämä pistejoukko.

Jotta nelistön murtoviiva olisi täysin määrätty, on päätepisteiden, osajanojen ja osajanojen välisten kulmien lisäksi tunnettava kierevyyskulmat. Kaksi osajanaa määrää kolmioston, mutta kaksi seuraavaa osajanaa (jotka myös määräävät tason) voivat muodostaa tämän kolmioston suhteen nollasta eroavan kulman.

Janat AB ja BC määräävät yhden kolmioston, mutta janat BC ja SD voivat määrätä eri kolmioston. Näiden kolmiostojen välistä kulmaa siis kutsutaan kierevyyskulmaksi.

Pisteiden A ja B välinen murtoviva voidaan siis esittää lukukolmikkoina

<a_i,α_i,β_i>,

missä β_i on kierevyyskulma.

Kulmat voivat olla myönteisiä (positiivisia) tai kieltsisiä (negatiivisia).

Lukukolmikot voidaan katsoa kolmikompleksiluvuiksi eli trikompleksiluvuiksi katso tästä.

Nelitahokkaat ja nelistö (avaruus)

Kolme janaa tietyssä järjestyksessä ja kolme suunnattua kulmaa määräävät nelitahokkaan (tetraedrin) ja erään paikallisen nelistön (kolmiulkotteisen avaruuden.)

Tietysti nelitahokkaat määräävät myös neljä janaa tietyssä järjestyksessä.

Myös kolmio ja kolme kulmaa tietyssä järjestyksessä määräävät nelitahokkaan, joka määrää paikallisen nelistön (kolmiulotteiden avaruuden).

Harjoitus

Piirrä epäkäs. Jaa se kahteen kolmioon. Leikkaa epäkäs irti paperista. Taivuta paperia kolmioiden yhteistä sivua pitkin. Muodostuu nelitahokas, jossa paperin taitekohta on kahden kolmioston (tason) välinen kulma.
Piirrä jono epäkkäitä ja leikkaa koko kuvio irti paperista. Taivuta paperia sekä epäkkäiden yhteisten sivujen että jomman kumman epäkkään lävistäjän kohdalta. Väritä punakynällä paperille jokin murtoviiva.
Tee taulukko ominaisuuksista, jotka määräävät nelitahokkaan tarkasti (yhtenevyyslauseita vastaava taulukko).

Peilaus (reflection) ja venytys janaston suhteen

Pisteen peilaus janaston suhteen

18.4.2010

Määritelmä: Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolella oleva piste. Piste P' on pisteen P peilikuva janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun

d(P,AB) = d(P',AB),
P ja P' ovat eri puolikolmiostoissa ja
PP' ⊥ AB.

Pistejoukon peilaus janaston suhteen

Määritelmä: Pistejoukko A' on pistejoukon A peilaus janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun jokainen A':n piste on yhden ja vain yhden A:n pisteen peilikuva janaston AB suhteen.

Pisteen venytys janaston suhteen

Määritelmä: Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolella oleva piste. Piste P' on pisteen P venytys janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun

d(P,AB) = k(P',AB),
P ja P' ovat eri puolikolmiostoissa ja
PP' ⊥ AB.

Määritelmä: Vakion k arvosta riippuen venytys voi olla laajennus (expansion) tai kutistus (contraction).

Pistejoukon venytys janaston suhteen

Määritelmä: Pistejoukko A' on pistejoukon A venytys janaston AB suhteen silloin ja vain silloin, kun jokainen A':n piste on yhden ja vain yhden A:n pisteen venytys janaston AB suhteen.

Yllä olevassa kuvassa suorakulmiota on venytetty sivun AB suunnassa.

Yllä olevassa kuviossa suorakulmiota on venytetty sekä AB:n suunnassa että BC:n suunnassa.

Yllä olevassa kuvassa suorakulmiota on venytetty sen lävistäjän AC suunnassa.

Yllä olevassa kuvassa suorakulmiota on venytelty mielivaltaisesti ja lisäksi kierretty. Koska suorat säilyvät suorina, tällaista kuvausta sanotaan suoransäilyttäväksi eli kollineaariseksi kuvaukseksi.

Yllä olevassa kuvassa neliöruudukkoa on venytelty ja kierretty.

Harjoituksia:

Osoita, että yhtenevyys säilyy janastopeilauksessa.
Osoita, että yhtenevyys ei säily janastovenytyksessä kun k ei ole 1.
Mikä on ympyrän kuva janastovenytyksessä?
Mikä säilyy janastovenytyksessä.
Mikä säilyy, jos suoritetaan janastovenytykset vakioilla k ja m kahden toisiaan vastaan kohtisuoran janaston suhteen?
Mitä säilyy, jos suoritetaan janastovenytykset vakioilla k ja m kahden toisiaan vinossa asennossa olevan janaston suhteen?
Affiini kuvaus säilyttää tietyt geometriset ominaisuudet: 1. Kuvaa janaston (suoran) janastoks (suoraksi) 2. Kuvaa yhdensuuntaiset janastot (suorat) yhdensuuntaisiksi 3. Säilyttää janojen osien suhteet. Mitkä edellä esitetyistä kuvauksista ovat affiineja kuvauksia.

Liukupeilaus (glide reflection) kolmiostossa

25.4.2010

Perustavista kolmioston yhtenevyyskuvauksista (isometrioista) on käsitelty edellä siirtoa, kiertoa ja peilausta janaston suhteen.

Määritelmä: Liukupeilauksessa yhdistyvät peilaus (reflektio) ja siirto (translaatio). Kuvion siirtäminen
uuteen kohtaan aloitetaan kääntämällä kuvio peilausjanastolla (suoralla) ja liu’uttamalla sitä sitten
peilausjanaston (suoran) suuntaisesti.

Harjoitus: Vertaa liukupeilausta ja kulman π (180⁰) suuruista kiertoa.

Yhdistetty venytys ja kierto

30.4.2010

Kun vektori tai kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen kuvaaja venyy. Kompleksiluvun kertominen kompleksiluvulla sisältää sekä kierron että venytyksen (Coexter, em. teos, ss. 139-140).

Harjoitus: Suorita venytys ja kierto oikeilla kompleksiluvuilla.

Hjelmslevin päätelmä

25.4.2010

Päätelmä: Jos kaksi janaa on liitetty toisiinsa kolmioston yhtenevyyskuvauksella, janojen vastinpisteet ovat joko samalla janastolla (suoralla) tai yhtyvät.

Harjoitus: Perustele Hjelmslevin päätelmä. Onko päätelmä voimassa affiineille kuvauksille?

Kohtisuora projektio eli heijastus kolmiostossa (tasossa)

Määritelmä

22.4.2010

Määritelmä: Jos P ja Q ovat kaksi janaston CD pistettä, näiden pisteiden kohtisuorat heijastukset (projektiot) janastossa AB ovat P' ja Q' siten, että PP' ⊥ AB ja QQ' ⊥ AB. Janan PQ heijastus (projektio) on jana P'Q'.

Jos janastojen välinen kulma on α niin

|P'Q'| = |PQ| cos α.

Jos janastot ovat yhdensuuntaiset, cos α = 1 ja |P'Q'| = |PQ|.

Pisteen etäisyys janastosta

22.4.2010

Määritelmä: Olkoon AB janasto ja P sen ulkopuolinen piste. Janastossa on esimerkiksi piste O. Jos jos janan OP ja janaston välinen kulma on α, niin Pisteen P etäisyys janastosta AB on

|PQ| = |OP| sin α.

Projektiopäätelmä

24.4.2010

Päätelmä: Mielivaltaisessa kolmiossa, jonka sivut ovat a, b ja c ja kulmat α, β ja γ kahden sivun projektioiden summa on kolmas sivu eli

c = a cos β + b cos α.

Vino yhdensuuntaisprojektio kolmiostosssa

14.5.2010

Määritelmä: Olkoot AB || DC || EL ja olkoot OP ja QR kaksi eri janastoa, jotka leikkavat yhdensuuntaisia janastoja.

Olkoot leikkaupisteet OP:n kanssa K, I ja G ja olkoot leikkauspisteet QR:n kanssa L, J ja H.

Janat GI ja IK muodostavat vinot projektiot LJ ja JH janastolle QR.

Päätelmä: GI : IK = HJ : JL.

Perustelu: Olkoot GM || HJ ja IN || JL. Yhdenssuuntaisten yhdensuuntaisina välijanoina GM = HJ ja IN = JL.

Toisaalta kolmiot GIM ja IKL ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on kaikki kulmat yhtäsuuret.

Tästä saadaan verranto GI : IK = GM : IN.

Verrannon oikeaan puoleen voidaan sijoittaa yhtenevät janat, jolloin saadaan

GI : IK = HJ : JL.

Harjoitus: Yleistä tulos mielivaltaisell määrälle yhdensuuntaisia janastoja.

Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus)

29.4.2010

Määritelmä

Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus)

Kuvaa janaston (suoran) janastoksi (suoraksi)
Kuvaa yhdensuuntaiset janastot (suorat) yhdensuuntaisiksi
Säilyttää janojen osien suhteet

Yhtäläisyyskuvaus (affiini kuvaus) saadaan aikaan seuraavien kuvausten yhdeistelmillä:

kierto
siirto
venytys
leikkaus

Leikkaus (shear)

Koska näistä kuvauksista on esitelty jo muut, seuraavassa esitellään leikkausta eli vääntöä (shear).

Määritelmä: Kolmioston (tason) leikkaus on kuvaus, jossa erään janaston (suoran) l pisteet säilyvät mutta tämän janaston (suoran) kanssa yhdensuuntaisilla janastoilla (suorilla) olevat pisteet siirtyvät yhdensuuntaisesti määrällä, joka on verrannollinen (proportional) kohtisuoraan etäisyyteen l:stä.

Leikkaus säilyttää janastot (suorat) suorina ja se säilyttää myös pinta-alan. Kulmia se ei säilytä.

Nelistön (avaruuden) leikkaus säilyttää erään kolmioston (tason) ja muut kolmiostot (tasot) käyttäytyvät yllä kuvatulla tavalla.

Leikkaus nelistössä säilyttää tilavuuden.

Kultainen leikkaus

23.4.2010

Tämä osiossa ratkaistaan toisen asteen yhtälö, mutta ratkaisun ymmärtäminen ei ole olennaista kultaisen leikkauksen ymmärtämiselle.

Tehtävä: Jana AB, jonka pituus on a on jaettava kahteen osaan siten, että janan pituuden suhde suuremman osan pituuteen on suuremman osan pituuden suhde pienemmän osan pituuteen eli jos suurempi osa on x, pienempi osa on a - x.

Saadaan verranto:

a/x = x/(a-x).

Tästä saadaan sieventämällä toisen asteen yhtälö:

x² + ax - a² = 0.

Toisen asteen yhtälön

ax² + bx + c = 0

ratkaisukaavalla

x = (-b ± √(b² - 4ac)/(2a)

saadaan

x = -½a ± ;√((½a)²+ a²).

Miinusmerkki ei käy, koska se antaa negatiivisia pituuksia.

Tulos sievenee muotoon:

x = ½a(√(5) - 1).

½(√(5) - 1) :n likiarvo on 0,6180339887.

Jana, jonka pituus on a, voidaan jakaa jatkuvaan suhteeseen (kultainen leikkaus) yllä olevan kuvan mukaisesti.

Piirretään ensin suorakulmainen kolmio, jonka pitempi kateetti on a ja lyhyempi kateetti on ½a. Viimeksimainittu saadaan aikaan jakamalla jana a kahtia. Sitten suuremman terävän kulman kärjestä lähtien erotetaan ½a:n suuruinen jana. Jäljelle jäävä osa hypotenuusaa on vaadittu jana x.

Pythagoraan lauseen mukaan kateettien neliöiden summa on hypotenuusan neliö eli

a² + (½a)² = (x + ½a)².

Tästä saadaan x:n arvoksi

x = -½a ± √((½a)²+ a²),

mikä on sama kuin edellä.

Harjoitus: Jaa harpilla ja viivaimella 10,0 cm pitkä jana jatkuvaan suhteeseen. Piirrä suorakulmio, jonka sivuina ovat a ja x. Miltä suorakulmio näyttää?

Janasto ja kolmiosto (suora ja taso)

Janaston ja kolmioston välinen kulma

6.7.2010

Janasto

voi kuulua kolmiostoon
leikata kolmiostoa
olla kokonaan kolmioston ulkopuolella.

Määritelmä: Jos janasto kuuluu kolmiostoon tai on kokonaan kolmioston ulkopuolella, janaston ja kolmioston välinen kulma on nolla.

Määritelmä: Jos janastolla ja kolmiolla on tasan yksi yhteinen piste, tätä pistettä kutsutaan janaston ja kolmioston leikkauspisteeksi.

Määritelmä: Jos janasto leikkaa kolmiostoa, janaston ja kolmioston välinen kulma on pienin janaston ja leikkauspisteen kautta kulkevien kolmioston janastojen välisistä kulmista.

Kartio (cone)

Yleistetty kartio

23.4.2010

Harjoitus: Määrittele yleistetty kartio.

Yleinen kartio

23.4.2010

Määritelmä: Kartio koostuu nelistökulmasta (avaruuskulmasta) ja sitä leikkaavasta kolmiostosta (tasosta), jotka rajoittavat yhdessä kappaleen.

Katkaistu kartio (frustum of the cone)

20.3.2010

Määritelmä: Katkaistu kartio on kappale, joka on kartion ja sen osakartion erotus.

Viisitahokas (pentaedri)

Erilaisia viisitahokkaita

Edellä on esitetty, että nelitahokas sisältää neljä kolmiota.

Viisitahokas (pentaedri) sisältää

kaksi kolmiota ja kolme nelikulmiota tai
yhden nelikulmion ja kolme kolmiota.

Tunnetuin erikoistapaus on kolmioprisma, missä kolmiot ovat tasasivuisia ja nelikulmiot ovat suorakulmioita.

Tapaus 1 jakautuu kahteen osaan

Viisitahokas, jonka voidaan kuvitella syntyvän, kun nelitahokkaasta katkaistaan yksi kärki (jäljelle jää kolmio.
Viisitahokas, jonka nelikulmiot ovat puolisuunnikkaita tai suunnikkaita (erikoistapaukset neljäkäs, neliö, suorakulmio.

Tapauksessa 2 nelikulmion kolmioston (tason) ulkopuolinen piste yhdistetään nelikulmion kärkiin.

Tunnetuin erikoistapaus on neliöpohjainen säännöllinen särmäkartio (pyramidi).

Harjoitus: Etsi internetistä kuvat neliöpohjaisesta säännöllisestä särmäkartiosta (pyramidista) ja kolmisivuisesta prismasta.

Särmiö (prism)

20.3.2010

Määritelmä: Särmiö on kappale, jota rajoittavat kaksi yhtenevää monikulmiota ja monikulmioiden kärkipisteitä yhdistävät suunnikkaat.

Kolmiosärmiö

Määritelmä: Kappale on kolmiosärmiö, jos se muodostuu kahdesta kolmiosta ja kolmesta suunnikkaasta. Kolmioita sanotaan särmiön pohjiksi ja eri suunnikkaiden yhteisiä osia särmiksi.

Kolmiosärmiön tilavuus

15.5.2010

Lähde: Robin Hartshorbe: Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0-387-98650-2, s.229.

Yllätyin, kun huomasin, että Eukleideen esitystapa on tässä tapauksessa yksinkertaisin.

Eukleideen esitystavassa käytetään hyväksi sitä, että että jaettaessa kolmiosärmiö nelitahokkaisiin syntyneet kolme nelitahokasta ovat pareittain samantilavuuksisia eli ne ovat kaikki samantilavuuksisia.

Merkitään nelitahokkaita seuraavasti:

P₁ = CDEF
P₂ = ACDE
P₃ = ABCE.

P₁ ja P₂ ovat nelitahokkaita, joilla on samansuuruiset pohjakolmiot CDF ja ACD. Pohjakolmiot ovat samansuuruiset, koska ne ovat suunnikkaan puolikkaita. Koska niillä on sama kärki, niillä on sama korkeus. Niiden tilavuudet ovat yhtäsuuret.

P₂ ja P₃ ovat nelitahokkaita, joilla on samansuuruiset pohjakolmiot ADE ja ABE. Pohjakolmiot ovat samansuuruiset, koska ne ovat suunnikkaan puolikkaita. Koska niillä on sama kärki C, niillä on sama korkeus, Niiden tilavuudet ovat yhtäsuuret.

Koska tilavuus on siirrännäinen eli transitiivinen, kaikki kolme nelitahokasta ovat samantilavuuksiset.

Koko kolmiosärmiön tilavuus on kolmen nelitahokkaat tilavuuksien summa.

Pohjakolmiot kolmiosärmiölle ovat ABC ja DEF.

Jos h on pohjakolmioiden välimatka eli kolmiosärmiön korkeus ja ABC:n pinta-ala on A, ABC - pohjaisen nelitahokkaan tilabuus on

V1 = (1/3) Ah.

Koko kolmiosärmiön tilavuus on

V = 3(1/3) Ah

V = Ah.

Suora suorakulmainen (rectangular)kolmiosärmiö

Suoran suorakulmaisen kolmiösärmiön nelikulmiot ovat suorakulmioita ja kolmiot keskenään yhteneviä suorakulmaisia kolmioita.

Suora kolmiosärmiö

Suorassa kolmiosärmiössä sivusärmä on h.

V = Ah.

Kuusitahokas (heksaedri)

Kuperia kuusihahokkaita on seitsemää lajia, joista yhdestä voidaan erottaa vasenkätinen ja oikeakätinen muunnos.

Koveria kuusitahokkaita on kolmea lajia.

Nelikulmioista koostuva kuusitahokas

Tahkot: 4,4,4,4
Kärjet: 8
Särmät: 12

Viisikulmiosärmäkartio

Tahkot: 5,3,3,3,3,3
Kärjet: 6
Särmät: 10

Nelikulmainen vastakiila

Tahkot: 4,4,3,3,3,3
Kärjet: 6
Särmät: 10
Vasen- ja oikeakätiset muodot

Viisikulmainen vastakiila

Tahkot: 5,5,4,4,3,3
Kärjet: 8
Särmät: 12

Kolmiokaksoissärmäkartio (kaksoistetraedri)

Tahkot: 3,3,3,3,3,3
Kärjet: 5
Särmät: 9

Jatketun nelikulmiosärmäkartion puolikas

Tahkot: 5,4,4,3,3,3
Kärjet: 7
Särmät: 11

Nelikulmiopuolisärmiö

Tahkot: 4,4,4,4,3,3
Kärjet: 7
Särmät: 11

Kuperia kuusitahokkaita on kolmea muotoa:

Nelitahokkaan koko särmästä poistettu nelitahokas

Tahkot: 4,4,3,3,3,3
Kärjet: 6
Särmät: 10

Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmää on kummankin kärjen vieressä jäljellä

Tahkot: 6,6,3,3,3,3
Kärjet: 8
Särmät: 12

Nelitahokkaan särmästä poistettu nelitahokas siten, että särmän toista päätä on jäljellä

Tahkot: 5,5,3,3,3,3
Kärjet: 7
Särmät: 11

Harjoitus: Piirrä kaikki kuusitahokkaat

Suuntaissärmiö (parallelpiped)

1.5.2010

Määritelmä: Suuntaissärmiö (suunnikassärmiö eli parallelepipedi) on kuusitahkoinen monitahokas, jonka tahkot ovat suunnikkaita.

Suuntaissärmiöllä on kahdeksan kärkipistettä ja kaksitoista särmää, jotka muodostavat kolme neljän keskenään yhdensuuntaisen ja yhtä pitkän särmän ryhmää.

Suuntaissärmiön erikoislajeja ovat suorakulmainen särmiö, jonka sivut ovat suorakulmioita, romboedri, jonka sivut ovat neljäkkäitä sekä kaikkein säännöllisimpänä kuutio, jonka sivut ovat neliöitä.

Suuntaissärmiön avaruuslävistäjät leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on suuntaissärmiön symmetriakeskus. Erikoistapauksia lukuun ottamatta suuntaissärmiöllä ei ole symmetria-akselia eikä symmetriatasoa, mutta myös sen jokaisella tahkolla on symmetriakeskus.

Suuntaissärmiö voidaan jakaa usealla tavalla kahteen kolmiosärmiöön, joten suuntaissärmiön tilavuus on

V = A h,

missö A on pohjaksi valitun suunnikkaan pinta.ala ja h on pohjan ja sen vastaisen suunnikkaan välinen etäisýys.

Suorakulmainen särmiö

Suorakulmainen särmiö on sellainen nelitahokkaista koostuva särmiö, jossa kaikki nelikulmiot ovat suorakulmioita.

Suorakulmaisessa särmiössä on a:n b:n ja c:n pituisia särmiä.

Suorakulmion tilavuus on siis pohjan pinta-ala kertaa korkeus tai toisella tavalla sanottuna

V = abc.

Kuutio

Kuutio on suorakulmainen särmiö, jonka kaikki suorakulmiot ovat neliöitä.

Koska a = b = c, kuution tilavuus on

V = a³

Suora särmiö

Suoran särmiön käsite

Suora särmiö koostuu suorista kolmiosärmiöistä siten, että pohjakolmiot muodostavat monikulmion.

Suoran särmiön tilavuudeksi saadaan kolmiosärmiöiden tilavuudet yhteenlaskemalla

V = Ah,

missä A on pohjamonikulmion ala ja h on se särmiön sivutahkon jana, joka ei kuulu pohjamonikulmioon. Sitä sanotaan korkeudeksi.

Suora säännöllinen särmiö

Suora säännöllinen särmiö on sellainen suora särmiö, jonka pohjamonikulmio on säännöllinen monikulmio.

Suoran särmiön vaippa

Suoran särmiön vaipan muodostavat suorakulmion muotoiset sivutahkot.

Suoran säännöllisen särmiön vaippa

Koska pohjamonikulmion sivut ovat keskenään yhtä pitkiä, vaipan ala saadaan laskemallalla yhteen suorakulmiot eli vaippa on

A = ph,

missä p on monikulmion sivujen summa (piiri) ja h on sivutahkon korkeus.

Särmäkartio (pyramid)

12.2.2010

Särmäkartion määritelmä

Määritelmä: Särmäkartio on monitahokas, joka koostuu yhdestä monikulmiosta ja monikulmion kolmioston (tason) ulkopuolella olevasta pisteestä (huippu).

Tämän pisteen ja monikulmion kärkien välisisiä yhdysjanoja kutsutaan särmiksi.

Särmät kohtaavat siis huipussa.

Monikulmiota kutsutaan särmäkartion pohjaksi.

Huipun ja pohjan välistä etäisyyttä kutsutaan särmäkartion korkeudeksi.

Särmäkartion tilavuus

Särmäkartion tilavuus voidaan laskea siten, että pohjakolmio jaetaan keskenään sisäpistepistevieraisiin komioihin ja syntyneiden nelitahokkaiden tilavuudet lasketaan yhteen.

Koska jaossa syntyneiden kolmioiden pinta-alojen summa on pohjamonikulmion ala, särmäkartion tilavuus V voidaan laskea myös kaavalla

V = Ah/3,

missä A on särmäkartion pohja ja h on sen korkeus.

Neliöpohjainen särmäkartio

Tilavuus

Neliöpohjaisen särmäkartion pohjan pinta-ala on a², missä a on neliön sivu.

Neliöpohjaisen särmäkartion tilavuus on

V = (a²h)/3.

Pyramidi

Pyramidi on sellainen neliöpohjainen särmäkartio, jonka särmät ovat yhtä pitkät.

Pallo (sphere)

11.2.2010

Määritelmä: Pallon pinta on niiden pisteiden P joukko, joiden etäisyys pisteesta O (keskipiste) on r (säde).

|PO| = r.

Määritelmä: Pallon sisäosa (interior) on niiden pisteiden joukkko, joiden etäisyys pisteesä O (keskipiste) on pienempi kuin r (säde, radius).

|PO| < r.

Määritelmä: Piste P on pallon ulkopuolella, jos

|PO| > r.

Pallo on ääretönulotteinen. Tässä oppikirjassa käsitellään kuitenkin vain kolmiulotteista palloa.

Pallon projektioita alempiin ulottuvuuksiin ovat esimerkiksi tavallinen pallo, ympyrä ja jana.

Ympyrä C(O,r) (circle)

Määritelmiä

11.6.2020

Määritelmä: Ympyräviiva (circle) C(O,r) on kolmioston (tason) pistejoukko, jolle

|PO| = r.

Janan päätepisteet vastaavat palloa yhdessä ulottuvuudessa

Kahden pallon pinnan pisteen suurin etäisyys on kaksi sädettä eli 2r.

Määritelmä: Ympyräalue on kolmioston pistejoukko, jolle

|PO| ≤ r.

Määritelmä: Ympyrän C(O,r) sisäosa on pistejoukko, jolle

|PO| < r.

Määritelmä: Piste on ympyrän C(O,r) ulkopuolella, jos

|PO| > r.

Harjoitus 1:

Piirrä pallon projektio neliulotteiseen avaruuteen. (Neuvoja voit kysyä suhteellisuusteoreetikoilta.)

Harjoitus 2:

Osoita, että neliulotteisen pallon hyperala on

2π² r³

ja sen hypertilavuus on

½π² r⁴.

Neljä tavallisen pallon eri pistettä muodostavat monitahokkaan, jonka tilavuus ei yleensä ole nolla.

Jos kaikille neljälle pallon pisteelle muodostuneen nelitahokkaan tilavuus on aina nolla, pallo on ympyrä. Sanotaan, että kaikki pallon pisteet ovat samassa kolmiostossa (tasossa).

Harjoitus: Määrittele tavallinen pallo erotuksena useampiulotteisesta.

Ympyrä C(O,r) pisteen kiertona (rotation) pisteen suhteen

Päivitetty 1/15/2010

Olkoon O piste ja P piste.

Ympyrä on kaikkien niiden pisteiden P' joukko, jotka saadaan kiertämällä pistettä P pisteen O suhteen.

Huomaa, että ympyrää saatetaan tässä kulkea moneen kertaan.

Ympyrän C(O,r) kaari (arc)

Määritelmä: Ympyrä C(O,r) kaari on kahden kehäpisteen A ja B välinen osa ympyrän piiriä.

Näitä osia on kaksi: suurempi (major) ja pienempi (minor).

Ympyrän C(O,r) säde (ray)

Ympyrän C(O,r) säde r on ympyrän keskipisteen O etäisyys ympyrän kehän pisteestä P.

Ympyrän C(O,r) jänne (chord)

Määritelmä: Ympyrän C(O,r) jänne (chord) on kahden ympyrän kehän eri pisteen A ja B yhdistysjana.

Ympyrän C(O,r) halkaisija (diameter)

Määritelmä: Ympyrän C(O,r) halkaisija on ympyrän keskipisteen kautta kulkeva ympyrän jänne. Sen pituus on p = r + r = 2 r.

Harjoitus: Osoita, että halkaisija on ympyrän suurin jänne.

Pisteen asema ympyrään C(O,r) nähden

Määritelmä: Olkoon O ympyrän keskipiste ja olkoon r ympyrän säde.

Piste P on ympyrän C(O,r) kehällä, jos d(P,O) = r.
Piste P on ympyrän C(O,r) ulkopuolella, jos d(P,O) > r.
Piste P on ympyrän C(O,r) sisäpuolella, jos d(P,O) > r.
Piste P on sama kuin ympyrän C(O,r) keskipiste, jos d(P,O) = 0.

Ympyrän C(O,r) tangentti (tangent)

Määritelmä: Ympyrän C(O,r) tangentti on janasto t joka kulkee ympyrän kehällä olevan pisteen P kautta ja on kohtisuorassa ympyrän sädettä OP vastaan.

Formaali määritelmä: Olkoon ympyrä γ = C(O,r).
t on tangentti jos ja vain jos t ∩ γ = {P}.

Päätelmä: Ympyrällä C(O,r) ja sen tangentilla on vain yksi yhteinen piste.

Perustelu: Olkoon A pisteestä P eroava tangentin t piste. Suorakulmaisessa kolmiossa OAP hypotenuusa OA on pitempi kuin kateetti OP ja A ei voi olla ympyrällä, koska se on kauempana kuin säteen etäisyydellä keskipisteestä O.

Ympyrän C(O,r) sekantti (secant)

Määritelmä: Janasto s, jolla on kaksi yhteistä pistettä P ja B ympyrän C(O,r) kanssa, on ympyrän sekantti.

Päätelmä: Jos janasto, joka kulkee säteen OP päätepisteen P kautta, se ei ole suorassa kulmassa (vaan vinossa), suoralla ja ympyrällä C(O,r) on vähintään kaksi yhteistä pistettä.

Perustelu: Olkoon OA keskipisteestä O janastolle s piirretty kohtisuora. Olkoon B sellainen janaston s piste, että PA = AB. Tällöin PAO ja BAO ovat yhteneviä suorakulmaisia kolmioita (sks), ja yhtenevien kolmioiden vastinosina OP ja OB ovat yhtäsuuret. Koska janaston s piste on nyt säteen etäisyydellä keskipisteestä O, B on ympyrän kehän piste.

Päätelmä: Janastolla s ja ympyrällä C(O,r) on enintään kaksi yhteistä pistettä.

Jos ympyrällä C(O,r) ja sekantilla olisi kolmas yhteinen piste, se olisi joko janan AB ulkopuolella tai janalla AB

Olkoon OA O:sta PB:lle piirrettu kohtisuora. X voi olla joko välillä PA tai välillä AB. Koska tilanne on täysin symmetrinen, tarkastellaan vain X:ää välillä PA.

Harjoitukseksi jätetään vaihtaa kirjaimet niin, että tarkastelu pätee välillä AB.

Jos janalla AB on piste X, joka on ympyrän piste, OX on OP.

Pythagoraan lauseen mukaan

OX² = OA² + AX².

Vastaavasti

OP² = OA² + AP².

Koska AX on janan AP osajana, se on lyhempi kuin jana AP ja myös neliöille on voimassa, että

AX² < AP².

Kahdesta yhtälöstä ja yhdestä epäyhtälöstä saadaan, että

OX² < AP², mistä saadaan, että OX pienempi kuin AP.

Jos piste Y on janan PB ulkopuolella PA < YA, mistä tulos saadaan vastavalla tavalla kuin edellä ja kirjainten vaihtaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Ympyrällä C(O,r) ja janastolla on enintään kaksi yhteistä pistettä.

Päätelmä: Ympyrällä C(O,r) ja sen sekantilla on tasan kaksi yhteistä pistettä.

Janasto, jolla ei ole yhteisiä pisteitä C(O,r) ympyrän kanssa

6.6.2010

Päätelmä: Jos ympyrän C(O,r) keskipisteen etäisyys janastosta on suurempi kuin säde, ympyrällä ja janastolla ei ole yhyeisiä pisteitä.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Ympyrän C(O,r) kehäkulma (inscribed angle)

Kehäkulma on yllä olevassa kuvassa kulma ∠APB, missä A, B ja P ovat ympyrän C(O,r) kehän pisteitä.

Ympyrän C(O,r) keskuskulma (central angle)

Määritelmä: Jos A ja B ovat kaksi mielivaltaista ympyrän C(O,r) pistettä ja O on ympyrän keskipiste, kulma ∠AOB on ympyrän keskuskulma (central angle of circle)..

Kehäkulma on puolet keskuskulmasta (central angle theorem)

Lähde: Kallio-Malmio: Geometria 1, Otava, Helsinki 1954 ss. 98-99.

Tarkastellaan kaksi tapausta, joista toisessa kehäkulman muodostaa kaksi jännettä ja toisessa kehäkulman muodostavat jänne ja tangentti.

Tapaus 1
Tapaus 1a

Olkoon toinen jänteistä ympyrän halkaisija PR ja toinen jänteistä PA.

Koska OA ja OP ovat ympyrän säteitä, ne ovat yhtä suuret. Kolmio ΔOAP on tasakylkinen ja sen kantakulmat ovat yhtä suuret eli ∠OAP = ∠OPA.

Koska kulma ∠AOR on kolmannen kulman ∠AOP vieruskulma, se on kahden esnimmäisen summa eli

∠ AOR = ∠OAP + ∠OPA = 2 ∠OPA.

Tässä tapauksessa kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Tapaus 1b

Olkoon halkaisija molempien jänteiden välissä.

Olkoon kehäkulma ∠APB ja sitä vastaava keskuskulma ∠AOB.

Halkaisija olkoon PR, missä O on halkaisijalla.

Edellisen tapauksen perusteella saadaan, että

∠ AOR = 2 ∠APO

ja

∠ ROB = 2 ∠BPO

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan

∠ AOR + ∠ROB = 2(∠APO + ∠BPO).

Kun kulmat lasketaan yhteen, saadaan

∠ AOB = 2 ∠APB.

Tässä tapauksessa kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Tapaus 1c

Kehäkulman kyjet olkoot halkaisijan samalla puolella.

Olkoon halkaisija molempien jänteiden välissä.

Olkoon kehäkulma ∠APB ja sitä vastaava keskuskulma ∠AOB.

Halkaisija olkoon PR, missä O on halkaisijalla.

Edellisen tapauksen perusteella saadaan, että

∠ AOR = 2 ∠APO

ja

∠ ROB = 2 ∠BPO

Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan

∠ AOR - ∠ROB = 2(∠APO - ∠BPO).

Kun kulmat vähennetään toisistaan saadaan

∠ AOB = 2 ∠APB.

Tässä tapauksessa kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Tapaus 2 kehäkulman toisena kylkenä on tangentti

Tapaus 2a

Kehäkulman toisena kylkenä on halkaisija POR ja toisena kylkenä tangentti PA.

Koska tangentin PA ja säteen OP välinen kulma on suora tangentin määritelmän mukaan, ∠APR on suora kulma. Kehäkulma on siis suora.

Koska ∠ROB on oikokulma, se on kaksi suoraa kulmaa ja keskuskulma on oikokulma.

Koska suora kulma on puolet oikokulmasta, kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Tapaus 2b

Kehäkulman kyljet ovat eri puolilla halkaisijaa.

Kehäkulma on ∠APB ja keskuskulma on ∠BOR + ∠POR.

Koska

∠ BOR = 2 ∠BPO

ja

∠ POR = 2 ∠APR

sadaan laskemalla puolittain yhteen

∠ BOR + ∠POR = 2 (∠BPO + ∠APR)

ja suorittamalla yhteenlaskut saadaan

∠ BOR + ∠POR = 2 ∠BPA

eli kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Tapaus 2c

Kehäkulman kyljet ovat samalla puolella halkaisijaa.

Kehäkulma on ∠APB ja keskuskulma on ∠POB.

Kulma ∠APR = π/2 (tangentti on kohtisuorassa halkaisijaa vastaan).

Kehäkulma ∠APB = ∠APR - ∠BPO = (π/2) - ∠BPO

Koska ∠OBP = ∠PBO (tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtäsuuret), ∠BOP = π - 2 ∠BPO eli

∠ BPO = ½( π - ∠BOP).

Kun tämä sijoitetaab kehäkulman lausekkeeseen, saadaan

∠ APB = ½π - ½( π - ∠BOP) = ½ ∠BOP,

∠ APB = ½ ∠BOP

eli kehäkulma on puolet keskuskulmasta.

Samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret

26.3.2010

Keskuskulmaa ∠AOB (kuvassa kovera)vastaavat kehäkulmat ∠APB, ∠AQP ja ∠ARP ovat yllä olevassa kuvassa kaikki puolet keskuskulmasra AOB.

Päätelmä: Samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret.

Huomaa, että kuperaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat ovat eri asia.

Puoliympyrän (semicircle) sisältämä kehäkulma (Thaleen puoliympyrälause)

11.2.2010

Puoliympyrä

Määritelmä: Puoliympyrä on ympyrän C(O,r) kaari, jonka ympyrän keskipisteen kautta kulkeva janasto erottaa ympyrästä.

Thaleen lause

Päätelmä: Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma.

Perustelu: Olkoon AB O -keskisen ympyrän C(O,r) halkaisija ja olkoon P mielivaltainen ympyrän piste, joka ei ole halkaisijan kumpikaan päätepiste.

Kulma ∠APB on kehäkulma ja sitä vastaava keskuskulma on ∠AOB. Kun keskuskulma on oikokulma, on kehäkulma puolet siitä eli suora kulma.

Thaleen lauseen käänteislause

Päätelmä: Jos kolmio on suorakulmainen, sen ympäri piirretyn ympyrän C(O,r) halkaisja on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.

Perustelu: Olkoon APB suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on APB. Jos kulma AOB ei ole oikokulma, kehäkulma ei ole suora. (Epäsuora todistus).

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella kahden janan keskiverto.

Sekanttien välinen kulma

27.4.2010

Päätelmä: Jos kaksi ympyrän C(O,r) sekanttia leikkaavat toisensa ympyrän sisällä, niiden välinen kulma on (x+y)/2, kun x ja y ovat vastaavia kaaria vastaavat keskuskulmat.

Perustelu: Yllä olevassa kuvassa keskuskulman y asteluku on puolet kehäkulman DBC asteluvusra ja keskuskulma x on puolet kehäkulman ACB asteluvusta.

Koska kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma, kulma DEC on kulmien DBC ja ACB symma eli

Y/2 + x/2 = (x + y)/2.

Harjoitus: Mikä on vastaava kulma, jos sekantit leikkavat toisensa ympyrän C(O,r) ulkopuolella?

Toisiaan leikkaavat ympyrän C(O,r) jänteet

27.4.2010

Päätelmä: Jos ympyrän C(O,r) jänteet AB ja CD leikkavat toisensa pisteessä P, AP.DP = BP.CP

Perustelu: Kolmiot ABP ja CPD ovat yhdenmuotoiset. sillä kulmat BAP ja BCD ovat samaa kaarta vastaavina kehäkulmina yhtäsuuret ja kulmat BAP ja BCP ovat samaa kaarta vastaavina kehäkulmina yhtäsuuret.

Yhdenmuotoisten kolmioiden sivut ovat verrannnolliset eli

AP/BP = CP/DP,

mistä saadaan ristiin kertomalla

AP.DP = BP.CP.

Kolmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä

Olkoon O ympyrän keskipiste ja olkoot A, B ja C eri pisteitä ympyrän kehällä.

Päätelmiä:

Koska säteet OA, OA ja AC ovat yhtäsuuret, syntyy kolme tasakylkistä kolmiota AOB, BOC ja AOC.

Korkeusjanat OE, OD ja OF jakavat tasakylkiset kolmiot suorakulmaisiin kolmioihin, jotka ovat pareittain yhtenevät.

Janat EO, DO ja FO ovat kolmion sivujen keskinormaaleja, joten kolmion sivujen keskipistekohtisuorat leikkaavat toisensa samassa pisteessä O joka on kolmion ympäri sijaitsevan ympyrän keskipiste.

Keskipistekohtisuorien (normaalien) leikkauspiste

11.2.2010

Päätelmä: Mielivaltaisen kolmion keskipistekohtisuorat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Perustelu: Olkoon ΔABC mielivaltainen kolmio. Olkoon sivun AC keskinnormaali OD ja olkoon sivun BC keskipistekohtisuora OE. Niiden leikkauspiste olkoon O. (Jos kaksi janastoa keikkaa toisensa niin niiden normaalit leikkaavat toisensa.)

Koska O on keskipistekohtisuoran piste, O on yhtä etäällä A:sta ja C:stä ja se on yhtä etäällä B:stä ja C:stä. Tällöin se on yhtä etäällä myös pisteistä A ja B eli O on AB:n keskipistekohtisuoralla.

Nelikulmio, jonka kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä

Päätelmä: Jos nelikulmion kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä, niin vastakkaisten kulmien summa on oikokulma.

Perustelu: Olkoot O ympyrän C(O,r) keskipiste ja olkoot A, B, C ja D neljä ympyrän eri pistettä.

Kehäkulmaa ∠ABC vastaava keskuskulma on ∠AOC koverana ja kehäkulmaa ∠ADC vastaava keskuskulma on ∠AOC kuperana eli keskuskulmien summa on täysi kulma. Koska kehäkulmat ovat puolet keskuskulmasta, niiden summa on puolet täydestä kulmasta eli oikokulma.

Vastavalla tavalla saadaan kulmille ∠BAD ja ∠CD, että niiden summa on oikokulma.

Päätelmä: Jos nelikulmion kärjet ovat ympyrän C(O,r) kehällä, nelikulmion ala voidaan laskea kaavalla:

A=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},

missä s = ½(a + b + c + d).

Ympyrän C(O,r) tangenttikulma

Määritelmä: Kahden saman C(O,r) ympyrän tangentin väilen kulma on nimeltään tangenttikulma.

Määritelmä: Ympyrän C(O,r) keskipisteen ja tangenttikulman keskipisteen välinen jana on nimeltään keskusjana.

Päätelmä: Tangenttikulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta.

Perustelu: Koska ∠APB on kehäkulma ja ∠AOB keskuskulma, ∠APB on puolet kulmasta ∠AOB.

Päätelmä: Tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa täydennyskulmia.

Perustelu: Koska nelikulmion kulmain summa on täysi kulma ja kulmat ∠OAP ja ∠OBP ovat tangentin määritelmän mukaan suoria, kulmien ∠AOB ja ∠APB summa on oikokulma eli ne ovat toistensa täydennyskulmia.

Päätelmä: Tangenttikulman kyljet luettuina kärkipisteestä sivuamispisteisiin ovat yhtä suuret.

Perustelu: Kolmiot ΔOAP ja ΔOBP ovat yhtenevät, koska niissä on säteet OA ja OB yhtäsuuret, sivu OP yhteinen ja lisäksi suorat kulmat ∠OAP ja ∠OBP ovat yhtäsuuret (ssk suorakulmaisissa kolmioisssa).

Päätelmä: Tangenttikulman kärjen ja ympyrän C(O,r) keskipisteen yhdistysjana (keskusjana) puolittaa tangenttikulman, keskuskulman ja ympyrän kaaren.

Perustelu: Kolmiot ja ympyrän sektorit ovat yhteneviä.

Päätelmä: Jos kaksi saman ympyrän C(O,r) tangenttikulmaa on yhtäsuuria, niin niiden keskusjanat ovat yhtäsuuret.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi: Vihje: Käytä yhteneviä kolmioita.

Päätelmä: Jos kahden saman ympyrän C(O,r) tangenttikulman keskusjanat ovat yhtäsuuret, tangenttikulmat ovat yhtäsuuret.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi: Vihje: Käytä yhteneviä kolmioita.

Päätelmä: Niiden pisteiden joukko, joista ympyrä C(O,r) näkyy tunnetun kulman suuruisessa kulmassa, on ympyrän kanssa samankeskinen ympyrä, konka säteenä on keskusjana.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Harjoitus: Piirrä ympyrän C(O,r) ympäri säännöllinen tangenttimonikulmio.

Harjoitus: Tutki, miisä eri asennoissa toisiinsa nähden voivat olla kaksi eri ympyrää C(O,r) ja C(O',r').

Pisteen potenssi (power) ympyrän C(O,r) suhteen

23.3.2010

Olkoon P ympyrän C(O,r) ulkopuolinen piste. Pisteen P kautta kulkeva ympyrän sekantti leikkaa ympyrää C(O,r) pisteissä A ja B. Pisteen P kautta kulkeva ympyrän C(O,r) tangentti sivuaa ympyrää C(O,r) pisteessä C.

Pisteen P potenssiksi ympyrän C(O,r) suhteen sanotaan janojen pituuksien tuloa |PA||PB|, mikä on riippumaton sekantin asemasta ja yhtä suuri kuin tangentilla olevan janan pituuden neliö |PC|².

Kolmiot PAC ja PCB ovat yhdenmuotoisia, koska niillä on yhteinen kulma pisteessä P ja toisaalta kulmat PAC ja PCB ovat yhtä suuria samaa kaarta BC vastaavina kehäkulmina. Kolmioiden sivujen verrannollisuudesta päätellään

|PB|/|PC| = |PC|/|PA|

eli

|PA||PB| = |PC|².

Jos piste P sijaitsee ympyrän C(O,r) sisällä, pätee vastaava. Jos pisteen kautta asetetaan sekantti, joka leikkaa ympyrää pisteissä A ja B, on tulo |P A||P B| riippumaton sekantin asemasta. Tätä kutsutaan ympyrän sisäpuolella olevan pisteen P potenssiksi ympyrän suhteen.

Jos AB ja CD ovat pisteen P kautta kulkevia ympyrän C(O,r) jänteitä, ovat kolmiot APD ja CPB yhdenmuotoisia ja

|PA|/|PD| = |PC|/|PB|

eli

|PA||PB| = |PC||PD|.

Tulo on siis riippumaton siitä, mikä pisteen P kautta kulkeva sekantti on kyseessä.

Nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää C(O,r)

8.5.2010

Päätelmä: Jos nelikulmio ABCD on nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa ympyrää (ympyrän C(O,r) ympäri oleva nelikulmio),

AB + CD = BC + DA.

Perustelu: Merkitään nelikulmion ja ympyrän C(O,r) sivuamispisteitaä E, F, G ja H:lla.

Kolmiot AEH, BFE, BGF ja DGH ovat kaikki tasakylkisiä.

Merkitään janoja seuraavasti:

AE = AH = a,
BE = BF = b,
CF = CG = c,
DG = DH = d.

AB + CD = a + b + c + d.

BC + DA = b + c + a + d = a + b + c + d:

AB + CD = BC + DA.

Harjoitus: Osoita, että käänteinen päätelmä on perusteltu.

Ympyrä C(O,r), jonka sivuja sivuavat tangentit ovat kolmion sivuja

Olkoon C(O,r) ympyrä ja olkoon ΔABC sellainen kolmio, että kolmion sivut ovat ympyrän C(O,r) tangentteja.

Päätelmiä:

Koska säteet OE, OF ja OD ovat yhtäsuuret ja suorassa kulmassa tangentteja vastaan, syntyy pareittain yhteneviä kolmioita.

Koska O on yhtä kaukana jokaisesta tangentissa, C(O,r) on sijaitsee kolmion kärjistä piirretyillä kulman puolittajilla, ja tämän kolmion kulman puolittajat leikkaavat samassa pisteessä, joka on ympyrän keskipiste.

Kolmion kulman puolittajan pituus

5.4.2010

Seuraavassa käytetään kaavaa
A = ½ bc sin A .

Merkitään niiden kolmioiden aloja, joihin kulmanpuolittaja jakaa kolmion A₁ ja A₂.

Koko kolmion ala on

A = A₁ + A₂.

Kolmioiden alat ovat:

A₁ = ½bt sin(θ/2).

A₂ = ½at sin(θ/2).

½ab sin(θ) ½ab sin(θ) = ½bt sin(θ/2) + ½at sin(θ/2).

Tämä sievenee muotoon:

ab sin θ = t sin(θ/2)(a+b).

Tästä saadaan t:lle arvo

t = (ab sin θ)/(sin(θ/2)(a+b)).

Aikaisemmin on johdettu kaava

sin 2 α = 2 sin α cos α.

Tällä kaavalla t:n kaava supistuu seuraavasti:

t = (ab 2 sin(θ/2) cos(θ/2))/(sin(θ/2)(a+b))

= (2 ab cos(θ/2))/(a+b).

t = (2 ab cos(θ/2))/(a+b).

Vaihtamalla kirjaimia muille kulmanpuolittajille saadaan vastaavat kaavat.

Kulma θ voidaan poistaa kaavasta ottamalla käyttöön kolmion kolmas sivu c. Tämä jätetään harjoitustehtäväksi.

Kolmion kahtiajakolause

5.4.2010

Olkoon ΔABP kolmio ja olkoon P sivun BC sisäpiste.

Kolmio ΔABP jakautuu kahteen kolmioon ΔABP ja ΔAPC.

Näillä kolmioilla on sama BC:n vastainen korkeusjana h, joten niiden alat ovat

½BP h ja

½PC h.

Alojen suhde on BP : PC.

Toisaalta kolmion ΔABP ala on

½AB x AP sin BAP

ja kolmion ΔAPC ala on

½AP x AC sin PAC.

Näin alojen suhteeksi saadaan

(AB sin BAP)/(AC sin PAC.

Näin saamme kaavan

(BP/PC) = (AB sin BAP)/(AC sin PAC).

Kun kulmat BAP ja PAC sattuvat olemaan yhtäsuuret, kuten on laita, jos AP on kolmion kulman puolittaja, saamme tutun kaavan

(BP/PC)=(AB/AC).

eli kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereistan sivujen suhteessa.

Cevan päätelmä ja seurauspäätelmiä

Cevan päätelmä

5.4.2010

Cevan päätelmä: Kolmiossa ABC, kolme janastoa AD, BE ja CF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos

AF/FB · BD/DC · CE/EA = 1

Perustelu:

Kolmioilla CKD and BKD on yhteinen korkeusjana h Ksta lähtien. Niiden alat ovat

ΔCKD =½DC·h ja

ΔBKD = ½BD·h, mistä

BD/DC = ΔBKD/ΔCKD

Samalla tavalla kolmioille ACD and ABD,

BD/DC = ΔABD/ΔACD

Nyt

BD/DC = (ΔAKB)/(ΔAKC)

Vastaavat voidaan kirjoittaa myös muille sivuille:

AF/FB =ΔAKC)/ΔBKC

CE/EA = ΔBKC)/ΔAKB

Näistä kolmesta yhtälöstä saadaan kertolaskulla :

AF/FB · BD/DC · CE/EA = 1

Kolmion keskijanojen leikkauspiste

7.4.2010

Suorin seurauspäätelmä Cevan päätelmästä on, että kolmion keskijanat leikkaavat samassa pisteessä.

Koska AF = FB, BD = DC ja CE = EA,

(AF/FB)x(BD/DC)x(CE/EA) = (1/1)x(1/1)x(1/1) = 1.

Cevan päätelmä ei kuitenkaan anna sitä tietoa, että sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta.

Sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta, tapa 1

12.5.2010

Ostin eilen paikallisesta kirjakaupasta Robin Harthornen kirjan "Geometry: Euclud and beyond, ISBN 0-0387-98659-1. Teos on eräänlainen Euklideen ja Hilbertin pesänselvitys ja lainaan siitä ajatuksia, jo ne täydentävät tätä oppikirjaa.

Päätelmä: Sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta.

Perustelu: Edellä on osoitettu, että kolmion sivujen AB ja AC keskipisteiden yhdistysjana DE on sivun BC suuntainen ja puolet siitä.

Koska BC ja DE ovat yhdensuuntaisia janoja, kulmat DEG ja GBC ovat yhtäsuuret, samoin kulmat EDG ja GCB.

Kolmiot BCG ja DEG ovat yhdenmuotoiset (kkk). Yhdemnuotoisuussuhde saadaan vertaamalla vastinsivuja DE ja BC. Koska DE on puolet BC:stä, yhdenmuotoisuussuhde eli DE : BC = 1 : 2.

Tälläin EG : GB = 1: 2 eli sivun puoleinen osa keskijanasta BE on kolmasosa keskijanan pituudesta.

Vastaavasti DG : GC = 1 : 2 eli sivun puoleinen osa keskijanasta CD on kolmannes keskijanan pituudesta.

Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa jakosuhde myös kolmannelle keskijanalle.

Vanhojen oppikirjojen esitys: sivun puoleinen osa keskijanasta on kolmasosa keskijanan pituudesta.

12.2.2010

Lähde: K. Väisälä: Geometria, WSOY, 1968, s. 81.

Päätelmä: Kolmion keskijanat leikkavat toisensa pisteessä, joka jakaa keskijanat siten, että sivun puoleinen osa on kolmasosa koko keskijanasta.

Perustelu: Olkoon ΔABC mielivaltainen kolmio ja olkoon sen A:sta alkava keskijana AA', B:stä alkava keskijana BB' ja C:stä alkava keskijana CC'.

Koska B' on A:n ja C:n välillä, säde BB' on säteiden BC ja BA = BC' välillä. puomilauseen mukan BB' leikkaa AA':n pisteessä G, joka on joka on C:n ja C':n välillä. Vastaavasti CC' leikkaa BB':n samassa pisteesä G, joka on myös B:n ja B': välillä.

Olkoon L janan BG keskipiste ja M janan AG keskipiste. Kolmiot ΔC'AB' ja ΔBAC ovat yhdenmuotoiset ja kolmiot ΔLGM ja ΔBGC ovat yhdenmuotoiset (sks).

C'B' ja AL ovat yhdensuuntaisia BC:n kanssa ja pituudeltaan puolet BC:n pituudesta eli C'B' = LM.

Nelikulmio LMB'C' on suunnikas.

Suunnikkaan lävistäjät leikkaavat toisensa pisteessä G. Syntyy suuri joukko pareittain yhteneviä kolmioita kuten ΔLGM ja ΔC'B'G, ΔC'GL ja ΔB'GM jne.

Tästä syystä BL = LG = GG' ja CM = CG = GC'.

Nämä kaksi keskijanaa leikkaavat toisensa pisteessä, joka jakaa keskijanan niin, että kärjen puoleinen osa keskijanasta on 2/3 keskijanasta ja sivun puoleinen osa keskijanasta on 1/3 keskijanasta.

Koska olisimme voineet valita minkä tahansa muun parin keskijanoja, jotka laikkaavat toisensa pisteessä G' ja saaneet saman tuloksen, G'=G. Koska G on kaikkien kulmien sisäosassa, se on kolmion sisäpiste.

Keskijanat jakavat kolmion kuuteen yhtenevään kolmioon

7.4.2010

Päätelmä: Olkoon ΔABC kolmio ja olkoon sen keskijanat AD, BE ja CF. Olkoon keskijanojen leikkauspiste K. Kolmiot ΔAEC, ΔEKC, ΔDKC ΔBKD ΔBKF ja ΔFKA ovat samanpinta-alaiset.

Perustelu: Sama sivu ja sivun vastainen korkeus on kolmiopareissa ΔAKE ja ΔEKC, ΔBKD ja ΔCKC, ΔAKF ja ΔBKF.

Nämä "pikkukolmiot" ovat siis pareittain samanpinta-alaiset.

Pistevieraiden kolmioiden pinta-aloja voidaan laskea yhteen.

Keskijana CF jakaa kolmion ΔABC kahteen pinta-alaltaan yhtäsuureen kolmioon (sama samansuuruisen sivun vastainen korkeus) eli kolmion ΔACF ala on puolet kolmion ΔABC alasta.

Nyt

ΔACF = ΔAKF + 2 ΔAEK,
ΔBCF = ΔBKF + 2 ΔBKD.

Kun

ΔACF = ΔBCF,

niin

ΔAFK + 2 ΔAEK = ΔBFK + 2 ΔBKD.

Kun

ΔAKF = ΔBKF,

se voidaan vähentää yhtälön molemmilta puolista ja saadaan

2ΔAEK = 2ΔBKD

eli

ΔAEK = ΔBKD.

Tästä voidaan päätellä, että kaikki pikkukolmiot ovat samanalaiset.

Kolmion kulman puolittajat

7.4.2010

Päätelmä: Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Perustelu: Koska kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa

AF/FB = AC/BC,
BD/DC = AB/AC,
CE/EA = BC/AB.

Kun nämä kerrotaan keskenään, saadaan 1.

Vanhojen kirjojen esitys: kolmionkulman puolittajien leikkauspiste

11.2.2010

Päätelmä: Mielivaltaisen kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Perustelu: Olkoon ΔABC mielivaltainen kolmio. Olkoon A-kärjestä lähtevä kulman puolittaja AF ja olkoon B-kärjestä lähtevä kulman puolittaja.

Koska kolmion kahden kulman suomma on pienempi kuin oikokulma (koko kolmion kulmain summa on oikokulma), ∠A + ∠B < π joten ∠BAO + ∠ABO < ½π
ja kulman puolittajat siis leikkaavat toisensa.

Koska piste O on yhtä etäällä kulman ∠A kyljistä ja se on yhtä etäällä kulman ∠B kyljistä, se on yhtä etäällä kulman ∠C kyljistä ja siis O on myös kulman ∠C puolittajalla.

Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste

7.4.2010

Seurauspäätelmä: Kolmioiden korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Perustelu: Suorakulmaiset kolmiot ACD ja BCE ovat yhdenmuotoiset (suorat kulmat ja sama kulma, kk).

Tällöin CE/DC = BE/AD.

Vastaavasti,
AF/EA = CF/BE ja
BD/FB = AD/CF.

Nyt

AF/FB · BD/DC · CE/EA
= CE/DC · AF/EA · BD/FB
= BE/AD · CF/BE · AD/CF
= 1.

Kolmion korkeusjanojen leikkauspiste ilman Cevan lausetta

12.3.2010
Lähde: Kallio-Malmio: Geometria I, Otava, Helsinki, 1954, s. 88.

Päätelmä: Kolmion korkeusjanat tai niiden jatkeet leikkaavat samassa pisteessä.

Perustelu: Olkoon GK kärjen A kauttta kulkeva sivun BC suuntainen janasto, GH kärjen B kautta kulkeva sivun AC suuntainen janasto ja HK kärjen C kautta kulkeva sivun AB suuntainen janasto.

Koska GK leikkaa sivut AB ja AC, se leikkaa niiden suuntaiset janastot HK ja GH. GH ja HK leikkaavat toisensa, sillä jos janasto leikkaa toisen yhdensuuntaisista janastoista, se leikkaa toisenkin.

Nelikulmiot ABCK ja ACBG ovat suunnikkaita (vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset), ja BC = AK ja BC = GA josta seuraa, että AK = GA. Koska AD on kohtisuorassa BC:tä vastaan, se on kohtisuorassa myös GK:ta vastaan (yhdensuuntaisuuden määritelmä tässä oppikirjassa) ja on siis sivun GK keskipistekohtisuora.

Vastaavalla tavalla muut korkeusjanat osoittautuvat isomman komion keskinormaaleiksi.

ΔABC:n korkeusjanat kolmion GHK sivujen keskinormaaleina leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän C(O,r) säde

25.3.2010

Olkoon ABC kolmio ja olkoon C(O,r) sen ympäri piiretty ympyrä. Olkoot kolmion sivut a, b ja c. Olkoon ympyrän säde R.

Keskuskulma AOB on kaksi kertaa kehäkulma ACB.

Koska kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion sivujen keskipistekohtisuorian leikkauspiste, O:sta C:lle piirretty korkeusjana puolittaa sivun c. Kulma AOD on puolet keskuskulmasra AOB ja siis yhtä suuri kuin kehäkulma C.

Tästä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan yhtälö

(c/2)/R = sin C.

R saa arvon c/(2 sin C).

Jos kolmion pinta-ala on A, se on

A = ½bc sin C.

Tästä saadaan sin C:lle arvo

sin C = (2A/)(bc).

Kun sin C sijoitetaan R:n kaavaan, saadaan

R = (abc)/(4A),

joka on tunnettu kolmion ympäri piirretyn ympyrän säteen kaava.

Kolmion sisään piirretty ympyrä

25.3.2010

Olkoon ABC kolmio, jonka sivut ovat a, b ja c. Sen sisällä on ympyrä C(O,r), joka sivuaa kolmion sivuja pisteissä D, E ja F.

Koska OA, OB ja OC ovat kulman puolittajia ja koska OD, OE ja OF ovat kohtisuorassa sivuja vastaan, syntyy joukko yhteneviä suorakulmaisia kolmioita:

AOD ja AOF
BOD ja BOE
CEE ja COF.

Merkitään AF:ää ja AD:tä x:llä, BD:tä ja BE:tä y:llä ja CE:tä ja CF:ää z:lla.

Kolmion piiri on nyt 2x + 2y + 2z = a + b + c.

Tästä saadaan, että x + y + z = ½(a + b + c) = s.

Pikkukolmioiden alat ovat ½xr, ½yr ja ½zr.

Koko kolmion ala on

A = r (x + y + x)

= ½r(a + b + c).

Tästä saadaan r:lle kaava

r = A/s , missä on s = ½(a + b + c).

Harjoitus:

On annettu kolmio ABC. Piirrä sen sisään ja ympäri ympyrä (yllä oleva kuva).
On annettu mielivaltainen kolmio, jonka sivut ovat a, b ja c. Pisin sivu olkoon a. Kolmion sisään on piirretty puoliympyrä (semicircle) siten, että sen halkaisija on suurimmalla sivulla ja puoliympyrä sivuaa kahta muuta kolmion sivua. Laske puoliympyrän säde.

Apolloniuksen ympyrä

28.4.2010

Päätelmä: Niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys kahdesta pisteestä on vakio (ei 1), on ympyrä.

Perustelu jätetään yllä olevan kuvan mukaisesti harjoitustehtäväksi. Vihje: Kuvassa esiintyy kulmanpuolittajia, joiden avulla BED voidan osittaa suoraksi kulmaksi.

Ulkoympyrä (excircle)

2.5.2010

Määritelmä: Kolmion ulkoympyrä on ympyrä, joka sivuaa yhtä kolmion sivuista ja kahden muun sivun jatkeita.

Harjoitus: Kolmion sivut ovat 4,0 cm, 5,0 cm ja 6,0 cm. Laske ylkopympyröiden säteet.

Kohtisuorakolmio (orthic triangle)

2.5.2010

Määritelmä: Kohtisuorakolmio on kolmio, joka muodostuu niistä kolmion sivujen pisteistä tai sivujen jatkeiden pisteistä, joissa kolmion korkeusjanat leikkavat sivut tai sivujen jatkeet.

Yllä olevassa kuvassa DEF on kolmion ABC kohtisuorakolmio (orthic triangle).

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella kohtisuorakolmio.
Tee luettelo kohtisuorakolmion ominaisuuksista.

Cevan kolmio

2.5.2010

Määritelmä: Olkoon P mielivaltainen kolmion sisäosan piste. Tästä Kolmion kärjistä piirretään tämän pisteen kautta janat kolmion vastakkaisille sivuille. Kun nämä pisteet yhdistetään, syntyy Cevan kolmio.

Harjoitus:

Piirrä harpilla ja viivaimella Cevan kolmio.
Tee luettelo Cevan kolmion ominaisuuksista.

Menelauksen lause (n. 100 eaa)

2.5.2010

Päätelmä: Jos pisteet X, Y ja Z ovat kolmion sivuilla tai niiden jatkeilla ja ovat samalla janastolla (suoralla), niin

(AZ/ZB)(BY/YC)(CX/XA) = -1

ja kääntäen.

Perustelu: Erotetaan kaksi tapausta: Joko pisteitä X, Y ja Z yhdistävä jana leikkaa kahta sivua tai se ei leikkaa yhtään.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa se laikkaa kahta sivua.

Korkeusjanat h₁, h₂ ja h₃ ovat kohtisuorassa XZ:ää vastaan ja muodostavat yhdenmuotoisia kolmioita. Miinusmerkki syntyy, jos otetaan janat eri suuntiin.

Niistä saadaan verrannot:

AZ/BZ = h₁/h₃,

BY/YC = h₃/h₂ ja

CX/XA = -h₂/h₁,

Kun näiden verrantojen molemmat puolet kerrotaan keskenään, saadaan em. lause.

Tarkastellaan toiseksi tapausta, jossa mikään pisteistä X, Y ja Z ei leikkaa kolmion sivuja.

Tässä tapauksessa saadaan verrannot:

AZ/ZB = -h₁/h₂,

BY/YC = -h₂/h₃ ja

CX/XA = -h₃/h₁.

Kun verrantojen molemmat puolet kerrotaan keskenään, saadaan em. lause.

Harjoitus:

Perustele Menelauksen lauseen käänteislause.
Keksi Menelauksen lauselle jokin sovellus.

Miguelin lause

7.5.2010

Päätelmä: Olkoon ABC mielivaltainen kolmio ja valitaan kärken A, B ja C vastaisilta sivuilta pisteet A', B' ja C'. Jos esitetään pisteiden A, C', B', pisteiden B, C' ja A' sekä C, A' ja B' kautta kulkevat ympyrät, ne leikkaavat toisensa samassa pisteeä M, jota kutsutaan Miguelin pisteeksi.

Perustelu:

Kolmioiden AC'B' ja CB'A' ympäri piirrettyjen ympyröiden leikkauspiste olkoon M.

Syntyneet nelikulmiot AC'MB' ja CB'MA' ovat ympyrän sisällä olevia nelikulmioita. Tästä syystä niiden vastakkaisten kulmien summa on π.

Tällöin B'MC' = π - A ja B'M A' = π - C. Kulman A'MC' arvoksi tulee 2π - (π - A ) - (π - C) = A + C .

Koska kolmion kahden kulman summa on kolmannen vieruskulma, A + C = π - B, mikä osoittaa, että nelikulmio BA'MC' on ympyrän sisään piirretty nelikulmio joten kolmas ympyrä kulkee M:n kautta.

Käänteissäteinen muunnos

Muunnos (trasformation)

28.4.2010

Edellä mainitsemissani Olli Tammen geometrian luennoissa melkein luentojen alussa tarkastellaan käänteissäteistä muunnosta. Suomenkielinen Internet ei tiedä siitä paljon mitään.

Käänteissäteistä muunnosta on tarkasteltu melko perinpohjaisesti Erkki Rodenbergin kirjasa Geometria, Limes ry, 1996, ISBN 951-745-173-3, s. 138 alkaen.

Käänteissäteisen muunnoksen lyhyttä tarkastelua tässä oppikirjassa puoluestaa se, että käänteissäteinen muunnos on esimerkki kulman säilyttävästä kuvauksesta, joka ei säilytä kaikkia suoria mutta sen sijaan säilyttää ympyrät, jos suoria pidetään ääretönsäteisinä ympyröinä.

Geometriassa kolmioston (tason) sisäisiä kuvauksia on tapana sanoa muunnoksiksi (transformaatioiksi).

Käänteissäteisen muunnoksen lähtökohtana on O-keskipisteinen ja R-säteinen ympyrä. On tapana puhua kuvastuksesta ympyrässä. Tätä ympyrää sanotaan perusympyräksi ja se säilyy kuvastuksessa.

Kuvastus määritellään seuraavilla ehdoilla:

Kuvapiste P' sijaitsee säteellä OP.
O:sta mitatut lähtöpistettä (preimage) P ja kuvapistettä P' koskevat ehdot, kun r = OP ja r' = OP': r'r = R².

Käänteissäteistä muunnosta voidaan havainnollistaa yllä olevalla kuvalla. Siinäkulmat OAB ja OP'A ovat suoria kulmia ja kulma OPA on yhteinen kolmioille OAP ja OAP', joten kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivut ovat verrannollisia eli

|OP'|/|OA| = |OA|/|OP|

Tästä saadaan ristiin kertomalla

|OP'||OP| = |OA|².

Päätelmiä:

Jos P' on P:n kuva niin P on P':n kuva, koska |OP||OP'| = |OP'||OP| = R².
Jos |OP| < R niin |OP'| > R, mistä voidaan päätellä, että ympyrän sisäpiste kuvautuu ullkopisteeksi.
Jos |OP| > R, niin |OP'| < R, mistä voidaan päätellä, että ulkopiste kuvautuu sisäpisteeksi.
Jos |OP| = R, niin |OP'| = R, mistä voidaan päätellä, että perusympyrä kuvautuu itselleen.

Toimivan Java-appletin löydät osoitteesta http://whistleralley.com/inversion/inversion.htm

Ympyräominaisuuden säilyminen

Käänteissäteisen muunnoksen määritelmästä seuraa, että perusympyrän keskipisteen O kautta kulkeva janasto (suora) kuvautuu itselleen eli janastoksi (suoraksi).

Janasto (suora), joka ei kulje O:n kautta kuvautuu ympyräksi.

Yllä olevassa kuvassa
P on mielivaltainen piste,

OA ⊥ PA ja
a'a = R² ja
r'r = R²,

mistä saadaan

a'a = r'r,

mistä saadaan

a'/r' = r/a.

Kun kolmioilla OA'P' ja OAP on lisäksi yhteinen kulma AOP, kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Kun OAP on suora kulma, vastinosana OA'P' on suora kulma. Koska OA' näkyy suorassa kulmassa, P' on OA' -halkaisijana piirretyn ympyrän kehällä (Thaleen lause ja sen käänteislause).

O:n kautta kulkeva ympyrä kuvautuu janastoksi (suoraksi).

Tämä voidaan osoittaa kääntämällä edellinen päättely.

O-keskiset ympyrät kuvautuvat uusiksi O-keskisiksi ympyröiksi.

Mielivaltaisen ympyrän kuva on ympyrä

Olkoon C ympyrä ja C' sen kuva. Keskipisteet yhdistävä symmetriaviiva on OB. Se leikkaa C:n pisteissä A ja B.

OP leikkaa C:n pisteessä Q.

Sekanttilauseella saadaan

|OA||OB| = |OQ||OP| = k .

Käänteissäteisen muunnoksen määritelmän perusteella

|OP||OP'| = R².

Kun yhtälöt jaetaan puolittain, saadaan

R/k = |OP'|/|OQ|. OP' = (R/k)|OQ| = λ|OQ|.

Q - pisteiden joukko (ympyrä C) muuttuu P' -pisteiden muunnokseksi homoteettisella muunnoksella, mistä seuraa, että P' -pisteiden joukko on ympyrä.

Jos sovitaan, että janastoa (suoraa) pidetään ääretönsäteisenä ympyränä, edellisten tarkastelujen tulos voidaan ilmaista seuraavasti:

Käänteissäteinen muunnos säilyttää ympyräominaisuuden. Koska O ja äärettömyyspiste vastaavat toisiaan, O:n kautta kulkevat ymjpyrät kuvautuvat janastoiksi (suoriksi) ja janastot (suorat) kuvautuvat O:n kautta kulkeviksi ympyröiksi.

Kulman säilyminen (konformisuus)

Kulmapäätelmä: Olkoon C ympyrä, jonka keskipiste on O, ja P ja Q ovat eri pisteitä kuin O. Olkoon P:n kuvapiste P' ja Q:n kuvapiste Q'. Tällöin ∠QPO = ∠OQ'P'.

Perustelu:

Olkoon R ympyrän C säde.

Kun P ja P' ovat toistensa kuvia,

OP.OP' = R².

Kun Q ja Q' ovat toistensa kuvia,

OQ.OQ' = R².

Siis,

OP.OP' = OQ.OQ',

ja

OP/OQ = OQ'/OP'.

Tästä syystä kolmiot OPQ and OQ'P' yhteneviä.

Yhtenevyydestä johtuu, että vastinkulmat ovat yhtäsuuria.

Kulmapäätelmän seuraus

Päätelmä: Oletetaan, että P, Q and C ovat kuin kulmapäätelmässä ja olkoon S janalla OQ. Olkoon S' S:n kuvapiste C:n suhteen. Tällöin ∠QPS = -∠Q'P'S'.

Perustelu:

∠QPS =∠QPO - ∠SPO

=∠OQ'P' - ∠OS'P' (edellinen päätelmä)

=∠S'P'Q' (kolmion P'Q'S' ulkokulmana)

=-∠Q'P'S' .

Kulman säilyvyyspäätelmä

Päätelmä: Käänteissäteinen muunnos säilyttää kulmat mutta kääntää suunnan.

Perustelu: Kaikki on kuten edellisessä kuvassa, paitsi että mukana on kaaret ja niiden väliset kulmat.

Kun Q lähestyy P:tä, S lähestyy P:tä, samoin Q' lähestyy P' kulmien säilyessä ennallaan.

Raja-arvona käyrät yhtyvät tangentteihin, joten tangenttien väliset kulmat ovat merkkiä vaille samat.

Seurauksia

Päätelmä: Perusympyrää vastaan kohtisuorat ympyrät kuvautuvat itselleen.

Perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Päätelmä: Steinerin ympyräparvi säilyy Steinerin ympyräparvena.

Perustelun löydät Internetistä.

Kohtisuorat ympyrät (ortogonaaliympyrät)

8.5.2010

Määritelmä: Kaksi toisiaan leikkaavaa ympyrää ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos niiden laikkauspisteisiin piirretyt tangentit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Päätelmä: Jos ympyrät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, toisen ympyrän tangentit kulkevat toisen ympyrän keskipisteen kautta.

Perustelu: Ympyröiden tangentit ovat kohtisuorassa säteitä vastaan, mist' voidaan päätellä, että toisen ympyrän tangentti sisältää toisen ympyrän säteen.

Pallon isoympyrä (great circle)

Jos kaksi pallon pistettä A ja B sijaitsevat siten, että AB = 2r ja jos kolmas pallon piste on C, näiden kolmen pisteen kautta kulkevaa ympyrää sanotaan isoympyräksi.

Ympyrän C(O,r) ala ja kehä

Ympyrän alalla tarkoitetaan ympyrän kehän rajoittaman suljetun käyrän sisään jäävän alueen pinta-alaa.

Ympyrän ala ja kehän pituus määritellään ilman koordinaattisidonnaista differentiaali- ja integraalilaskentaa monikulmion alan ja monikulmion piirin raja-arvoina. Raja-arvo sinänsä ei edellytä differentiaali- ja integraalilaskentaa.

Ylärajajana

Edellä kulman suuruus on sidottu geometriaan siten, että ns. täysi kulma on 2π .

Olkoon säännöllisen monikulmion kärkien lukumäärä n. Yhdistämällä monikulmion kärjet ympyrän keskipisteeseen muodostuu n tasakylkistä kolmiota, joiden kylkien pituudet ovat r ja huippukulma θ = (2π)/n radiaania. yhden kolmion pinta-ala on

½r² sin (2 π / n)

Monikulmion pinta-ala on

A = n ½r² sin (2 π /n) =π r² [n sin (2π/n)/(2π)]

Tämän raja-arvo sinin sarjakehitelmän avulla, kun n lähestyy ääretöntä, on πr².

A = π r².

Säännöllisen monikulmion yksi sivu lasketaan yllä olevasta suorakulmaisesta kolmiosta seuraavasti:

(½s)/r = sin θ

(½s)/r = sin (π/n)

s = 2 r sin (π/n)

Monikulmion sivujen summa on

S = 2 r n (sin (π /n)).

Tämän raja-arvo sinin sarjakehitelmällä, kun n lähestyy ääretöntä on
2πr.

S = 2 π r.

Alarajajana

30.4.2010

Jos halutaan ympyrän ala ja piiri ympyrän ympäri piirretyn monikulmion avulla, ympyrän säde on kolmion korkeus ja jos monikulmion sivu on s, saadaan yllä oleva kolmiosta, jossa

(s/2)/r = tan α,

mistä

s = 2 r tan α

= 2r tan ((2π)/(2n))

Koko piiri on

ns = 2rn tan ((2π)/(2n))

Tangentin sarjakehitelmästä saadaan

tan (π/n) = π/n + (1/3)(π/n)² + ... n tan (π/n).

Kun molemmat puolet kerrotaan n:llä, saadaan

n tan (π/n)= π + (1/3)(π²/n) + ...,

mistä nähdään, että raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä on π.

Ympyrän kehälle saadaan arvo

p = ns = 2 πr

kuten edellä.

Kolmion pinta-ala on

A_n = r² tan ((2π)/(2n)).

Monikulmion pinta-ala on

A = n A_n = r² π

eli saatiin sama tulos kuin edellä

A = π r².

Säännöllisten monikulmioiden yhdenmuotoisuus

Säännölliset monikulmiot ovat yhdenmuotoisia, jos niissä on sama määrä kulmia.

Yhdenmuotoisuussuhde on r² tai s².

Voidaan sanoa, että yhdenmuotoisuus periytyy ympyrälle.

Ympyröiden yhdenmuotoisuus

Kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia säteiden suhteen mittakaavassa.

Jos P₁ ja P₂ ovat kaksi ensimmäisen ympyrän kehän pistettä. O₁ sen keskipiste ja sen säde on r₁ ja jos toisen ympyrän säde on r₂ ja keskipiste O₂, on olemassa kaksi viimeksimainitun ympyrän pistettä Q₁ ja Q₂ siten, että kulma ∠P₁O₁P₂ on sama kuin kulma ∠Q₁O₂Q₂. Näin syntyneet kolmiot ovat yhdenmuotoiset mittakaavassa r₁/r₂

Ympyrän kaaren pituus

Keskuskulmaa θ vastaavan kaaren pituus on θ r, missä r on ympyrän C(O,r) säde.

Ympyränsektori (sector)

Määritelmä: Ympyränsektori on alue, jota rajoittavat kaksi ympyrän C(O,r) sädettä OA ja OBja pienempi tai suurempi kaari, jonka päätepisteet ovat A ja B.

Kulma θ on nimeltään keskuskulma.

Sektorin ala päätellään seuraavasti.

Koko ympyrän ala on π r².

sektorin ala radiaaneissa (θ/2π) π r² =

A = ½ r² θ

Koska b = rθ on kaaren pituus (yksikköympyrän kaarenpituus (arc length)on kulma radiaaneissa, mittakaava on r), saadaan kaava

A = ½ b r.

Tämä kaava voidaan johtaa suoraan raja-arvomenettelyllä samalla tavalla kuin ympyrän kehän kaava.

Jos kulma θ on annettu asteissa, sektorin pinta-ala on

A = (θ/360⁰) π r².

Ypyränsegmentti eli lohko (segment)

Määritelmä: Ympyränsegmentti on alue, jota rajoittavat jänne AB ja pienempi tai suurempi kaari, jonka päätepisteet ovat A ja B.

Yllä olevassa kuvassa suurempi segmentti on merkitty punaisella ja pienempi segmentti on merkitty harmaalla.

Pienemmän Ympyränsegmentin ala saadaan vähentämällä sektorin alasta keskuskolmion ala.

Koska OA = OB = r ja tasakylkisen kolmion yhtäsuurien sivujen välinen kulma on θ, keskuskolmion ala on

A_Δ = ½ r² sin θ

Segmentin alaksi radiaaneissa saadaan

A =½r²(θ - sin θ)

ja segmentin alaksi asteissa saadaan

A =½r²((π/360⁰)θ - sin θ)

Suuremman segmentin ala saadaan lisäämällä sektorin alaan keskuskolmion ala. Kavat ovat

Segmentin alaksi radiaaneissa saadaan

A =½r²(θ + sin θ)

Koska sini on negatiivinen välillä ]π, 2π[, voidaan käyttää kaavaa

A =½r²(θ - sin θ)

ja segmentin alaksi asteissa saadaan

A =½r²((π/360⁰)θ + sin θ)

Koska sini on negatiivinen välillä ]π, 2π[, voidaan käyttää kaavaa

A =½r²((π/360⁰)θ - sin θ)

Harjoitus: Ympyrästä on annettu säde r ja sekantin AB pituus. Laske ympyränsegmentin (suurempi ja pienempi) pinta-ala.

Ympyrän sisällä ja ympäri sijaitsevat säännölliset monikulmiot

4.4.2010

Vanhojen kirjojen kaavoja

Määritelmä: Ympyryrän sisällä sijaitsevalla säännöllisellä monikulmiolla tarkoitetaan monikulmiota, jonka keskipisteen ja kärjen välinen jana on ympyrän säde.

Määritelmä: Ympyrän ympäri sijaitsevalla monikulmiolla tarkoitetaan monikulmiota, jonka sivut sivuavat ympyrää.

Vanhoissa oppikirjoissa esiintyvät seuraavat kaavat:

Jos ympyrään (säde r) piirretyn säännöllisen monikulmion sivu on s ja kaksikertaisen kaaren jänne on 2 α, on

s² = 2r²-2r√(r² - α²).

Jos ympyrään (säde r) piirretyn säännöllisen n - kulmion sivu on s, on sen ympäri piirretyn säännöllisen n - kulmion sivu

t = (2rs)/(√(4r²-s²))

Tämä kaava on johdettu todennäköisesti siksi, että ympyrän ympäri piirretun monikulmion sivu t on saatu esitettyä sisään piirretyn monikulmion sivun s ja ympyrän säteen r avulla.

Jos halutaan kirjoittaa tietokoneohjelma, joka laskee sekä s:n että t:n viimeksi mainittu kaava voi olla hyödyllinen laskettaessa t:tä.

Yksinkertaisempi kaava

4.4.2010

Jos trigonometrisia funktioita ja sivua vastaavaa keskuskulmaa θ saadaan käyttää hyväksi, saadaan suoraan yhdenmuotoisista kolmioista että

s : t = cos (θ/2).

Tämä kaava sanoo, että s:n ja t:n suhde riippuu vain keskuskulmasta θ.

Ptolemaioksen päätelmä

24.4.2010

Päätelmä: Ympyrän C(O,r) sisään piirretyn nelikulmion ABCD sivuille ja lävistäjille on voimassa kaava:

|AC||BD| = |AD||BC| + |AB||DC|.

Perustelu: Tälle kaavalla on suuri määrä erilaisia perusteluja, joista geometrinen perustelu on lyhin.

Olkoon kulma ADK yhtäsuuri kuin BDC.

Koska samaa keskuskulmaa vastaavat kehäkulmat obat yhtäsuuret, huomataan, että kuviossa on suuri määrä kekskenään yhtäsuuria kulmia, joita on merkitty α:lla, β:lla ja γ:lla.

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivut ovat verrannolliset, joten saadaan suuri määrä verrantoja.

Kolmiot AKD ja BCD ovat yhdenmuotoisia, joten saadaan verranto

|AD|/|AK| = |BD|/|BC|.

Kolmiot CKD ja ABD ovat yhdenmuotoiset, joten saadaan verranto

|CK|/|BC| = |BA|/|BD|.

Kun näistä ratkaistaan janan AC osat AK ja CK, saadaan

|AK| = (|AD||BC|)/|BD|

|CK| = (|AB||CD|)/|BD|

Koska |AK| + |CK| = |AC|, saadaan

|AC| = (|AD||BC|)/|BD| + (|AB||CD|)/|BD|

eli

|AC||BD| = |AD||BC| + |AB||CD|.

Sanallisesti: Ympyrän sisässä olevan nelikulmion lävistäjien pituuksien tulo on vastakkaisten sivujen tulojen summa.

Jos sivut ovat aakkosjärjestyksessä a, b, c ja d sekä lävistäjät ovat e ja f, Ptolemaioksen päätelmä saa muodon:

ef = ac + bd.

Morleyn päätelmä

8.5.2010

Päätelmä: Kolmion kulmat kolmeen yhtäsuureen osaan jakavien janojen leikkauspisteet muodostavat tasasivuisen kolmion.

Perustelu: Löydät runsaasti erilaisia perusteluja napauttamalla tästä.

Suuri joukko matemaatikkoja on halunnut keksiä oman perustelunsa tälle merkilliselle päätelmälle.

Joku on sanonut, että pohjoismaissa on enemmän professoreja kuin maailmassa simpansseja.

Maailmanlaajuisesti matematiikan professoreitakin on niin paljon, että keksittävästä alkaa olla pula, varsinkin sellaisesta keksittävästä, joka toisi mainetta, kunniaa ja rahaa.

Harjoitus: Keksi oma perustelu Morleyn päätelmälle. Vihje: kannattaa piirtää oikein iso kuva.

Viisitähti

Entisen esityksen yhä tarpeellinen osa

Päätelmä: Säännöllisen viisikulmion ABCDE lävistäjän (esim. EB) suhden viisikulmion sivuun (esim. AB) on viisitähden sakaran ja sisemmän viisikulmion välisen janan (esimerkiksi EJ) suhde sisemmän viiskulmion sivuun (esim JF). Tämä suhde on ½(1 + √(5)).

Perustelu: Viisitähden terävät kulmat (esimerkiksi ADB) ovat yhtä suuret samaa ympyrän jännettä ja siis kaarta vastaavina kulmina.

Vastaavasti sivun ja lävistäjän väliset kulmat (esimerkiksi ADE) ovat keskenään ja edellä mainittujen kulmien (esim. ADB) kanssa yhtäsuuret edellä mainitulla perusteella.

Koska uloimmat pienet kolmiot (esimerkiksi AFB) ovat tasakylkisiä (kantakulmat yhtäsuuret), ne ovat yhteneviä ja tylpät kulmat (esimerkiksi AFB ja sen ristikulma JFG) ovat keskenään yhtäsuuria.

Viisitähden sisään muodostuu säännöllinen viisikulmio, FGHIJ, joka on säännöllisenä viisikulmiona yhdenmuotoinen alkuperäisen viisikulmion kanssa.

Uusi esitys

25.4.2010

Perustelu: (jatkoa) Löysin tänään Coexterin em. kirjasta sivulta 167 eilistä helpomman esityksen viisitähden suhteiden selvittämiseen. Siinä käytetään a:na viisikulmion sivua (katso alla olevaa kuvaa).

Entinen esitys on siirretty osastoon Poistetut.

Coexterin kirjassa käytetään tosin muinaisisssa ylioppilaskirjoituksissa kiellettyä tapaa eli oletetaan viisikulmion sivuksi 1.

Tästä opimme sen, että vanha kirja on parempi kuin pussillinen Internetiä.

Kolmiot ABE ja ABF ovat yhdenmuotoiset (miksi?) eli

(a+b)/a = a/b.

(Huomaa, että myös x/a = a/b.)

1 + (b/a) = a/b.

Kun merkitään t = a/b, saadaan yhtälö

1 + (1/t) = t

eli kun t ei ole nolla

t² - t - 1 = 0,

mistä saadaan t:lle positiivinen arvo:

t = ½(1 + √(5)).

Asiasta selvittiin ilman kymmenkulmiota, mutta tarvittiin hieman laskutekniikkaa.

Harjoitus: Tutki minkä kaikkien maiden yms. lipuissa on viisitähteä.

Säännöllinen kymmenkulmio

27.4.2010

Päätelmä: Säännollisen kymmenkulmion sivun suhde säteeseen on kulateinen leikkaus.

Perustelu: Koska ympyrän kehäkulma on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta, viisitähden sakara (esimerkiksi AFJ) on erään säännöllisen kymmenkulmion osakolmio.

Koska AF/FJ on ½(1 + √(5)), tästä voidaan päätellä, että säännöllisen kymmenkulmion säteen ja sivun suhde on kultainen leikkaus.

Harjoitus: Piirrä harpilla ja viivaimella säännöllinen kymmenkulmio.

Harjoitus: Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan pisteessä A. A:n kautta on pirretty janat EC ja DB, missä E ja D ovat toisen ympyrän pisteitä ja b ja c ovat toisen ympyrän pisteitä. Huomaa, että B*A*D ja E*A*C. Osoita, että DE || BC.

Eulerin viiva

12.5.2010

Päätelmä: Olkoon ABC kolmio, O keskipistesuorien leikkauspista, H korkeusjanojen leikkauspiste ja G keskijanojen leikkauspisE. Tälläin O, G ja H ovat samalla janastolla (suoralla) ja GH = 2 =G.

Perustelu: Olkoon F sivun BC keskipiste, AF keskijana ja OM korkeusjana.

Janasto OG leikatkoon AM:n pisteessä H'. OF on kohtisuorassa BC:tä vastaan, koska O on keskipistekohtisuorien laikkauspiste. Koska AM on korkeusjana, se on kohtisuorassa BC:tä vastaan ja AM || OF.

Tällöin kolmiot AH'G ja FOF ovat yhdenmuotoiset, koska ristikulmat AHH' ja OGF ovat yhtäsuuret ja yhdensuuntaisuudesta AM || OF johtuen esimerkiksi kulmat H'AG ja GF= ovat yhtäsuuret.

Keskijana AF jakautuu suhteessa 1 : 3, mistä johtuen AG = 2 GF. Tällöin GH' = 2 GO kuten päätelmässä väitettiin.

Vieölä on osoitettava, että H' on H.

Jos vaihdetaan kirjainten nimiä, huomataan, että H' on kaikilla muillakin korkeusjanoilla eli H' = H.

Näin on osoitettu, että mainitut kolme pistettä ovat samalla janalla.

Tämä perustelu kelpaa myös perusteluksi sille, että kolmion korkeusjanat leikkavat samassa pisteessä.

Kartioleikkaukset

Ellipsi

Tavanomainen ellipsin määritelmä

17.1.2010

Tavallisesti ellipsi määritellään niiden pisteiden X joukkona, joiden kahdesta pisteesta P ja Q laskettujen etäisyyksien summa |PX| + |QX| = k eli vakio.

Yllä olevassa kuvassa a on isoakseli ja b on pikkuakseli. F on niin sanottu polttopiste.

Kolmioston (tason) ellipsi venytyksenä ympyrän suhteen

23.2.2010

Olkoon r erään ympyrän säde ja O sen keskipiste. Olkoon pisteet P, O ja Q samalla janastolla, jolloin PQ on ympyrän halkaisija.

RS halkaisijaa vastaan kohtisuora jänne ja olkoon K tämän jänteen keskipiste.

Olkoon M sellainen jänteen määräämän janaston piste, että |KM| = a |KP|. Huomaa, että saadaan kaksi pistettä. Pisteiden M joukkoa kutsutaan ellipsiksi.

Harjoitustehtävä: Perinteisesti ellipsi piirretään asettamalla naru kiinni polttopisteisiin ja piirtämällä kynällä niin, että naru pysyy kireällä. Ellipsi voidaan piirtää myös harpilla ja viivoittimella. Piirrä ellipsi harpilla ja viivoittimella.

Paraabeli

18.4.2010

Määritelmä: Olkoon L janasto ja F piste, joka ei ole janastossa L. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä janastosta L että pisteestä F. Janastoa L kutsutaan paraabelin johtojanastoksi ja pistettä F polttopisteeksi.

Harjoitus: Piirrä harppia ja viivainta käyttäen paraabeli.

Hyperbeli

18.4.2010

Määritelmä: Hyperbelin muodostavat ne kolmioston pisteet, joiden kahdesta pisteestä mitattujen etäisyyksien erotus on vakio. Jos valitaan pisteet F₁ ja F₂, hyperbelin pisteellä X on ominaisuus

|X − F₁| − |X − F₂| = k (k on vakio).

Harjoitus:

Piirrä harppia ja viivainta käyttäen hyperbeli.
Aikaisemmin on todettu, että kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia.
Ovatko kaikki ellipsit yhdenmuotoisia?
Ovatko kaikki paraabelin yhdenmuotoisia?
Ovatko kaikki hyperbelit yhdenmuotoisia?
Ota selvää, mistä otsikko "kartiolaikkaukset" johtuu.

Käyrä (curve)

Määritelmä

21.3.2010 lisätty ehdot 3 ja 4

Nyt ehdot saattavat olla olla liian vahvoja.

Määritelmä: Pisteen P palloympäristö on P - keskipisteisen pallon sisäosa (avoin joukko, johon ei kuulu pallon pinta).

Määritelmä: Pistejoukko on ohut (thin), jos kaikissa joukon pisteen palloympäristöissä on piste, joka ei kuulu pistejoukkoon.

Yllä tasokäyrä.

Määritelmä: Pistejoukko on käyrä, jos

pistejoukko on yhtenäinen,
pistejoukko on ohut,
pistejoukon pinta-ala on nolla ja
pistejoukon tilavuus on nolla

Yksinkertainen käyrä

18.1.2010

Yllä esitetyn määritelmän mukainen käyrä voi olla vaikka monimutkainen fraktaali.

Yllä yksinkertainen tasokäyrä.

Monimutkaisuuden pois sulkeminen on vaikeaa, mutta ainakin jonkin verran monimutkaisuutta suljetaan seuraavalla rajoituksella:

Jokaista käyrän pistettä P kohti on olemassa luku r₀ siten, että kun r < r₀, niin P -keskipisteisen ja r -säteisen pallon pinnalla käyrällä on enintään kaksi yhteistä pistettä.

Lisätietoa yksinkertaisista käyristä löydät alla olevasta osoitteesta:

http://mathworld.wolfram.com/SimpleCurve.html

Harjoitus 1: Piirrä Inkscapella yksinkertainen käyrä ja suorita Inkscapella sen siirto.

Harjoitus 2: Kierrä edellisen harjoituksen käyrää Inkscapella.

Harjoitus 3: Venytä edellisen harjoituksen käyrää yhdessä suunnassa Inkscapella.

Harjoitus 4: Venytä edesllisen harjoituksen käyrää kahdessa toisiaan vastaan kohtisuorassa suunnassa.

Harjoitus 5: Suorita 1. harjotuksen käyrälle suorapailaus Inkscapella. Vihje: Venytä käyrää niin, että se venyy "itsensä läpi.

Yksinkertaisen käyrän päätepiste

18.1.2010

Piste P on yksinkertaisen käyrän päätepiste, jos on olemassa luku r₀siten, että kun r < r₀, niin P -keskipisteisen ja r -säteisen pallon pinnalla ja käyrällä on enintään yksi yhteistä pistettä.

Yksinkertainen suljettu käyrä

9.5.2010

Lähde: em. teos General Topology.

Määritelmä: Eityhjän joukon X osajoukon A läpimitta on

d(A) = sup{d(a,a'): a, a' ∈ A}.

Määritelmä: Jos läpimitta ei ole ääretön, joukko on rajoitettu.

Määritelmä: Yksinkertainen käyrä on suljettu,

jos sillä ei ole yhtään päätepistettä. Tällaista käyrää sanotaan Jordanin käyräksi ja
käyrän kahden pisteen välimatkalla |PQ| on yläraja m, joka on äärellinen reaaliluku.

Kohta 2 voidaan ilmaista täsmällisemmin seuraavasti: Käyrä on rajoitettu.

Harjoitus: Piirrä yksinkertainen suljettu käyrä, tee sille siirto ja kierrä sitä π radiaania eli 180 astetta.

Harjoitus:
Piirrä Inkscapella mielivaltainen kolmio ABC. Tee siitä Inkscapella kopio ja muunna kopio sellaiseksi, että yksi sivu on neljä ruutua ja sivun vastainen korkeus on kolme ruutua (A'B'C').

Harjoitus: Muunna kolmio Inkscapella yllä olevan kuvan mukaiseksi Jordanin käyräksi (käyrän ei tarvitse olla tarkasti yllä olevan kuvan näköinen). Ota selvää, mihin muunnos perustuu.

Harjoitus: Yritä muuntaa kolmio suorakulmaiseksi yllä esitetyllä tavalla. Pohdi, miksi muunnos on Inkscapella vaikea.

Jordanin käyrälause

Jordanin käyrälauseen perusteli Oswald Veblen vuonna 1905.

Jordanin käyrälauseen mukaa yksinkertainen suljettu kolmioston (tason) käyrä jakaa kolmioston (tason) käyrän sisäosaan ja käyrän ulko-osaan.

Jordanin käyrälauseen abstrakti suomenkielinen todistus löytyy osoitteesta:

https://oa.doria.fi/handle/10024/2839

Harjoitus: Piirrä Inkscapella Jordanin käyrä ja väritä sen sisäosa itse valitsemallasi värillä.

Yksinkertaisen suljetun kolmioston (tason) käyrän rajoittama pinta-ala

23.3.2010

Yksinkertaisella suljetulla kolmioston käyrällä on vähintään kolme pistettä P, Q ja R. Näiden pisteiden muodostaman kolmion pinta-alaa voidaan pitää ensimmäisenä karkeana likiarvona pinta-alalle.

Eräs tapa saada aikaan lisää pisteitä monikulmioon on seuraava:

Kolmion sivujen keskipistekohtisuorat leikkaavat käyrän useissa pisteissä. Jatkamalla tätä menettelyä, saadaan murtoviiva, joka on hyvin lähellä käyrää.

Se, miten monikulmioita voidaan muodostaa, riippuu siitä, mitä tietoja käyrästä on käytettävissä.

Yksinkertaisen suljetun käyrän rajoittama pinta-ala on tällaisen monikulmion pinta-alan raja-arvo (jos sellainen on olemassa), kun jakoa rajatta tihennetään.

Kahden toisensa leikkaavan yksinkertaisen käyrän välinen kulma

21.3.2010

Kaksi yksinkertaista käyrää leikkaavat toisensa, pisteessä P₀ ,jos niillä on yhteinen piste P₀ mutta on olemassa P₀:n r₀ -säteinen ympäristö, jossa kaikille r < r₀ käyrillä ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin P₀.

Jos P₁ on ensimmäisen käyrän piste ja P₂ on toisen käyrän piste ja jos pisteiden välimatkat tunnetaan käyrien välisen kulman likiarvo saadaan saadaan kosinilauseella kolmiosta P₀P₁P₂.

Jos tällä kulmalla on raja-arvo, kun pisteet P₁ ja P₀ lähestyvät P₀:aa, tätä raja-arvoa sanotaan käyrien väliseksi kulmaksi.

Huomaa, että näitä kulmia voidaan saada valituista pisteistä riippuen useita.

Käyrien väliseksi kulmaksi valitaan saaduista kulmista pienin.

Harjoitus: Piirrä kaksi toisiaan leikkaavaa käyrää ja mittaa niiden välinen kulma.

Yksinkertaisen käyrän kaarevuus

Ympyrän C(O,r) kaarevuus

23.3.2010

Ympyrässä C(O,r) kaarenpituus s = r α.

Kulman muutoksen α suhde kaarenpituuden muutokseen on aina

α/(rα) = 1/r.

Kun määritellään kaarevuudeksi dα/ds, ympyrän kaarevuus on aina 1/r. (dα on kulman muutos ja ds on kulman muutosta vastaava kaarenpituus. d johtuu sanasta "difference" = erotus.)

Yleinen tapaus

24.3.2010

Erikieliset määritelmät kaarevuudelle ovat erilaisia. Jopa siitä, ovatko kaarevuus ja kierevyys eri asioita, ei liene yksimielisyyttä.

Yllä oleva kolmioston (tason) kaarevuuden määritelmä on se, joka löytyy useimmista lähteistä, esimerkiksi Encyclopedia Britannicasta.

Kolmioston (tason) kaarevuutta käsiteltiin muinaisuudessa tavallisella differentiaalilaskennalla. Sikäli kuin käyrästä jotain tiedetään, valmiit tietokoneohjelmat laskevat hetkessä arvioita kaarevuudelle.

Varsinkin jos oletetaan oletetaan, että ympyrän kaarevuus on 1/r saadaan ulkoisesti erilaisia kaavoja, jotka täyttävät tämän vaatimuksen.

Ernst Lindelöfin kaava kaarevuudelle

24.3.2010

Lähde: Ernst Lindelöf, Differentiali- ja integralilasku ja sen
sovellukset I, WSOY, Porvoo 1950, s. 211, sivun keskellä.

Tässä oppikirjassa on ollut jonkin aikaa Ernst Lindelöfin kaava kolmioston kaarevuudelle virheellisesti perusteltuna. Olen nyt suorittanut tämän harjoitustehtävän ja esitän sen seuraavassa.

Yllä oleva kuva on piirretty tahallisesti ympyrään.

Oletetaan, että käyrästä tunnetaan piste P_o, tangentti ja tangenttia vastaan kohtisuora pisteessä P₀ sekä pisteen P₁ "paikalliset koordinaatit" eli yllä olevan kuvan toisiaan vastaan kohtisuorat janat a ja b.

Jos käyrä on r-säteinen ympyrä b:tä voidaan jatkaa 2r - b:n verran pisteeseen P₂ asti, jolloin P_oP₁P₂ on puoliympyrän sisätämänä kehäkulmana suora. Suoran kulman vastainen korkeusjana a on hypotenuusan osien keskiverto.

a² = b(2r - b),

mistä r saa arvon

r = (a² + b²)/2b

ja (1/r) = (2b)/(a² + b²).

Tässä kaavassa on valitettavasti se vika, että nimittäjässä on b² liikaa Lindelöfin kaavaan verrattuna. Lukijat lähettäköön minulle korjausehdotuksia. Oikea kaavahan on

κ= lim 2b/a², kun a → 0.

Numeeriset menetelmät

25.3.2010

Seuraavassa oletetaan, että käyrästä tunnetaan kolme pistettä ja ja yritetään arvioida käyrän kaarevuutta näiden kolmen pisteen kautta kulkevan ympyrän avulla.

Olkoot mielivaltaiset pisteet A, B ja C. Jos ne ovat kaikki eri pisteitä ja jos ne eivät ole samalla suoralla, on olemassa R -säteinen ympyrä, joka kulkee näiden pisteiden kautta.

Tämän ympyrän säde on

R = (abc)/(4A),

missä A on kolmion pinta-ala

Tätä saadaan ympyrän säteeksi

Kun Heronin kaavasta sijoitetaan tähän kolmion ala.
saadaan kaava:

R= (abc)/([(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^½

Jos pisteet onnistutaan tuntemaan niin, että pisteet A ja C ovat B -keskipisteisellä ympyrällä eli a = c, kaava kutistuu seuraavaksi:

R= (a²b)/([(2a+b)(b)(2a-b)(b)]^½

R = (a²b)/{b[(2a+b)(2a-b)]^½]

R = (a²)/[(2a+b)(2a-b)]^½

Kaarevuus on tämän käänteisluku eli:

1/R =( [(2a+b)(2a-b)]^½)/(a²)

Harjoitus: Piirrä jana AB. Taivuta se Inkscapella mutkalle ja tee arvio käyrän kaarevyydesta kahdessa eri pisteessä.

Yksinkertaisen käyrän kaarenpituus

21.3.2010

Olkoot P₁ ja P₂ yksinkertaisen käyrän kaksi pistettä.

Pisteiden P₁ ja P₂ välisen kaaren pituuden ensimmäinen likirvo on |P₁P₂|.

Tätä voidaan pitää käyrän kaarenpituuden karkeana likiarvona.

Janan P₁P₂keskipistekohtisuora (keskipistekohtisuorataso) leikkaa käyrän pisteessä Q, sillä muuten käyrä ei olisi yhtenäinen

Murtoviivan P₁QP₂ pituus on toinen karkea likiarvo käyrän kaarenpituudelle.

Jakoa voidaan tihentää rajatta.

Jos murtoviivan pituus lähestyy rajatta jotain lukua, kun jakoa tihennetään rajatta, tämä raja-arvo on kaaren pituus.

Lähde: Ernst Lindelöf, Differentiali- ja integralilasku ja sen sovellukset I, WSOY, Porvoo 1950, s. 200.

Harjoitus: Piirrä paperille yksinkertainen käyrä ja mittaa rihmaa tai ohutta taipuisaa rautalankaa käyttäen sen pituus.

Harjoitus: Piirrä Inkscapella jokin murtoviiva ja jokin käyrä viiva ja anna Inkscapen mitata ne pikseleissä. Vihje: Laajennokset/Hahmota polku/Mittaa polku.

Yksinkertaisen käyrän kuperuus

30.7.2010

Määritelmä: Yksinkertainen käyrä on kupera, jos mielivaltaisten kahden käyrän pisteen välillä ei ole yhtään käyrän pistettä.

Harjoitus:

Voiko murtoviiva olla kupera käyrä?
Voiko monikulmio olla kupera käyrä?

Pinta (surface)

Pinnan määritelmä

5.5.2010

Avaruuden pistejoukko on pinta, jos

pistejoukko on yhtenäinen,
pistejoukko on ohut ja
pistejoukon tilavuus on nolla.

Pinnan kaarevuus

12.2.2010

Kun P -keskipisteinen r -säteinen pallo leikkaa kolmiostoa (tasoa) ja P on kolmioston (tason) piste, leikkauskäyrä on ympyrä, jonka kehän pituus on

p = 2 π r.

Kun r lähestyy nollaa, kehän pituus lähestyy nollaa.

Yleisessä tapauksessa pallo leikkaa pinnasta käyrän, jonka pituus eroaa ympyrän kehän pituudesta.

Käyrän pituus riippuu r:n arvosta, ja merkitään tätä pituutta C(r). Pinnan kaarevuus pisteessä P on raja-arvo

$K = \lim_{r \rarr 0} (2 \pi r - \mbox{C}(r)) \cdot \frac{3}{\pi r^3}.$

(Kuvan lähde: Wikipedia)

Pyöreä kappale

12.2.2010

Kappale on pyöreä, jos sen pintaan kuuluu avoin joukko, jonka jossain pisteessä kaarevuus ei ole nolla.

Nelistön (avaruuden) kulma

Edellä on määritelty kolmisopen kulma.

Jokin piste K on kulman kärki. Olkoon k riittävässä määrin säännöllinen sulkeutuva käyrä (esimerkiksi ympyrä), joka ei kulje pisteen K kautta.

Pisteestä K alkavat janat käyrän pisteille muodostavat pinnan, jota kutsutaan yleiseksi kartiopinnaksi. Tämä jakaa nelistön (avaruuden) kahteen — pienempään ja isompaan — kulmaan samaan tapaan kuin kolmioston kulman (tasokulman) kyljet rajaavat kaksi kolmioston kulmaa (tasokulmaa).

Nelistön kulman suuruuden määritelmä on yhtäpitävä seuraavan kanssa:

Pallon keskipisteenä on kulman kärki.
Kulman suuruus on pallon pinnasta kulman sisään (sen aukeamaan) jäävän osan pinta-alan suhde pallon säteen neliöön.

Tämä pinta-ala on yksi steradiaani.

Täyden nelistökulman suuruus on pallon pinta-ala jaettuna pallon säteen neliöllä eli 4

steradiaania.

Kartion nelistökulma steradiaaneissa ω saadaan laskettua, kun sen kärkikulma α tunnetaan:

ω=2π(1-cos(α/2))

Kartion kärkikulma α puolestaan saadaan seuraavasti:
α=2*arcos(1-ω/2π)

Lähde: Helsingin teknillisen korkeakoulun sivustot Internetissä.

Onko kierevyys olemassa?

6.2.2010

Olkoot A, B, C ja D neljä sellaista yksinkertaisen käyrän pistettä, joiden muodostaman nelitahokkaan tilavuus on suurempi kuin nolla.

Pisteet A, B ja C määräävät erään kolmioston ja kulman ∠ABC tässä kolmiostossa. Pisteiden A, B ja C avulla voidaan arvioida likimäärin käyrän kaarevuutta pisteessä C.

Vastaavasti pisteet B, C ja D määräävät toisen kolmioston ja kulman ∠BCD siinä. Pisteiden B, C ja D avulla voidaan arvioida käyrän kaarevuutta pisteessä C.

Kolmiostojen ABC ja BCD välinen ns. diedrikulma on nollasta eroava, koska nelitahokkaan tilavuus on suurempi kuin nolla.

Tällaista kolmioston kiertymistä pyritään mittaamaan niin sanotulla kierevyydellä (torsion).

Nelitahokkaan sivujen pituudet a, b, c ja d tunnetaan, kun pisteet A, B, C ja D on annettu.

Myös nelitahokkaan sivutahkojen väliset kulmat voidaan laskea.

Olkoon edellä mainittu diedrikulma β. Olkoon vastaava kaarenpituus s. Kierevyys on raja-arvo lausekkeelle diedrikulman muutoksen suhde kaarenpituuden muutokseen, kun kaarenpituuden muutos lähestyy nollaa eli:

lim Δβ/Δs, kun Δs lähestyy nollaa.

Lähde: Erns Lindelöf: Differentiali ja inttegralilasku ja sen sovellukset I, WSOY, Porvoo 1950, s. 280.

Harjoitus

Määrittele käsite kierevyys suureiden a, b, c ja d avulla.

Säännöllisiä kappaleita

Särmäkartio, jonka pohja on säännöllinen monikulmio

Edellä on todettu, että säännöllisen monikulmion ala on

A = r²(n/2) sin (2 π /n).

Mikä tahansa säännöllisen monikulmion muodostavista kolmioista määrää erään kolmioston (tason).

Jos tämän kolmioston ulkopuolinen piste (kärki) yhdistetään monikulmion kärkiin, syntyy särmäkartio, jonka pohja on säännollinen monikulmio.

Jos tämän särmäkartion korkeus (ulkopuolisen pisteen etäisyys monikulmion määräämästä kolmiostosta) on h, tämän särmäkartion tilavuus on edellä esitetyn perusteella

V = (1/3)Ah = (1/3) r² (n/2) sin (2 π /n) .

Ypyräkartio särmäkartion raja-arvona

Kun säännöllisen monikulmion sivujen määrä kasvaa, monikulmio lähestyy ympyrää ja monikulmion pinta-ala lähestyy ympyrän pinta-alaa. Särmäkartio muuttuu raja-arvona ympyräkartioksi, jonka tilavuus on

V = (1/3) π r² h.

Suora ympyräkartio

Ympyräkartio on suora, jos kartion kärjestä kohtisuoraan pohjaa vastaan kulkeva janasto kulkee ympyrän keskipisteen kautta.

Suoran ympyräkartion vaippa

Suoran ympyräkarion vaippa on kartion kärjen ja pohjaympyrän rajoittama pinta.

Se syntyy säännöllisen särmäkartion kärjestä lähtevien kolmioiden pinta-alojen summan raja-arvona, kun, kun pohjamonikulmion sivujen lukumäärä n kasvaa rajatta.

Pohjamonikulmion sivujen yhteenlaskettu pituus on säännöllisen monikulmion piiri

P = 2 r n (sin (π /n)).

Kun n kasvaa rajatta, P lähestyy janaston ympyräkartion pohjaympyrän pituutta 2πr, missä on r pohjaympyrän säde.

Tasakylkisten kolmioiden kyljet olkoon s (sanasta sivujana)

Kun n kasvaa rajatta, kolmioiden korkeus lähestyy sivujanan pituutta s.

Kun n kasvaa rajatta, kolmioiden alojen summa lähestyy raja-arvoa

A = ½ 2 π r s = π r s.

Katkaistun suoran ympyräkartion vaippa

Jos suoran ympyräkartion kärjestä lähtien erotetaan pois pienempi suora ympyräkartio, jäljelle jäänyttä kappaletta kutsutaan katkaistuksi suoraksi ympyräkartioksi.

Jos alkuperäisen ympyräkartion pohjan säde on r ja pienemmän ympyräkartion pohjan säde on r' sekä sivujanojen erotus s, voidaan yhdenmuotoisilla kolmioilla johtaa seuraava suoran katkaistun ympyräkartion vaipan kaava

A = π (r + r') s.

Jos et onnistu itse johtamaan tätä kaavaa, katso Kalle Väisälän Geometrian (WSOY 1968) sivuilta 154-155.

Tämä kaava voidaan muuttaa muotoon

A = 2 π ((r + r')/2) s.

Ylemmän kaavan saat supistamalla alemmasta kaavasta kakkosen pois.

Olkoon AB eräs sivujana (pituus s) ja olkoon n AB:n keskipistekohtisuora, joka kohtaa kohtaa sivujanan pisteessä D alkuperäisen suoran ympyräkartion korkeusjanan pisteessa E. Olkoon h katkaistun ympyräkartion korkeus.

Jos janaa DE merkitään a:lla, saadan seuraava yhtälö:

(r + r')/2) s = ah.

Tämän kaavan johtamisen löydät esimerkiksi Kallio-Malmio-Apajalhden kirjasta Geometria 2, Otava 1958 sivulta 90.

Tällöin

A = 2 π ah.

Putki (tube)

Yleinen putki

23.4.2010

Yleisessä putkessa voi olla mutkia. Yllä olevan kuvan putkessa putken päät on yhdistetty toisiinsa, mutta muuten putki on yksinkertaisin mahdollinen.

Putkessa voi olla myös erilaisia poimuja, ja putki voi haaroittua.

Jos etsit kunnolla, saatat löytää jostain putkien matematiikkaa.

Harjoitus: Määrittele yleinen putki.

Yleistetty lieriö (generalized cylinder)

Määritelmä: Yleistetty lieriö on kappale, josta yhdensuuntaiset tasot leikkaavat yhteneviä alueita ja jolla on positiivinen tilavuus.

Harjoitus: Tee euron kolikoista vino pino. Saat aikaan likimäärin yleistetyn ympyrälieriön. Mikä on yleistetyn ympyrälieriön tilavuus?

Lieriö (cylinder)

23.4.2010

Lieriö eroaa yleistetystä lieriöstä siinä suhteessa, että jos P on yleisen lierion toisen leikkavan tason piste ja P' sen kuvapiste toisessa leikkaavassa tasossa, niin kaikki yhdensuuntaiset janat PP' kuuluvat lieriöön.

Harjoitus: Määrittele yleinen lieriö yllä olevaa täsmällisemmin.

Ympyrälieriö

Ympyrälieriöpinnan käsite

Niiden kolmiulotteisen avaruuden S pisteiden X joukko, jotka ovat vakioetäisyydellä k>0 janastosta l, on suora ympyrälieriöpinta.

Kappale suora ympyrälieriö

Suoraksi ympyrälieriöksi sanotaan kappaletta, jonka kaksi ympyrää erottavat ympyrälieriöstä.

Suora ympyrälieriö suoran särmiön raja-arvona

Kun pohjamonikulmion sivujen määrä kasvaa rajatta, suorasta säännöllisestä särmiöstä tulee suora ympyrälieriö.

Koska ympyrän C(O,r) kehän pituus on

P = 2 π r,

suoran ympyrälieriön vaipan ala on

A = 2 π r h.

Vastaavasti suoran ympyrälieriön tilavuus on

V = π r² h,

missä π r² on pohjan ala ja h on kokeus.

Joissakin oppiaineistoissa korkeutta h sanotaan sivujanaksi s.

Pallon pinta-ala

Pallo

Pallon isoympyrältä voidaan valita joukko pisteitä, jotka yhdistämällä saadaan monikulmioita.

Pisteet voidaan valita myös niin, että monikulmio on säännöllinen.

Säännöllisen monikulmion sivujen määrää voidaan kasvattaa rajatta, jolloin monikulmion piiri lähestyy ympyrän kehän suuruutta.

Olkoon AB eräs isoympyrän halkaisija. Sen pituus on 2 r.

Säännöllisen monikulmion kärkien kautta kulkevista ympyröistä voidaan valita ne, joita vastaan AB on kohtisuorassa.

Tällöin pallon sisällä on joukko suoria katkaistuja ympyräkartioita. Olkoon näiden kartioiden korkeudet h₁, h₂, h₃, ...

Kokeuksien summa h₁ +h₂ +h₃ +... = 2r.

Katkaistujen kartioiden vaipan alojen summa on

A = 2 π a (h₁ +h₂ +h₃+ ...) = 4 π a r.

Kun monikulmion sivujen määrä kasvaa rajatta, a lähestyy r:ää ja pallon pinta-alaksi saadaan

A = 4 π r²

eli pallon pinta-ala on neljä kertaa isomympyrän pinta-ala.

Pallokalotti ja pallon vyöhyke

Jos yhteen ei lasketa kaikkia kartioita vaan vain h₁ +h₂ +h₃+ ...=h,

saadaan sen pallon osan ala, joka saadaan, kun pallosta erotetaan pois yhden pallon pinnan ympyrän ja toisen pallon osan erottama alue (jäljelle jäävän alueen korkeus ei ole 2r vaan h), saadaan ns. pallokalotin pinta-ala

A = 2 π a h.

Ns. pallovyöhykkeen (osa katkaista kartioita pallon keskeltä) alalle saadaan sama kaava.

Harjoitus: Johda pallon ala jotain muuta suoran katkaistun ympyräkartion alan kaavaa käyttäen.

Pallon ja sen osat

Pallo

Pallon tilavuudella tarkoitetaan pallopinnan rajoittaman suljetun pinnan sisään jäävän kappaleen tilavuutta.

Pallon sisään voidaan asettaa joukko nelitahokkaita siten, että niiden yksi kärki on pallon keskipisteessä ja muut kärjet ovat pallon pinnalla. Riippuen siitä, miten pieniksi nelitahokkaiden pohjat tehdään, nelitahokkaiden tilavuuksien summa lähestyy pallon tilavuutta.

Olkoon pallo jaettu n:ään yhtä tilavaan nelitahokkaaseen. Niiden tilavuudet ovat (1/3)Ah/n.

Nelitahokkaiden tilavuuksien summa on

V = n(A₁h₁ + A₂h₂ + A₃h₃ +...) /(3n).

Kun nelitahokkaiden lukumäärää lisätään rajatta, korkeudet lähestyvät r:ää ja kaava saa muodon

V = (r/3)((A₁ + A₂ + A₃ +...).

Kun pohjien pinta-alojen summa lähestyy pallon pinta-alaa, saadaan

V = (r/3)(4 π r²) eli

V = (4/3) π r³.

Pallosektorin tilavuus

Määritelmä: Pallosektori on se osa palloa, jota rajoittavat pallon keskipiste kärkenä oleva suora ympyräkartio ja pallon pinta.

Kaavassa

V = (r/3)(A1 + A2 + A3 +...)

pinta-alojen summa ei ole koko pallon pinta-ala, vaan pallokalotin pinta-ala eli

V = (r/3)(2πr²h)

V = (2/3)(πr³h).

Pallosegmentin tilavuus

Lasketaan ensin tilavuus siinätapauksessa, että h <r.

Pallosegmentin tilavuus on pallosektorin tilavuus miinus suoran ympyräkartion tilavuus:

V = (2/3)πr²h - (1/3)πk²(r-h))

missä k on kartion pohjaympyrän säde.

Vaaleanpunaisen suorakulmaisen kolmion korkeusjana om ympyrän halkaisijan osien keskiverto eli

k² = h(2r - h).

V = πh²(r - (1/3)h).

Täysin sama kaava saadaan, kun kyseessä on suurempi pallosegmentti, mutta sen osoittaminen jätetään harjoitustehtäväksi (löytyy Kallio - Malmion Geometria II:n sivulta 139).

Harjoitus: Tarkenna yllä olevaa raja-arvotarkastelua. Miten pisteet pallon pinnalta on valittava, jotta pohjien pinta-alojen summa lähestyy pallon pinta-alaa?

Yhdensuuntaisprojektio

5.4.2010

Yhdensuuntaisprojektio säilyttää yhdensuuntaisuuden. Yhdensuuntaisuusprojektiossa kuvaa katsotaan ikään kuin äärettömän kaukaa.

Yllä oleva kuva on piirretty ns. kavaljeeriperspektiivissä (Bonaventura Francesco Cavalieri 1598 –1647), jossa laatikon sivusärmillä yhtä vaakasuoraa ruurua vastaa kaksi ruutua pystysuunnasssa.

Kavaljeerprojektio on vino projektio.

Janasto ja kolmiosto

6.5.2010

Määritelmä: Kolmioston ABC ulkopuolisen pisteen P ja kolmioston pisteen P' välinen jana PP' muodostavat kulmia pisteen P' kanssa kulkevien janastojen (suorien) kanssa. Janan ja kolmioston välinen kulma on näistä kulmista pienin.

Määritelmä: Kolmioston ulkopuolisen pisteen P ja kolmioston pisteen P' välinen jana on kohtisuorassa kolmiostoa ABC vastaan, jos janan ja kolmioston välinen kulma on suora.

Määritelmä: Pisteen P projektio kolmiostossa ABC on piste P' siten, että PP' on kohtisuorassa kolmiostoa vastaan.

Määritelmä: Janasto l on yhdensuuntainen kolmioston ABC kanssa eli l || ABC, jos kolmiosto sisältää janaston l' joka on yhdensuuntainen janaston l kanssa.

Määritelmä: Janasto n on kohtisuorassa kolmiostoa ABC vastaan, jos

Janasto leikkaa kolmioston yhdessä ja vain yhdessä pisteesä P.
Janaston kaikkien pisteiden projektiot kolmiostossa ABC ovat janaston ja kolmioston leikkauspiste P.

Määritelmä: Kaksi kolmiostoa ABC ja A'B'C' ovat yhdensuuntaiset eli ABC || A'B'C', jos ne ovat kohtisuorassa samaa janastoa n vastaan.

Perspektiivi (syvyysvaikutelma, perspective)

21.4.2010

Yhden pakopisteen (vanishing point) perspektiivi

Kun kuvataan esimerkiksi katunäkymää tai rakennusta suoraan eteenpäin syvyyssuunnassa tai sivulta, on yksi pakopiste riittävä. Silloin kaikki yhdensuuntaiset viivat suuntautuvat kohti samaa pakopistettä. Tätä kutsutaan yhden pakopisteen perspektiiviksi. Horisonttilinja ja pakopiste voivat olla kuvatilan sisä- tai ulkopuolella.

Kahden pakopisteen perspektiivi

Jos on kuvattu esimerkiksi rakennuksen, huoneen tai jonkin muun geometrisen esineen kulma, toinen sen kahdesta pakopisteestä tai molemmat ovat kuva-alan ulkopuolella.

Kyse on kahden pakopisteen perspektiivistä.
Yleensä esineitä ja asioita tarkastellaan vain harvoin suoraan edestä.

Kolmen pakopisteen perspektiivi

Kolmen pakopisteen perspektiivissä kuvataso on kalteva perustasoon nähden, joten tarvitaan kolmas pakopiste pystysuoria linjoja varten. Kun tarkastellaan kohdetta, joka on vaakatason yläpuolella, sen sivut vetäytyvät poispäin ja suuntautuvat kohti tiettyä pistettä kohteen yläpuolella. Tällöin tarvitaan ylimääräinen pakopiste horisontissa olevien pakopisteiden lisäksi. Mikäli tarkastelemme horisonttilinjan alapuolella olevia kohteita, ylimääräinen pakopiste sijaitsee kohteen alapuolella.

Nelistön sisäisiä koordinaatistoja

28.7.2010

Kolmiokoordinaatisto (three points coodinates)

Kun tunnetaan yksi (V>0) nelistön kolmio, muut saman nelistön pisteet voidaan ilmaista ilmoittamalla niiden etäisyydet nelistön neljästä kärkipisteestä

Kuten muualla tässä esityksessä on todettu, neljäs näistä etäisyyksistä on tarpeen vain kahden vaihtoehdon erottamiseksi toisistaan.

Tämä neljäs piste siis riippuu vahvasti kahdesta ensimmäisestä, ja esitystä voidaan yksinkertaistaa seuraavasti.

Jos on annettu neljä nelistön pistettä, kolme niistä määrää kolmioston ABC. Neljäs piste D määrää yhdessä kolmioston kanssa sen puolinelistön, jossa piste F sijaitsee.

Riittää ilmoittaa etäisyydet kolmesta pisteestä, esimerkiksi A, B ja C ja se, kuuluuko piste samaan puolinelistöön kuin D vai eri puolinelistöön kuin D.

Jos piste kuuluu kolmiostoon ABC, koordinaatteja merkitään ABC(x,y). Jos piste kuuluu samaan puolitasoon kuin D, koordinaatteja merkitään D(x,y,z) ja jos piste kuuluu eri puolitasoon kuin D, koordinaatteja merkitään -D(x,y,z).

Jos janat a, b, c ja d on annettu, voidaan käyttää mitä tahansa kolmea janoista a, b, c ja d koordinaatiston peruskolmiona.

Lineaarialgebran koordinaatisto

Jos valitaan kolmiulotteisen lineaarialgebran kanatavektoreiksi AB, AC ja AD, saadaan tavallinen lineaarialgebran koordinaatisto.

Jos AB, AC ja AD ovat kohtisuorassa, saadaan tietysti tavalinen suorakulmainen karteesinen koordinaatisto.

Karteesinen koordinaatisto

Karteesisessa kolmiostokoordinaatistossa pistettä vastaa järjestetty lukukolmikko. Kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran kolmioston leikkauspistettä merkitään (0,0,0):lla. Mielivaltaista pistettä merkitään (x,y,z), missä luvut x, y ja z ovat pisteen etäisyydet tasoista.

Vektorit karteesisessa koordinaatistossa

Kohtisuorat kantavektorit

Karteesisessa koordinaatistossa vektoria A(0,0,0)B(1,0,0) merkitään kirjaimella i, vektoria A(0,0,0)B(0,1,0) merkitään kirjaimella j ja vektoria A(0,0,0)B(0,0,1) merkitään kirjaimella k.

Vektori A(0,0,0)C(2,3,4) on tällöin 2i + 3j + 4k.

Vektoreita i, j ja k kutsutaan kantavektoreiksi.

Yleisesti paikkavektoria eli vektoria pisteestä (0,0,0) pisteeseen (x,y,z) merkitään:

r = x i + y j + zk.

i x i, j x j ja k x k ovat nollia, koska sin 0 on nolla.

Muut ovat joko kolmas kantavektori tai sen vastavektori riippuen siitä, päteekö oikean käden vai vasemman käden peukalosääntö.

Kahden vektorin v₁ = x₁ i + y₁j z₁ k ja v₂ = x₂i + y₂j + z₂ k vektoritulolle saadaan laskemalla kaava

v₁ x v₂ = (x₂y₃ - x₃y₂₎ i+(x₃y₁ - x₁y₃₎j+(x₁y₂ - x₂y₁₎ k

Kahden vektorin pistetulo eli skalaaritulo (skalaari on reaaliluku) on

v₁ · v₂ = x₁y₁ + x₂y₂+ x₃y₃.

Skalaarikolmitulo

(v₁ x v₂) · v₃on kahden vektorin pistetulona reaaliluku eli skalaari. Tämän skalaaritulon itseisarvo on sen suuntaissärmiön tilavuus, jonka kolme särmää nämä vektorit muodostavat.

Paikkavektorin pituus

Paikkavaketorin O(0,0,0)B(x,y,z) pituus on

|OB| = √(x² + y²+ z²).

Kahden paikkavektorin erotuksen pituus on

|v₂ - v₁| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²].

Harjoitus: Perustele viimeinen yhtälö laskemalla. Laskelmasi voit tarkistaa esimerkiksi lukion matematiikan oppikirjoista.

Determinantti

Nelitahokkaan tilavuus on toisaalla esitetyn kaavan mukaan

A = (1/6) det(v₁-v₀,v₂-v₀,v₃-v₀).

Matriisit html:ssä

30.7.2010

Matriiseja voi luoda html:ssä, mutta jos katsot alla olevan matriisin lähdekielistä kodia, huomaat, että se on työlästä.

Alla olevan matriisin erillisenä html-tiedostona löydät napauttamalla tästä . Itse lähdekoodin saat näkyviin selaimestasi valitsemalla Näytä Lähdekielinen koodi (tai jotain sinnepäin selaimesta riippuen).

x₁ x₂ x₃

y₁ y₂ y₃

z₁ z₂ z₃

Determinantit html:ssä

30.7.2010

Determinantteja voi luoda html:ssä, mutta jos katsot alla olevan matriisin lähdekielistä koodia, huomaat, että se on työlästä.

Alla olevan determinantin erillisenä html-tiedostona löydät napauttamalla tästä. Itse lähdekoodin saat näkyviin selaimestasi valitsemalla Näytä Lähdekielinen koodi (tai jotain sinnepäin selaimesta riippuen).

x₁	x₂	x₃
y₁	y₂	y₃
z₁	z₂	z₃

Painopistekoordinaatit (barycentric coordinates)

Olkoon P mielivaltainen nelitahokkaan sisäpiste.

On mahdollista sijoittaa kärkipisteisiin A, B, C ja D massat siten, että P on nelitahokkaan (joka ei muuten paina mitään) painopiste.

Näitä neljää massaa (yksikköä vaille) kutsutaan pisteen P painopistekoordinaateiksi nelistössö ABCD.

Koska painopiste saadaan aikaan lisäämällä tai vähentämällä massoja, painopistekoordinaatit eivät ole yksikäsitteiset.

Usein massat jaetaan massojen summalla, jolloin pätee

W_A + W_B +W_C + W_D= 1.

Joitain johtopäätöksiä

30.7.2010

Looginen empirismi

Nimityksen "looginen empirismi" keksi suomalainen akateemikko Eino Kaila.

Loogisen empirismin vastustajan Arthur Pap'in mukaan loogisen empirismin päänormi inhimilliselle kielelle oli, että inhimillinen tieto tuli jakaa kahteen osaan, kieltä koskevaan tietoon ja kielen avulla esitettävään kokemustietoon.

Sanayhdistelmässä "looginen empirismi" ensimmäinen osa viittaa inhimillistä kieltä koskevaan tietoon, johon kuuluvat myös matematiikka ja logiikka, ja toinen osa viittaa todellisuudesta inhimillisten havaintojen perusteella saatavaan tietoon.

Immanuel Kant'in mukaan oli tarpeen myös kolmas laji tietoa, joka koski todellisuutta mutta joka oli ihmisessä synnynnäisesti.

Wienin piiri asettui vastustamaan Kantia ja puolustamaan tiedon kahtiajakoa.

Mainittakoon, että Wienin piiri ei käyttänyt sanaa Wissenschaftliche Weltanshauung (tieteellinen maailmankatsomus) vaan sanaa Wissenschaftliche Weltauffassung (tieteellinen maailmankäsitys).

Itse olen useasti esittänyt, että kieltä koskevaa tietoa ei kutsuttaisi tiedoksi ollenkaan, koska se ei sano todellisuudesta mitään. Tämän käsityksen mukaan matematiikkakaan ei sano todellisuudesta mitään.

Esimerkki: Ei pidä kysyä "tiedätkö paljonko on 2+2?" vaan yksinkertaisesti "paljonko on 2+2?". Muita vaihtoehtoja ovat "muistatko, paljonko on 2+2?" ja "osaatko laskea, paljonko on 2+2?".

Georg Henrik von Wrightiltä saamani kirjeen mukaan Amsterdamin filosofikonferenssissa vuonna 1948 ei mainittu sanaa "analyyttinen filosofia". Vuonna 1949 Arthur Pap kirjoitti kirjan, jonka nimi oli Elements of analytic philosophy. New York: Macmillan, 1949.

Johtopäätökseni on, että (kuten myös Jaakko Hintikka on sanonut) kylmä sota loi loogisen empirismin vastaisen ilmapiirin. Arthur Papin keksimä sanayhdistelmä levisi räjähdysmäisesti. Kylmän sodan molemmat osapuolet vastustivat loogista empirismiä.

Einstein sotkee kuvioita

Wienin piirin johtohahmo Moritz Schlick ryhtyi tukemaan Albert Einsteinia, mikä mielestäni oli ristiriidassa Wienin piirin ohjelmajulistuksen kanssa. Einsteinilta ja hänen liittolaisiltaan peräisin oleva ajatus, että todellisuudella olisi sinänsä tietynlainen geometria on yhtä virheellinen kuin Kantin aikaisempi käsitys, jonka mukaan euklidinen geometria, ajan suunta jne. olisivat ihmisen synnynnäistä kalustoa.

Olen huomannut etenkin Turussa opiskelleiden filosofien levittäneen yllä mainittuja kiellelisesti virheellisiä ajatuksia.

Tätä kirjoittaessani sain sähköpostia, jossa minulle kerrottiin nuorista Einsteinuskoisista. Eipä heitä juuri voi erottaa esimerkiksi teologeista. Higgsin bosoni olisi Messias.

Mitä sanon, jos Higgsin bosoni löytyy? Sanon saman kuin tuttavalle, joka kysyi, onko Einsteinin suhteellisuusteoria kehäpäätelmä. Vastasin, että Einsteinin suhteellisuusteoria on kehäpäätelmä.

Mistä aloitan virhepäätelmien etsimisen?

25.7.2010

Albert Einstein sanoo kirjansa Meaning of Relativity, Princeton, 1922 sivulla 27, että valon nopeus on vakio. Tämä ei tietenkään pidä paikkaansa, sillä valon nopeus riippuu väliaineesta ja kentistä, joissa se kulkee, mutta Einstein tarkoittaa, että valon nopeus tyhjiössä on vakio.

Ongelmana on, että jos valo menee tyhjiöön, se ei ole enää tyhjiö. Jos Einstein itse menee tyhjiöön tekemään havaintoja, se ei ole enää tyhjiö.

Tämä ei ole vitsailua vaan asia, johon looginen empirismi yritti kiinnittää huomiota.

Uranuurtajat

Edesmennyt tähtietieteen professori Gustav Juhana Järnefelt (aatelissukua) sanoi kauan sitten luennoillaan, että kaksi tutkijaa kehittää hyvin yllätyksellistä mallia kaikkeudelle.

Järnefelt tarkoitti Paul Kustaanheimoa ja

Gabriel Sandu ja Jaakko Hintikka ovat kehittäneet logiikan, jota käytettäessä monikerroksista tyyppiteoriaa ei tarvita.

Matematiikasta voidaan siis puhua luonnollisella kielellä.

Yksi tyyppikerros kuitenkin minun mielestäni jää: On erotettava todellisuus ja inhimillinen käsitys todellisuudesta. Erään Eino Kailan teoksen nimi oli "Inhimillinen tieto".

Inhimillisen todellisuuskäsityksen sisällä on erotettava todellisuudesta puhumisen välineet ja puhe todellisuudesta.

Matematiikka ei sinänsä ole edes todellisuudesta puhumisen väline vaan joukko algoritmeja, joilla todellisuuskäsitystä voidaan luoda ja muokata.

Tutkimattomat ovat matematiikan tiet

25.5.2010

Ensin ihmisille opetetaan, että lukuja ovat

1,2,3,...

Sitten ihmisille opetetaan, että lukuja ovat

0,1,2,3,...

Sitten ihmisille opetetaan, että lukuja ovat

...-3,-2,-1,0,1,2,3,...

Sitten ihmisille opetetaan, että lukuja ovat

n/m, missä m ja n ovat aikaisemmin opetettuja lukuja ja m ei ole nolla.

Sitten ihmisille opetetaan, että lukuja ovat sellaisten päättymättömien algoritminen antamat kuvitellut tarkat arvot, joita ei voida kuvata aikaisemmin esitetyillä luvuilla. Pitäisikö kaivaa Kurt Gödel haudastaan!

Huomaa: Päättymätön algoritmi on pysähtymätön ohjelma. Se, että todellinen kone pysähtyy, johtuu siitä, että kone menee rikki ennen kuin se on suorittanut äärettömän ajan vaativan algoritmin.

Sitten ihmisille opetetaan, että lukuja ovat eräitä laskusääntöjä noudattavat edellisten lukujen parit.
.....
jne. Loputtomiin. Paitsi että yllä olevan pisteviivan jälkeiset luvut eivät ole oikeastaan lukuja, koska ne eivät noudata kunta-aksioomia.

Näille luvuille on annettu hassuja nimiä kuten luonnolliset luvut, kokonaisluvut, järkiluvut (rationaaliluvut), järjettömät luvut (irrationaaliluvut) todelliset luvut (reaaliluvut) ja kuvitellut luvut (imaginääriluvut).

Mutkaiset suorat

25.7.2010

Kaksi tuhatta vuotta Euroopan matematiikkanerot yrittivät todistaa muiden geometrian lauseiden avulla Eukleideen geometrian lausetta, joka nykyisin tunnetaan parhaiten muodossa "suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee tasan yksi tämän suoran suuntainen saman tason suora".

Pari sataa vuotta sitten János Bolyai ja Nikolai Lobatševski osoittivat lopulta, että tämä lause oli riippumaton Eukleideen muista askioomista.

Korvaamalla tämä ns. yhdensuuntaisuusaksiooma jollain erilaisella aksioomalla, saatiin erilaisia geometrioita.

Tässä ei ole mitään ihmeellistä. Pallon pinnalla on järkevää käyttää pallotrrigonometriaa eikä tavallista trigonometriaa. Pallokolmioita kutsutaan pallokolmioiksi, eikä ole vaaraa, että ne sekoittuisivat tavallisiin kolmioihin.

Jotain jäi kuitenkin vialle. Matemaatikoista oli hauskaa kutsua mutkaisia käyriä suoriksi. Tässäkään ei ole sinänsä mitään pahaa, mutta mitä sitten sattui?

Sitten tuli Albert Einstein

Albert Einsteinin ja hänen kannattajiensä mukaan valo kulkee tyhjiössä mutkille, jos tyhjiössä on painovoimakenttia (onko tyhjiö tyhjiö, jos siellä on painovoimakenttiä?). Tämäkin on paikkansapitävää, vaikka tyjiö ei olisikaan aivan tyhjä.

Mutta sitten matemaatikot olivat ihastuneita siihen että valonsäteet ovat mutkaisia suoria, joita eräät matemaatikot olivat sata vuotta aikaisemmin keksineet.

Sitä, että valo kulkee painovoimakentissä mutkille emme kiistä. Mutta sitä, miksi mutkaisia käyriä kutsutaan suoriksi, emme ymmärrä.

Edesmenneet radikaalit sanoisivat moista pikkuporvarilliseksi erikoisuuden tavoitteluksi.

Kyllä matematiikka on yhtä inhimillistä ja yhtä korruptoitunutta kuin kaikki muu inhimillinen toiminta.

Harjoitus: Sokea tynnyrintekijä tekee laudoista lieriön muotoista kaljatynnyriä. Miten hän voi (ilman valoa) varmistaa, että laudoista tulee suoria ja että tynnyristä tulee kaljanpitävä?

Onko avaruus olemassa?

26.7.2010

Eräs matematiikan väitöskirja pohtii muutamaa matemaattista avaruutta ja ihmettelee lopuksi, onko kahta avaruutta olemassa.

Fysikaalisen avaruuden olemassaoloa ovat puolustaneet lähinnä kristilliset teologit.

Minun nuoruudessani luennoitsijat aloittivat matematiikan luentonsa mainitsemalla, että oletetaan varmuuden vuoksi avaruus... Muistaakseni Raimo Lehti ihmetteli, onko sellainen tarpeen, mutta oletetaan kuitenkin varmuuden vuoksi että on.

Fysiikan ja tähtitieteen kannalta voidaan tietysti kysyä, tarvitaanko sanaa "avaruus" (englanniksi space eli tila).

Jos sanaa avaruus ei tarvita, puhe avaruuden geometrian laadusta on hölynpölyä.

Miksi valo taipuu painovoimakentässä

Albert Einsteinin ja hänen kannattajiensa mukaan valo ei suinkaan taivu painovoimakentässä vaan avaruus kaareutuu, mistä seuraa, ettei koko painovoimaa ole olemassakaan.

Tämä on vähintään yhtä uskomatin väite kuin että jotkut jumalat paukauttelisivat alkuräjähdyksiä. Se, että valtaosa maailman ihmisistä uskoo moisiin jumaliin tekee ymmärrettäväksi sen, että huomattava osa teollistuneiden maiden väestöstä uskoo Albert Einsteiniin.

Uskontojen valta selittää myös sen, että fysiikassa on jo toista sataa vuotta halveksittu käsitettä massa. Eräässä paljon käytetyssä fysiikan cum laude -oppikirjasarjassa sanotaan, ettei massa ole mitään muuta kuin vakui yhtälössä F = ma. (F on voima, a on kiihtyvyys ja m on eräs vakio.) Loppujen lopuksi selitetään, ettei vakio m olekaan vakio vaan muuttuja (suhteellisuusteoria).

Suuressa neroudessaan Albert Einstein väitti, että hitausmassa ja painovoiman avulla mitattu massa ovat yhtäsuuret. Minkä painovoiman, jos painovoimaa ei ole olemassa?

Kuka tahansa ymmärtää, jos valon sanotaan taipuvan (auringonpimennyksen aikaan) suuren massan läheisyydessä siitä syystä, että myös valolla on massa.

Tähän fyysikot sanovat, että niin ja niin monen desimaalin tarkkuudella valohiukksen (fotonin) massa on mitattu nollaksi.

Minun mielestäni tässä olisi aika korjata massan määritelmää niin, että fotoneilla on oikeasti massa.

Karteesinen meemi

26.7.2010

Sana kartesinen viittaa Rene Descartesiin, joka toisaalta kehitti analyyttistä geometriaa ja toisaalta ajatteli, että ihmisellä on aineeton, kuolematon sielu, joka ihmisen elinaikana sijaitsee käpyrauhasessa.

Ihminen käyttää erilaisia luokkia (ohjemoinnissa class) yrittäessään välittää informaatiota muille ihmisille.

Kieltä ja todellisuutta sekoittamalla syntyy meemi, jonka mukaan todellisuus jakautuisi mitä erilaisimmin tavoin.

Vanhimpia tämän alueen meemejä on ns. sieluttaminen, joka alun perin tarkoitti, että kaikilla olioilla on jonkinlainen sielu, jonka oletettiin jopa ajattelevan ja vaikuttavan.

Tietysti tämä meemi jäi elämään melkein kaikkiin uskontoihin. Erityisen haitallisella tavalla se on elänyt kristinuskossa, islamissa ja hindulaisissa uskonnoissa.

Viime vuosisatoina on toisaalta vaadittu, ettei todellisuuteen sinänsä pidä liittaa mitään iihmisivojen omia jakoja, ja toisaalta on kuviteltu, että keksimällä uusia sanoja todellisuus voidaan pilkkoa oman mielipiteen mukaisesti. Popperin-Niiniluodon meemin mukaan todellisuus jakautuu kolmeen osaan. Quinen meemin mukaan todellisuus ja inhimillinen kieli pitää sekoittaa, koska ihmiset yleensä niin tekevät.

Erittäin voimallisena karteesinen meemi elää kaikkeuskäsityksissä ja niitä esittävässä matematiikassa. Jos olet kuullut jostain matemaatikosta, joka ei sotke matematiikkaa ja todellisuutta, kerro tämän kirjoittajalle.

Erilaiset kielet matematiikan sisällä

27.7.2010

Matematiikan sisällä on hyvin usein ulkopuolisen mielestä monia täysin erilaisia tapoja esittää sama asia.

Kävin aikoinaan jossain lehdessä keskustelua Rolf Nevanlinnan kanssa keskustelua Einsteinin suhteellisuusteorian tarpeellisuudesta. Minun mielestäni Nevanlinnalla, joka oli perehtynyt geometrian perusteisiin, oli se käsitys, että Einsteinin suhteellisuusteorioita muihin mahdollisiin teorioihin nähden puoltaa yksinkertaisuusperiaate.

Kun Tuomo Suntolan suhteellisuusteoriaa on arvosteltu Suomessa, sitä on syytetty liiasta yksinkertaisuudesta.

Yksinkertainen on yksinkertaista tai monimutkainen monimutkaista vain ihmisen käsityksissä. Todellisuutta ei voida väittää yksinkertaiseksi tai monimutkaiseksi, sillä mihin sitä verrattaisiin.

Onneksi matemaatikot ovat joissakin tapauksissa vanhoillisia oikeissa paikoissa. On helppo huomata, että esimerkiksi ns. sumean logiikan laskelmia tehdään äärimmäiden standardilla logiikalla toimivissa tietokoneissa.

Myös kaikenlaiset yksityiskohtiiuin takertumiset kuten "kaaosteoriat" ovat saaneet ansaittua arvostelua nimenomaan vanhoillisilta.

Kuvia suhteellisuusteorioiden käyräviivaisista geometrioista piirrellään kyllä tietokoneen näytölle, joka on suorakulmainen euklidinen tasokoordinaatisto, jonka piste (0,0) on näytön vasemmassa yläkulmassa. Kaikki "käyrät" ovat suurennuslasilla katsottuna pistejoukkoja, mutta ihmissilmä näkee ne käyrinä.

Mielestäni on varmaa, että sikäli kuin jostain ilmiöstä on dataa, sitä voidaan käsitellä euklidisella geometrialla. Käsitän Nevanlinnan ajatukset siten, että hän piti käsittelyä epäauklidisilla geometrioilla laskennallisesti yksinkertaisimpana. Jos ajatellaan laskenta-algoritmien nopeutta, näin ei taida olla.

Kellojen synkronointi

28.7.2010
Suhteellisuusteorioiden on katsottu olevan tarpeen siitä syystä, että toistensa suhteen liikkuvien järjestelmien kelloja ei voida tahdistaa (synkronisoida). Toistaikseksi esimerkiksi satelliittipaikannus on selviytynyt tahdistamisesta kiitettävästi.

Mitä tulee kelloihin, niitä tiedetään tähän mennessä tarvitun vain tällä planeetalla tai sen lähiympäristössä.

Jopa ihmiskeskeisen ajattelutavan pitäisi muuttua, kun laskentatehoa on saatu riittävästi.

Harjoitustehtävä: Osoita, että valo onkin pimeää ainetta. Ja vaikka ei olisikaan, julkaise tätä puoltavia väitteitä ja puolusta niitä.

Jatkuu...